2025屆新疆石河子高級中學(xué)高三下學(xué)期周練數(shù)學(xué)試題_第1頁
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文檔簡介

2025屆新疆石河子高級中學(xué)高三下學(xué)期周練數(shù)學(xué)試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.函數(shù)的值域為()A. B. C. D.2.已知函數(shù)是奇函數(shù),且,若對,恒成立,則的取值范圍是()A. B. C. D.3.中,點在邊上,平分,若,,,,則()A. B. C. D.4.下圖是我國第24~30屆奧運獎牌數(shù)的回眸和中國代表團獎牌總數(shù)統(tǒng)計圖,根據(jù)表和統(tǒng)計圖,以下描述正確的是().金牌(塊)銀牌(塊)銅牌(塊)獎牌總數(shù)2451112282516221254261622125027281615592832171463295121281003038272388A.中國代表團的奧運獎牌總數(shù)一直保持上升趨勢B.折線統(tǒng)計圖中的六條線段只是為了便于觀察圖象所反映的變化,不具有實際意義C.第30屆與第29屆北京奧運會相比,奧運金牌數(shù)、銀牌數(shù)、銅牌數(shù)都有所下降D.統(tǒng)計圖中前六屆奧運會中國代表團的奧運獎牌總數(shù)的中位數(shù)是54.55.空間點到平面的距離定義如下:過空間一點作平面的垂線,這個點和垂足之間的距離叫做這個點到這個平面的距離.已知平面,,兩兩互相垂直,點,點到,的距離都是3,點是上的動點,滿足到的距離與到點的距離相等,則點的軌跡上的點到的距離的最小值是()A. B.3 C. D.6.已知橢圓的右焦點為F,左頂點為A,點P橢圓上,且,若,則橢圓的離心率為()A. B. C. D.7.已知函數(shù),若,且,則的取值范圍為()A. B. C. D.8.已知集合,,,則的子集共有()A.個 B.個 C.個 D.個9.2019年某校迎國慶70周年歌詠比賽中,甲乙兩個合唱隊每場比賽得分的莖葉圖如圖所示(以十位數(shù)字為莖,個位數(shù)字為葉).若甲隊得分的中位數(shù)是86,乙隊得分的平均數(shù)是88,則()A.170 B.10 C.172 D.1210.已知復(fù)數(shù)滿足,其中是虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對應(yīng)的點到原點的距離為()A. B. C. D.11.如圖,在正方體中,已知、、分別是線段上的點,且.則下列直線與平面平行的是()A. B. C. D.12.已知定義在上函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱,且,若,則()A.0 B.1 C.673 D.674二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若變量,滿足約束條件則的最大值是______.14.觀察下列式子,,,,……,根據(jù)上述規(guī)律,第個不等式應(yīng)該為__________.15.在四棱錐中,底面為正方形,面分別是棱的中點,過的平面交棱于點,則四邊形面積為__________.16.已知數(shù)列遞增的等比數(shù)列,若,,則______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(Ⅰ)求函數(shù)的極值;(Ⅱ)若,且,求證:.18.(12分)已知橢圓,直線不過原點且不平行于坐標軸,與有兩個交點,,線段的中點為.(Ⅰ)證明:直線的斜率與的斜率的乘積為定值;(Ⅱ)若過點,延長線段與交于點,四邊形能否為平行四邊形?若能,求此時的斜率,若不能,說明理由.19.(12分)4月23日是“世界讀書日”,某中學(xué)開展了一系列的讀書教育活動.學(xué)校為了解高三學(xué)生課外閱讀情況,采用分層抽樣的方法從高三某班甲、乙、丙、丁四個讀書小組(每名學(xué)生只能參加一個讀書小組)學(xué)生抽取12名學(xué)生參加問卷調(diào)查.各組人數(shù)統(tǒng)計如下:小組甲乙丙丁人數(shù)12969(1)從參加問卷調(diào)查的12名學(xué)生中隨機抽取2人,求這2人來自同一個小組的概率;(2)從已抽取的甲、丙兩個小組的學(xué)生中隨機抽取2人,用表示抽得甲組學(xué)生的人數(shù),求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.20.(12分)已知函數(shù)(為實常數(shù)).(1)討論函數(shù)在上的單調(diào)性;(2)若存在,使得成立,求實數(shù)的取值范圍.21.(12分)記為數(shù)列的前項和,已知,等比數(shù)列滿足,.(1)求的通項公式;(2)求的前項和.22.(10分)已知橢圓的左焦點為F,上頂點為A,直線AF與直線垂直,垂足為B,且點A是線段BF的中點.(I)求橢圓C的方程;(II)若M,N分別為橢圓C的左,右頂點,P是橢圓C上位于第一象限的一點,直線MP與直線交于點Q,且,求點P的坐標.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.A【解析】

