自動(dòng)控制理論 課件版 6-1學(xué)習(xí)資料

控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性第一節(jié)：線(xiàn)性系統(tǒng)有界輸入-有界輸出（BIBO）穩(wěn)定性第二節(jié)：特征方程與穩(wěn)定性的關(guān)系第三節(jié)：Liapunov穩(wěn)定性及漸進(jìn)穩(wěn)定性第四節(jié)：Liapunov直接法控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性

liapunov穩(wěn)定和漸進(jìn)穩(wěn)定只要求掌握概念，不用計(jì)算。liapunov直接法不要求，不講。這章重點(diǎn)講勞斯判據(jù)和奈奎斯特判據(jù)?？刂葡到y(tǒng)的穩(wěn)定性系統(tǒng)處于初始平衡狀態(tài)，在受到外界擾動(dòng)作用后，將會(huì)偏離該平衡狀態(tài)。如果該擾動(dòng)作用消失后，系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)能恢復(fù)到原平衡狀態(tài)，則系統(tǒng)穩(wěn)定；否則，系統(tǒng)不穩(wěn)定。根據(jù)穩(wěn)定性定義，系統(tǒng)穩(wěn)定性應(yīng)當(dāng)決定于系統(tǒng)響應(yīng)中的暫態(tài)分量。而暫態(tài)分量與系統(tǒng)的參數(shù)、結(jié)構(gòu)和初始條件有關(guān)，與外作用無(wú)關(guān)，因此，分析系統(tǒng)響應(yīng)中暫態(tài)分量的運(yùn)動(dòng)形式，即可找出系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件?？刂葡到y(tǒng)的穩(wěn)定性設(shè)線(xiàn)性定常系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：特征方程為：為闡述簡(jiǎn)單起見(jiàn)，設(shè)前述特征方程不存在重極點(diǎn)（對(duì)有重極點(diǎn)的情況，以下結(jié)論也是成立的），則在擾動(dòng)作用下系統(tǒng)響應(yīng)的暫態(tài)分量為：控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性

從c1(t)的表達(dá)式可知，只有當(dāng)特征方程的所有根（閉環(huán)極點(diǎn)）都具有負(fù)的實(shí)部時(shí)，隨著時(shí)間的推移，

c1(t)才能趨于零，即回到初始狀態(tài)。

線(xiàn)性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為：系統(tǒng)特征方程的所有根（即閉環(huán)傳遞函數(shù)的所有極點(diǎn)）均具有負(fù)的實(shí)部。（或特征方程的所有根均在S平面的左半部）。

根據(jù)充要條件，如果能將系統(tǒng)所有極點(diǎn)求出，即可立即判斷穩(wěn)定性。但系統(tǒng)階次較高時(shí)，所有極點(diǎn)不易求出。勞斯判據(jù)系統(tǒng)特征方程如下：（1）ai>0（2）利用特征方程的系數(shù)構(gòu)成勞斯表：勞斯判據(jù)注意：勞斯表的每一行右邊要計(jì)算到出現(xiàn)零為止；總行數(shù)應(yīng)為n+1;如果計(jì)算過(guò)程無(wú)誤，最后一行應(yīng)只有一個(gè)數(shù)，且等于an；可用一個(gè)正整數(shù)去乘或除勞斯表中的任意一行，不改變判斷結(jié)果。勞斯判據(jù)：(ai>0)

勞斯表中第一列的所有計(jì)算值均大于零，則系統(tǒng)穩(wěn)定。反之，如果第一列中出現(xiàn)小于或等于零的數(shù)，系統(tǒng)不穩(wěn)定。而且第一列各系數(shù)符號(hào)的改變次數(shù)，等于特征方程正實(shí)部根的數(shù)目。

例1系統(tǒng)特征方程為S4＋2S3＋3S2＋4S＋5=0，試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)是否穩(wěn)定；若不穩(wěn)定，確定正實(shí)部根的數(shù)目。解根據(jù)特征方程系數(shù)計(jì)算勞斯表

因第一列出現(xiàn)負(fù)數(shù)，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。且第一列系數(shù)符號(hào)改變兩次，故特征方程有兩個(gè)正實(shí)部根。例2某系統(tǒng)特征方程為S4＋3S3＋3S2＋2S＋2=0，試用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解根據(jù)特征方程系數(shù)計(jì)算勞斯表

因第一列出現(xiàn)負(fù)數(shù)，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。且第一列系數(shù)符號(hào)改變兩次，故特征方程有兩個(gè)正實(shí)部根。勞斯判據(jù)特殊情況

