2025屆廣東省湛江市大成中學(xué)高三下學(xué)期階段性測評(期中)數(shù)學(xué)試題_第1頁
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文檔簡介

2025屆廣東省湛江市大成中學(xué)高三下學(xué)期階段性測評(期中)數(shù)學(xué)試題考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知函數(shù),則()A.2 B.3 C.4 D.52.已知圓M:x2+y2-2ay=0a>0截直線x+y=0A.內(nèi)切 B.相交 C.外切 D.相離3.馬林●梅森是17世紀(jì)法國著名的數(shù)學(xué)家和修道士,也是當(dāng)時歐洲科學(xué)界一位獨特的中心人物,梅森在歐幾里得、費馬等人研究的基礎(chǔ)上對2p﹣1作了大量的計算、驗證工作,人們?yōu)榱思o(jì)念梅森在數(shù)論方面的這一貢獻(xiàn),將形如2P﹣1(其中p是素數(shù))的素數(shù),稱為梅森素數(shù).若執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的梅森素數(shù)的個數(shù)是()A.3 B.4 C.5 D.64.使得的展開式中含有常數(shù)項的最小的n為()A. B. C. D.5.已知函數(shù),若對任意,都有成立,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.6.已知,,由程序框圖輸出的為()A.1 B.0 C. D.7.設(shè)等差數(shù)列的前n項和為,若,則()A. B. C.7 D.28.給定下列四個命題:①若一個平面內(nèi)的兩條直線與另一個平面都平行,則這兩個平面相互平行;②若一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線,則這兩個平面相互垂直;③垂直于同一直線的兩條直線相互平行;④若兩個平面垂直,那么一個平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個平面也不垂直.其中,為真命題的是()A.①和②B.②和③C.③和④D.②和④9.一個正三角形的三個頂點都在雙曲線的右支上,且其中一個頂點在雙曲線的右頂點,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.10.若復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點在虛軸上,則實數(shù)a為()A. B.2 C. D.11.要得到函數(shù)的圖像,只需把函數(shù)的圖像()A.向左平移個單位 B.向左平移個單位C.向右平移個單位 D.向右平移個單位12.的展開式中的常數(shù)項為()A.-60 B.240 C.-80 D.180二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若,則_________.14.如果復(fù)數(shù)滿足,那么______(為虛數(shù)單位).15.在中,內(nèi)角的對邊分別為,已知,則的面積為___________.16.如圖所示,在邊長為4的正方形紙片中,與相交于.剪去,將剩余部分沿,折疊,使、重合,則以、、、為頂點的四面體的外接球的體積為________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)對于非負(fù)整數(shù)集合(非空),若對任意,或者,或者,則稱為一個好集合.以下記為的元素個數(shù).(1)給出所有的元素均小于的好集合.(給出結(jié)論即可)(2)求出所有滿足的好集合.(同時說明理由)(3)若好集合滿足,求證:中存在元素,使得中所有元素均為的整數(shù)倍.18.(12分)已知函數(shù)(為實常數(shù)).(1)討論函數(shù)在上的單調(diào)性;(2)若存在,使得成立,求實數(shù)的取值范圍.19.(12分)已知函數(shù),.(1)若對于任意實數(shù),恒成立,求實數(shù)的范圍;(2)當(dāng)時,是否存在實數(shù),使曲線:在點處的切線與軸垂直?若存在,求出的值;若不存在,說明理由.20.(12分)己知圓F1:(x+1)1+y1=r1(1≤r≤3),圓F1:(x-1)1+y1=(4-r)1.(1)證明:圓F1與圓F1有公共點,并求公共點的軌跡E的方程;(1)已知點Q(m,0)(m<0),過點E斜率為k(k≠0)的直線與(Ⅰ)中軌跡E相交于M,N兩點,記直線QM的斜率為k1,直線QN的斜率為k1,是否存在實數(shù)m使得k(k1+k1)為定值?若存在,求出m的值,若不存在,說明理由.21.(12分)已知函數(shù).(1)若,求證:.(2)討論函數(shù)的極值;(3)是否存在實數(shù),使得不等式在上恒成立?若存在,求出的最小值;若不存在,請說明理由.22.(10分)某學(xué)校為了解全校學(xué)生的體重情況,從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人的體重數(shù)據(jù),得到如下頻率分布直方圖,以樣本的頻率作為總體的概率.(1)估計這100人體重數(shù)據(jù)的平均值和樣本方差;(結(jié)果取整數(shù),同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)(2)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取3名學(xué)生,記為體重在的人數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望;(3)由頻率分布直方圖可以認(rèn)為,該校學(xué)生的體重近似服從正態(tài)分布.若,則認(rèn)為該校學(xué)生的體重是正常的.試判斷該校學(xué)生的體重是否正常?并說明理由.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.A【解析】

根據(jù)分段函數(shù)直接計算得到答案.【詳解】因為所以.故選:.【點睛】本題考查了分段函數(shù)計算,意在考查學(xué)生的計算能力.2.B【解析】化簡圓M:x2+(y-a)2=a又N(1,1),r3.C【解析】

