數(shù)列的概念（解析版）-2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)同步訓(xùn)練（人教B版選擇性必修第三冊(cè)）

第01講數(shù)列的概念

學(xué)習(xí)目標(biāo)

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.通過實(shí)例了解數(shù)列的概念，明確數(shù)列與數(shù)集的區(qū)別，

理解數(shù)列的項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的含義，理解數(shù)列的函數(shù)特征。

1.理解數(shù)列的概念.

2.根據(jù)給定的項(xiàng)數(shù)，求出相應(yīng)數(shù)列的通項(xiàng)公式，并理

2.掌握數(shù)列的通項(xiàng)公式及應(yīng)用.

解通項(xiàng)公式的含義。

3.能根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出數(shù)列的一個(gè)通

3.知道數(shù)列的分類：有窮數(shù)列和無窮數(shù)列等。

項(xiàng)公式.

4.掌握數(shù)列的表示方法。

5.通過觀察、歸納、猜想等方法，探索數(shù)列的規(guī)律。

思維導(dǎo)圖

數(shù)列的概念及一般形式

數(shù)列的概念與辨析

L根據(jù)規(guī)律求數(shù)列的項(xiàng)

數(shù)列的分類及表示

＜數(shù)列的分類及判斷

數(shù)列的概念-根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性求參數(shù)

數(shù)列的通項(xiàng)公式:求數(shù)列項(xiàng)的最值

根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)求通項(xiàng)

數(shù)列與函數(shù)

根據(jù)通項(xiàng)公式求值

ts知識(shí)清單

知識(shí)點(diǎn)01數(shù)列的概念及一般形式

（1）數(shù)列的定義：按照一定次序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，各項(xiàng)

依次成為這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)（或首項(xiàng)），第2項(xiàng)……，組成數(shù)列的數(shù)的個(gè)數(shù)稱為數(shù)列的項(xiàng)數(shù)。

（2）數(shù)列的一般形式可以寫成%,%，。3,……，%，……，其中4表示數(shù)列的第

”項(xiàng)（也稱〃為。"的序號(hào)，其中H為正整數(shù)，即〃eN+）,稱為數(shù)列的通項(xiàng)。此時(shí)一般將

整個(gè)數(shù)列簡(jiǎn)記為{%}

【解讀】與集合中元素的性質(zhì)相比較，數(shù)列中的項(xiàng)的性質(zhì)具有以下特點(diǎn):

①確定性：一個(gè)數(shù)是或不是某一數(shù)列中的項(xiàng)是確定的，集合中的元素也具有確定性；

②可重復(fù)性：數(shù)列中的數(shù)可以重復(fù)，而集合中的元素不能重復(fù)出現(xiàn)（即互異性）；

③有序性：一個(gè)數(shù)列不僅與構(gòu)成數(shù)列的“數(shù)”有關(guān)，而且與這些數(shù)的排列順序有關(guān)，而集合中的元素

沒有順序（即無序性）；

④數(shù)列中的每一項(xiàng)都是數(shù)，而集合中的元素還可以代表除數(shù)字外的其他事物.

【即學(xué)即練1】下列結(jié)論中正確的是（）

A.數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是無限的

B.數(shù)列中各項(xiàng)與順序無關(guān)

C.數(shù)列1,3,5,7可表示為{1,3,5,7}

D.數(shù)列1,3,5,7與數(shù)列7,5,3,1不是同一數(shù)列

【答案】D

【解析】數(shù)列按項(xiàng)數(shù)分類可分為有窮數(shù)列與無窮數(shù)列，

即數(shù)列的項(xiàng)數(shù)可以是有限的，也可以是無限的，故A錯(cuò)誤；

數(shù)列與順序有關(guān)，

構(gòu)成數(shù)列的數(shù)是有順序的，而集合中的元素是無序的，故C錯(cuò)誤；

根據(jù)數(shù)列定義，兩數(shù)列的數(shù)排列次序不相同，不是相同的數(shù)列，故D正確.故選：BD.

