第十三章　立體幾何初步（知識歸納+題型突破）（解析版）

第十三章立體幾何初步（知識歸納+題型突破）1.理解棱柱的定義，知道棱柱的結(jié)構(gòu)特征，并能識別和作圖．2.理解棱錐、棱臺的定義，知道棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征，并能識別和作圖．3.理解圓柱、圓錐、圓臺、球的定義，知道這四種幾何體的結(jié)構(gòu)特征，能夠識別和區(qū)分這些幾何體．4．會根據(jù)旋轉(zhuǎn)體的幾何體特征進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算．5.會用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖．6.會用斜二測畫法畫常見的柱、錐、臺以及簡單組合體的直觀圖．7.會根據(jù)斜二測畫法規(guī)則進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算．8.了解平面的概念，會用圖形與字母表示平面．9.能用符號語言描述空間中的點、直線、平面之間的位置關(guān)系．10.能用圖形、文字、符號三種語言描述三個基本事實和三個推論，理解三個基本事實和三個推論的作用．11.了解空間兩條直線間的位置關(guān)系，理解異面直線的定義．12.理解并掌握基本事實4和“等角”定理，并能解決有關(guān)問題．13.會用兩條異面直線所成角的定義，找出或作出異面直線所成的角，會在三角形中求簡單的異面直線所成的角．14.理解直線與平面平行的定義，會用圖形語言、文字語言、符號語言準(zhǔn)確描述直線與平面平行的判定定理，會用直線與平面平行的判定定理證明一些空間線面位置關(guān)系．15.理解并能證明直線與平面平行的性質(zhì)定理，明確定理的條件，能利用直線與平面平行的性質(zhì)定理解決有關(guān)的平行問題．16.理解并掌握直線與平面垂直的定義，明確定義中“任意”兩字的重要性．17．掌握直線與平面垂直的判定定理，并能解決有關(guān)線面垂直的問題．18．了解直線和平面所成的角的含義，并會求直線與平面所成的角．19．理解點到平面的距離、直線到平面的距離的概念．20．理解直線和平面垂直的性質(zhì)定理，并能用文字、符號和圖形語言描述定理，能應(yīng)用線面垂直的性質(zhì)定理解決有關(guān)的垂直問題．21.了解兩個平面的位置關(guān)系．22.理解平面與平面平行的定義，會用圖形語言、文字語言、符號語言準(zhǔn)確描述平面與平面平行的判定定理，會用平面與平面平行的判定定理證明空間面面位置關(guān)系．23.理解并能證明平面與平面平行的性質(zhì)定理，能利用平面與平面平行的性質(zhì)定理解決有關(guān)的平行問題．24.了解兩個平行平面間的距離．25.理解二面角的有關(guān)概念，會求簡單的二面角的大小．26.理解兩平面垂直的定義，掌握兩平面垂直的判定定理．27.理解平面和平面垂直的性質(zhì)定理，并能用文字、符號和圖形語言描述定理，能應(yīng)用面面垂直的性質(zhì)定理解決有關(guān)的垂直問題．28.了解直棱柱、正棱錐、正棱臺的側(cè)面展開圖，掌握直棱柱、正棱錐、正棱臺的側(cè)面積的求法，并理解它們之間的關(guān)系．29.了解圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖，掌握圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面積的求法，并理解它們之間的關(guān)系．30.能利用柱體、錐體、臺體的體積公式求體積，理解柱體、錐體、臺體的體積之間的關(guān)系．31.掌握球的表面積和體積公式，會計算球的表面積和體積．32.會利用分割、補(bǔ)形求組合體的表面積和體積．1．棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征結(jié)構(gòu)特征及分類圖形及記法棱柱結(jié)構(gòu)特征(1)兩個底面是全等的多邊形，且對應(yīng)邊互相平行(2)側(cè)面都是平行四邊形記作棱柱ABCDEF-A′B′C′D′E′F′分類按底面多邊形的邊數(shù)分為三棱柱、四棱柱……棱錐結(jié)構(gòu)特征(1)底面是多邊形(2)側(cè)面是有一個公共頂點的三角形記作棱錐S-ABCD分類按底面多邊形的邊數(shù)分為三棱錐、四棱錐……棱臺結(jié)構(gòu)特征用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分稱之為棱臺(1)上下底面互相平行，且是相似圖形(2)各側(cè)棱延長線相交于一點記作棱臺ABCD-A′B′C′D分類由三棱錐、四棱錐、五棱錐……截得的棱臺分別為三棱臺、四棱臺、五棱臺……2.棱柱、棱錐、棱臺的關(guān)系在運(yùn)動變化的觀點下，棱柱、棱錐、棱臺之間的關(guān)系可以用下圖表示出來(以三棱柱、三棱錐、三棱臺為例).3．多面體由若干個平面多邊形圍成的空間圖形叫作多面體．4．圓柱、圓錐、圓臺、球分類定義圖形及表示表示圓柱將矩形繞著它的一邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，形成的空間圖形叫作圓柱圓柱OO′圓錐將直角三角形繞著它的一直角邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，形成的空間圖形叫作圓錐圓錐SO圓臺將直角梯形繞著它垂直于底邊的腰所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，形成的空間圖形叫作圓臺圓臺OO′球半圓繞著它的直徑所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫作球面，球面圍成的空間圖形叫作球體，簡稱球球O5．旋轉(zhuǎn)體一般地，一條平面曲線繞它所在平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面叫作旋轉(zhuǎn)面，封閉的旋轉(zhuǎn)面圍成的空間圖形稱為旋轉(zhuǎn)體．圓柱、圓錐、圓臺和球都是特殊的旋轉(zhuǎn)體．6．用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖的步驟(1)建系：在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸交于O點．畫直觀圖時把它們畫成對應(yīng)的x′軸與y′軸，兩軸交于點O′，并使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它們確定的平面表示水平面．(2)平行不變：已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x′軸或y′軸的線段．(3)長度規(guī)則：已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段，長度為原來的一半．7．空間幾何體直觀圖的畫法(1)與平面圖形的直觀圖畫法相比多了一個z軸，直觀圖中與之對應(yīng)的是z′軸．(2)直觀圖中平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示豎直平面．(3)已知圖形中平行于z軸(或在z軸上)的線段，在其直觀圖中平行性和長度都不變．(4)成圖后，去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線．8．平面(1)平面的概念平面是從現(xiàn)實世界中抽象出來的幾何概念．平面通常用平行四邊形來表示，當(dāng)平面水平放置的時候，一般用水平放置的正方形的直觀圖作為平面的直觀圖．(2)平面的表示法平面通常用希臘字母α，β，γ，…表示，也可以用平行四邊形的兩個相對頂點的字母表示；如圖的平面可表示為平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD.9．幾何里的平面的特點(1)平面和點、直線一樣，是只描述而不加定義的原始概念，不能進(jìn)行度量．(2)平面無厚薄、無大小，是無限延展的．10．點、線、面之間的關(guān)系位置關(guān)系符號表示點P在直線AB上P∈AB點C不在直線AB上Ceq\o(∈,\s\up0(/))AB點M在平面AC內(nèi)M∈平面AC點A1不在平面AC內(nèi)A1eq\o(∈,\s\up0(/))平面AC直線AB與直線BC交于點BAB∩BC＝B直線AB在平面AC內(nèi)AB?平面AC直線AA1不在平面AC內(nèi)AA1?平面AC11．平面的基本事實基本事實文字語言圖形語言符號語言作用基本事實1過不在一條直線上的三個點，有且只有一個平面平面ABC①確定平面的依據(jù)②判定點線共面基本事實2如果一條直線上的兩個點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(A∈α,B∈α))?AB?