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文檔簡介
河南省安陽第三十五中學(xué)2025屆高三年畢業(yè)班第一次綜合質(zhì)量檢查數(shù)學(xué)試題試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚,將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知中,角、所對的邊分別是,,則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.既不充分也不必要條件 D.充分必要條件2.已知α,β是兩平面,l,m,n是三條不同的直線,則不正確命題是()A.若m⊥α,n//α,則m⊥n B.若m//α,n//α,則m//nC.若l⊥α,l//β,則α⊥β D.若α//β,lβ,且l//α,則l//β3.已知函數(shù),的圖象與直線的兩個相鄰交點的距離等于,則的一條對稱軸是()A. B. C. D.4.盒子中有編號為1,2,3,4,5,6,7的7個相同的球,從中任取3個編號不同的球,則取的3個球的編號的中位數(shù)恰好為5的概率是()A. B. C. D.5.已知定義在上的可導(dǎo)函數(shù)滿足,若是奇函數(shù),則不等式的解集是()A. B. C. D.6.已知等差數(shù)列{an},則“a2>a1”是“數(shù)列{an}為單調(diào)遞增數(shù)列”的()A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件7.山東煙臺蘋果因“果形端正、色澤艷麗、果肉甜脆、香氣濃郁”享譽國內(nèi)外.據(jù)統(tǒng)計,煙臺蘋果(把蘋果近似看成球體)的直徑(單位:)服從正態(tài)分布,則直徑在內(nèi)的概率為()附:若,則,.A.0.6826 B.0.8413 C.0.8185 D.0.95448.已知,,則()A. B. C.3 D.49.在中,內(nèi)角的平分線交邊于點,,,,則的面積是()A. B. C. D.10.已知復(fù)數(shù),則()A. B. C. D.11.相傳黃帝時代,在制定樂律時,用“三分損益”的方法得到不同的竹管,吹出不同的音調(diào).如圖的程序是與“三分損益”結(jié)合的計算過程,若輸入的的值為1,輸出的的值為()A. B. C. D.12.是平面上的一定點,是平面上不共線的三點,動點滿足,,則動點的軌跡一定經(jīng)過的()A.重心 B.垂心 C.外心 D.內(nèi)心二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知,則_____14.已知點M是曲線y=2lnx+x2﹣3x上一動點,當曲線在M處的切線斜率取得最小值時,該切線的方程為_______.15.在直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).(1)求直線和曲線的普通方程;(2)設(shè)為曲線上的動點,求點到直線距離的最小值及此時點的坐標.16.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增,則實數(shù)a值范圍為_________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為,滿足,,,,恰為等比數(shù)列的前3項.(1)求數(shù)列,的通項公式;(2)求數(shù)列的前項和為;若對均滿足,求整數(shù)的最大值;(3)是否存在數(shù)列滿足等式成立,若存在,求出數(shù)列的通項公式;若不存在,請說明理由.18.(12分)在直角坐標系x0y中,把曲線α為參數(shù))上每個點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標不變,得到曲線以坐標原點為極點,以x軸正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線的極坐標方程(1)寫出的普通方程和的直角坐標方程;(2)設(shè)點M在上,點N在上,求|MN|的最小值以及此時M的直角坐標.19.(12分)已知三棱錐中,為等腰直角三角形,,設(shè)點為中點,點為中點,點為上一點,且.(1)證明:平面;(2)若,求直線與平面所成角的正弦值.20.(12分)已知橢圓的左、右頂點分別為、,上、下頂點分別為,,為其右焦點,,且該橢圓的離心率為;(Ⅰ)求橢圓的標準方程;(Ⅱ)過點作斜率為的直線交橢圓于軸上方的點,交直線于點,直線與橢圓的另一個交點為,直線與直線交于點.若,求取值范圍.21.(12分)已知函數(shù).(1)證明:當時,;(2)若函數(shù)有三個零點,求實數(shù)的取值范圍.22.(10分)已知,,.(1)求的最小值;(2)若對任意,都有,求實數(shù)的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.D【解析】
由大邊對大角定理結(jié)合充分條件和必要條件的定義判斷即可.【詳解】中,角、所對的邊分別是、,由大邊對大角定理知“”“”,“”“”.因此,“”是“”的充分必要條件.故選:D.【點睛】本題考查充分條件、必要條件的判斷,考查三角形的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識,考查邏輯推理能力,是基礎(chǔ)題.2.B【解析】