知識(shí)點(diǎn)02數(shù)列的分類及表示

1、數(shù)列的分類

分類標(biāo)準(zhǔn)類型滿足條件

有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限

項(xiàng)數(shù)

無窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無限

遞增數(shù)列%+1>%

遞減數(shù)列<%其中"GN+

項(xiàng)與項(xiàng)間的大

常數(shù)列

小關(guān)系%+1=%

從第二項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有

擺動(dòng)數(shù)列

些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列

2、數(shù)列的表示：數(shù)列有三種表示法，它們分別是列表法、圖象法和解析法.

【即學(xué)即練2】下列數(shù)列中，既是遞增數(shù)列又是無窮數(shù)列的是（）

ill

A.1,—,—,—,...B.一1,—2,—3,—4

，34

111廠

j

C.-1,一~Tf-~~f...D.1,fVn

24o

【答案】c

【解析】A,B都是遞減數(shù)列，D是有窮數(shù)列，只有C符合題意.故選：C.

知識(shí)點(diǎn)03數(shù)列的通項(xiàng)公式

一般地，如果數(shù)列的第〃項(xiàng)?！芭c〃之間的關(guān)系可以用劣=火"）來表示，其中大〃）是關(guān)于〃的不含其他未

知數(shù)的表達(dá)式，則稱此關(guān)系式為這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.

【解讀】①數(shù)列的通項(xiàng)公式實(shí)際上是一個(gè)以正整數(shù)集N+或它的有限子集｛1,2,3,…，〃｝為定義域的函

數(shù)解析式.

②和所有的函數(shù)關(guān)系不一定都有解析式一樣，并不是所有的數(shù)列都有通項(xiàng)公式.

③有通項(xiàng)公式的數(shù)列，其通項(xiàng)公式在形式上不一定是唯一的.

【即學(xué)即練31下列結(jié)論中，正確的是（）

A.數(shù)列可以看作是一個(gè)定義在正整數(shù)集（或它的有限子集。,2,3,…,〃｝）上的函數(shù)

B.數(shù)列的項(xiàng)數(shù)一定是無限的

C.數(shù)列的通項(xiàng)公式的形式是唯一的

D.數(shù)列1,3,2,6,3,9,4,12,5,15,…不存在通項(xiàng)公式

【答案】A

【解析】對(duì)于A,由數(shù)列定義知，A正確；

對(duì)于B,數(shù)列1,2,3,4,5只有5項(xiàng)，該數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,數(shù)列-1』,-1」,-1」,…的通項(xiàng)公式可以為?！?（-1）",

f-l,H=2k-1*

也可以為對(duì)=<，左?N*,該數(shù)列通項(xiàng)公式不唯一，C錯(cuò)誤；

=2k

—,n=2k-l

對(duì)于D,該數(shù)列的通項(xiàng)公式可以為也,=i#eN*,D錯(cuò)誤.故選：A

即,〃=2左

I2

知識(shí)點(diǎn)04數(shù)列與函數(shù)

從函數(shù)的觀點(diǎn)看，數(shù)列可以看作是特殊的函數(shù)，關(guān)系如下表：

定義域正整數(shù)集N+（或它的有限子集｛1,2,3,…，〃｝）

解析式數(shù)列的通項(xiàng)公式

值域由自變量從小到大依次取正整數(shù)值時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值構(gòu)成

表示方法（1）通項(xiàng)公式（解析法）；（2）列表法；（3）圖像法

【即學(xué)即練4】（多選）下列結(jié)論中正確的是（）

A.數(shù)列可以看作是一個(gè)定義在正整數(shù)集（或它的有限子集｛123,…，科）上的函數(shù)

B.數(shù)列若用圖像表示，則從圖像上看都是一群孤立的點(diǎn)

C.數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是無限的

D.數(shù)列｛2〃+1｝是遞增數(shù)列

【答案】ABD

【解析】由數(shù)列的定義知，數(shù)列是特殊的函數(shù)，

其定義域是正整數(shù)集或它的有限子集｛1,2,3,…選項(xiàng)A,B正確；

由于數(shù)列有有窮數(shù)列與無窮數(shù)列之分，即數(shù)列的項(xiàng)數(shù)可以是有限的，也可以是無限的，C不正確;