α①確定直線在平面內(nèi)的依據(jù)②判定點在平面內(nèi)基本事實3如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線P∈α且P∈β?α∩β＝l，且P∈l①判定兩平面相交的依據(jù)②判定點在直線上基本事實1：確定平面的依據(jù)；基本事實2：判定直線在平面內(nèi)的依據(jù)；基本事實3：判定兩個平面相交的依據(jù)．12．基本事實的推論推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點，有且只有一個平面．圖形語言表述：如圖所示．推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面．圖形語言表述：如圖所示．推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面．圖形語言表述：如圖所示．13．空間直線的位置關(guān)系(1)異面直線定義：把不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線叫作異面直線．(2)空間兩條直線的位置關(guān)系位置關(guān)系共面情況公共點個數(shù)相交直線在同一平面內(nèi)有且只有一個平行直線在同一平面內(nèi)沒有異面直線不同在任何一個平面內(nèi)沒有14．平行直線(1)基本事實4文字表述：平行于同一條直線的兩條直線平行．這一性質(zhì)叫作空間平行線的傳遞性．符號表示：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥b,b∥c))?a∥c．(2)“等角”定理如果空間中一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個角相等．15．異面直線所成的角(1)定理：過平面內(nèi)一點與平面外一點的直線，和這個平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異面直線．(2)異面直線所成的角定義：a與b是異面直線，經(jīng)過空間任意一點O，作直線a′∥a，b′∥b，我們把直線a′和b′所成的銳角(或直角)叫作異面直線a，b所成的角(或夾角).范圍：設(shè)θ為異面直線a與b所成的角，則0°<θ≤90°.特別地，當(dāng)θ＝90°時，a與b互相垂直，記作a⊥b.異面直線所成角的范圍是0°<θ≤90°，所以垂直有兩種情況：異面垂直和相交垂直．16．直線與平面平行的判定定理文字語言如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行符號語言a?α，b?α，且a∥b?a∥α圖形語言17．直線與平面平行的性質(zhì)定理文字語言一條直線與一個平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行符號語言a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b圖形語言(1)線面平行的性質(zhì)定理成立的條件有三個①直線a與平面α平行，即a∥α；②平面α，β相交于一條直線，即α∩β＝b；③直線a在平面β內(nèi)，即a?β.以上三個條件缺一不可．(2)定理的作用①線面平行?線線平行；②畫一條直線與已知直線平行．(3)定理揭示了直線與平面平行中蘊(yùn)含著直線與直線平行，即通過直線與平面平行可得到直線與直線平行，這給出了一種作平行線的方法，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化與化歸的思想．18．直線與平面垂直定義如果直線a與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，那么稱直線a與平面α垂直記法a⊥α有關(guān)概念直線a叫作平面α的垂線，平面α叫作直線a的垂面，垂線和平面的交點稱為垂足圖示及畫法畫直線與平面垂直時，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直(1)直線與平面垂直是直線與平面相交的特殊情形．(2)注意定義中“任意一條直線”與“所有直線”等同但不可說成“無數(shù)條直線”．19．直線與平面垂直的判定定理文字語言如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直圖形語言符號語言a⊥m，a⊥n，m?α，n?α，m∩n＝A?a⊥α20．直線與平面垂直的性質(zhì)定理文字語言垂直于同一個平面的兩條直線平行符號語言eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b圖形語言作用①線面垂直?線線平行②作平行線21．從平面外一點引平面的垂線，這個點和垂足間的距離，叫作這個點到這個平面的距離．一條直線和一個平面平行，這條直線上任意一點到這個平面的距離，叫作這條直線和這個平面的距離．22．直線與平面所成的角(1)定義：一條直線和一個平面相交，但不和這個平面垂直，這條直線叫作這個平面的斜線，斜線與平面的交點叫作斜足，斜線上一點與斜足間的線段叫作這個點到平面的斜線段．如圖所示，過平面外一點P向平面α引斜線和垂線，那么過斜足Q和垂足P1的直線就是斜線在平面內(nèi)的射影．平面的一條斜線與它在這個平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫作這條直線與這個平面所成的角．(2)規(guī)定：如果一條直線垂直于平面，那么稱它們所成的角是直角；如果一條直線與平面平行或在平面內(nèi)，那么稱它們所成的角是0°角．(3)范圍：直線與平面所成角θ的范圍是0°≤θ≤90°.23．兩個平面的位置關(guān)系位置關(guān)系兩平面平行兩平面相交公共點沒有公共點有一條公共直線符號表示α∥βα∩β＝l圖形表示24.兩個平面平行的判定定理文字語言如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行符號語言a?α，b?α，a∩b＝A且a∥β，b∥β?α∥β圖形語言(1)平面與平面平行的判定定理中的平行于一個平面內(nèi)的“兩條相交直線”是必不可少的．(2)面面平行的判定定理充分體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化思想，即把面面平行轉(zhuǎn)化為線面平行．25．兩個平面平行的性質(zhì)定理文字語言兩個平面平行，如果另一個平面與這兩個平面相交，那么兩條交線平行符號語言α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b圖形語言26．公垂線、公垂線段與兩個平行平面都垂直的直線，叫作這兩個平行平面的公垂線，它夾在這兩個平行平面間的線段，叫作這兩個平行平面的公垂線段；我們把公垂線段的長度叫作兩個平行平面間的距離．27．二面角(1)定義：一般地，一條直線和由這條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫作二面角，這條直線叫作二面角的棱，每個半平面叫作二面角的面．(2)圖形和記法圖形：記作：二面角α-AB-β．28．二面角的平面角(1)定義：一般地，以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面內(nèi)分別作垂直于棱的射線，這兩條射線所成的角叫作二面角的平面角．(2)圖形、符號及范圍圖形：符號：OA⊥l，OB⊥l?∠AOB是二面角α-l-β的平面角．范圍：0°≤∠AOB≤180°．平面角是直角的二面角叫作直二面角．29．平面與平面垂直(1)定義：一般地，如果兩個平面所成的二面角是直二面角，那么就說這兩個平面互相垂直．(2)平面與平面垂直的判定定理文字語言圖形語言符號語言如果一個平面過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥β,l?α))?α⊥β30.平面與平面垂直的性質(zhì)定理文字語言兩個平面垂直，如果一個平面內(nèi)有一條直線垂直于這兩個平面的交線，那么這條直線與另一個平面垂直符號語言eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,α∩β＝l,a?α,a⊥l))?a⊥β圖形語言作用①面面垂直?線面垂直②作面的垂線31．直棱柱、正棱錐和正棱臺的側(cè)面積(1)有關(guān)概念：側(cè)棱和底面垂直的棱柱叫作直棱柱．特別地，底面為正多邊形的直棱柱叫作正棱柱．直棱柱的側(cè)棱長就是直棱柱的高．如果一個棱錐的底面是正多邊形，并且頂點在底面的射影是底面中心，那么稱這樣的棱錐為正棱錐．正棱錐的側(cè)棱長都相等，側(cè)面均為全等的等腰三角形．正棱錐被平行于底面的平面所截，截面和底面之間的部分叫作正棱臺．正棱臺的側(cè)棱長都相等，側(cè)面均為全等的等腰梯形．(2)公式：S直棱柱側(cè)＝ch(c為直棱柱的底面周長，h為直棱柱的高)S正棱錐側(cè)＝eq\f(1,2)ch′(c為正棱錐的底面周長，h′為斜高)S正棱臺側(cè)＝eq\f(1,2)(c＋c′)h′(c，c′分別為正棱臺的上下底面周長，h′為斜高)32．直棱柱、正棱錐、正棱臺的側(cè)面積之間的關(guān)系33．