由計算出的取值范圍,利用正弦函數(shù)的基本性質(zhì)可求得函數(shù)的值域.【詳解】,,,因此,函數(shù)的值域為.故選:A.【點睛】本題考查正弦型函數(shù)在區(qū)間上的值域的求解,解答的關(guān)鍵就是求出對象角的取值范圍,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.2.A【解析】

先根據(jù)函數(shù)奇偶性求得,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性,利用函數(shù)單調(diào)性求解不等式即可.【詳解】因為函數(shù)是奇函數(shù),所以函數(shù)是偶函數(shù).,即,又,所以,.函數(shù)的定義域為,所以,則函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù).又在上,,所以為偶函數(shù),且在上單調(diào)遞增.由,可得,對恒成立,則,對恒成立,,得,所以的取值范圍是.故選:A.【點睛】本題考查利用函數(shù)單調(diào)性求解不等式,根據(jù)方程組法求函數(shù)解析式,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性,屬壓軸題.3.B【解析】

由平分,根據(jù)三角形內(nèi)角平分線定理可得,再根據(jù)平面向量的加減法運算即得答案.【詳解】平分,根據(jù)三角形內(nèi)角平分線定理可得,又,,,,..故選:.【點睛】本題主要考查平面向量的線性運算,屬于基礎(chǔ)題.4.B【解析】

根據(jù)表格和折線統(tǒng)計圖逐一判斷即可.【詳解】A.中國代表團的奧運獎牌總數(shù)不是一直保持上升趨勢,29屆最多,錯誤;B.折線統(tǒng)計圖中的六條線段只是為了便于觀察圖象所反映的變化,不表示某種意思,正確;C.30屆與第29屆北京奧運會相比,奧運金牌數(shù)、銅牌數(shù)有所下降,銀牌數(shù)有所上升,錯誤;D.統(tǒng)計圖中前六屆奧運會中國代表團的奧運獎牌總數(shù)按照順序排列的中位數(shù)為,不正確;故選:B【點睛】此題考查統(tǒng)計圖,關(guān)鍵點讀懂折線圖,屬于簡單題目.5.D【解析】

建立平面直角坐標系,將問題轉(zhuǎn)化為點的軌跡上的點到軸的距離的最小值,利用到軸的距離等于到點的距離得到點軌跡方程,得到,進而得到所求最小值.【詳解】如圖,原題等價于在直角坐標系中,點,是第一象限內(nèi)的動點,滿足到軸的距離等于點到點的距離,求點的軌跡上的點到軸的距離的最小值.設(shè),則,化簡得:,則,解得:,即點的軌跡上的點到的距離的最小值是.故選:.【點睛】本題考查立體幾何中點面距離最值的求解,關(guān)鍵是能夠準確求得動點軌跡方程,進而根據(jù)軌跡方程構(gòu)造不等關(guān)系求得最值.6.C【解析】

不妨設(shè)在第一象限,故,根據(jù)得到,解得答案.【詳解】不妨設(shè)在第一象限,故,,即,即,解得,(舍去).故選:.【點睛】本題考查了橢圓的離心率,意在考查學(xué)生的計算能力.7.A【解析】分析:作出函數(shù)的圖象,利用消元法轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù),構(gòu)造函數(shù)求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值,即可得到結(jié)論.詳解:作出函數(shù)的圖象,如圖所示,若,且,則當時,得,即,則滿足,則,即,則,設(shè),則,當,解得,當,解得,當時,函數(shù)取得最小值,當時,;當時,,所以,即的取值范圍是,故選A.點睛:本題主要考查了分段函數(shù)的應(yīng)用,構(gòu)造新函數(shù),求解新函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究新函數(shù)的單調(diào)性和最值是解答本題的關(guān)鍵,著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想方法,以及分析問題和解答問題的能力,試題有一定的難度,屬于中檔試題.8.B【解析】

根據(jù)集合中的元素,可得集合,然后根據(jù)交集的概念,可得,最后根據(jù)子集的概念,利用計算,可得結(jié)果.【詳解】由題可知:,當時,當時,當時,當時,所以集合則所以的子集共有故選:B【點睛】本題考查集合的運算以及集合子集個數(shù)的計算,當集合中有元素時,集合子集的個數(shù)為,真子集個數(shù)為,非空子集為,非空真子集為,屬基礎(chǔ)題.9.D【解析】

