黑龍江省雞西虎林市東方紅林業(yè)局中學(xué)2025屆高三二模數(shù)學(xué)試題試卷與答案

黑龍江省雞西虎林市東方紅林業(yè)局中學(xué)2025屆高三二模數(shù)學(xué)試題試卷與答案注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，它歷史悠久，風(fēng)格獨特，神獸人們喜愛．下圖即是一副窗花，是把一個邊長為12的大正方形在四個角處都剪去邊長為1的小正方形后剩余的部分，然后在剩余部分中的四個角處再剪出邊長全為1的一些小正方形．若在這個窗花內(nèi)部隨機取一個點，則該點不落在任何一個小正方形內(nèi)的概率是（）A． B． C． D．2．已知直線：（）與拋物線：交于（坐標原點），兩點，直線：與拋物線交于，兩點.若，則實數(shù)的值為（）A． B． C． D．3．橢圓是日常生活中常見的圖形，在圓柱形的玻璃杯中盛半杯水，將杯體傾斜一個角度，水面的邊界即是橢圓.現(xiàn)有一高度為12厘米，底面半徑為3厘米的圓柱形玻璃杯，且杯中所盛水的體積恰為該玻璃杯容積的一半（玻璃厚度忽略不計），在玻璃杯傾斜的過程中（杯中的水不能溢出），杯中水面邊界所形成的橢圓的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．4．已知是球的球面上兩點,,為該球面上的動點.若三棱錐體積的最大值為36,則球的表面積為（）A． B． C． D．5．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A． B． C． D．6．雙曲線的漸近線方程為()A． B．C． D．7．雙曲線x26-y23=1的漸近線與圓(x－3)2＋y2＝A．3 B．2C．3 D．68．數(shù)列滿足：，則數(shù)列前項的和為A． B． C． D．9．已知雙曲線的實軸長為，離心率為，、分別為雙曲線的左、右焦點，點在雙曲線上運動，若為銳角三角形，則的取值范圍是（）A． B． C． D．10．已知函數(shù)的最大值為，若存在實數(shù)，使得對任意實數(shù)總有成立，則的最小值為（）A． B． C． D．11．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的，則輸出的()A．9 B．31 C．15 D．6312．已知角的頂點為坐標原點，始邊與軸的非負半軸重合，終邊上有一點，則（）．A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，半球內(nèi)有一內(nèi)接正四棱錐，該四棱錐的體積為，則該半球的體積為__________.14．在中，，，則_________.15．如圖所示的流程圖中，輸出的值為______.16．雙曲線的離心率為_________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以直角坐標系的原點為極點，軸的正半軸為極軸建立坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求的普通方程和的直角坐標方程；（2）若過點的直線與交于，兩點，與交于，兩點，求的取值范圍.18．（12分）已知在平面直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸的非負半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求曲線與直線的直角坐標方程；（2）若曲線與直線交于兩點，求的值.19．（12分）某中學(xué)準備組建“文科”興趣特長社團，由課外活動小組對高一學(xué)生文科、理科進行了問卷調(diào)查，問卷共100道題，每題1分，總分100分，該課外活動小組隨機抽取了200名學(xué)生的問卷成績（單位：分）進行統(tǒng)計，將數(shù)據(jù)按照，，，，分成5組，繪制的頻率分布直方圖如圖所示，若將不低于60分的稱為“文科方向”學(xué)生，低于60分的稱為“理科方向”學(xué)生.理科方向文科方向總計男110女50總計（1）根據(jù)已知條件完成下面列聯(lián)表，并據(jù)此判斷是否有99%的把握認為是否為“文科方向”與性別有關(guān)？（2）將頻率視為概率，現(xiàn)在從該校高一學(xué)生中用隨機抽樣的方法每次抽取1人，共抽取3次，記被抽取的3人中“文科方向”的人數(shù)為，若每次抽取的結(jié)果是相互獨立的，求的分布列、期望和方差.參考公式：，其中.參考臨界值：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82820．（12分）已知函數(shù).（1）討論函數(shù)單調(diào)性；（2）當時，求證：.21．（12分）已知函數(shù)，.（1）若不等式的解集為，求的值.（2）若當時，，求的取值范圍.22．（10分）甲、乙、丙三名射擊運動員射中目標的概率分別為，三人各射擊一次，擊中目標的次數(shù)記為.（1）求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（2）在概率(=0，1，2，3)中,若的值最大,求實數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．D【解析】

由幾何概型可知,概率應(yīng)為非小正方形面積與窗花面積的比,即可求解.【詳解】由題,窗花的面積為,其中小正方形的面積為,所以所求概率,故選:D【點睛】本題考查幾何概型的面積公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.2．D【解析】

