陜西西西安地區(qū)西工大附中2025屆高三5月模塊測試數(shù)學(xué)試題

陜西西西安地區(qū)西工大附中2025屆高三5月模塊測試數(shù)學(xué)試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知，，則的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．2．已知拋物線和點(diǎn)，直線與拋物線交于不同兩點(diǎn)，，直線與拋物線交于另一點(diǎn)．給出以下判斷：①以為直徑的圓與拋物線準(zhǔn)線相離；②直線與直線的斜率乘積為；③設(shè)過點(diǎn)，，的圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，則．其中，所有正確判斷的序號是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③3．已知雙曲線的焦距是虛軸長的2倍，則雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．4．下圖為一個(gè)正四面體的側(cè)面展開圖，為的中點(diǎn)，則在原正四面體中，直線與直線所成角的余弦值為（）A． B．C． D．5．若（是虛數(shù)單位），則的值為（）A．3 B．5 C． D．6．已知為定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)，要得到函數(shù)的圖象，只需將的圖象()A．向左平移個(gè)單位長度 B．向右平移個(gè)單位長度C．向左平移個(gè)單位長度 D．向右平移個(gè)單位長度8．如圖在一個(gè)的二面角的棱有兩個(gè)點(diǎn)，線段分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于棱，且，則的長為（）A．4 B． C．2 D．9．設(shè)過拋物線上任意一點(diǎn)(異于原點(diǎn))的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，直線與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為，則（）A． B． C． D．10．一袋中裝有個(gè)紅球和個(gè)黑球（除顏色外無區(qū)別），任取球，記其中黑球數(shù)為，則為（）A． B． C． D．11．在棱長均相等的正三棱柱中，為的中點(diǎn)，在上，且，則下述結(jié)論：①；②；③平面平面：④異面直線與所成角為其中正確命題的個(gè)數(shù)為()A．1 B．2 C．3 D．412．已知函數(shù),關(guān)于的方程R)有四個(gè)相異的實(shí)數(shù)根,則的取值范圍是(

)A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知隨機(jī)變量，且，則______14．（5分）在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)作傾斜角為的直線，已知直線與圓相交于兩點(diǎn)，則弦的長等于____________．15．設(shè)為定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，（為常數(shù)），若，則實(shí)數(shù)的值為______.16．的展開式中的系數(shù)為__________（用具體數(shù)據(jù)作答）.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在新中國成立70周年國慶閱兵慶典中，眾多群眾在臉上貼著一顆紅心，以此表達(dá)對祖國的熱愛之情，在數(shù)學(xué)中，有多種方程都可以表示心型曲線，其中有著名的笛卡爾心型曲線，如圖，在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.圖中的曲線就是笛卡爾心型曲線，其極坐標(biāo)方程為（），M為該曲線上的任意一點(diǎn).（1）當(dāng)時(shí)，求M點(diǎn)的極坐標(biāo)；（2）將射線OM繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)與該曲線相交于點(diǎn)N，求的最大值.18．（12分）等比數(shù)列中，．(Ⅰ)求的通項(xiàng)公式；(Ⅱ)記為的前項(xiàng)和．若，求．19．（12分）如圖，三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，且，，，，是棱的中點(diǎn).（1）證明：；（2）求二面角的余弦值.20．（12分）在中，、、的對應(yīng)邊分別為、、，已知，，.（1）求；（2）設(shè)為中點(diǎn)，求的長.21．（12分）的內(nèi)角的對邊分別為，已知.（1）求的大?。唬?）若，求面積的最大值.22．（10分）如圖，在斜三棱柱中，已知為正三角形，D，E分別是，的中點(diǎn)，平面平面，.（1）求證：平面；（2）求證：平面.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

由指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)易得最小，利用作差法，結(jié)合對數(shù)換底公式及基本不等式的性質(zhì)即可比較和的大小關(guān)系，進(jìn)而得解.【詳解】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)可知，由對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)可知，，所以最??；而由對數(shù)換底公式化簡可得由基本不等式可知，代入上式可得所以，綜上可知，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)式與對數(shù)式的化簡變形，對數(shù)換底公式及基本不等式的簡單應(yīng)用，作差法比較大小，屬于中檔題.2、D【解析】