對(duì)于%=2〃+1,得到4M>%,,所以，數(shù)列｛2〃+1｝是遞增數(shù)列，D正確，故選：ABD

04題型精講

題型01數(shù)列的概念與辨析

【典例1】（2024高二?全國?專題練習(xí)）下列說法正確的是（）

A.數(shù)列4,7,3,4的首項(xiàng)是4

B.數(shù)列｛%｝中，若％=3,則從第2項(xiàng)起，各項(xiàng)均不等于3

C.數(shù)列3,6,8可以表示為｛3,6,8｝

D.a,-3,-1,1,b,5,7,9,11一定能構(gòu)成數(shù)列

【答案】A

【分析】根據(jù)數(shù)列的定義可判斷各項(xiàng)的正誤.

【詳解】對(duì)于A,數(shù)列4,7,3,4的第1項(xiàng)就是首項(xiàng)，即4,故A正確.

對(duì)于B,同一個(gè)數(shù)在一個(gè)數(shù)列中可以重復(fù)出現(xiàn)，故B錯(cuò)誤.

對(duì)于C,數(shù)列和數(shù)的順序有關(guān)，集合中元素具有無序性，故C錯(cuò)誤.

對(duì)于D,當(dāng)。力都代表數(shù)（數(shù)列的各項(xiàng)都是數(shù)）時(shí)，能構(gòu)成數(shù)列,

當(dāng)中至少有一個(gè)不代表數(shù)時(shí)，不能構(gòu)成數(shù)列，

因?yàn)閿?shù)列是按確定的順序排列的一列數(shù)，故D錯(cuò)誤.

故選：A.

【變式1】（24-25高二上?全國?課后作業(yè)）若數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為%=4〃-5,則關(guān)于此數(shù)列的圖象敘述

正確的是（）

A.此數(shù)列不能用圖象表示

B.此數(shù)列的圖象僅在第一象限

C.此數(shù)列的圖象為直線>=4x-5

D.此數(shù)列的圖象為直線y=4x-5上滿足xeN+的一系列孤立的點(diǎn)

【答案】D

【分析】根據(jù)數(shù)列的圖象是直角坐標(biāo)系里一個(gè)個(gè)散點(diǎn)，一一判定選項(xiàng)即可.

【詳解】數(shù)列｛與｝的通項(xiàng)公式為4,=4〃-5,

它的圖象就是直線了=以-5上滿足xeN,的一系列孤立的點(diǎn)，所以A、C錯(cuò)誤，

當(dāng)〃=1時(shí)，4=-1,該點(diǎn)在第四象限，

當(dāng)〃上2且〃eN+時(shí)，??>0,此時(shí)數(shù)列圖象在第一象限，所以B錯(cuò)誤.

故選：D.

【變式2】（2024高三?全國?專題練習(xí)）將正整數(shù)的前5個(gè)數(shù)排列如下：

①1,2,3,4,5；②5,4,3,2,1；③2,1,5,3,4；④4,1,5,3,2.

其中可以稱為數(shù)列的有（）

A.①B.①②C.①②③D.①②③④

【答案】D

【分析】根據(jù)數(shù)列的定義知識(shí)即可求解.

【詳解】根據(jù)數(shù)列是按"一定順序”排列著的一列數(shù)，所以①②③④都正確，故D項(xiàng)正確.

故選：D.

【變式3］（23-24高二上?山西?期末）下列說法中，正確的是（）

A.數(shù)列2,4,6,8可表示為集合｛2,4,6,8｝

B.數(shù)列1,2,3,4與數(shù)列4,3,2,1是相同的數(shù)列

C.數(shù)列｛/+〃｝的第左項(xiàng)為后2+后

D.數(shù)列0,1,2,3,4,…可記為｛〃｝

【答案】C

【分析】利用數(shù)列定義即可逐個(gè)選項(xiàng)判斷即可得解.

【詳解】對(duì)于A,由數(shù)列的定義易知A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,兩個(gè)數(shù)列排列次序不同，是不同的數(shù)列，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,數(shù)列｛/+"｝的第左項(xiàng)為r+%,故C正確；

對(duì)于D,因?yàn)镺eN,所以“eN,這與數(shù)列的定義不相符，故D錯(cuò)誤.

