第08講 平行線及三角形（含答案詳解）-2023年全國重點(diǎn)高中自主招生大揭秘

平行線及三角形一、單選題1．（2022秋·江蘇·八年級(jí)?？几?jìng)賽）如圖，AB∥CD，點(diǎn)E在線段BC上，CD＝CE，若∠ABC＝30°，則∠D的度數(shù)為（）A．85° B．75° C．65° D．30°2．（2022秋·江蘇·八年級(jí)?？几?jìng)賽）如圖，為等邊三角形，，則等于（

）A． B． C． D．3．（2021·全國·九年級(jí)競(jìng)賽）將長為15cm的木棒截成長度為整數(shù)的三段，使它們構(gòu)成一個(gè)三角形的三邊，則不同的截法有（）A．5種 B．6種 C．7種 D．8種4．（2017秋·浙江杭州·八年級(jí)競(jìng)賽）下列圖形中，正確畫出AC邊上的高的是（

）A． B．C． D．5．（2017秋·浙江杭州·八年級(jí)競(jìng)賽）如圖，P為△ABC邊BC上的一點(diǎn)，且PC=2PB，已知∠ABC=45°，∠APC=60°，那么∠ACB的度數(shù)是（

）A．45° B．75° C．90° D．60°6．（2022秋·四川綿陽·八年級(jí)東辰國際學(xué)校校考競(jìng)賽）如圖，直角中，，，，，點(diǎn)P是線段上一動(dòng)點(diǎn)（可與點(diǎn)A、點(diǎn)B重合），連接，則線段長度的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．（2022秋·四川綿陽·八年級(jí)東辰國際學(xué)校?？几?jìng)賽）如圖，已知直線ABCD，直線EF分別交直線AB，CD于點(diǎn)E，F(xiàn)，EM平分∠AEF交CD于點(diǎn)M．G是射線MD上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)M，F(xiàn)重合）．EH平分∠FEG交CD于點(diǎn)H，設(shè)∠MEH=α，∠EGF=β．現(xiàn)有下列四個(gè)式子：①2α=β，②2α-β=180°，③α-β=30°，④2α+β=180，在這四個(gè)式子中，正確的是（）A．①② B．①④ C．①③④ D．②③④8．（2022秋·江蘇·八年級(jí)?？几?jìng)賽）如圖，在△ABC中，∠A=70°，∠C=30°，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，DE∥AB，交BC于點(diǎn)E，則∠BDE的度數(shù)是（

）A．30° B．40° C．50° D．60°二、填空題9．（2022秋·四川綿陽·八年級(jí)東辰國際學(xué)校校考競(jìng)賽）如圖，沿折疊使點(diǎn)落在點(diǎn)處，、分別是、平分線，若，，則_____．10．（2022秋·四川綿陽·八年級(jí)東辰國際學(xué)校?？几?jìng)賽）在中，，的平分線交于點(diǎn)，的外角平分線所在直線與的平分線相交于點(diǎn)，與的外角平分線相交于點(diǎn)，則下列結(jié)論一定正確的是_____．（填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）①；②；③；④．11．（2022秋·四川綿陽·八年級(jí)東辰國際學(xué)校校考競(jìng)賽）如圖，把兩塊大小相同的含45°的三角板ACF和三角板CFB如圖所示擺放，點(diǎn)D在邊AC上，點(diǎn)E在邊BC上，且∠CFE＝13°，∠CFD＝32°，則∠DEC的度數(shù)為_______．12．（2022秋·江蘇·八年級(jí)校考競(jìng)賽）過等腰三角形頂角頂點(diǎn)的一條直線，將該等腰三角形分成的兩個(gè)三角形均為等腰三角形，則原等腰三角形的底角度數(shù)為____．13．（2022秋·江蘇·八年級(jí)校考競(jìng)賽）如圖，中，是上任意一點(diǎn)，于點(diǎn)于點(diǎn)F，若，則________．14．（2022秋·江蘇·八年級(jí)?？几?jìng)賽）如圖．在中，，．若，則______．15．（2022秋·江蘇·八年級(jí)?？几?jìng)賽）如圖，在中，，，以點(diǎn)C為圓心，CA長為半徑作弧，交直線BC于點(diǎn)P，連結(jié)AP，則的度數(shù)是_______．16．（2022春·湖南長沙·八年級(jí)校聯(lián)考競(jìng)賽）如圖，已知在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90o，AB=AC，AD=AE，點(diǎn)C，D，E三點(diǎn)在同一條直線上，連接BD，BE．以下四個(gè)結(jié)論：①BD=CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC=45°；④BE=AC+AD，其中結(jié)論正確的是___________（填序號(hào)）17．（2018春·四川自貢·八年級(jí)競(jìng)賽）如上圖，已知,則的度數(shù)是________.18．（2022秋·四川綿陽·八年級(jí)東辰國際學(xué)校?？几?jìng)賽）如圖，，BF，DF分別平分和，，與互補(bǔ)，則的度數(shù)為______．