圓柱、圓錐和圓臺的側(cè)面積名稱圖形公式圓柱側(cè)面積：S側(cè)＝cl＝2πrl圓錐側(cè)面積：S側(cè)＝eq\f(1,2)cl＝πrl圓臺側(cè)面積：S側(cè)＝eq\f(1,2)(c＋c′)l＝πl(wèi)(r＋r′)34.圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面積公式之間的關(guān)系35．體積公式(1)柱體：柱體的底面面積為S，高為h，則V＝Sh．(2)錐體：錐體的底面面積為S，高為h，則V＝eq\f(1,3)Sh．(3)臺體：臺體的上、下底面面積分別為S′、S，高為h，則V＝eq\f(1,3)(S′＋eq\r(SS′)＋S)h．36.柱體、錐體、臺體的體積公式之間的關(guān)系V柱體＝Sheq\o(→,\s\up7(S′＝S))V臺體＝eq\f(1,3)(S′＋eq\r(S′S)＋S)heq\o(→,\s\up7(S′＝0))V錐體＝eq\f(1,3)Sh.37．球的表面積和體積公式設(shè)球的半徑為R，則球的表面積S＝4πR2；球的體積V＝eq\f(4,3)πR3．對球的體積和表面積的幾點認(rèn)識(1)從公式看，球的表面積和體積的大小，只與球的半徑相關(guān)，給定R都有唯一確定的S和V與之對應(yīng)，故表面積和體積是關(guān)于R的函數(shù)．(2)由于球的表面不能展開成平面，所以球的表面積公式的推導(dǎo)與前面所學(xué)的多面體與旋轉(zhuǎn)體的表面積公式的推導(dǎo)方法是不一樣的．(3)球的表面積恰好是球的大圓(過球心的平面截球面所得的圓)面積的4倍．題型一棱柱的結(jié)構(gòu)特征【例1】(1)下列命題中正確的是()A．有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱B．棱柱中互相平行的兩個面叫棱柱的底面C．棱柱的側(cè)面都是平行四邊形，而底面不是平行四邊形D．棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面是平行四邊形(2)下列關(guān)于棱柱的說法：①所有的面都是平行四邊形；②每一個面都不會是三角形；③兩底面平行，并且各側(cè)棱也平行；④被平面截成的兩部分可以都是棱柱．其中正確的序號是__________．【解析】(1)由棱柱的定義可知，選D．(2)①錯誤，棱柱的底面不一定是平行四邊形；②錯誤，棱柱的底面可以是三角形；③正確，由棱柱的定義易知正確；④正確，棱柱可以被平行于底面的平面截成兩個棱柱，所以正確說法的序號是③④.【答案】(1)D(2)③④思維升華棱柱結(jié)構(gòu)特征的辨析技巧(1)扣定義：判定一個幾何體是否是棱柱的關(guān)鍵是棱柱的定義．①看“面”，即觀察這個多面體是否有兩個互相平行的面，其余各面都是平行四邊形；②看“線”，即觀察每相鄰兩個四邊形的公共邊是否平行．(2)舉反例：通過舉反例，如與常見幾何體或?qū)嵨锬Ｐ?、圖片等不吻合，給予排除．鞏固訓(xùn)練1.如圖所示的三棱柱ABC-A1B1C1，其中E，F(xiàn)，G，H是三棱柱對應(yīng)邊上的中點，過此四點作截面EFGH，把三棱柱分成兩部分，各部分形成的幾何體是棱柱嗎？如果是，是幾棱柱，并用符號表示；如果不是，請說明理由．【解析】截面以上的幾何體是三棱柱AEF-A1HG，截面以下的幾何體是四棱柱BEFC-B1HGC1.題型二棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征【例2】下列關(guān)于棱錐、棱臺的說法：①用一個平面去截棱錐，底面和截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺；②棱臺的側(cè)面一定不會是平行四邊形；③棱錐的側(cè)面只能是三角形；④由四個面圍成的封閉圖形只能是三棱錐；⑤棱錐被平面截成的兩部分不可能都是棱錐．其中正確的序號是________．【解析】①錯誤，若平面不與棱錐底面平行，用這個平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分不是棱臺．②正確，棱臺的側(cè)面一定是梯形，而不是平行四邊形．③正確，由棱錐的定義知棱錐的側(cè)面只能是三角形．④正確，由四個面圍成的封閉圖形只能是三棱錐．⑤錯誤，如圖所示四棱錐被平面截成的兩部分都是棱錐．所以正確說法的序號為②③④.【答案】②③④思維升華判斷棱錐、棱臺形狀的兩個方法(1)舉反例法結(jié)合棱錐、棱臺的定義舉反例直接判斷關(guān)于棱錐、棱臺結(jié)構(gòu)特征的某些說法不正確．(2)直接法棱錐棱臺定底面只有一個面是多邊形，此面即為底面兩個互相平行的面，即為底面看側(cè)棱相交于一點延長后相交于一點鞏固訓(xùn)練1．如圖，在三棱臺A′B′C′-ABC中，截去三棱錐A′-ABC，則剩余部分是()A．三棱錐 B．四棱錐C．三棱柱 D．三棱臺【解析】選B．由題意知，在三棱臺A′B′C′-ABC中，截去三棱錐A′-ABC，剩下的部分如圖所示，故剩余部分是四棱錐A′-BB′C′C.故選B．2．(多選)下列說法中，正確的是()A．棱錐的各個側(cè)面都是三角形B．有一個面是多邊形，其余各面都是三角形，由這些面圍成的幾何體是棱錐C．四面體的任何一個面都可以作為棱錐的底面D．棱錐的各側(cè)棱長相等【解析】選AC．由棱錐的定義知，棱錐的各側(cè)面都是三角形，故A正確；有一個面是多邊形，其余各面都是三角形，如果這些三角形沒有一個公共頂點，那么這個幾何體就不是棱錐，故B錯；四面體就是由4個三角形所圍成的封閉幾何體，因此以四面體的任何一個面作底面的幾何體都是三棱錐，故C正確；棱錐的側(cè)棱長可以相等，也可以不相等，故D錯．題型三旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征【例3】(多選)下列說法正確的是()A．圓柱的底面是圓面B．經(jīng)過圓柱任意兩條母線的截面是一個矩形面C．圓臺的任意兩條母線的延長線可能相交，也可能不相交D．夾在圓柱的兩個截面間的幾何體還是一個旋轉(zhuǎn)體【解析】A正確，圓柱的底面是圓面；B正確，如圖所示，經(jīng)過圓柱任意兩條母線的截面是一個矩形面；C不正確，圓臺的母線延長相交于一點；D不正確，圓柱夾在兩個平行于底面的截面間的幾何體才是旋轉(zhuǎn)體．【答案】AB思維升華(1)判斷簡單旋轉(zhuǎn)體結(jié)構(gòu)特征的方法①明確由哪個平面圖形旋轉(zhuǎn)而成；②明確旋轉(zhuǎn)軸是哪條直線．(2)簡單旋轉(zhuǎn)體的軸截面及其應(yīng)用①簡單旋轉(zhuǎn)體的軸截面中有底面半徑、母線、高等體現(xiàn)簡單旋轉(zhuǎn)體結(jié)構(gòu)特征的關(guān)鍵量；②在軸截面中解決簡單旋轉(zhuǎn)體問題體現(xiàn)了化空間圖形為平面圖形的轉(zhuǎn)化思想．鞏固訓(xùn)練1.給出以下說法：①球的半徑是球面上任意一點與球心所連線段的長；②球的直徑是球面上任意兩點間所連線段的長；③用一個平面截一個球，得到的截面可以是一個正方形；④過圓柱軸的平面截圓柱所得截面形狀是矩形．其中正確的序號是________．【解析】根據(jù)球的定義知，①正確；②不正確，因為球的直徑必過球心；③不正確，因為球的任何截面都是圓面；④正確．【答案】①④題型四簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征【例4】如圖所示的幾何體是由下面哪一個平面圖形旋轉(zhuǎn)而形成的()【解析】該幾何體自上而下由圓錐、圓臺、圓臺、圓柱組合而成，故應(yīng)選A．【答案】A思維升華不規(guī)則平面圖形旋轉(zhuǎn)形成幾何體的結(jié)構(gòu)特征的分析策略(1)分割：首先要對原平面圖形適當(dāng)分割，一般分割成矩形、梯形、三角形或圓(半圓或四分之一圓)等基本圖形．(2)定形：然后結(jié)合圓柱、圓錐、圓臺、球的形成過程進(jìn)行分析．鞏固訓(xùn)練1.若將如圖所示的平面圖形旋轉(zhuǎn)一周，試說出它形成的幾何體的結(jié)構(gòu)特征．【解析】①是直角三角形，旋轉(zhuǎn)后形成圓錐；②是直角梯形，旋轉(zhuǎn)后形成圓臺；③是矩形，旋轉(zhuǎn)后形成圓柱，所以旋轉(zhuǎn)后形成的幾何體如圖所示．通過觀察可知，該幾何體是由一個圓錐、一個圓臺和一個圓柱自上而下拼接而成的．2.已知AB是直角梯形ABCD中與底邊垂直的腰，如圖所示，分別以AB，BC，CD，DA所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)，試說明所得幾何體的結(jié)構(gòu)特征．【解析】(1)以AB邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體是圓臺，如圖①所示．(2)以BC邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體是一個組合體：下部為圓柱，上部為圓錐，如圖②所示．(3)以CD邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體為一個組合體：上部為圓錐，下部為圓臺，再挖去一個小圓錐，如圖③所示．