故選：C.

【變式4】（24-25高二上?全國,課后作業(yè)）下列說法中，不正確的是（）

A.數(shù)列L3,5,7可表示為｛1,3,5,7｝

B.數(shù)列1,。,T-2與數(shù)列-2,7,0』是相同的數(shù)列

C,數(shù)列的項(xiàng)可以相等

D.數(shù)列仇c和數(shù)列c,6,。一定不是同一數(shù)列

【答案】ABD

【分析】根據(jù)數(shù)列的概念判斷各選項(xiàng)即可.

【詳解】對(duì)于A,{1,3,5,7}不表示數(shù)列，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,數(shù)列具有有序性，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,數(shù)列的項(xiàng)可以相等，故C正確；

對(duì)于D,當(dāng)a=c時(shí)，數(shù)列。,6,c和數(shù)列c,6,。表示同一數(shù)列，故D錯(cuò)誤.

故選：ABD.

題型02根據(jù)規(guī)律求數(shù)列的項(xiàng)

【典例2］（23-24高二下?陜西渭南?期中）已知數(shù)列血，2,屈,2逝，屈,2月，…，則這個(gè)數(shù)列的第

25項(xiàng)為（）

A.2而B.5A/2C.7D.473

【答案】B

【分析】根據(jù)數(shù)列前的幾項(xiàng)歸納出%=A,〃eN*,即可求出結(jié)果.

（詳解】由題知an=V2n,〃eN*,所以&5=,2x25=5五,

故選：B.

【變式1］（23-24高二下?四川成都?期中）在數(shù)列1,-2,4,-8,16,...中，這個(gè)數(shù)列的第7項(xiàng)是（）

A.-64B.64C.128D.-128

【答案】B

【分析】根據(jù)所給數(shù)列的部分項(xiàng)歸納數(shù)列通項(xiàng)公式即可得解.

【詳解】由數(shù)列1,-2,4,-8,16,可知通項(xiàng)公式為。,=（-2尸，

所以的=（-2）6=64.

故選：B

【變式2】（24-25高二上?福建龍巖?期中）已知數(shù)列1,-1,2,-2,3,-3,…，根據(jù)該數(shù)列的規(guī)律，100

是該數(shù)列的第（）

A.100項(xiàng)B.101項(xiàng)C.199項(xiàng)D.200項(xiàng)

【答案】C

【分析】由數(shù)列中的數(shù)字規(guī)律可知每一組由兩項(xiàng)組成，計(jì)算可得結(jié)果.

【詳解】根據(jù)該數(shù)列的規(guī)律可將數(shù)列進(jìn)行分組，每一組含有兩個(gè)互為相反數(shù)的組合，

因此100即為第100組的第一個(gè)數(shù)，其前面有99組，每一組有兩項(xiàng)，

因止匕100是該數(shù)列的第2x99+1=199項(xiàng).

故選：C

【變式3】（23-24高二下?河北張家口?開學(xué)考試）將正偶數(shù)按如圖所示的規(guī)律排列：

2

468

1012141618

20222426283032

則4048在第行，從左向右該行的第個(gè)數(shù).

【答案】4588

【分析】由已知?dú)w納出規(guī)律，計(jì)算出前"行所有數(shù)和的個(gè)數(shù)后，可確定4048所在的行及其順序號(hào).

【詳解】4048是第2024個(gè)數(shù)，

由已知得前"行所有的個(gè)數(shù)為1+3+5+…+(2〃-1)="0+

442=1936,452=2025,44?<2024<452,

2024-44x44=88,

所以數(shù)字4048在第45行，第88個(gè)數(shù).

故答案為：45；88.

【變式4】(24-25高二?上海?隨堂練習(xí))以下數(shù)表的構(gòu)造思路來源于我國南宋數(shù)學(xué)家所著的《詳解九章算法》

一書中的“楊輝三角”：

12345-20142015201620172018

3579..........4029403140334035

81216..................806080648068

2028..........................1612416132

該表由若干行數(shù)字組成，從第二行起，每一行中的數(shù)字均等于其"肩上"兩數(shù)之和，表中最后一行僅有一個(gè)數(shù)，

則這個(gè)數(shù)為.

