數(shù)學(xué)概率的基本性質(zhì)教案-2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊

第十章概率10.1隨機事件與概率10.1.4概率的基本性質(zhì)

一、教學(xué)目標

一、教學(xué)目標1.通過類比函數(shù)性質(zhì)的研究途徑，確定概率性質(zhì)的研究思想和方法.2.理解概率的基本性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).3.通過互斥事件的概率求解公式的推廣和對立事件概率的意義，體會劃歸轉(zhuǎn)化思想，提升數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng).

二、教學(xué)重難點重點：概率的基本性質(zhì)及其應(yīng)用．難點：利用概率的基本性質(zhì)解決實際問題．

三、教學(xué)過程（一）創(chuàng)設(shè)情境說一說：類比對函數(shù)性質(zhì)的研究，你認為可以從哪些角度研究概率的性質(zhì)呢？答：我們可以從概率的取值范圍；特殊事件的概率；事件有某些特殊關(guān)系時，它們的概率之間的關(guān)系等角度來研究概率的性質(zhì).師生活動：教師展示帶領(lǐng)學(xué)生簡單回憶學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)定義后對指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的研究，引導(dǎo)學(xué)生思考有哪些研究概率性質(zhì)的角度.設(shè)計意圖：教師帶領(lǐng)學(xué)生回憶學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)定義后對指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的研究，從而引導(dǎo)學(xué)生進行研究路徑的確認，形成類比研究的基礎(chǔ)，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)遷移能力和學(xué)習(xí)興趣，提升學(xué)生的思維能力.（二）探究新知任務(wù)1：確定概率的取值范圍.對隨機事件發(fā)生可能性大小的度量（數(shù)值）稱為事件的概率.事件A的概率用P(探究：結(jié)合概率的定義及隨機事件中的必然事件和不可能事件，你能得到概率有什么性質(zhì)呢？師生活動：小組內(nèi)交流，并匯報展示.提示：由概率的定義可知，任何事件的概率都是非負的；在每次試驗中，必然事件一定發(fā)生，不可能事件一定不會發(fā)生.答：性質(zhì)1對于任意的事件A，都有P(性質(zhì)2必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即P(Ω)=1設(shè)計意圖：在研究路徑的指導(dǎo)下，通過定義及特殊事件的概率研究，得到概率的性質(zhì)1和性質(zhì)2.任務(wù)2：探究和事件A∪B的概率與事件A，在“事件的關(guān)系和運算”中我們研究過事件的某些關(guān)系.具有這些關(guān)系的事件，它們的概率之間會有什么關(guān)系呢？思考：設(shè)事件A與事件B互斥，和事件A∪B的概率與事件A，例：一個袋子中有大小和質(zhì)地相同的4個球，其中有2個紅色球（標號為1和2），2個綠色球（標號為3和4），從袋中不放回地依次隨機摸出2個球.設(shè)事件R=“兩次都摸到紅球”，G=“兩次都摸到綠球”，那么，則事件R和G有什么關(guān)系呢？那么，P(R∪G)與要求：以小組為單位進行討論交流，并匯報答：所有試驗結(jié)果如右圖所示，用數(shù)組（x1，x2）表示可能的結(jié)果，x1是第一次摸到的球的標號，x2是第二次摸到的球的標號．則試驗的樣本空間Ω={(1(3，事件R=“兩次都摸到紅球”，即x1=1或2，x2事件G=“兩次都摸到綠球”，即x1=3或4，x2則R={(1，2)R∪所以，n(R)=2，n則P(R)=P(G)=212，故P(R∪分析：一般地，因為事件A與事件B互斥，即A與B不含有相同的樣本點，所以n(A∪即，兩個互斥事件的和事件的概率等于這兩個事件概率之和.所以我們有互斥事件的概率加法公式：性質(zhì)3如果事件A與事件B互斥，那么P(拓展：互斥事件的概率加法公式可以推廣到多個事件的情況.如果事件A1，A2，···，Am兩兩互斥，那么事件A1∪A2∪···∪Am發(fā)生的概率等于這m個事件分別發(fā)生的概率之和，即P(A1∪A2∪···∪Am)=P(A1)+P(A2∪)+···+P(Am).