(4)以AD邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體是一個組合體：一個圓柱上部挖去一個圓錐，如圖④所示．題型五旋轉(zhuǎn)體中的計算問題【例5】如圖所示，用一個平行于圓錐SO底面的平面截這個圓錐，截得圓臺上、下底面的面積之比為1∶16，截去的圓錐的母線長是3cm，求圓臺O′O的母線長．【解析】設(shè)圓臺的母線長為lcm，由截得的圓臺上、下底面面積之比為1∶16，可設(shè)截得的圓臺的上、下底面的半徑分別為rcm，4rcm.過軸SO作截面，如圖所示，則△SO′A′∽△SOA，SA′＝3cm.所以eq\f(SA′,SA)＝eq\f(O′A′,OA)，所以eq\f(3,3＋l)＝eq\f(r,4r)＝eq\f(1,4).解得l＝9，即圓臺O′O的母線長為9cm.思維升華解決旋轉(zhuǎn)體中計算問題的解法用平行于底面的平面去截柱、錐、臺等幾何體，注意抓住截面的性質(zhì)(與底面全等或相似)，同時結(jié)合旋轉(zhuǎn)體中的軸截面(經(jīng)過旋轉(zhuǎn)軸的截面)的幾何性質(zhì)，利用相似三角形中的相似比，列出相關(guān)幾何變量的方程(組)而解得．[注意]在研究與截面有關(guān)的問題時，要注意截面與物體的相對位置的變化．由于相對位置的改變，截面的形狀也會隨之發(fā)生變化．鞏固訓(xùn)練1．已知一個圓臺的上、下底面半徑分別是1cm，2cm，截得圓臺的圓錐的母線長為12cm，則圓臺的母線長為________．【解析】如圖是圓臺的軸截面，由題意知AO＝2cm，A′O′＝1cm，SA＝12cm.由eq\f(A′O′,AO)＝eq\f(SA′,SA)，得SA′＝eq\f(A′O′,AO)·SA＝eq\f(1,2)×12＝6(cm).所以AA′＝SA－SA′＝12－6＝6(cm).所以圓臺的母線長為6cm.【答案】6cm2．某地球儀上北緯30°緯線圈的長度為12πcm，如圖所示，則該地球儀的半徑是__________cm.【解析】如圖所示，由題意知，北緯30°所在小圓的周長為12πcm，則該小圓的半徑r＝6cm，其中∠ABO＝30°，所以該地球儀的半徑R＝eq\f(6,cos30°)＝4eq\r(3)(cm).【答案】4eq\r(3)題型六畫水平放置的平面圖形的直觀圖【例6】畫水平放置的直角梯形(如圖所示)的直觀圖．【解析】(1)在已知的直角梯形OBCD中，以底邊OB所在直線為x軸，垂直于OB的腰OD所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系．如圖①所示．(2)畫相應(yīng)的x′軸和y′軸，使∠x′O′y′＝45°，在x′軸上截取O′B′＝OB，在y′軸上截取O′D′＝eq\f(1,2)OD，過點D′作x′軸的平行線l，在l上沿x′軸正方向取點C′使得D′C′＝DC.連接B′C′，如圖②.(3)所得四邊形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直觀圖．如圖③.思維升華畫水平放置的平面圖形的直觀圖的關(guān)鍵及注意事項(1)在畫水平放置的平面圖形的直觀圖時，選取適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系是關(guān)鍵，一般要使平面多邊形盡可能多的頂點在坐標(biāo)軸上或邊與坐標(biāo)軸平行，以便于畫圖．(2)畫圖時要注意原圖和直觀圖中線段的長度關(guān)系是否發(fā)生變化．鞏固訓(xùn)練1.如圖所示，在△ABC中，BC＝8cm，BC邊上的高AD＝6cm，試用斜二測畫法畫出其直觀圖．【解析】(1)在三角形ABC中建立如圖①所示的平面直角坐標(biāo)系xOy，再建立如圖②所示的坐標(biāo)系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.(2)在坐標(biāo)系x′O′y′中，在x′軸上截取O′B′＝OB，O′C′＝OC；在y′軸上截取O′A′，使O′A′＝eq\f(1,2)OA.(3)連接A′B′，C′A′，擦去輔助線，得到△A′B′C′，即為△ABC的直觀圖(如圖③所示).題型七畫簡單幾何體的直觀圖【例7】已知一個正四棱臺的上底面邊長為2，下底面邊長為6，高為4，用斜二測畫法畫出此正四棱臺的直觀圖．【解析】(1)畫軸．如圖①，畫x軸、y軸、z軸，三軸相交于點O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.(2)畫下底面．以O(shè)為中點，在x軸上取線段EF，使得EF＝6，在y軸上取線段GH，使得GH＝3，再過G，H分別作ABeq\o(\s\up11(∥),\s\do4(＝))EF，CDeq\o(\s\up11(∥),\s\do4(＝))EF，且使得AB的中點為G，CD的中點為H，連接AD，BC，這樣就得到了正四棱臺的下底面ABCD的直觀圖．(3)畫上底面．在z軸上截取線段OO1＝4，過O1作O1x′∥Ox，O1y′∥Oy，使∠x′O1y′＝45°，建立坐標(biāo)系x′O1y′，在x′O1y′中仿照(2)的步驟畫出上底面A1B1C1D1的直觀圖．(4)連接AA1，BB1，CC1，DD1，擦去輔助線，得到的圖形就是所求的正四棱臺的直觀圖(如圖②).思維升華畫空間圖形的直觀圖的原則(1)用斜二測畫法畫空間圖形的直觀圖時，圖形中平行于x軸、y軸、z軸的線段在直觀圖中應(yīng)分別畫成平行于x′軸、y′軸、z′軸的線段．(2)平行于x軸、z軸的線段在直觀圖中長度保持不變，平行于y軸的線段長度變?yōu)樵瓉淼膃q\f(1,2).鞏固訓(xùn)練1.已知一棱柱的底面是邊長為3cm的正方形，各側(cè)面都是矩形，且側(cè)棱長為4cm，試用斜二測畫法畫出此棱柱的直觀圖．【解析】(1)畫軸．畫出x軸、y軸、z軸，三軸相交于點O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.(2)畫底面．以點O為中點，在x軸上畫MN＝3cm，在y軸上畫PQ＝eq\f(3,2)cm，分別過點M，N作y軸的平行線，過點P，Q作x軸的平行線，設(shè)它們的交點分別為A，B，C，D，則四邊形ABCD就是該棱柱的底面．(3)畫側(cè)棱．過點A，B，C，D分別作z軸的平行線，并在這些平行線上分別截取4cm長的線段AA′，BB′，CC′，DD′，如圖①所示．(4)成圖．連接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，并加以整理(去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線)，就得到該棱柱的直觀圖，如圖②所示．題型八直觀圖的還原與計算【例8】如圖所示，梯形A1B1C1D1是一平面圖形ABCD的直觀圖．若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝eq\f(2,3)C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1.試畫出原四邊形，并求原圖形的面積．【解析】如圖，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，在x軸上截取OD＝O′D1＝1，OC＝O′C1＝2.在過點D與y軸平行的直線上截取DA＝2D1A1＝2.在過點A與x軸平行的直線上截取AB＝A1B1＝2.連接BC，便得到了原圖形(如圖).由圖可知，原四邊形ABCD是直角梯形，上、下底邊長度分別為AB＝2，CD＝3，直角腰長度為AD＝2.所以原圖形面積為S＝eq\f(2＋3,2)×2＝5.思維升華(1)直觀圖的還原技巧由直觀圖還原為平面圖的關(guān)鍵是找與x′軸、y′軸平行的直線或線段，且平行于x′軸的線段還原時長度不變，平行于y′軸的線段還原時放大為直觀圖中相應(yīng)線段長的2倍，由此確定圖形的各個頂點，順次連接即可．(2)直觀圖與原圖形面積之間的關(guān)系若一個平面多邊形的面積為S，其直觀圖的面積為S′，則有S′＝eq\f(\r(2),4)S或S＝2eq\r(2)S′.利用這一公式可由原圖形面積求其直觀圖面積或由直觀圖面積求原圖形面積．鞏固訓(xùn)練1.已知正三角形ABC的邊長為a，那么△ABC的直觀圖△A′B′C′的面積為()A．eq\f(\r(3),4)a2 B．eq\f(\r(3),8)a2C．eq\f(\r(6),8)a2 D．eq\f(\r(6),16)a2【解析】選D．如圖①②所示，分別為正三角形ABC的實際圖形和直觀圖．由②可知，B′C′＝BC＝a，O′A′＝eq\f(1,2)OA＝eq\f(\r(3),4)a，在圖②中作A′D′⊥B′C′于點D′，則A′D′＝eq\f(\r(2),2)O′A′＝eq\f(\r(6),8)a.所以S△A′B′C′＝eq\f(1,2)B′C′·A′D′＝eq\f(1,2)×a×eq\f(\r(6),8)a＝eq\f(\r(6),16)a2.題型九圖形、文字、符號語言的相互轉(zhuǎn)化【例9】(1)用符號語言表示下面的語句，并畫出圖形．平面ABD與平面BDC交于BD，平面ABC與平面ADC交于AC.