【答案】2019x22016

【分析】結(jié)合題意，利用從第二行起，每一行中的數(shù)字均等于其"肩上"兩數(shù)之和，使用數(shù)列的知識(shí)求解即可.

【詳解】觀察每一行第一個(gè)數(shù)的規(guī)律：

第一行的第一個(gè)數(shù)為1=2X2L

第二行的第一個(gè)數(shù)為3=3x2°,

第三行的第一個(gè)數(shù)為8=4x2、

第四行的第一個(gè)數(shù)為20=5x22,…，

第n行的第一個(gè)數(shù)為%=(〃+l)x2"-2,

表中一共2018行，

.,.第2018行的第一個(gè)數(shù)即%oj8=2019x22°i6.

故答案為：2019x22°叱

題型03數(shù)列的分類及判斷

【典例3］（24-25高二上?全國?課后作業(yè)）下面四個(gè)數(shù)列中，既是無窮數(shù)列又是遞增數(shù)列的是（）

.111.兀.2兀.3兀

A.…sin于sm7Psm了,…

c--I，-；，…D.1,V2,V3,---,A/21

【答案】C

【分析】利用無窮數(shù)列、遞增數(shù)列的定義逐項(xiàng)判斷即得.

【詳解】對(duì)于A,數(shù)列1,；,/,…是遞減數(shù)列，A不是；

對(duì)于B,sin—=sin—,數(shù)列sinsin?,sin即■，…不是遞增數(shù)歹|J,B不是;

77777

對(duì)于C,,數(shù)列-1,…是遞增數(shù)列，是無窮數(shù)列，C是；

248248

對(duì)于D,數(shù)列1,也,…，，亓是有窮數(shù)列，D不是.

故選：C

【變式1】（24-25高二上?全國,課后作業(yè)）已知數(shù)列%=（-；）"，則該數(shù)列是（）

A.遞增數(shù)列B.遞減數(shù)列C.擺動(dòng)數(shù)列D.常數(shù)列

【答案】C

【分析】根據(jù)給定的通項(xiàng)公式，結(jié)合單調(diào)數(shù)列、擺動(dòng)數(shù)列的定義判斷即得.

【詳解】數(shù)列%=（1）",則*=-*＜o(jì),%=白＞。，

因此。2"＞。2“一1，。2,＞出用，數(shù)歹US”｝是擺動(dòng)數(shù)歹!J.

故選：C

【變式2】（24-25高二上?全國,課堂例題）下列數(shù)列中，為遞增數(shù)列的是,為遞減數(shù)列的是,為

常數(shù)列的是.

①1,0.84,0,842,0,843,

②2,4,6,8,10,...；

③7,7,7,7,...；

（⑷4）13，19'J2_7’X81,.

⑤10,9,8,7,6,5,4,3,2,1.

【答案】②①④⑤③

【分析】根據(jù)數(shù)列單調(diào)性的定義，即可判斷.

【詳解】由數(shù)列的單調(diào)性，易知②是遞增數(shù)列；①④⑤是遞減數(shù)列；③是常數(shù)列.

故答案為：②；①④⑤；③

【變式3】（24-25高二上?全國,課前預(yù)習(xí)）下列數(shù)列哪些是遞增數(shù)列？哪些是遞減數(shù)列？哪些是常數(shù)列？哪

些是擺動(dòng)數(shù)列？

@2017,2018,2019,2020,2021,2022；

②畛箕

③

④__1_J___1_1

。一說，汨，-3^4，4^5""；

⑤1,0,-1,0,1,0,...；

⑥9,9,9,9,9,9.

【答案】①②是遞增數(shù)列；③是遞減數(shù)列；⑥是常數(shù)列；④⑤是擺動(dòng)數(shù)列

【分析】根據(jù)遞增數(shù)列，遞減數(shù)列，常數(shù)列，擺動(dòng)數(shù)列的概念進(jìn)行判斷.