三、解答題19．（2018春·四川自貢·八年級(jí)競(jìng)賽）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D、E、F分別在AB、BC、AC邊且BE＝CF，AD+EC＝AB．（1）求證：△DEF是等腰三角形；（2）當(dāng)∠A＝40°時(shí)，求∠DEF的度數(shù)．20．（2017·全國·八年級(jí)競(jìng)賽）如圖，中，D為BC的中點(diǎn)，DE平分，DF平分，，，P為AD與EF的交點(diǎn)，證明：．21．（2022秋·四川綿陽·八年級(jí)東辰國際學(xué)校?？几?jìng)賽）如圖1，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在直線上，，過點(diǎn)A作的延長線交于點(diǎn)G，交于點(diǎn)N，平分，交于點(diǎn)H，交于點(diǎn)M．(1)直接寫出之間的關(guān)系：．(2)若，求．(3)如圖2，在（2）的條件下，將繞著點(diǎn)E以每秒5°的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t，當(dāng)邊與射線重合時(shí)停止，則在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)?shù)钠渲幸贿吪c的某一邊平行時(shí)，直接寫出此時(shí)t的值．22．（2022秋·四川綿陽·八年級(jí)東辰國際學(xué)校?？几?jìng)賽）如圖1，在五邊形ABCDE中，，．(1)猜想AB與CD之間的位置關(guān)系，并說明理由；(2)如圖2，延長DE至F，連接BE，若，，，求∠C的度數(shù)．參考答案：1．B【分析】根據(jù)AB∥CD，可得∠C＝∠ABC＝30°，再由等腰三角形的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：∵AB∥CD，∴∠C＝∠ABC＝30°，又∵CD＝CE，∴∠D＝∠CED，∵∠C+∠D+∠CED＝180°，即30°+2∠D＝180°，∴∠D＝75°．故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形中，等邊對(duì)等角是解題的關(guān)鍵．2．C【分析】先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，然后根據(jù)角的和差即可得．【詳解】解：為等邊三角形，，，，，，，解得，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．3．C【詳解】試題分析：已知三角形的周長，分別假設(shè)三角形的最長邊，從而利用三角形三邊關(guān)系進(jìn)行驗(yàn)證即可求得不同的截法．解：∵長棒的長度為15cm，即三角形的周長為15cm∴①當(dāng)三角形的最長邊為7時(shí)，有4種截法，分別是：7，7，1；7，6，2；7，5，3；7，4，4；②當(dāng)三角形的最長邊為6時(shí)，有2種截法，分別是：6，6，3；6，5，4；③當(dāng)三角形的最長邊為5時(shí)，有1種截法，是：5，5，5；④當(dāng)三角形的最長邊為4時(shí)，有1種截法，是4，3，8，因?yàn)?+3＜8，所以此截法不可行；∴不同的截法有：4+2+1=7種．故選C．考點(diǎn)：三角形三邊關(guān)系．4．D【分析】根據(jù)高的定義即可求解．【詳解】解：根據(jù)銳角三角形和鈍角三角形的高線的畫法，可得D選項(xiàng)中，BE是△ABC中AC邊長的高，故選：D．【點(diǎn)晴】此題主要考查高的作法，解題的關(guān)鍵是熟知高的定義．5．B【詳解】試題解析：過C作AP的垂線CD，垂足為點(diǎn)D．連接BD；∵△PCD中，∠APC=60°，∴∠DCP=30°，PC=2PD，∵PC=2PB，∴BP=PD，∴△BPD是等腰三角形，∠BDP=∠DBP=30°，∵∠ABP=45°，∴∠ABD=15°，∵∠BAP=∠APC-∠ABC=60°-45°=15°，∴∠ABD=∠BAD=15°，∴BD=AD，∵∠DBP=45°-15°=30°，∠DCP=30°，∴BD=DC，∴△BDC是等腰三角形，∵BD=AD，∴AD=DC，∵∠CDA=90°，∴∠ACD=45°，∴∠ACB=∠DCP+∠ACD=75°，故選B.6．D【分析】根據(jù)垂線段最短，找到點(diǎn)P的位置，利用面積法求出取值，再比較點(diǎn)P與點(diǎn)A重合，與點(diǎn)B重合時(shí)的情況，得到最大值，即可得解．【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)時(shí)，最短，此時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，，∴最大值為4，∴的取值范圍是，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了垂線段最短，面積法，解題的關(guān)鍵是找到取最值的情況．7．B【分析】分兩種情況討論，即當(dāng)G在F左側(cè)時(shí)，當(dāng)G在F的右側(cè)時(shí)，根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義分別求出2α=β或2α+β=180°，則可作出判斷.