模擬程序的運行即可求出答案.【詳解】解:模擬程序的運行,可得:p=1,S=1,輸出S的值為1,滿足條件p≤7,執(zhí)行循環(huán)體,p=3,S=7,輸出S的值為7,滿足條件p≤7,執(zhí)行循環(huán)體,p=5,S=31,輸出S的值為31,滿足條件p≤7,執(zhí)行循環(huán)體,p=7,S=127,輸出S的值為127,滿足條件p≤7,執(zhí)行循環(huán)體,p=9,S=511,輸出S的值為511,此時,不滿足條件p≤7,退出循環(huán),結(jié)束,故若執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的梅森素數(shù)的個數(shù)是5,故選:C.【點睛】本題主要考查程序框圖,屬于基礎(chǔ)題.4.B【解析】二項式展開式的通項公式為,若展開式中有常數(shù)項,則,解得,當(dāng)r取2時,n的最小值為5,故選B【考點定位】本題考查二項式定理的應(yīng)用.5.D【解析】

先將所求問題轉(zhuǎn)化為對任意恒成立,即得圖象恒在函數(shù)圖象的上方,再利用數(shù)形結(jié)合即可解決.【詳解】由得,由題意函數(shù)得圖象恒在函數(shù)圖象的上方,作出函數(shù)的圖象如圖所示過原點作函數(shù)的切線,設(shè)切點為,則,解得,所以切線斜率為,所以,解得.故選:D.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在不等式恒成立中的應(yīng)用,考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸思想以及數(shù)形結(jié)合的思想,是一道中檔題.6.D【解析】試題分析:,,所以,所以由程序框圖輸出的為.故選D.考點:1、程序框圖;2、定積分.7.B【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)并結(jié)合已知可求出,再利用等差數(shù)列性質(zhì)可得,即可求出結(jié)果.【詳解】因為,所以,所以,所以,故選:B【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)及前項和公式,屬于基礎(chǔ)題.8.D【解析】

利用線面平行和垂直,面面平行和垂直的性質(zhì)和判定定理對四個命題分別分析進(jìn)行選擇.【詳解】當(dāng)兩個平面相交時,一個平面內(nèi)的兩條直線也可以平行于另一個平面,故①錯誤;由平面與平面垂直的判定可知②正確;空間中垂直于同一條直線的兩條直線還可以相交或者異面,故③錯誤;若兩個平面垂直,只有在一個平面內(nèi)與它們的交線垂直的直線才與另一個平面垂直,故④正確.綜上,真命題是②④.故選:D【點睛】本題考查命題真假的判斷,考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查空間想象能力,是中檔題.9.D【解析】

因為雙曲線分左右支,所以,根據(jù)雙曲線和正三角形的對稱性可知:第一象限的頂點坐標(biāo)為,,將其代入雙曲線可解得.【詳解】因為雙曲線分左右支,所以,根據(jù)雙曲線和正三角形的對稱性可知:第一象限的頂點坐標(biāo)為,,將其代入雙曲線方程得:,即,由得.故選:.【點睛】本題考查了雙曲線的性質(zhì),意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.10.D【解析】

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡,再由實部為求得值.【詳解】解:在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點在虛軸上,,即.故選D.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算,考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義,是基礎(chǔ)題.11.A【解析】

運用輔助角公式將兩個函數(shù)公式進(jìn)行變形得以及,按四個選項分別對變形,整理后與對比,從而可選出正確答案.【詳解】解:.對于A:可得.故選:A.【點睛】本題考查了三角函數(shù)圖像平移變換,考查了輔助角公式.本題的易錯點有兩個,一個是混淆了已知函數(shù)和目標(biāo)函數(shù);二是在平移時,忘記乘了自變量前的系數(shù).12.D【解析】

求的展開式中的常數(shù)項,可轉(zhuǎn)化為求展開式中的常數(shù)項和項,再求和即可得出答案.【詳解】由題意,中常數(shù)項為,中項為,所以的展開式中的常數(shù)項為:.故選:D【點睛】本題主要考查二項式定理的應(yīng)用和二項式展開式的通項公式,考查學(xué)生計算能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】

因為,所以.因為,所以,又,所以,所以..14.【解析】

把已知等式變形,再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡,然后利用復(fù)數(shù)模的計算公式求解.【詳解】∵,∴,∴,故答案為:.【點睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)除法運算,考查復(fù)數(shù)的模的求法,屬于基礎(chǔ)題.15.【解析】

由余弦定理先算出c,再利用面積公式計算即可.【詳解】由余弦定理,得,即,解得,故的面積.故答案為:【點睛】本題考查利用余弦定理求解三角形的面積,考查學(xué)生的計算能力,是一道基礎(chǔ)題.16.【解析】

將三棱錐置入正方體中,利用正方體體對角線為三棱錐外接球的直徑即可得到答案.【詳解】由已知,將三棱錐置入正方體中,如圖所示,,故正方體體對角線長為,所以外接球半徑為,其體積為.故答案為:.【點睛】本題考查三棱錐外接球的體積問題,一般在處理特殊幾何體的外接球問題時,要考慮是否能將其置入正(長)方體中,是一道中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1),,,.(2);證明見解析.(3)證明見解析.【解析】