【詳解】（1）遞增數(shù)列，因?yàn)閺牡?項(xiàng)起，每一項(xiàng)都大于它的前一項(xiàng);

（2）遞增數(shù)列，因?yàn)閺牡?項(xiàng)起，每一項(xiàng)都大于它的前一項(xiàng);

（3）遞減數(shù)列，因?yàn)閺牡?項(xiàng)起,每一項(xiàng)都小于它的前一項(xiàng);

（4）擺動(dòng)數(shù)列，因?yàn)閺牡?項(xiàng)起，數(shù)列中有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng);

（5）擺動(dòng)數(shù)列，因?yàn)閺牡?項(xiàng)起，數(shù)列中有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng);

（6）常數(shù)數(shù)列，各項(xiàng)均為9,故為常數(shù)數(shù)列.

題型04根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性求參數(shù)

【典例4］（24-25高二上?江蘇蘇州?階段練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝是遞增數(shù)列，且對(duì)于任意

neN*,a?=n2+2An+l,則實(shí)數(shù)4的取值范圍是（）

33

A.A>—1B.A<—1C.>——D.4<—

22

【答案】C

【分析】利用二次函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合〃￡N*可得.

【詳解】因?yàn)棰?（〃+2）2+1-儲(chǔ)，且數(shù)列｛%｝是遞增數(shù)列，

33

所以_丸<即

故選：c

【變式1】（2024?貴州?模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列｛%｝滿足%="3（4eR）,貝/數(shù)列｛?！埃沁f增數(shù)歹廣的充要

n

條件是（）

A.k<0B.k<lC.k>0D.k>\

【答案】B

【分析】根據(jù)條件，利用遞增數(shù)列滿足%M>。,，即可求解.

【詳解】因?yàn)?。?2H-+--k---1（左eR）,所以n+kn+k—l_\-k

nn+1n(ji+l)n

由%+「%=、而>0,得到左<1,所以“數(shù)列｛%｝是遞增數(shù)歹『'的充要條件是左<1,

故選：B.

【變式2】（24-25高三上?安徽,階段練習(xí)）"彳42"是"數(shù)列｛/-而｝為遞增數(shù)列"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】根據(jù)數(shù)列為遞增數(shù)列的定義求得2的范圍，再由充分條件、必要條件的定義判斷即可.

【詳解】由“數(shù)列｛"2-訓(xùn)為遞增數(shù)列”，

得（77+1）2-2（〃+1）-（〃2一訓(xùn)=2"+1-/1>0,

所以九<2〃+1恒成立，所以彳<3,

由442得2<3,由文<3不一定有X42,

故"XW2"是"數(shù)列,2-4力｝為遞增數(shù)列"的充分不必要條件.

故選：A.

(6-/>+8,n<4,什,.

【變式3】（24-25高二上?湖南長(zhǎng)沙?期中）己知數(shù)列｛。,｝的通項(xiàng)與tn-3n>5，〃eN,右｛叫是遞增

數(shù)列，則實(shí)數(shù)f的取值范圍是（）

A.（1,6）B.（4,6）C.卜等）D.[4,6）

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，列出不等式組求解即可.

6—，>0/<6

【詳解】解：由已知得"1,即11,解得4<%<6.

4（6-%）+8</t><—8

故選：B.

題型05求數(shù)列項(xiàng)的最值

【典例5】（24-25高三上?廣東汕頭?開學(xué)考試）已矢口數(shù)列%=則數(shù)列｛%｝的前100項(xiàng)中

的最小項(xiàng)和最大項(xiàng)分別是（）

A.%,“100B.%5，。44C.“45，"1D.%4'"100

【答案】B

J2024-J2025

【分析】先化簡(jiǎn)。“=1+（〃eN*）,再借助函數(shù)的單調(diào)性分析得解.

"一/2024

"-J2025n-V2024+V2024-V2025V2024-V2025

【詳解】氏==1+(”eN*

"-J2024"-J2024n72024

因?yàn)?42<2024<452,

所以〃444時(shí)，數(shù)列｛%｝單調(diào)遞增，且%>1；"245時(shí)，數(shù)列｛（｝單調(diào)遞增，且見<1.

在數(shù)列｛%｝的前100項(xiàng)中最小項(xiàng)和最大項(xiàng)分別是。45，。44.