思考：若事件A與事件B互為對立，那它們的概率又有什么關(guān)系呢？例：一個袋子中有大小和質(zhì)地相同的4個球，其中有2個紅色球（標號為1和2），2個綠色球（標號為3和4），從袋中不放回地依次隨機摸出2個球.設(shè)事件M=“兩個球顏色相同”，N=“兩個球顏色不同”，那么，則事件M和N有什么關(guān)系呢？那么，P(M∪N)與要求：以小組為單位進行討論交流，并匯報答：所有試驗結(jié)果如右圖所示，用數(shù)組（x1，x2）表示可能的結(jié)果，x1是第一次摸到的球的標號，x2是第二次摸到的球的標號．則試驗的樣本空間Ω(3，M=“兩個球顏色相同”，N則M={(1，(3，M(3，所以，n(M)=4，n則P(M)=412，P(N)=8故P(M∪分析：因為事件A與事件B互為對立事件，則事件A與B的交事件A∩B=?,所以事件A與事件B也為互斥事件，因此由性質(zhì)3:如果事件A與事件B互斥，那么P(A∪B)=1=P由此我們得到對立事件的加法概率公式：性質(zhì)4如果事件A與事件B互為對立事件，那么P(B)=1?設(shè)計意圖：以摸球試驗為例，得出和事件A∪B的概率與事件A，B的概率之間的關(guān)系，任務(wù)3：確定概率的單調(diào)性.思考2：若事件A與事件B存在包含關(guān)系，即A?分析：在古典概型中，對于事件A與事件B，如果A?B，那么n(A)≤一般地，對于事件A與事件B，如果A?B，即事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，那么事件A的概率不超過事件于是我們有概率的單調(diào)性：性質(zhì)5如果A?B，那么拓展：由性質(zhì)5可得，對于任意事件A，因為??A?Ω,所以有P(?)?P(0≤P(A)≤1設(shè)計意圖：以古典概型為例，得出概率的單調(diào)性，讓學(xué)生學(xué)會總結(jié).任務(wù)4：探究概率的加法公式思考：隨機試驗中，任意兩個事件A和B，P(A∪B)和P(A)+P(B)也相等嗎？如果不相等，請說明原因，并思考如何計算P(A∪B).例：一個袋子中有大小和質(zhì)地相同的4個球，其中有2個紅色球（標號為1和2），2個綠色球（標號為3和4），從袋中不放回地依次隨機摸出2個球.設(shè)事件R1=“第一次摸到紅球”，R2=“第二次摸到紅球”.那么，事件R1和R2有什么關(guān)系呢？P(R1∪R2)和P(R1)+P(R2)之間有什么關(guān)系呢？答：所有試驗結(jié)果如右圖所示，用數(shù)組（x1，x2）表示可能的結(jié)果，x1是第一次摸到的球的標號，x2是第二次摸到的球的標號．則試驗的樣本空間Ω(3，事件R1=“第一次摸到紅球”，即x1=1或2；事件R2=“第二次摸到紅球”，即x2=1或2.于是，R1={(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)}；R2={(2，1)，(3，1)，(4，1)，(1，2)，(3，2)，(4，2)}；R1∪R2={(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(4，1)，(3，2)，(4，2)}R1∩R2={(1，2)，(2，1)}故事件R1與事件R2既不對立也不互斥，是試驗中任意兩個事件.n(Ω)=12，n(R1)=n(R2)=6，n(R1∪R2)=10，n(R1∩R2)=2，所以P(R1)=P(R2)=，P(R1∪R2)=1012，P(R1∪R2)=212.因此P(R1∪R2)≠P(R1)+P(R2).這是因為(R1∪R2={(1，2)，(2，1)}≠?，即事件R1，R2不是互斥的，容易得到P(R1∪R2)=P(R1)+P(R2)-P(R1R2一般地，我們有概率的加法公式：性質(zhì)6設(shè)A，B是隨機試驗中的兩個事件，我們有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB).顯然，性質(zhì)3是性質(zhì)6的特殊情況.分析：如果事件A與事件B互斥，則A∩B=?，由性質(zhì)1知，P(Ω)=1，P(?)=0.因此有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(?)P(A∪B)=P(A)+P(B)-0P(A∪B)=P(A)+P(B)設(shè)計意圖：以同一摸球試驗為例，由淺入深，進一步探究概率的加法公式，培養(yǎng)學(xué)生思考能力，并提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣．（三）應(yīng)用舉例例1甲、乙兩人下棋，已知甲獲勝的概率為0.39，乙獲勝的概率為0.51，則甲不輸?shù)母怕蕿?/p>