根據(jù)線面平行、線面垂直和空間角的知識,判斷A選項的正確性.由線面平行有關(guān)知識判斷B選項的正確性.根據(jù)面面垂直的判定定理,判斷C選項的正確性.根據(jù)面面平行的性質(zhì)判斷D選項的正確性.【詳解】A.若,則在中存在一條直線,使得,則,又,那么,故正確;B.若,則或相交或異面,故不正確;C.若,則存在,使,又,則,故正確.D.若,且,則或,又由,故正確.故選:B【點睛】本小題主要考查空間線線、線面和面面有關(guān)命題真假性的判斷,屬于基礎(chǔ)題.3.D【解析】
由題,得,由的圖象與直線的兩個相鄰交點的距離等于,可得最小正周期,從而求得,得到函數(shù)的解析式,又因為當時,,由此即可得到本題答案.【詳解】由題,得,因為的圖象與直線的兩個相鄰交點的距離等于,所以函數(shù)的最小正周期,則,所以,當時,,所以是函數(shù)的一條對稱軸,故選:D【點睛】本題主要考查利用和差公式恒等變形,以及考查三角函數(shù)的周期性和對稱性.4.B【解析】
由題意,取的3個球的編號的中位數(shù)恰好為5的情況有,所有的情況有種,由古典概型的概率公式即得解.【詳解】由題意,取的3個球的編號的中位數(shù)恰好為5的情況有,所有的情況有種由古典概型,取的3個球的編號的中位數(shù)恰好為5的概率為:故選:B【點睛】本題考查了排列組合在古典概型中的應(yīng)用,考查了學(xué)生綜合分析,概念理解,數(shù)學(xué)運算的能力,屬于中檔題.5.A【解析】
構(gòu)造函數(shù),根據(jù)已知條件判斷出的單調(diào)性.根據(jù)是奇函數(shù),求得的值,由此化簡不等式求得不等式的解集.【詳解】構(gòu)造函數(shù),依題意可知,所以在上遞增.由于是奇函數(shù),所以當時,,所以,所以.由得,所以,故不等式的解集為.故選:A【點睛】本小題主要考查構(gòu)造函數(shù)法解不等式,考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.6.C【解析】試題分析:根據(jù)充分條件和必要條件的定義進行判斷即可.解:在等差數(shù)列{an}中,若a2>a1,則d>0,即數(shù)列{an}為單調(diào)遞增數(shù)列,若數(shù)列{an}為單調(diào)遞增數(shù)列,則a2>a1,成立,即“a2>a1”是“數(shù)列{an}為單調(diào)遞增數(shù)列”充分必要條件,故選C.考點:必要條件、充分條件與充要條件的判斷.7.C【解析】
根據(jù)服從的正態(tài)分布可得,,將所求概率轉(zhuǎn)化為,結(jié)合正態(tài)分布曲線的性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】由題意,,,則,,所以,.故果實直徑在內(nèi)的概率為0.8185.故選:C【點睛】本題考查根據(jù)正態(tài)分布求解待定區(qū)間的概率問題,考查了正態(tài)曲線的對稱性,屬于基礎(chǔ)題.8.A【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)相等的特征,求出和,再利用復(fù)數(shù)的模公式,即可得出結(jié)果.【詳解】因為,所以,解得則.故選:A.【點睛】本題考查相等復(fù)數(shù)的特征和復(fù)數(shù)的模,屬于基礎(chǔ)題.9.B【解析】
利用正弦定理求出,可得出,然后利用余弦定理求出,進而求出,然后利用三角形的面積公式可計算出的面積.【詳解】為的角平分線,則.,則,,在中,由正弦定理得,即,①在中,由正弦定理得,即,②①②得,解得,,由余弦定理得,,因此,的面積為.故選:B.【點睛】本題考查三角形面積的計算,涉及正弦定理和余弦定理以及三角形面積公式的應(yīng)用,考查計算能力,屬于中等題.10.B【解析】
利用復(fù)數(shù)除法、加法運算,化簡求得,再求得【詳解】,故.故選:B【點睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)的除法運算、加法運算,考查復(fù)數(shù)的模,屬于基礎(chǔ)題.11.B【解析】
根據(jù)循環(huán)語句,輸入,執(zhí)行循環(huán)語句即可計算出結(jié)果.【詳解】輸入,由題意執(zhí)行循環(huán)結(jié)構(gòu)程序框圖,可得:第次循環(huán):,,不滿足判斷條件;第次循環(huán):,,不滿足判斷條件;第次循環(huán):,,滿足判斷條件;輸出結(jié)果.故選:【點睛】本題考查了循環(huán)語句的程序框圖,求輸出的結(jié)果,解答此類題目時結(jié)合循環(huán)的條件進行計算,需要注意跳出循環(huán)的判定語句,本題較為基礎(chǔ).12.B【解析】
解出,計算并化簡可得出結(jié)論.【詳解】λ(),∴,∴,即點P在BC邊的高上,即點P的軌跡經(jīng)過△ABC的垂心.故選B.【點睛】本題考查了平面向量的數(shù)量積運算在幾何中的應(yīng)用,根據(jù)條件中的角計算是關(guān)鍵.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
化簡得,利用周期即可求出答案.【詳解】解:,∴函數(shù)的最小正周期為6,∴,,故答案為:.【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.14.【解析】