【詳解】解：如圖，當(dāng)G在F左側(cè)時(shí)，∵∠MEH=∠MEF-∠HEF=∠AEF-∠GEF=α，∠EGF=∠GEB=∠AEG=∠AEF-∠GEF=β，∴2α=β，故①正確；如圖，當(dāng)G在F的右側(cè)時(shí)，∵∠MEH=∠MEF+∠HEF=∠AEF+∠GEF=α，∠EGF=∠GEB=180°-∠AEG=180°-∠AEF-∠GEF=β，∴2α+β=2(∠AEF+∠GEF)+180°-∠AEF-∠GEF=180°，故④正確；綜上所述，正確的是①④；故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是掌握平行線的性質(zhì)．8．B【分析】由三角形的內(nèi)角和可求∠ABC，根據(jù)角平分線可以求得∠ABD，由DE//AB，可得∠BDE=∠ABD即可．【詳解】解：∵∠A+∠C=100°∴∠ABC=80°，∵BD平分∠BAC，∴∠ABD=40°，∵DE∥AB，∴∠BDE=∠ABD=40°，故答案為B．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)角和定理、角平分線的意義、平行線的性質(zhì)，靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)是解答本題的關(guān)鍵．9．140【分析】欲求，因?yàn)?，所以僅需求．根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，得．因?yàn)椤⒎謩e是、平分線，所以，進(jìn)而可求出．【詳解】解：如圖，、分別是、平分線，，．又，，又，，，，由題意得：，，，故答案為：140．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形外角的性質(zhì)以及角平分線的定義，熟練掌握三角形外角的性質(zhì)以及角平分線的定義是解決本題的關(guān)鍵．10．①②④【分析】由角平分線的定義可得，再由三角形的內(nèi)角和定理可求解，即可判定①；由角平分線的定義可得，結(jié)合三角形外角的性質(zhì)可判定②；由三角形外角的性質(zhì)可得，再利用角平分線的定義及三角形的內(nèi)角和定理可判定③；利用三角形外角的性質(zhì)可得，結(jié)合可判定④．【詳解】解：，的平分線交于點(diǎn)，，，，，，，，故①正確，平分，，，，，故②正確；，，，，平分，平分，，，，，，故③錯(cuò)誤；，，，．故④正確，綜上正確的有：①②④，故答案為：①②④．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握角平分線的定義和三角形的外角性質(zhì)，并能進(jìn)行推理計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵．11．【分析】作FH垂直于FE，交AC于點(diǎn)H，可證得，由對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等可得出，進(jìn)而可求出，則．【詳解】作FH垂直于FE，交AC于點(diǎn)H，∵又∵，∴∵，F(xiàn)A=CF∴∴FH=FE∵∵∴又∵DF=DF∴∴∵∴∵∴∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定及其性質(zhì)，作輔助線HF垂直于FE是解題的關(guān)鍵．12．45°或36°【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可得出答案．【詳解】解：①如圖1，當(dāng)過頂角的頂點(diǎn)的直線把它分成了兩個(gè)等腰三角形，則AC=BC，AD=CD=BD，設(shè)∠A=x°，則∠ACD=∠A=x°，∠B=∠A=x°，∴∠BCD=∠B=x°，∵∠A+∠ACB+∠B=180°，∴x+x+x+x=180，解得x=45，∴原等腰三角形的底角是45°；②如圖2，△ABC中，AB=AC，BD=AD，AC=CD，∵AB=AC，BD=AD，AC=CD，∴∠B=∠C=∠BAD，∠CDA=∠CAD，∵∠CDA=2∠B，∴∠CAB=3∠B，∵∠BAC+∠B+∠C=180°，∴5∠B=180°，∴∠B=36°，∴原等腰三角形的底角為36°；故答案為45°或36°【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及其判定．作此題的時(shí)候，首先大致畫出符合條件的圖形，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理及其推論找到角之間的關(guān)系，列方程求解．13．1【分析】將的面積拆成兩個(gè)三角形面積之和，即可間接求出的值．【詳解】解：連接，如下圖：于點(diǎn)于點(diǎn)，，，，故答案是：1．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，利用面積法解決兩邊之和問題，解題的關(guān)鍵是：將的面積拆成兩個(gè)三角形面積之和來解答．14．