設(shè)，，聯(lián)立直線與拋物線方程，消去、列出韋達定理，再由直線與拋物線的交點求出點坐標，最后根據(jù)，得到方程，即可求出參數(shù)的值；【詳解】解：設(shè)，，由，得，∵，解得或，∴，.又由，得，∴或，∴，∵，∴，又∵，∴代入解得.故選：D【點睛】本題考查直線與拋物線的綜合應(yīng)用，弦長公式的應(yīng)用，屬于中檔題.3．C【解析】

根據(jù)題意可知當玻璃杯傾斜至杯中水剛好不溢出時，水面邊界所形成橢圓的離心率最大，由橢圓的幾何性質(zhì)即可確定此時橢圓的離心率，進而確定離心率的取值范圍.【詳解】當玻璃杯傾斜至杯中水剛好不溢出時，水面邊界所形成橢圓的離心率最大.此時橢圓長軸長為，短軸長為6，所以橢圓離心率，所以.故選：C【點睛】本題考查了橢圓的定義及其性質(zhì)的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.4．C【解析】

如圖所示，當點C位于垂直于面的直徑端點時，三棱錐的體積最大，設(shè)球的半徑為，此時，故，則球的表面積為，故選C．考點：外接球表面積和椎體的體積．5．D【解析】

利用輔助角公式,化簡函數(shù)的解析式,再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性,并采用整體法,可得結(jié)果.【詳解】因為，由，解得，即函數(shù)的增區(qū)間為，所以當時，增區(qū)間的一個子集為.故選D.【點睛】本題考查了輔助角公式,考查正弦型函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間,重點在于把握正弦函數(shù)的單調(diào)性，同時對于整體法的應(yīng)用,使問題化繁為簡,難度較易.6．A【解析】

將雙曲線方程化為標準方程為，其漸近線方程為，化簡整理即得漸近線方程.【詳解】雙曲線得，則其漸近線方程為，整理得.故選：A【點睛】本題主要考查了雙曲線的標準方程，雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用.7．A【解析】

由圓心到漸近線的距離等于半徑列方程求解即可.【詳解】雙曲線的漸近線方程為y＝±22x，圓心坐標為(3,0)．由題意知，圓心到漸近線的距離等于圓的半徑r，即r＝±答案：A【點睛】本題考查了雙曲線的漸近線方程及直線與圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.8．A【解析】分析：通過對an﹣an+1=2anan+1變形可知，進而可知，利用裂項相消法求和即可．詳解：∵，∴，又∵=5，∴，即，∴，∴數(shù)列前項的和為，故選A．點睛：裂項相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時很難找到裂項的方向，突破這一難點的方法是根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點，常見的裂項技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂項之后相消的過程中容易出現(xiàn)丟項或多項的問題，導(dǎo)致計算結(jié)果錯誤.9．A【解析】

由已知先確定出雙曲線方程為，再分別找到為直角三角形的兩種情況，最后再結(jié)合即可解決.【詳解】由已知可得，，所以，從而雙曲線方程為，不妨設(shè)點在雙曲線右支上運動，則，當時，此時，所以，，所以；當軸時，，所以，又為銳角三角形，所以.故選：A.【點睛】本題考查雙曲線的性質(zhì)及其應(yīng)用，本題的關(guān)鍵是找到為銳角三角形的臨界情況，即為直角三角形，是一道中檔題.10．B【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的兩角和差公式得到，進而可以得到函數(shù)的最值，區(qū)間(m,n)長度要大于等于半個周期，最終得到結(jié)果.【詳解】函數(shù)則函數(shù)的最大值為2，存在實數(shù)，使得對任意實數(shù)總有成立，則區(qū)間(m,n)長度要大于等于半個周期，即故答案為：B.【點睛】這個題目考查了三角函數(shù)的兩角和差的正余弦公式的應(yīng)用，以及三角函數(shù)的圖像的性質(zhì)的應(yīng)用，題目比較綜合.11．B【解析】

根據(jù)程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu)的運算，直至滿足條件退出循環(huán)體，即可得出結(jié)果.【詳解】執(zhí)行程序框；；；；；，滿足，退出循環(huán)，因此輸出，故選:B.【點睛】本題考查循環(huán)結(jié)構(gòu)輸出結(jié)果，模擬程序運行是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.12．B【解析】

根據(jù)角終邊上的點坐標，求得，代入二倍角公式即可求得的值.【詳解】因為終邊上有一點，所以，故選：B【點睛】此題考查二倍角公式，熟練記憶公式即可解決，屬于簡單題目.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

由題意可知半球的半徑與正四棱錐的高相等，可得正四棱錐的棱與半徑的關(guān)系，進而可寫出半球的半徑與四棱錐體積的關(guān)系，進而求得結(jié)果.【詳解】設(shè)所給半球的半徑為，則四棱錐的高，則，由四棱錐的體積，半球的體積為：.【方法點睛】涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時，一般過球心及多面體中的特殊點（一般為接、切點）或線作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑（直徑）與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程（組）求解.14．【解析】