(2)將下面用符號語言表示的關(guān)系用文字語言予以敘述，并用圖形語言予以表示．α∩β＝l，A∈l，AB?α，AC?β.【解析】(1)符號語言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC.用圖形表示如圖①所示．(2)文字語言敘述為：點A在平面α與平面β的交線l上，直線AB，AC分別在平面α，β內(nèi)，圖形語言表示如圖②所示．思維升華三種語言的轉(zhuǎn)換方法(1)用文字語言、符號語言表示一個圖形時，首先仔細(xì)觀察圖形有幾個平面、幾條直線且相互之間的位置關(guān)系如何，試著用文字語言敘述，再用符號語言表示．(2)根據(jù)符號語言或文字語言畫相應(yīng)的圖形時，要注意實線和虛線的區(qū)別．鞏固訓(xùn)練1.根據(jù)圖形用符號表示下列點、直線、平面之間的關(guān)系．(1)點P與直線AB；(2)點C與直線AB；(3)點M與平面AC；(4)點A1與平面AC；(5)直線AB與直線BC；(6)直線AB與平面AC；(7)平面A1B與平面AC.【解析】(1)點P∈直線AB.(2)點Ceq\o(∈,\s\up0(/))直線AB.(3)點M∈平面AC.(4)點A1eq\o(∈,\s\up0(/))平面AC.(5)直線AB∩直線BC＝點B.(6)直線AB?平面AC.(7)平面A1B∩平面AC＝直線AB.題型十點、線共面問題【例10】證明兩兩相交且不共點的三條直線在同一平面內(nèi)．【解析】已知：如圖所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求證：直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)．證明：方法一：(納入平面法)因為l1∩l2＝A，所以l1和l2確定一個平面α.因為l2∩l3＝B，所以B∈l2.又因為l2?α，所以B∈α.同理可證C∈α.又因為B∈l3，C∈l3，所以l3?α.所以直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)．方法二：(輔助平面法)因為l1∩l2＝A，所以l1，l2確定一個平面α.因為l2∩l3＝B，所以l2，l3確定一個平面β.因為A∈l2，l2?α，所以A∈α.因為A∈l2，l2?β，所以A∈β.同理可證B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.所以不共線的三個點A，B，C既在平面α內(nèi)，又在平面β內(nèi)．所以平面α和β重合，即直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)．思維升華證明點、線共面的常用方法(1)納入平面法：先確定一個平面，再證明有關(guān)點、線在此平面內(nèi)．(2)輔助平面法：先證明有關(guān)的點、線確定平面α，再證明其余元素確定平面β，最后證明平面α，β重合．鞏固訓(xùn)練1.如圖，已知a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求證：直線a，b，c，l共面．證明：因為a∥b，所以a和b確定一個平面α，因為l∩a＝A，l∩b＝B，所以A∈α，B∈α.故l?α.又a∥c，所以a和c確定一個平面β.同理l?β.即l和a既在平面α內(nèi)又在平面β內(nèi)，且l與a相交，故平面α，β重合，即直線a，b，c，l共面．題型十一三點共線、三線共點問題【例11】如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為AB，AA1的中點．求證：CE，D1F，DA三線交于一點．【證明】連接EF，D1C，A1B，因為E為AB的中點，F(xiàn)為AA1的中點，所以EFeq\o(\s\up11(∥),\s\do4(＝))eq\f(1,2)A1B.又因為A1Beq\o(\s\up11(∥),\s\do4(＝))D1C，所以EFeq\o(\s\up11(∥),\s\do4(＝))eq\f(1,2)D1C，所以E，F(xiàn)，D1，C四點共面，可設(shè)D1F∩CE＝P.又D1F?平面A1D1DA，CE?平面ABCD，所以點P為平面A1D1DA與平面ABCD的公共點．又因為平面A1D1DA∩平面ABCD＝DA，所以根據(jù)基本事實3可得P∈DA，即CE，D1F，DA三線交于一點．思維升華鞏固訓(xùn)練1．如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為AB，AA1上的點且D1F∩CE＝M．求證：點D，A，M三點共線．證明：因為D1F∩CE＝M，且D1F?平面A1D1DA，所以M∈平面A1D1DA，同理M∈平面BCDA，從而M在兩個平面的交線上，因為平面A1D1DA∩平面BCDA＝AD，所以M∈AD成立．所以點D，A，M三點共線．2．如圖，已知平面α，β，且α∩β＝l，設(shè)在梯形ABCD中，AD∥BC，且AB?α，CD?β.求證：AB，CD，l共點．證明：因為在梯形ABCD中，AD∥BC，所以AB，CD是梯形ABCD的兩腰，所以AB，CD必定相交于一點，如圖，設(shè)AB∩CD＝M.又因為AB?α，CD?β，所以M∈α且M∈β，又因為α∩β＝l，所以M∈l.即AB，CD，l共點．3．如圖，在四邊形ABCD中，已知AB∥CD，直線AB，BC，AD，DC分別與平面α相交于點E，G，H，F(xiàn).求證：E，F(xiàn)，G，H四點必定共線．證明：因為AB∥CD，所以AB，CD確定一個平面β(即平面ABCD)，又因為AB∩α＝E，AB?β，所以E∈α，E∈β，即E為平面α與β的一個公共點．同理可證F，G，H均為平面α與β的公共點，兩個平面有公共點，它們有且只有一條通過公共點的公共直線，所以E，F(xiàn)，G，H四點必定共線．題型十二空間兩直線位置關(guān)系的判定【例12】如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，判斷下列直線的位置關(guān)系：(1)直線A1B與直線D1C的位置關(guān)系是________；(2)直線A1B與直線B1C的位置關(guān)系是________；(3)直線D1D與直線D1C的位置關(guān)系是________；(4)直線AB與直線B1C的位置關(guān)系是________．【解析】經(jīng)探究可知直線A1B與直線D1C在平面A1BCD1中，且沒有交點，則兩直線平行，所以(1)應(yīng)該填“平行”；點A1、B、B1在平面A1BB1內(nèi)，而C不在平面A1BB1內(nèi)，則直線A1B與直線B1C異面．同理，直線AB與直線B1C異面．所以(2)(4)應(yīng)該填“異面”；直線D1D與直線D1C相交于D1點，所以(3)應(yīng)該填“相交”．【答案】(1)平行(2)異面(3)相交(4)異面思維升華(1)判定兩條直線平行或相交的方法判定兩條直線平行或相交可用平面幾何的方法去判斷，而兩條直線平行也可以用基本事實4判斷．(2)判定兩條直線是異面直線的方法①定義法：由定義判斷兩直線不可能在同一平面內(nèi)；②重要結(jié)論：連接平面內(nèi)一點與平面外一點的直線，和這個平面內(nèi)不經(jīng)過此點的直線是異面直線．用符號語言可表示為Aeq\o(∈,\s\up0(/))α，B∈α，l?α，Beq\o(∈,\s\up0(/))l?AB與l是異面直線(如圖).鞏固訓(xùn)練1．三棱錐A-BCD的6條棱所在直線成異面直線的有()A．3對 B．4對C．5對 D．6對【解析】選A．三棱錐A-BCD的六條棱所在直線中，成異面直線的有AB和CD，AD和BC，BD和AC，所以三棱錐A-BCD的六條棱所在直線成異面直線的有3對．故選A．2．若直線a∥b，b∩c＝A，則a與c的位置關(guān)系是()A．異面 B．相交C．平行 D．異面或相交【解析】選D．a(chǎn)與c不可能平行，若a∥c，又因為a∥b，所以b∥c，這與b∩c＝A矛盾，但a與c異面、相交都有可能．題型十三平行公理和等角定理的應(yīng)用【例13】如圖，已知E，F(xiàn)分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱AA1，CC1的中點，求證：四邊形EBFD1是菱形．【證明】如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，取棱BB1的中點G，連接C1G，EG.因為E，G分別為棱AA1，BB1的中點，所以EGeq\o(\s\up11(∥),\s\do4(＝))A1B1.又A1B1eq\o(\s\up11(∥),\s\do4(＝))C1D1，所以EGeq\o(\s\up11(∥),\s\do4(＝))C1D1.從而四邊形EGC1D1為平行四邊形，所以D1Eeq\o(\s\up11(∥),\s\do4(＝))C1G.因為F，G分別為棱CC1，BB1的中點，所以C1Feq\o(\s\up11(∥),\s\do4(＝))BG.從而四邊形BGC1F為平行四邊形，所以BFeq\o(\s\up11(∥),\s\do4(＝))C1G，又D1Eeq\o(\s\up11(∥),\s\do4(＝))C1G，所以D1Eeq\o(\s\up11(∥),\s\do4(＝))BF.