．提示：利用性質(zhì)3進行求解.解：因為乙獲勝的概率為0.51，且乙獲勝和甲不輸互為對立事件，

所以甲不輸?shù)母怕蕿??0.51=0.49．

故答案為：0.49．例2已知三個事件A，B，C兩兩互斥且P(A)=0.3，P(B)=0.6，P(C)=0.2提示：利用性質(zhì)4和互斥事件的概率加法公式的推廣公式進行求解.解：P(A)=1?P(A)=0.7，

∵P(B)=0.6，∴P(B)=1?PB=0.4，

又事件A，B例3從不包含大小王牌的52張撲克牌中隨機抽取一張，設(shè)事件A=“抽到紅心”，事件B=“抽到方片”，P(A)=P(B)=14.那么

(1)C=解：(1)因為C=A∪B，且A與B不會同時發(fā)生，所以A與B是互斥事件，

根據(jù)互斥事件的概率加法公式，得

P(C)=P(A)+P(B)=14+14=12【總結(jié)】運用互斥事件的概率加法公式解題的一般步驟：

(1)確定各事件彼此互斥；

(2)求各事件分別發(fā)生的概率，再求其和.注意(1)是公式使用的前提條件，不符合這點，是不能運用互斥事件的概率加法公式的.例4為了推廣一種新飲料，某飲料生產(chǎn)企業(yè)開展了有獎促銷活動：將6罐這種飲料裝一箱，每箱中都放置2罐能夠中獎的飲料.若從一箱中隨機抽出2罐，能中獎的概率為多少?解法一：設(shè)事件A=“中獎”，事件A1=“第一罐中獎”，事件A2=“第二罐中獎”，那么事件A1A2=“兩罐都中獎”，A1A2=所以根據(jù)互斥事件的概率加法公式，可得P(A)=P(可以得到，樣本空間包含的樣本點個數(shù)為n(Ω)=6×5=30，且每個樣本點都是等可能的，

因為n(A1A2)=2，解法二：應(yīng)用對立事件的概率公式進行解決.

事件A的對立事件是“不中獎”，即“兩罐都不中獎”，由于A1A2=“兩罐都不中獎”，而n(A設(shè)計意圖：通過例題，熟悉概率的基本性質(zhì)，并體會各公式應(yīng)用的條件．（四）課堂練習(xí)1.已知事件A與事件B發(fā)生的概率分別為P(A)，P(B)，則下列命題：①若A為必然事件，則P(A)=1；②若A與B互斥，則P(A)+PA.3 B.2 C.1 D.0解：對于①，由概率的性質(zhì)知若A為必然事件，則P(A)=1，所以①是真命題；

對于②，對立事件的概率的和為1，所以②的判斷不正確；

對于③，滿足互斥事件的概率求和的方法，所以③為真命題，

∴真命題有①③．

2.已知隨機事件A和B互斥，且P(A∪B)=0.7，P(BA.0.5 B.0.1 C.0.7 D.0.8

解：隨機事件A和B互斥，且P(A∪B)=0.7，P(B)=0.2，

∴P(A3.已知隨機事件A和B互斥，記事件B為事件B對立事件，且P(A)=0.6，A.0.6 B.0.8 C.0.2 解：根據(jù)題意P(B)=0.2，又由事件A和B互斥，則A∩B=則P(P(故選：B.4.玻璃盒里裝有紅球、黑球、白球、綠球共12個，從中任取1球，設(shè)事件A為“取出1個紅球”，事件B為“取出1個黑球”，事件C為“取出1個白球”，事件D為“取出1個綠球”.已知P(A)=512，P((1)

求“取出1個球為紅球或黑球”的概率；(2)求“取出1個球為紅球或黑球或白球”的概率．解：(1)P(A+B)=P(A)+P(B)=55.國家射擊隊的某隊員射擊一次，命中7～10環(huán)的概率如表所示：命中環(huán)數(shù)10環(huán)9環(huán)8環(huán)7環(huán)概率0.320.280.180.12求該射擊隊員射擊一次求：

(1)射中9環(huán)或10環(huán)的概率；

(2)至少命中8環(huán)的概率；

(3)命中不足8環(huán)的概率．解：記事件“射擊一次