先由題意得：，再利用向量數(shù)量積的幾何意義得，可得結(jié)果.【詳解】由知：，則在方向的投影為，由向量數(shù)量積的幾何意義得：，∴故答案為【點睛】本題考查了投影的應(yīng)用，考查了數(shù)量積的幾何意義及向量的模的運算，屬于基礎(chǔ)題.15．4【解析】

根據(jù)流程圖依次運行直到，結(jié)束循環(huán)，輸出n，得出結(jié)果.【詳解】由題：，，，結(jié)束循環(huán)，輸出.故答案為：4【點睛】此題考查根據(jù)程序框圖運行結(jié)果求輸出值，關(guān)鍵在于準確識別循環(huán)結(jié)構(gòu)和判斷框語句.16．2【解析】三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．(1)見解析;(2).【解析】試題分析：（1）利用平方法消去參數(shù)，即可得到的普通方程，兩邊同乘以利用即可得的直角坐標方程；（2）設(shè)直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），代入，利用韋達定理、直線參數(shù)方程的幾何意義以及三角函數(shù)的有界性可得結(jié)果.試題解析：（1）曲線的普通方程為，曲線的直角坐標方程為；（2）設(shè)直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）又直線與曲線：存在兩個交點，因此.聯(lián)立直線與曲線：可得則聯(lián)立直線與曲線：可得，則即18．（1）曲線的直角坐標方程為；直線的直角坐標方程為（2）【解析】

（1）由公式可化極坐標方程為直角坐標方程，消參法可化參數(shù)方程為普通方程；（2）聯(lián)立兩曲線方程，解方程組得兩交點坐標，從而得兩點間距離．【詳解】解：（1）曲線的直角坐標方程為直線的直角坐標方程為（2）據(jù)解，得或【點睛】本題考查極坐標與直角坐標的互化，考查參數(shù)方程與普通方程的互化，屬于基礎(chǔ)題．19．（1）列聯(lián)表見解析，有；（2）分布列見解析，，.【解析】

（1）由頻率分布直方圖可得分數(shù)在、之間的學(xué)生人數(shù)，可得列聯(lián)表.根據(jù)列聯(lián)表計算的值，結(jié)合參考臨界值表可得到結(jié)論；（2）從該校高一學(xué)生中隨機抽取1人，求出該人為“文科方向”的概率.由題意，求出分布列，根據(jù)公式求出期望和方差.【詳解】（1）由頻率分布直方圖可得分數(shù)在之間的學(xué)生人數(shù)為，在之間的學(xué)生人數(shù)為，所以低于60分的學(xué)生人數(shù)為120.因此列聯(lián)表為理科方向文科方向總計男8030110女405090總計12080200又，所以有99%的把握認為是否為“文科方向”與性別有關(guān).（2）易知從該校高一學(xué)生中隨機抽取1人，則該人為“文科方向”的概率為.依題意知，所以（），所以的分布列為0123P所以期望，方差.【點睛】本題考查獨立性檢驗，考查離散型隨機變量的分布列、期望和方差，屬于中檔題.20．（1）見解析（2）見解析【解析】

（1）根據(jù)的導(dǎo)函數(shù)進行分類討論單調(diào)性（2）欲證，只需證，構(gòu)造函數(shù)，證明，這時需研究的單調(diào)性，求其最大值即可【詳解】解：（1）的定義域為，，①當時，由得，由，得，所以在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；②當時，由得，由，得，或，所以在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；③當時，，所以在上單調(diào)遞增；④當時，由，得，由，得，或，所以在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（2）當時，欲證，只需證，令，，則，因存在，使得成立，即有，使得成立.當變化時，，的變化如下：0單調(diào)遞增單調(diào)遞減所以.因為，所以，所以.即，所以當時，成立.【點睛】考查求函數(shù)單調(diào)性的方法和用函數(shù)的最值證明不等式的方法，難題.21．（1）；（2）【解析】試題分析：（1）求得的解集，根據(jù)集合相等，列出方程組，即可求解的值；（2）①當時，恒成立，②當時，轉(zhuǎn)化為，設(shè)，求得函數(shù)的最小值，即可求解的取值范圍.試題解析：（1）由，得，因為不等式的解集為，所以，故不等式可化為，解得，所以，解得.（2）①當時，恒成立，所以.②當時，可化為，設(shè)，則，所以當時，，所以.綜上，的取值范圍是.22．（1），ξ的分布列為ξ

0

1

2

3

P

(1－a)2

(1－a2)

(2a－a2)

（2）【解析】(1)P(ξ)是“ξ個人命中，3－ξ個人未命中”的概率．其中ξ的可能取值為0、1、2、3.