中位數(shù)指一串數(shù)據(jù)按從?。ù螅┑酱螅ㄐ。┡帕泻?,處在最中間的那個數(shù),平均數(shù)指一串數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù).【詳解】由莖葉圖知,甲的中位數(shù)為,故;乙的平均數(shù)為,解得,所以.故選:D.【點睛】本題考查莖葉圖的應(yīng)用,涉及到中位數(shù)、平均數(shù)的知識,是一道容易題.10.B【解析】

利用復(fù)數(shù)的除法運算化簡z,復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對應(yīng)的點到原點的距離為利用模長公式即得解.【詳解】由題意知復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對應(yīng)的點到原點的距離為故選:B【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的除法運算,模長公式和幾何意義,考查了學(xué)生概念理解,數(shù)學(xué)運算,數(shù)形結(jié)合的能力,屬于基礎(chǔ)題.11.B【解析】

連接,使交于點,連接、,可證四邊形為平行四邊形,可得,利用線面平行的判定定理即可得解.【詳解】如圖,連接,使交于點,連接、,則為的中點,在正方體中,且,則四邊形為平行四邊形,且,、分別為、的中點,且,所以,四邊形為平行四邊形,則,平面,平面,因此,平面.故選:B.【點睛】本題主要考查了線面平行的判定,考查了推理論證能力和空間想象能力,屬于中檔題.12.B【解析】

由題知為奇函數(shù),且可得函數(shù)的周期為3,分別求出知函數(shù)在一個周期內(nèi)的和是0,利用函數(shù)周期性對所求式子進行化簡可得.【詳解】因為為奇函數(shù),故;因為,故,可知函數(shù)的周期為3;在中,令,故,故函數(shù)在一個周期內(nèi)的函數(shù)值和為0,故.故選:B.【點睛】本題考查函數(shù)奇偶性與周期性綜合問題.其解題思路:函數(shù)的奇偶性與周期性相結(jié)合的問題多考查求值問題,常利用奇偶性及周期性進行變換,將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.9【解析】

做出滿足條件的可行域,根據(jù)圖形,即可求出的最大值.【詳解】做出不等式組表示的可行域,如圖陰影部分所示,目標函數(shù)過點時取得最大值,聯(lián)立,解得,即,所以最大值為9.故答案為:9.【點睛】本題考查二元一次不等式組表示平面區(qū)域,利用數(shù)形結(jié)合求線性目標函數(shù)的最值,屬于基礎(chǔ)題.14.【解析】

根據(jù)題意,依次分析不等式的變化規(guī)律,綜合可得答案.【詳解】解:根據(jù)題意,對于第一個不等式,,則有,對于第二個不等式,,則有,對于第三個不等式,,則有,依此類推:第個不等式為:,故答案為.【點睛】本題考查歸納推理的應(yīng)用,分析不等式的變化規(guī)律.15.【解析】

設(shè)是中點,由于分別是棱的中點,所以,所以,所以四邊形是平行四邊形.由于平面,所以,而,,所以平面,所以.由于,所以,也即,所以四邊形是矩形.而.從而.故答案為:.【點睛】本小題主要考查空間平面圖形面積的計算,考查線面垂直的判定,考查空間想象能力和邏輯推理能力,屬于中檔題.16.【解析】

,建立方程組,且,求出,進而求出的公比,即可求出結(jié)論.【詳解】數(shù)列遞增的等比數(shù)列,,,解得,所以的公比為,.

故答案為:.【點睛】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)、通項公式,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(Ⅰ)極大值為:,無極小值;(Ⅱ)見解析.【解析】