先求導(dǎo)數(shù)可得切線斜率,利用基本不等式可得切點橫坐標,從而可得切線方程.【詳解】,,=1時有最小值1,此時M(1,﹣2),故切線方程為:,即.故答案為:.【點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,切點處的導(dǎo)數(shù)值等于切線的斜率是求解的關(guān)鍵,側(cè)重考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).15.(1),;(2),.【解析】
(1)利用代入消參的方法即可將兩個參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程;(2)利用參數(shù)方程,結(jié)合點到直線的距離公式,將問題轉(zhuǎn)化為求解二次函數(shù)最值的問題,即可求得.【詳解】(1)直線的普通方程為.在曲線的參數(shù)方程中,,所以曲線的普通方程為.(2)設(shè)點.點到直線的距離.當時,,所以點到直線的距離的最小值為.此時點的坐標為.【點睛】本題考查將參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程,以及利用參數(shù)方程求距離的最值問題,屬中檔題.16.【解析】
由在上恒成立可求解.【詳解】,令,∵,∴,又,,從而,令,問題等價于在時恒成立,∴,解得.故答案為:.【點睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性,解題關(guān)鍵是問題轉(zhuǎn)化為恒成立,利用換元法和二次函數(shù)的性質(zhì)易求解.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(2),(2),的最大整數(shù)是2.(3)存在,【解析】
(2)由可得(),然后把這兩個等式相減,化簡得,公差為2,因為,,為等比數(shù)列,所以,化簡計算得,,從而得到數(shù)列的通項公式,再計算出,,,從而可求出數(shù)列的通項公式;(2)令,化簡計算得,從而可得數(shù)列是遞增的,所以只要的最小值大于即可,而的最小值為,所以可得答案;(3)由題意可知,,即,這個可看成一個數(shù)列的前項和,再寫出其前()項和,兩式相減得,,利用同樣的方法可得.【詳解】解:(2)由題,當時,,即當時,①②①-②得,整理得,又因為各項均為正數(shù)的數(shù)列.故是從第二項的等差數(shù)列,公差為2.又恰為等比數(shù)列的前3項,故,解得.又,故,因為也成立.故是以為首項,2為公差的等差數(shù)列.故.即2,4,8恰為等比數(shù)列的前3項,故是以為首項,公比為的等比數(shù)列,故.綜上,(2)令,則所以數(shù)列是遞增的,若對均滿足,只要的最小值大于即可因為的最小值為,所以,所以的最大整數(shù)是2.(3)由,得,③④③-④得,⑤,⑥⑤-⑥得,,所以存在這樣的數(shù)列,【點睛】此題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式與求和公式,最值,恒成立問題,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.18.(1)的普通方程為,的直角坐標方程為.(2)最小值為,此時【解析】
(1)由的參數(shù)方程消去求得的普通方程,利用極坐標和直角坐標轉(zhuǎn)化公式,求得的直角坐標方程.(2)設(shè)出點的坐標,利用點到直線的距離公式求得最小值的表達式,結(jié)合三角函數(shù)的指數(shù)求得的最小值以及此時點的坐標.【詳解】(1)由題意知的參數(shù)方程為(為參數(shù))所以的普通方程為.由得,所以的直角坐標方程為.(2)由題意,可設(shè)點的直角坐標為,因為是直線,所以的最小值即為到的距離,因為.當且僅當時,取得最小值為,此時的直角坐標為即.【點睛】本小題主要考查參數(shù)方程化為普通方程,考查極坐標方程化為直角坐標方程,考查利用曲線參數(shù)方程求解點到直線距離的最小值問題,屬于中檔題.19.(1)證明見解析;(2)【解析】
(1)連接交于點,連接,通過證,并說明平面,來證明平面(2)采用建系法以、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系,分別表示出對應(yīng)的點坐標,設(shè)平面的一個法向量為,結(jié)合直線對應(yīng)的和法向量,利用向量夾角的余弦公式進行求解即可【詳解】證明:如圖,連接交于點,連接,點為的中點,點為的中點,點為的重心,則,,,又平面,平面,平面;,,,,,,可得,又,則以、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系,則,,,,,,.設(shè)平面的一個法向量為,由,取,得.設(shè)直線與平面所成角為,則.直線與平面所成角的正弦值為.【點睛】本題考查線面平行的判定定理的使用,利用建系法來求解線面夾角問題,整體難度不大,本題中的線面夾角的正弦值公式使用廣泛,需要識記20.(Ⅰ);(Ⅱ),.【解析】
(Ⅰ)由題意可得,的坐標,結(jié)合橢圓離心率,及隱含條件列式求得,的值,則橢圓方程可求;(Ⅱ)設(shè)直線,求得的坐標,再設(shè)直線,求出點的坐標,寫出的方程,聯(lián)立與,可求出的坐標,由,可得關(guān)于的函數(shù)式,由單調(diào)性可得取值
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