從而四邊形EBFD1為平行四邊形．不妨設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a，易知BE＝BF＝eq\f(\r(5),2)a，故平行四邊形EBFD1是菱形．思維升華(1)證明兩直線平行的常用方法①利用平面幾何的結(jié)論，如平行四邊形的對邊，三角形的中位線與底邊；②定義法：即證明兩條直線在同一個平面內(nèi)且兩直線沒有公共點；③利用基本事實4：找到一條直線，使所證的直線都與這條直線平行．(2)證明兩角相等的方法①利用等角定理；②利用三角形全等或相似．[注意]在應(yīng)用等角定理時，應(yīng)注意說明這兩個角同為銳角、直角或鈍角．鞏固訓(xùn)練1.如圖，已知在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是棱CD，AD的中點．求證：(1)四邊形MNA1C1是梯形；(2)∠DNM＝∠D1A1C1.證明：(1)如圖，連接AC，因為在△ACD中，M，N分別是CD，AD的中點，所以MN是△ACD的中位線，所以MN∥AC，MN＝eq\f(1,2)AC.由正方體的性質(zhì)得：AC∥A1C1，AC＝A1C1.所以MN∥A1C1，且MN＝eq\f(1,2)A1C1，即MN≠A1C1，所以四邊形MNA1C1是梯形．(2)由(1)可知MN∥A1C1.又因為ND∥A1D1，所以∠DNM與∠D1A1C1相等或互補(bǔ)．而∠DNM與∠D1A1C1均為銳角，所以∠DNM＝∠D1A1C1.題型十四異面直線所成的角【例14】如圖，在正方體ABCD-EFGH中，O為側(cè)面ADHE的中心．求：(1)BE與CG所成的角；(2)FO與BD所成的角．【解析】(1)如圖，因為CG∥BF.所以∠EBF(或其補(bǔ)角)為異面直線BE與CG所成的角，又在△BEF中，∠EBF＝45°，所以BE與CG所成的角為45°.(2)連接FH，因為HD∥EA，EA∥FB，所以HD∥FB，又HD＝FB，所以四邊形HFBD為平行四邊形．所以HF∥BD，所以∠HFO(或其補(bǔ)角)為異面直線FO與BD所成的角．連接HA，AF，易得FH＝HA＝AF，所以△AFH為等邊三角形，又知O為AH的中點，所以∠HFO＝30°，即FO與BD所成的角為30°.思維升華求異面直線所成角的步驟(1)找出(或作出)適合題設(shè)的角——用平移法，若題設(shè)中有中點，?？紤]中位線；若異面直線依附于某幾何體，且對異面直線平移有困難時，可利用該幾何體的特殊點，使異面直線轉(zhuǎn)化為相交直線．(2)求——轉(zhuǎn)化為求一個三角形的內(nèi)角，通過解三角形，求出所找的角．(3)結(jié)論——設(shè)由(2)所求得的角的大小為θ.若0°＜θ≤90°，則θ為所求；若90°＜θ<180°，則180°－θ為所求．[提醒]求異面直線所成的角，通常把異面直線平移到同一個三角形中去，通過解三角形求得，但要注意異面直線所成的角θ的范圍是0°＜θ≤90°.鞏固訓(xùn)練1．如圖，在正方體ABCD-EFGH中，O為側(cè)面ADHE的中心，P是平面EFGH的中心，求OP和CD所成的角．【解析】連接EG，HF，則P為HF的中點，連接AF，AH，OP∥AF，又CD∥AB，所以∠BAF(或其補(bǔ)角)為異面直線OP與CD所成的角，由于△ABF是等腰直角三角形，所以∠BAF＝45°，故OP與CD所成的角為45°.2．如圖，在正方體ABCD-EFGH中，若M，N分別是BF，CG的中點，且AG和BN所成的角為39.2°，求AM和BN所成的角．【解析】連接MG，因為BCGF是正方形，所以BFeq\o(\s\up11(∥),\s\do4(＝))CG，因為M，N分別是BF，CG的中點，所以BMeq\o(\s\up11(∥),\s\do4(＝))NG，所以四邊形BNGM是平行四邊形，所以BN∥MG，所以∠AGM(或其補(bǔ)角)是AG和BN所成的角，∠AMG(或其補(bǔ)角)是AM和BN所成的角，因為AM＝MG，所以∠AGM＝∠MAG＝39.2°，所以∠AMG＝101.6°，所以AM和BN所成的角為78.4°.3.如圖所示，在三棱錐A-BCD中，AB＝CD，AB⊥CD，E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點，求EF與AB所成的角．【解析】如圖所示，取BD的中點G，連接EG，F(xiàn)G.因為E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點，AB＝CD，所以EG∥CD，GF∥AB，且EG＝eq\f(1,2)CD，GF＝eq\f(1,2)AB.所以∠GFE(或其補(bǔ)角)就是EF與AB所成的角，EG＝GF.因為AB⊥CD，所以EG⊥GF.所以∠EGF＝90°.所以△EFG為等腰直角三角形．所以∠GFE＝45°，即EF與AB所成的角為45°.題型十五直線與平面平行的判定【例15】如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是BC，CC1，BB1的中點，求證：EF∥平面AD1G.【證明】連接BC1，則由E，F(xiàn)分別是BC，CC1的中點，知EF∥BC1.又ABeq\o(\s\up11(∥),\s\do4(＝))A1B1eq\o(\s\up11(∥),\s\do4(＝))D1C1，所以四邊形ABC1D1是平行四邊形，所以BC1∥AD1，所以EF∥AD1.又EF?平面AD1G，AD1?平面AD1G，所以EF∥平面AD1G.思維升華應(yīng)用判定定理證明線面平行的步驟上面的第一步“找”是證題的關(guān)鍵，其常用方法有：(1)空間直線平行關(guān)系的傳遞性法；(2)三角形中位線法；(3)平行四邊形法；(4)成比例線段法．[提醒]線面平行判定定理應(yīng)用的誤區(qū)(1)條件羅列不全，最易忘記的條件是“直線在平面外”．(2)不能利用題目條件順利地找到兩平行直線．鞏固訓(xùn)練1．如圖，下列正三棱柱ABC-A1B1C1中，若M，N，P分別為其所在棱的中點，則不能得出AB∥平面MNP的是()【解析】選C．在圖A，B中，易知AB∥A1B1∥MN，MN?平面MNP，AB?平面MNP，所以AB∥平面MNP；在圖D中，易知AB∥PN，PN?平面MNP，AB?平面MNP，所以AB∥平面MNP.2．已知有公共邊AB的兩個全等的矩形ABCD和ABEF不同在一個平面內(nèi)，P，Q分別是對角線AE，BD上的點，且AP＝DQ.求證：PQ∥平面CBE.證明：如圖，作PM∥AB交BE于點M，作QN∥AB交BC于點N，連接MN，則PM∥QN，eq\f(PM,AB)＝eq\f(EP,EA)，eq\f(QN,CD)＝eq\f(BQ,BD).因為EA＝BD，AP＝DQ，所以EP＝BQ.又因為AB＝CD，所以PMeq\o(\s\up11(∥),\s\do4(＝))QN，所以四邊形PMNQ是平行四邊形，所以PQ∥MN.又因為PQ?平面CBE，MN?平面CBE，所以PQ∥平面CBE.題型十六線面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用【例16】如圖，P是平行四邊形ABCD所在平面外的一點，M是PC的中點，在DM上取一點G，過點G和AP作平面，交平面BDM于GH.求證：AP∥GH.【證明】如圖，連接AC，交BD于點O，連接MO.因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以點O是AC的中點．又因為點M是PC的中點，所以AP∥OM.又因為AP?平面BDM，OM?平面BDM，所以AP∥平面BDM.因為平面PAHG∩平面BDM＝GH，AP?平面PAHG，所以AP∥GH.思維升華鞏固訓(xùn)練如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD＝60°，Q為AD的中點，點M在側(cè)棱PC上且PM＝tPC.若PA∥平面MQB，試確定實數(shù)t的值．【解析】如圖，連接BD，AC，AC交BQ于點N，交BD于點O，連接MN，易知O為BD的中點．因為BQ，AO分別為正三角形ABD的邊AD，BD上的中線，所以N為正三角形ABD的中心．設(shè)菱形ABCD的邊長為a，則AN＝eq\f(\r(3),3)a，AC＝eq\r(3)a.因為PA∥平面MQB，PA?平面PAC，平面PAC∩平面MQB＝MN，所以PA∥MN.所以eq\f(PM,PC)＝eq\f(AN,AC)＝eq\f(\f(\r(3),3)a,\r(3)a)＝eq\f(1,3).即PM＝eq\f(1,3)PC，所以實數(shù)t的值為eq\f(1,3).題型十七直線與平面垂直的定義【例17】(1)直線l⊥平面α，直線m?α，則l與m不可能()A．平行 B．相交C．異面 D．垂直(2)如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)________，則能保證該直線與平面垂直，選擇合適的序號填空()①三角形的兩邊②梯形的兩邊③圓的兩條直徑④正六邊形的兩條邊A．①③ B．②C．②④ D．①②④【解析】(1)因為直線l⊥平面α，所以l與α相交．又因為m?α，所以l與m相交或異面．由直線與平面垂直的定義，可知l⊥m.故l與m不可能平行．