54°【分析】首先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠A=∠AEF，再根據(jù)三角形的外角和定理得出∠A+∠AEF=∠CFE，求出∠A的度數(shù)，最后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠B的度數(shù)即可．【詳解】∵AF=EF，∴∠A=∠AEF，∵∠A+∠AEF=∠CFE=72°，∴∠A=36°，∵∠C=90°，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠B=180°-∠A-∠C=54°．故答案為：54°．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，掌握相關(guān)定理和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．或【分析】分①點(diǎn)P在BC的延長線上，②點(diǎn)P在CB的延長線上兩種情況，再利用等腰三角形的性質(zhì)即可得出答案．【詳解】解：①當(dāng)點(diǎn)P在BC的延長線上時(shí)，如圖∵，，∴∴∵以點(diǎn)C為圓心，CA長為半徑作弧，交直線BC于點(diǎn)P，∴AC=PC∴∵∴∴②當(dāng)點(diǎn)P在CB的延長線上時(shí)，如圖由①得，∵AC=PC∴∴故答案為：或【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，分類討論不重不漏是解題的關(guān)鍵．16．①②③【分析】根據(jù)全等、等腰三角形以及三角形邊的性質(zhì)即可得出答案.【詳解】∵∠BAC=∠DAE=90o，AB=AC，AD=AE又∠BAD=∠BAC+∠CAD∠CAE=∠EAD+∠CAD∴∠BAD=∠CAE∴△BAD≌△CAE(SAS)∴BD=CE，故選項(xiàng)①正確；∴∠BDA=∠CEA=45°又∠ADE=45°∴∠BDE=∠ADE+∠BDA=90°∴BD⊥CE，故選項(xiàng)②正確；∵△BAD≌△CAE∴∠ACE=∠ABD又∠ABC=∠ABD+∠CBD=∠ACE+∠CBD=45°，故選項(xiàng)③正確；在△BAE中AB+AE>BE又AB=AC，AE=AD∴AC+AD>BE，故選項(xiàng)④錯(cuò)誤；故答案為：①②③.【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰三角形，難度適中，需要熟練掌握等腰三角形、全等以及三角形的基本性質(zhì).17．20°/20度【分析】先證明△ABD≌△ACE，再利用三角形內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】解：∵BE=CD，∴BD=CE．在△ABD和△ACE中，∵，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B=∠C．∵∠BAC=80°，∴∠C=（180°﹣80°）÷2=50°，∴∠CAE=180°﹣110°﹣50°=20°．故答案為20°．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，掌握SAS證明三角形全等是關(guān)鍵．18．/36度【分析】延長FB交CD于G,然后運(yùn)用平行的性質(zhì)和角平分線的定義，進(jìn)行解答即可.【詳解】解：如圖延長FB交CD于G∵BF∥ED∴∠F=∠EDF又∵DF平分∠CDE，∴∠CDE=2∠F，∵BF∥ED∴∠CGF=∠EDF=2∠F，∵AB∥CD∴∠ABF=∠CGF=2∠F，∵BF平分∠ABE∴∠ABE=2∠ABF=4∠F，又∵∠F與∠ABE互補(bǔ)∴∠F+∠ABE=180°即5∠F=180°，解得∠F=36°故答案為36°.【點(diǎn)睛】本題考查了平行的性質(zhì)和角平分線的定義，做出輔助線是解答本題的關(guān)鍵.19．（1）見解析；（2）∠DEF＝70°．【分析】（1）求出EC=DB，∠B=∠C，根據(jù)SAS推出△BED≌△CFE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出DE=EF即可；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠B=∠C=70°，根據(jù)全等得出∠BDE=∠FEC，求出∠DEB+∠FEC=110°，即可得出答案；【詳解】（1）證明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵AB＝AD+BD，AB＝AD+EC，∴BD＝EC，在△DBE和△ECF中，，∴△DBE≌△ECF（SAS）∴DE＝EF，∴△DEF是等腰三角形；（2）∵∠A＝40°，∴∠B＝∠C＝＝70°，∴∠BDE+∠DEB＝110°，又∵△DBE≌△ECF，∴∠BDE＝∠FEC，∴∠FEC+∠DEB＝110°，∴∠DEF＝70°．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，能靈活運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．20．見解析【分析】想辦法證明四邊形DEFC是平行四邊形，再證