勞斯表某一行中的第一項(xiàng)等于零，而該行的其余各項(xiàng)不等于零或沒(méi)有其余項(xiàng)。

若勞斯表第一列中系數(shù)的符號(hào)有變化，其變化的次數(shù)就等于該方程在S右半平面上根的數(shù)目，相應(yīng)的系統(tǒng)為不穩(wěn)定

如果第一列上面的系數(shù)與下面的系數(shù)符號(hào)相同，則表示該方程中有一對(duì)共軛虛根存在，相應(yīng)的系統(tǒng)也屬不穩(wěn)定是以一個(gè)很小的正數(shù)來(lái)代替為零的這項(xiàng)1解決的辦法據(jù)此算出其余的各項(xiàng)，完成勞斯表的排列已知系統(tǒng)的特征方程式為試判別相應(yīng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。例3由于表中第一列上面的符號(hào)與其下面系數(shù)的符號(hào)相同，表示該方程中有一對(duì)共軛虛根存在，相應(yīng)的系統(tǒng)為（臨界）不穩(wěn)定。解：列勞斯表習(xí)題1系統(tǒng)的特征方程為S4＋2S3+s2+2s＋1=0,試判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。勞斯表中出現(xiàn)全零行

用系數(shù)全為零行的上一行系數(shù)構(gòu)造一個(gè)輔助多項(xiàng)式，并以這個(gè)輔助多項(xiàng)式導(dǎo)數(shù)的系數(shù)來(lái)代替表中系數(shù)為全零的行。完成勞斯表的排列。2解決的辦法這些大小相等、徑向位置相反的根可以通過(guò)求解這個(gè)輔助方程式得到，而且其根的數(shù)目總是偶數(shù)的。相應(yīng)方程中含有一些大小相等符號(hào)相反的實(shí)根或共軛虛根。相應(yīng)的系統(tǒng)為不穩(wěn)定勞斯判據(jù)特殊情況

例如，一個(gè)控制系統(tǒng)的特征方程為列勞斯表顯然這個(gè)系統(tǒng)處于臨界(不)穩(wěn)定狀態(tài)。

例4某系統(tǒng)特征方程為S5＋S4十3s3十3s2＋2S＋2=0，試用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解根據(jù)特征方程系數(shù)計(jì)算勞斯表構(gòu)成輔助方程：

Q（s）=S4＋3S2＋2=0

求導(dǎo)后得

4S3十6S=0，用其系數(shù)構(gòu)成全為零的行，繼續(xù)計(jì)算余下各行：可知，系統(tǒng)不穩(wěn)定，但第一列元素未改變符號(hào)，所以系統(tǒng)沒(méi)有位于S右半平面的根，有位于虛軸上的根。虛軸上根的求取由輔助方程求得

S4＋3s2＋2=0則有（S2＋1）（S2＋2）=0故S1、2=±j，S3、4=±j

勞斯判據(jù)的應(yīng)用實(shí)際系統(tǒng)希望S左半平面上的根距離虛軸有一定的距離。為變量的特征方程式，然后用勞斯判據(jù)去判別該方程中是否有根位于垂線(xiàn)此法可以估計(jì)一個(gè)穩(wěn)定系統(tǒng)的各根中最靠近右側(cè)的根距離虛軸有多遠(yuǎn)，從而了解系統(tǒng)穩(wěn)定的“程度”。代入原方程式中，得到以

穩(wěn)定判據(jù)能回答特征方程式的根在S平面上的分布情況，而不能確定根的具體數(shù)據(jù)。解決的辦法設(shè)右側(cè)。用勞斯判據(jù)檢驗(yàn)下列特征方程是否有根在S的右半平面上，并檢驗(yàn)有幾個(gè)根在垂線(xiàn)的右方。

例5解：列勞斯表

第一列全為正，所有的根均位于左半平面，系統(tǒng)穩(wěn)定。令代入特征方程：式中有負(fù)號(hào)，顯然有根在的右方。列勞斯表第一列的系數(shù)符號(hào)變化了一次，表示原方程有一個(gè)根在垂直直線(xiàn)的右方。例6設(shè)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，試確定滿(mǎn)足穩(wěn)定要求時(shí)K1的解系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為為使系統(tǒng)穩(wěn)定，必須有（1）K1>0（2）K1<6綜合考慮，使系統(tǒng)穩(wěn)定的K1取值范圍應(yīng)為：0<K1<6已知一單位反饋控制系統(tǒng)如圖所示，試回答

例7時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)是否穩(wěn)定？

單位反饋控制系統(tǒng)方塊圖時(shí)，

特征方程為排勞斯表

第一列均為正值，S全部位于左半平面