(2)由線面垂直的判定定理知，直線垂直于①③所在的平面；對于②④圖形中的兩邊不一定是相交直線，所以該直線與它們所在的平面不一定垂直．【答案】(1)A(2)A思維升華對線面垂直定義的理解(1)直線和平面垂直的定義是描述性定義，對直線的任意性要注意理解．實際上，“任何一條”與“所有”表達(dá)相同的含義．當(dāng)直線與平面垂直時，該直線就垂直于這個平面內(nèi)的任何直線．由此可知，如果一條直線與一個平面內(nèi)的一條直線不垂直，那么這條直線就一定不與這個平面垂直．(2)由定義可得線面垂直?線線垂直，即若a⊥α，b?α，則a⊥b.鞏固訓(xùn)練1．設(shè)l，m是兩條不同的直線，α是一個平面，則下列命題正確的是()A．若l⊥m，m?α，則l⊥αB．若l⊥α，l∥m，則m⊥αC．若l∥α，m?α，則l∥mD．若l∥α，m∥α，則l∥m【解析】選B．對于A，直線l⊥m，m并不代表平面α內(nèi)任意一條直線，所以不能判定線面垂直；對于B，因為l⊥α，則l垂直于α內(nèi)任意一條直線，又l∥m，由異面直線所成角的定義知，m與平面α內(nèi)任意一條直線所成的角都是90°，即m⊥α，故B正確；對于C，也有可能是l，m異面；對于D，l，m還可能相交或異面．2．下列命題中，正確的序號是________．①若直線l與平面α內(nèi)的一條直線垂直，則l⊥α；②若直線l不垂直于平面α，則α內(nèi)沒有與l垂直的直線；③若直線l不垂直于平面α，則α內(nèi)也可以有無數(shù)條直線與l垂直；④若平面α內(nèi)有一條直線與直線l不垂直，則直線l與平面α不垂直．【解析】當(dāng)l與α內(nèi)的一條直線垂直時，不能保證l與平面α垂直，所以①不正確；當(dāng)l與α不垂直時，l可能與α內(nèi)的無數(shù)條平行直線垂直，所以②不正確，③正確；根據(jù)線面垂直的定義，若l⊥α，則l與α內(nèi)的所有直線都垂直，所以④正確．【答案】③④題型十八直線與平面垂直的判定【例18】如圖，在側(cè)棱垂直于底面的三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝a，A1A＝2a，D為棱B1B的中點．求證：A1D⊥平面ADC.【證明】由題意可知，A1A⊥平面ABC，又AC?平面ABC，所以A1A⊥AC.又∠BAC＝90°，所以AC⊥AB.又AB∩A1A＝A，所以AC⊥平面A1ABB1.因為A1D?平面A1ABB1，所以AC⊥A1D.因為D為B1B的中點，B1B＝2a，AB＝A1B1＝a，在△A1DA中，A1D＝eq\r(2)a，AD＝eq\r(2)a，A1A＝2a，所以A1D2＋AD2＝A1A2.所以∠A1DA＝90°，即A1D⊥AD.而AC∩AD＝A，故有A1D⊥平面ADC.思維升華(1)線線垂直和線面垂直的相互轉(zhuǎn)化(2)證明線面垂直的方法①線面垂直的定義．②線面垂直的判定定理．③如果兩條平行直線的一條直線垂直于一個平面，那么另一條直線也垂直于這個平面．④如果一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，那么它也垂直于另一個平面．[提醒]要證明兩條直線垂直(無論它們是異面還是共面)，通常是證明其中的一條直線垂直于另一條直線所在的一個平面．鞏固訓(xùn)練如圖，AB為⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，M為圓周上任意一點，AN⊥PM，N為垂足．(1)求證：AN⊥平面PBM；(2)若AQ⊥PB，垂足為Q，求證：NQ⊥PB.證明：(1)因為AB為⊙O的直徑，所以AM⊥BM.又PA⊥平面ABM，所以PA⊥BM.又因為PA∩AM＝A，所以BM⊥平面PAM.又AN?平面PAM，所以BM⊥AN.又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，所以AN⊥平面PBM.(2)由(1)知AN⊥平面PBM，PB?平面PBM，所以AN⊥PB.又因為AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，所以PB⊥平面ANQ.又NQ?平面ANQ，所以NQ⊥PB.題型十九線面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用【例19】如圖，已知正方體A1C.(1)求證：A1C⊥B1D1；(2)M，N分別為B1D1與C1D上的點，且MN⊥B1D1，MN⊥C1D，求證：MN∥A1C.【證明】(1)如圖，連接A1C1.因為CC1⊥平面A1B1C1D1，B1D1?平面A1B1C1D1，所以CC1⊥B1D1.因為四邊形A1B1C1D1是正方形，所以A1C1⊥B1D1.又因為CC1∩A1C1＝C1，所以B1D1⊥平面A1C1C.又因為A1C?平面A1C1C，所以B1D1⊥A1C.(2)如圖，連接B1A，AD1.因為B1C1eq\o(\s\up11(∥),\s\do4(＝))AD，所以四邊形ADC1B1為平行四邊形，所以C1D∥AB1，因為MN⊥C1D，所以MN⊥AB1.又因為MN⊥B1D1，AB1∩B1D1＝B1，所以MN⊥平面AB1D1.由(1)知A1C⊥B1D1.同理可得A1C⊥AB1.又因為AB1∩B1D1＝B1，所以A1C⊥平面AB1D1.所以A1C∥MN.思維升華(1)若已知一條直線和某個平面垂直，證明這條直線和另一條直線平行，可考慮利用線面垂直的性質(zhì)定理，證明另一條直線和這個平面垂直，證明時注意利用正方形、平行四邊形及三角形中位線的有關(guān)性質(zhì)．(2)直線與平面垂直的其他性質(zhì)①如果一條直線和一個平面垂直，則這條直線和這個平面內(nèi)任一條直線垂直；②若兩條平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面；③若l⊥α于A，AP⊥l，則AP?α；④垂直于同一條直線的兩個平面平行；⑤如果一條直線垂直于兩個平行平面中的一個，則它必垂直于另一個平面．鞏固訓(xùn)練在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為棱DD1的中點，底面對角線AC與BD相交于點O.(1)求證：BD1∥平面ACE；(2)求證：BD1⊥AC.證明：(1)連接OE，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，因為OB＝OD，E為棱DD1的中點，所以BD1∥OE，又因為OE?平面ACE，BD1?平面ACE，所以BD1∥平面ACE.(2)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，由AC⊥BD，DD1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以DD1⊥AC，又因為BD?平面BDD1，DD1?平面BDD1，BD∩DD1＝D，所以AC⊥平面BDD1，又由BD1?平面BDD1，所以BD1⊥AC.題型二十直線與平面所成的角【例20】如圖所示，已知AB為圓O的直徑，且AB＝4，點D為線段AB上一點，且AD＝eq\f(1,3)DB，點C為圓O上一點，且BC＝eq\r(3)AC.點P在圓O所在平面上的正投影為點D，PD＝DB.(1)求證：CD⊥平面PAB；(2)求直線PC與平面PAB所成的角．【解析】方法一：(1)證明：如圖，連接CO，由3AD＝DB知，點D為AO的中點．又因為AB為圓O的直徑，所以AC⊥CB.由eq\r(3)AC＝BC知，∠CAB＝60°，所以△ACO為等邊三角形，故CD⊥AO.因為點P在圓O所在平面上的正投影為點D，所以PD⊥平面ABC，又CD?平面ABC，所以PD⊥CD，由PD?平面PAB，AO?平面PAB，且PD∩AO＝D，得CD⊥平面PAB.(2)由(1)知∠CPD是直線PC與平面PAB所成的角，又△AOC是邊長為2的正三角形，所以CD＝eq\r(3).在Rt△PCD中，PD＝DB＝3，CD＝eq\r(3)，所以tan∠CPD＝eq\f(CD,PD)＝eq\f(\r(3),3)，∠CPD＝30°，即直線PC與平面PAB所成的角為30°.方法二：(1)證明：因為AB為圓O的直徑，所以AC⊥CB.在Rt△ABC中，由AB＝4，3AD＝DB，eq\r(3)AC＝BC得DB＝3，BC＝2eq\r(3)，所以eq\f(BD,BC)＝eq\f(BC,AB)＝eq\f(\r(3),2)，則△BDC∽△BCA，所以∠BCA＝∠BDC，即CD⊥AO.因為點P在圓O所在平面上的正投影為點D，所以PD⊥平面ABC.又CD?平面ABC，所以PD⊥CD.由PD?平面PAB，AO?平面PAB，且PD∩AO＝D，得CD⊥平面PAB.(2)由(1)知∠CPD是直線PC與平面PAB所成的角．在Rt△PCD中，PD＝BD＝3，CD＝eq\r(BC2－BD2)＝eq\r(3)，所以tan∠CPD＝eq\f(CD,PD)＝eq\f(\r(3),3)，∠CPD＝30°.即直線PC與平面PAB所成的角為30°.思維升華鞏固訓(xùn)練如圖所示，在Rt△BMC中，斜邊BM＝5，它在平面ABC上的射影AB的長為4，∠MBC＝60°，求直線MC與平面CAB所成的角的正弦值．【解析】由題意知，A是M在平面ABC內(nèi)的射影，所以MA⊥平面ABC，所以MC在平面CAB內(nèi)的射影為AC.