(Ⅰ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可求出函數(shù)的極值;(Ⅱ)得到,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性問題轉(zhuǎn)化為證明,即證,令,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可.【詳解】(Ⅰ)的定義域為且令,得;令,得在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減函數(shù)的極大值為,無極小值(Ⅱ),,即由(Ⅰ)知在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減且,則要證,即證,即證,即證即證由于,即,即證令則恒成立在遞增在恒成立【點睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想,轉(zhuǎn)化思想,考查不等式的證明,考查運算求解能力及化歸與轉(zhuǎn)化思想,關(guān)鍵是能夠構(gòu)造出合適的函數(shù),將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值的求解問題,屬于難題.18.(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ)能,或.【解析】試題分析:(1)設(shè)直線,直線方程與橢圓方程聯(lián)立,根據(jù)韋達定理求根與系數(shù)的關(guān)系,并表示直線的斜率,再表示;(2)第一步由(Ⅰ)得的方程為.設(shè)點的橫坐標為,直線與橢圓方程聯(lián)立求點的坐標,第二步再整理點的坐標,如果能構(gòu)成平行四邊形,只需,如果有值,并且滿足,的條件就說明存在,否則不存在.試題解析:解:(1)設(shè)直線,,,.∴由得,∴,.∴直線的斜率,即.即直線的斜率與的斜率的乘積為定值.(2)四邊形能為平行四邊形.∵直線過點,∴不過原點且與有兩個交點的充要條件是,由(Ⅰ)得的方程為.設(shè)點的橫坐標為.∴由得,即將點的坐標代入直線的方程得,因此.四邊形為平行四邊形當且僅當線段與線段互相平分,即∴.解得,.∵,,,∴當?shù)男甭蕿榛驎r,四邊形為平行四邊形.考點:直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用【一題多解】第一問涉及中點弦,當直線與圓錐曲線相交時,點是弦的中點,(1)知道中點坐標,求直線的斜率,或知道直線斜率求中點坐標的關(guān)系,或知道求直線斜率與直線斜率的關(guān)系時,也可以選擇點差法,設(shè),,代入橢圓方程,兩式相減,化簡為,兩邊同時除以得,而,,即得到結(jié)果,(2)對于用坐標法來解決幾何性質(zhì)問題,那么就要求首先看出幾何關(guān)系滿足什么條件,其次用坐標表示這些幾何關(guān)系,本題的關(guān)鍵就是如果是平行四邊形那么對角線互相平分,即,分別用方程聯(lián)立求兩個坐標,最后求斜率.19.(1)(2)見解析,【解析】

(1)采用分層抽樣的方法甲組抽取4人,乙組抽取3人,丙組抽取2人,丁組抽取3人,從參加問卷調(diào)查的12名學(xué)生中隨機抽取2人,基本事件總數(shù)為,這兩人來自同一小組取法共有,由此可求出所求的概率;(2)從已抽取的甲、丙兩個小組的學(xué)生中隨機抽取2人,而甲、丙兩個小組學(xué)生分別有4人和2人,所以抽取的兩人中是甲組的學(xué)生的人數(shù)的可能取值為0,1,2,分別求出相應(yīng)的概率,由此能求出隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.【詳解】(1)由題設(shè)易得,問卷調(diào)查從四個小組中抽取的人數(shù)分別為4,3,2,3(人),從參加問卷調(diào)查的12名學(xué)生中隨機抽取兩名的取法共有(種),抽取的兩名學(xué)生來自同一小組的取法共有(種),所以,抽取的兩名學(xué)生來自同一個小組的概率為(2)由(1)知,在參加問卷調(diào)查的12名學(xué)生中,來自甲、丙兩小組的學(xué)生人數(shù)分別為4人、2人,所以,抽取的兩人中是甲組的學(xué)生的人數(shù)的可能取值為0,1,2,因為所以隨機變量的分布列為:012所求的期望為【點睛】此題考查概率的求法,考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法,考查分層抽樣、古典概型、排列組合等知識,考查運算能力,屬于中檔題.20.(1)見解析(2)【解析】

(1)分類討論的值,利用導(dǎo)數(shù)證明單調(diào)性即可;(2)利用導(dǎo)數(shù)分別得出,,時,的最小值,即可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】(1),.當即時,,,此時,在上單調(diào)遞增;當即時,時,,在上單調(diào)遞減;時,,在上單調(diào)遞增;當即時,,,此時,在上單調(diào)遞減;(2)當時,因為在上單調(diào)遞增,所以的最小值為,所以當時,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增所以的最小值為.因為,所以,.所以,所以.當時,在上單調(diào)遞減所以的最小值為因為,所以,所以,綜上,.【點睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的存在性問題,屬于中檔題.21.(1)(2)當時,;當時,.【解析】

(1)利用數(shù)列與的關(guān)系,求得;(2)由(1)可得:,,算出公比,利用等比數(shù)列的前項和公式求出.【詳解】(1)當時,,當時,,因為適合上式,所以.(2)由(1)得,,設(shè)等比數(shù)列的公比為,則,解得,當時,,當時,.【點睛】本題主要考查數(shù)列與的關(guān)系、等比數(shù)列的通項公式、前項和公式等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力..22.(I).(II)【解析】

(I)寫出坐標,利用直線與直線垂直,得到.求出點的坐標代入,可得到的一個關(guān)系式,由此求得和的值,進而求得橢圓方程.(II)設(shè)出點的坐標,由此寫出直線的方程,從而求得點的坐標,代入,化簡可求得點的坐標.【詳解】(I)∵橢圓的左焦點,上頂點,直線AF與直線垂直∴直線AF的斜率,即①又點A是線段BF的中點∴點的坐標為

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