(1)根據(jù)好集合的定義列舉即可得到結(jié)果;(2)設(shè),其中,由知;由可知或,分別討論兩種情況可的結(jié)果;(3)記,則,設(shè),由歸納推理可求得,從而得到,從而得到,可知存在元素滿足題意.【詳解】(1),,,.(2)設(shè),其中,則由題意:,故,即,考慮,可知:,或,若,則考慮,,,則,,但此時,,不滿足題意;若,此時,滿足題意,,其中為相異正整數(shù).(3)記,則,首先,,設(shè),其中,分別考慮和其他任一元素,由題意可得:也在中,而,,,對于,考慮,,其和大于,故其差,特別的,,,由,且,,以此類推:,,此時,故中存在元素,使得中所有元素均為的整數(shù)倍.【點睛】本題考查集合中的新定義問題的求解,關(guān)鍵是明確已知中所給的新定義的具體要求,根據(jù)集合元素的要求進(jìn)行推理說明,對于學(xué)生分析和解決問題能力、邏輯推理能力有較高的要求,屬于較難題.18.(1)見解析(2)【解析】

(1)分類討論的值,利用導(dǎo)數(shù)證明單調(diào)性即可;(2)利用導(dǎo)數(shù)分別得出,,時,的最小值,即可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】(1),.當(dāng)即時,,,此時,在上單調(diào)遞增;當(dāng)即時,時,,在上單調(diào)遞減;時,,在上單調(diào)遞增;當(dāng)即時,,,此時,在上單調(diào)遞減;(2)當(dāng)時,因為在上單調(diào)遞增,所以的最小值為,所以當(dāng)時,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增所以的最小值為.因為,所以,.所以,所以.當(dāng)時,在上單調(diào)遞減所以的最小值為因為,所以,所以,綜上,.【點睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的存在性問題,屬于中檔題.19.(1);(2)不存在實數(shù),使曲線在點處的切線與軸垂直.【解析】

(1)分類時,恒成立,時,分離參數(shù)為,引入新函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)最值即可;(2),導(dǎo)出導(dǎo)函數(shù),問題轉(zhuǎn)化為在上有解.再用導(dǎo)數(shù)研究的性質(zhì)可得.【詳解】解:(1)因為當(dāng)時,恒成立,所以,若,為任意實數(shù),恒成立.若,恒成立,即當(dāng)時,,設(shè),,當(dāng)時,,則在上單調(diào)遞增,當(dāng)時,,則在上單調(diào)遞減,所以當(dāng)時,取得最大值.,所以,要使時,恒成立,的取值范圍為.(2)由題意,曲線為:.令,所以,設(shè),則,當(dāng)時,,故在上為增函數(shù),因此在區(qū)間上的最小值,所以,當(dāng)時,,,所以,曲線在點處的切線與軸垂直等價于方程在上有實數(shù)解.而,即方程無實數(shù)解.故不存在實數(shù),使曲線在點處的切線與軸垂直.【點睛】本題考查不等式恒成立,考查用導(dǎo)數(shù)的幾何意義,由導(dǎo)數(shù)幾何把問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵.本題屬于困難題.20.(1)見解析,(1)存在,【解析】

(1)求出圓和圓的圓心和半徑,通過圓F1與圓F1有公共點求出的范圍,從而根據(jù)可得點的軌跡,進(jìn)而求出方程;(1)過點且斜率為的直線方程為,設(shè),,聯(lián)立直線方程和橢圓方程,根據(jù)韋達(dá)定理以及,,可得,根據(jù)其為定值,則有,進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】(1)因為,,所以,因為圓的半徑為,圓的半徑為,又因為,所以,即,所以圓與圓有公共點,設(shè)公共點為,因此,所以點的軌跡是以,為焦點的橢圓,所以,,,即軌跡的方程為;(1)過點且斜率為的直線方程為,設(shè),由消去得到,則,,①因為,,所以,將①式代入整理得因為,所以當(dāng)時,即時,.即存在實數(shù)使得.【點睛】本題考查橢圓定理求橢圓方程,考查橢圓中的定值問題,靈活應(yīng)用韋達(dá)定理進(jìn)行計算是關(guān)鍵,并且觀察出取定值的條件也很重要,考查了學(xué)生分析能力和計算能力,是中檔題.21.(1)證明見解析;(2)見解析;(3)存在,1.【解析】

(1),求出單調(diào)區(qū)間,進(jìn)而求出,即可證明結(jié)論;(2)對(或)是否恒成立分類討論,若恒成立,沒有極值點,若不恒成立,求出的解,即可求出結(jié)論;(3)令,可證恒成立,而,由(2)得,在為減函數(shù),在上單調(diào)遞減,在都存在,不滿足,當(dāng)時,設(shè),且,只需求出在單調(diào)遞增時的取值范圍即可.【詳解】(1),,,當(dāng)時,,當(dāng)時,,∴,故.(2)由題知,,,①當(dāng)時,,所以在上單調(diào)遞減,沒有極值;②當(dāng)時,,得,當(dāng)時,;當(dāng)時

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