所以∠MCA即為直線MC與平面CAB所成的角．又因為在Rt△MBC中，BM＝5，∠MBC＝60°，所以MC＝BMsin∠MBC＝5sin60°＝5×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(5\r(3),2).在Rt△MAB中，MA＝eq\r(MB2－AB2)＝eq\r(52－42)＝3.在Rt△MAC中，sin∠MCA＝eq\f(MA,MC)＝eq\f(3,\f(5\r(3),2))＝eq\f(2\r(3),5).即直線MC與平面CAB所成的角的正弦值為eq\f(2\r(3),5).題型二十一兩個平面平行的判定【例21】如圖所示，已知正方體ABCDA1B1C1D1.(1)求證：平面A1BD∥平面B1D1C；(2)若E，F(xiàn)分別是AA1，CC1的中點，求證：平面EB1D1∥平面FBD.【證明】(1)因為B1Beq\o(\s\up11(∥),\s\do4(＝))DD1，所以四邊形BB1D1D是平行四邊形，所以B1D1∥BD，又BD?平面B1D1C，B1D1?平面B1D1C，所以BD∥平面B1D1C.同理A1D∥平面B1D1C.又A1D∩BD＝D，所以平面A1BD∥平面B1D1C.(2)由BD∥B1D1，得BD∥平面EB1D1.取BB1的中點G，連接AG，GF，易得AE∥B1G，又因為AE＝B1G，所以四邊形AEB1G是平行四邊形，所以B1E∥AG.易得GF∥AD，又因為GF＝AD，所以四邊形ADFG是平行四邊形，所以AG∥DF，所以B1E∥DF，所以DF∥平面EB1D1.又因為BD∩DF＝D，所以平面EB1D1∥平面FBD.思維升華證明兩個平面平行的方法(1)要證明兩平面平行，只需在其中一個平面內(nèi)找到兩條相交直線平行于另一個平面即可．(2)判定兩個平面平行與判定線面平行一樣，應(yīng)遵循先找后作的原則，即先在一個面內(nèi)找到兩條與另一個平面平行的相交直線，若找不到再作輔助線．鞏固訓(xùn)練已知四棱錐PABCD中，底面ABCD為平行四邊形．點M，N，Q分別在PA，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，求證：平面MNQ∥平面PBC.證明：因為PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，所以MQ∥AD，NQ∥BP，而BP?平面PBC，NQ?平面PBC，所以NQ∥平面PBC，又因為四邊形ABCD為平行四邊形，所以BC∥AD，所以MQ∥BC.而BC?平面PBC，MQ?平面PBC，所以MQ∥平面PBC.又MQ∩NQ＝Q，所以平面MNQ∥平面PBC.題型二十二兩個平面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用【例22】如圖所示，兩條異面直線BA，DC與兩平行平面α，β分別交于點B，A和D，C，點M，N分別是AB，CD的中點，求證：MN∥平面α.【證明】如圖，過點A作AE∥CD交α于點E，取AE的中點P，連接MP，PN，BE，ED，AC.因為AE∥CD，所以AE，CD確定平面AEDC.則平面AEDC∩α＝DE，平面AEDC∩β＝AC，因為α∥β，所以AC∥DE.又P，N分別為AE，CD的中點，所以PN∥DE，PN?α，DE?α，所以PN∥α.又M，P分別為AB，AE的中點，所以MP∥BE，且MP?α，BE?α.所以MP∥α，因為MP∩PN＝P，所以平面MPN∥α.又MN?平面MPN，所以MN∥平面α.思維升華應(yīng)用平面與平面平行性質(zhì)定理的基本步驟[提醒]面面平行性質(zhì)定理的實質(zhì)：面面平行?線線平行，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想．與判定定理交替使用，可實現(xiàn)線面、線線、面面平行間的相互轉(zhuǎn)化．鞏固訓(xùn)練如圖，已知α∥β，點P是平面α，β外的一點(不在α與β之間)，直線PB，PD分別與α，β相交于點A，B和C，D.(1)求證：AC∥BD；(2)已知PA＝4cm，AB＝5cm，PC＝3cm，求PD的長．【解析】(1)證明：因為PB∩PD＝P，所以直線PB和PD確定一個平面γ，則α∩γ＝AC，β∩γ＝BD.又α∥β，所以AC∥BD.(2)由(1)得AC∥BD，所以eq\f(PA,AB)＝eq\f(PC,CD)，所以eq\f(4,5)＝eq\f(3,CD)，所以CD＝eq\f(15,4)(cm)，所以PD＝PC＋CD＝eq\f(27,4)(cm).題型二十三二面角的概念及其大小的計算【例23】(1)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，截面A1BD與底面ABCD所成銳二面角A1-BD-A的正切值為()A．eq\f(\r(3),2) B．eq\f(\r(2),2)C．eq\r(2) D．eq\r(3)(2)一個二面角的兩個半平面分別垂直于另一個二面角的兩個半平面，則這兩個二面角的大小關(guān)系為()A．相等 B．互補(bǔ)C．相等或互補(bǔ) D．不確定【解析】(1)如圖所示，連接AC交BD于點O，連接A1O，O為BD的中點，因為A1D＝A1B，所以在△A1BD中，A1O⊥BD.又因為在正方形ABCD中，AC⊥BD，所以∠A1OA為二面角A1-BD-A的平面角．設(shè)AA1＝1，則AO＝eq\f(\r(2),2).所以tan∠A1OA＝eq\f(1,\f(\r(2),2))＝eq\r(2).(2)如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是CD，C1D1的中點，二面角D-AA1-E與二面角B1-AB-C的兩個半平面就是分別對應(yīng)垂直的，但是這兩個二面角既不相等，也不互補(bǔ)．【答案】(1)C(2)D思維升華(1)求二面角大小的步驟簡稱為“一作二證三求”．(2)作出二面角的平面角的方法,方法一：(定義法)在二面角的棱上找一個特殊點，在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線．如圖所示，∠AOB為二面角α-a-β的平面角．方法二：(垂線法)過二面角的一個面內(nèi)一點作另一個平面的垂線，過垂足作棱的垂線，連接該點與垂足，利用線面垂直可找到二面角的平面角或其補(bǔ)角．如圖所示，∠AFE為二面角A-BC-D的平面角．方法三：(垂面法)過棱上一點作棱的垂直平面，該平面與二面角的兩個半平面產(chǎn)生交線，這兩條交線所成的角即為二面角的平面角．如圖所示，∠AOB為二面角α-l-β的平面角[提醒]二面角的平面角的大小與頂點在棱上的位置無關(guān)，通?？筛鶕?jù)需要選擇特殊點作平面角的頂點．鞏固訓(xùn)練若P是△ABC所在平面外一點，而△PBC和△ABC都是邊長為2的正三角形，PA＝eq\r(6)，那么二面角P-BC-A的大小為__________．【解析】如圖，取BC的中點O，連接OA，OP，則∠POA為二面角P-BC-A的平面角，OP＝OA＝eq\r(3)，PA＝eq\r(6)，所以△POA為直角三角形，∠POA＝90°.【答案】90°題型二十四利用定義證明平面與平面垂直【例24】如圖，在四面體ABCD中，BD＝eq\r(2)a，AB＝AD＝CB＝CD＝AC＝a.求證：平面ABD⊥平面BCD.【證明】因為△ABD與△BCD是全等的等腰三角形，所以取BD的中點E，連接AE，CE，則AE⊥BD，BD⊥CE.在△ABD中，AB＝a，BE＝eq\f(1,2)BD＝eq\f(\r(2),2)a，所以AE＝eq\r(AB2－BE2)＝eq\f(\r(2),2)a.同理CE＝eq\f(\r(2),2)a，在△AEC中，AE＝CE＝eq\f(\r(2),2)a，AC＝a.所以AC2＝AE2＋CE2，所以AE⊥CE，∠AEC是二面角A-BD-C的平面角，又因為∠AEC＝90°，所以二面角A-BD-C為直二面角，所以平面ABD⊥平面BCD.題型二十五利用判定定理證明平面與平面垂直【例25】(2020·高考江蘇卷)在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F(xiàn)分別是AC，B1C的中點．(1)求證：EF∥平面AB1C1；(2)求證：平面AB1C⊥平面ABB1.【證明】(1)因為E，F(xiàn)分別是AC，B1C的中點，所以EF∥AB1.又EF?平面AB1C1，AB1?平面AB1C1，所以EF∥平面AB1C1.(2)因為B1C⊥平面ABC，AB?平面ABC，所以B1C⊥AB.又AB⊥AC，B1C?平面AB1C，AC?平面AB1C，B1C∩AC＝C，所以AB⊥平面AB1C.又因為AB?平面ABB1，所以平面AB1C⊥平面ABB1.思維升華證明平面與平面垂直的兩種常用方法(1)利用定義：證明二面角的平面角為直角，其判定的方法是：①找出兩相交平面的平面角；②證明這個平面角是直角；③根據(jù)定義，這兩個相交平面互相垂直．(2)利用面面垂直的判定定理：要證面面垂直，只要證線面垂直．即在其中一個平面內(nèi)尋找一條直線與另一個平面垂直．這是證明面面垂直的常用方法，其基本步驟是：鞏固訓(xùn)練如圖所示，四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝eq\f(1,2)PD.求