對于①，利用拋物線的定義，利用可判斷；對于②，設(shè)直線的方程為，與拋物線聯(lián)立，用坐標(biāo)表示直線與直線的斜率乘積，即可判斷；對于③，將代入拋物線的方程可得，，從而，，利用韋達(dá)定理可得，再由，可用m表示，線段的中垂線與軸的交點(diǎn)（即圓心）橫坐標(biāo)為，可得a，即可判斷.【詳解】如圖，設(shè)為拋物線的焦點(diǎn)，以線段為直徑的圓為，則圓心為線段的中點(diǎn)．設(shè)，到準(zhǔn)線的距離分別為，，的半徑為，點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，顯然，，三點(diǎn)不共線，則．所以①正確．由題意可設(shè)直線的方程為，代入拋物線的方程，有．設(shè)點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，，則，．所以．則直線與直線的斜率乘積為．所以②正確．將代入拋物線的方程可得，，從而，．根據(jù)拋物線的對稱性可知，，兩點(diǎn)關(guān)于軸對稱，所以過點(diǎn)，，的圓的圓心在軸上．由上，有，，則．所以，線段的中垂線與軸的交點(diǎn)（即圓心）橫坐標(biāo)為，所以．于是，，代入，，得，所以．所以③正確．故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的性質(zhì)綜合，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)形結(jié)合，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于較難題.3、A【解析】

根據(jù)雙曲線的焦距是虛軸長的2倍，可得出，結(jié)合，得出，即可求出雙曲線的漸近線方程.【詳解】解：由雙曲線可知，焦點(diǎn)在軸上，則雙曲線的漸近線方程為：，由于焦距是虛軸長的2倍，可得：，∴，即：，，所以雙曲線的漸近線方程為：.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，以及雙曲線的漸近線方程.4、C【解析】

將正四面體的展開圖還原為空間幾何體，三點(diǎn)重合，記作，取中點(diǎn)，連接，即為與直線所成的角，表示出三角形的三條邊長，用余弦定理即可求得.【詳解】將展開的正四面體折疊，可得原正四面體如下圖所示，其中三點(diǎn)重合，記作：則為中點(diǎn)，取中點(diǎn)，連接，設(shè)正四面體的棱長均為，由中位線定理可得且，所以即為與直線所成的角，，由余弦定理可得，所以直線與直線所成角的余弦值為，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了空間幾何體中異面直線的夾角，將展開圖折疊成空間幾何體，余弦定理解三角形的應(yīng)用，屬于中檔題.5、D【解析】

直接利用復(fù)數(shù)的模的求法的運(yùn)算法則求解即可.【詳解】（是虛數(shù)單位）可得解得本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的模的運(yùn)算法則的應(yīng)用，復(fù)數(shù)的模的求法，考查計(jì)算能力.6、D【解析】

判斷，利用函數(shù)的奇偶性代入計(jì)算得到答案.【詳解】∵，∴．故選：【點(diǎn)睛】本題考查了利用函數(shù)的奇偶性求值，意在考查學(xué)生對于函數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用.7、A【解析】

根據(jù)函數(shù)圖像平移原則，即可容易求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，故要得到，只需將向左平移個(gè)單位長度.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖像平移前后解析式的變化，屬基礎(chǔ)題.8、A【解析】

由，兩邊平方后展開整理，即可求得，則的長可求．【詳解】解：，，，，，，．，，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了向量的多邊形法則、數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，考查了空間想象能力，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．9、C【解析】

畫出圖形，將三角形面積比轉(zhuǎn)為線段長度比，進(jìn)而轉(zhuǎn)為坐標(biāo)的表達(dá)式。寫出直線方程，再聯(lián)立方程組，求得交點(diǎn)坐標(biāo)，最后代入坐標(biāo)，求得三角形面積比.【詳解】作圖，設(shè)與的夾角為，則中邊上的高與中邊上的高之比為，，設(shè)，則直線，即，與聯(lián)立，解得，從而得到面積比為.故選：【點(diǎn)睛】解決本題主要在于將面積比轉(zhuǎn)化為線段長的比例關(guān)系，進(jìn)而聯(lián)立方程組求解，是一道不錯(cuò)的綜合題.10、A【解析】

由題意可知，隨機(jī)變量的可能取值有、、、，計(jì)算出隨機(jī)變量在不同取值下的概率，進(jìn)而可求得隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望值.【詳解】由題意可知，隨機(jī)變量的可能取值有、、、，則，，，.因此，隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】

設(shè)出棱長，通過直線與直線的垂直判斷直線與直線的平行，推出①的正誤；判斷是的中點(diǎn)推出②正的誤；利用直線與平面垂直推出平面與平面垂直推出③正的誤；建立空間直角坐標(biāo)系求出異面直線與所成角判斷④的正誤．【詳解】解：不妨設(shè)棱長為：2，對于①連結(jié)，則，即與不垂直，又，①不正確；對于②，連結(jié)，，在中，，而，是的中點(diǎn)，所以，②正確；對于③由②可知，在中，，連結(jié)，易知，而在中，，，即，又，面，平面平面，③正確；以為坐標(biāo)原點(diǎn)，平面上過點(diǎn)垂直于的直線為軸，所在的直線為軸，所在的直線為軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系；，，，，，；，；異面直線與所成角為，，故．④不正確．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查命題的真假的判斷，棱錐的結(jié)構(gòu)特征，直線與平面垂直，直線與直線的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查空間想象能力以及邏輯推理能力．12、A【解析】=,當(dāng)時(shí)時(shí),單調(diào)遞減，時(shí),單調(diào)遞增,且當(dāng),當(dāng),

當(dāng)時(shí)，恒成立，時(shí),單調(diào)遞增且,方程R)有四個(gè)相異的實(shí)數(shù)根.令=則,,即.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、0.1【解析】

根據(jù)原則，可得，簡單計(jì)算，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：隨機(jī)變量，則期望為所以故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布的計(jì)算，掌握正態(tài)曲線的圖形以及計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.14、【解析】

方法一：依題意，知直線的方程為，代入圓的方程化簡得，解得或，從而得或，則．方法二：依題意，知直線的方程為，代入圓的方程化簡得，設(shè)，則，故.方法三：將圓的方程配方得,其半徑,圓心到直線的距離，則.15、1【解析】

根據(jù)為定義在上的偶函數(shù)，得，再根據(jù)當(dāng)時(shí)，（為常數(shù)）求解.【詳解】因?yàn)闉槎x在上的偶函數(shù)，所以，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，所以實(shí)數(shù)的值為1.故答案為：1【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式可求的系數(shù).【詳解】的展開式的通項(xiàng)公式為，令，故，故的系數(shù)為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)展開式中指定項(xiàng)的系數(shù)，注意利用通項(xiàng)公式來計(jì)算，本題屬于容易題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）點(diǎn)M的極坐標(biāo)為或（2）【解析】

（1）令，由此求得的值，進(jìn)而求得點(diǎn)的極坐標(biāo).（2）設(shè)出兩點(diǎn)的極坐標(biāo)，利用勾股定理求得的表達(dá)式，利用三角函數(shù)最值的求法，求得的最大值.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)M在極坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，由，得，∵∴或，所以點(diǎn)M的極坐標(biāo)為或（2）由題意可設(shè)，.由，得，.故時(shí)，的最大值為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查極坐標(biāo)的求法，考查極坐標(biāo)下兩點(diǎn)間距離的計(jì)算以及距離最值的求法，屬于中檔題.18、(Ⅰ)或(Ⅱ)12【解析】

（1）先設(shè)數(shù)列的公比為，根據(jù)題中條件求出公比，即可得出通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，由等比數(shù)列的求和公式，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公比為，，，或.（2）時(shí)，，解得；時(shí)，，無正整數(shù)解；綜上所述.【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列，熟記等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式即可，屬于基礎(chǔ)題型.19、（1）詳見解析；（2）.【解析】

（1）根據(jù)平面，四邊形是矩形，由為中點(diǎn)，且，利用平面幾何知識，可得，又平面，所以，根據(jù)線面垂直的判定定理可有平面，從而得證.（2）分別以，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，得到，，，，分別求得平和平面的法向量，代入二面角向量公式求解.【詳解】（1）證明：∵平面，∴四邊形是矩形，∵為中點(diǎn)，且，∴，∵，，，∴.∴，∵，∴與相似，∴，∴，∴，∵，∴平面，∴平面，∵平面，∴，∴平面，∴.（2）如圖，分別以，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，，解得：，同理，平面的法向量，設(shè)二面角的大小為，則.即二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查線線垂直、線面垂直的轉(zhuǎn)化以及二面角的求法，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和推理論證、運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.20、（1）；（2）.【解析】

（1）直接根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出，結(jié)合正弦定理求出；（2）結(jié)合第一問的結(jié)論以及余弦定理即可求解．【詳解】解：（1）∵，且，∴，由正弦定理，∴，∵∴銳角，∴（2）∵，∴∴∴在中，由余弦定理得∴【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理和余弦定理的運(yùn)用．考查了學(xué)生對三角函數(shù)基礎(chǔ)知識的綜合運(yùn)用．21、（1）；（2）.【解析】

（1）利用正弦定理將邊化角，結(jié)合誘導(dǎo)公式可化簡邊角關(guān)系式，求得，根據(jù)可求得結(jié)果；（2）利用余弦定理可得，利用基本不等式可求得，代入三角形面積公式可求得結(jié)果.【詳解】（1）由正弦定理得：，又，即由得：（2）由余弦定理得：又（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號）即三角形面積的最大值為：【點(diǎn)睛】本題考查解三角形的相關(guān)知識，涉及到正弦定理化簡邊