故選：B.

【變式1］（24-25高二上?全國■課前預(yù)習(xí)）已知數(shù)歹ijq=-"2+4〃+2,則該數(shù)列中最大項(xiàng)的序號(hào)是（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】A

【分析】根據(jù)數(shù)列的函數(shù)特性進(jìn)行判斷即可.

【詳解】因?yàn)椤?=一（〃一2）2+6,"N+，

所以當(dāng)〃=2時(shí)，取得最大值.

故選：A.

【變式2】（24-25高二上?全國,課前預(yù)習(xí)）已知數(shù)歹U%=-/+4〃+2,則該數(shù)列中最大項(xiàng)的序號(hào)是（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】A

【分析】根據(jù)數(shù)列的函數(shù)特性進(jìn)行判斷即可.

【詳解】因?yàn)椋?-（〃-2）2+6,?eN+,

所以當(dāng)〃=2時(shí)，取得最大值.

故選：A.

【變式3】（23-24高二下?貴州畢節(jié)?階段練習(xí)）（多選）已知數(shù)列｛"“｝的通項(xiàng)公式為a“=（〃+2）］gj,則下

列說法正確的是（）

A.卬是數(shù)列｛與｝的最小項(xiàng)B.%是數(shù)列｛%｝的最大項(xiàng)

C.%是數(shù)列｛%｝的最大項(xiàng)D.當(dāng)〃25時(shí)，數(shù)列｛%｝遞減

【答案】BCD

【分析】設(shè)第〃項(xiàng)為｛%｝的最大項(xiàng)，根據(jù)J〉”"1列出不等式組，求解即可判斷BCD,利用數(shù)列的單調(diào)性

及范圍判斷A.

【詳解】設(shè)第"項(xiàng)為｛%｝的最大項(xiàng),

n<5

,所以

n>4

又〃eN*,所以〃=4或〃=5,

故數(shù)列｛%｝中&與。5均為最大項(xiàng)，且的=。5=1?，

當(dāng)月25時(shí)，數(shù)列｛4｝遞減，故BCD正確,

當(dāng)"趨向正無窮大時(shí)，氏=（〃+2>《]無限趨向于0且大于0,且％=]>0,

所以％不是數(shù)列｛%｝的最小項(xiàng)，且數(shù)列｛%｝無最小值，故A錯(cuò)誤.

故選：BCD

【變式4】（24-25高二上?上海,階段練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝滿足為正整數(shù)，則該數(shù)列的最大項(xiàng)是

第項(xiàng).

【答案】2和3

【分析】結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性求解即可.

n1

【詳解】^=776=~6,

n+—

n

?.?y=x+：在（0,指）上單調(diào)遞減，（加,+對(duì)單調(diào)遞增，

且電=%=5故該數(shù)列的最大項(xiàng)是第二項(xiàng)和第三項(xiàng).

故答案為：2和3

題型06根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)求通項(xiàng)

【典例6】（24-25高二上?山東荷澤?階段練習(xí)）若數(shù)列｛6｝的前四項(xiàng)依次為2,12,112,1112,則｛七｝的一

個(gè)通項(xiàng)公式為（）

-1

A.an=10"+2B.%=（"-1）（45〃-80）+2

【答案】D

【分析】通過觀察前幾項(xiàng)的規(guī)律即可求解.

【詳解】由2=10-8,12=100-88,112=1000-888,1112=10000-8888,

可得｛%｝的一個(gè)通項(xiàng)公式為?！?10"-|x(10"-1)=四手.

故選：D.

【變式1】(24-25高二上?山東青島?階段練習(xí))數(shù)列…的一個(gè)通項(xiàng)公式凡=

2244

A.f-lT1B.f-^TC.(-1)<-<D.㈠):

Sl2jVH2j

【答案】D

【分析】由數(shù)列中每一項(xiàng)的特點(diǎn)可分析得到通項(xiàng)公式的結(jié)構(gòu).

【詳解】由于數(shù)列的符號(hào)正負(fù)項(xiàng)間隔出現(xiàn)，故符號(hào)為(-1)日，

(萬丫-1(萬丫T

且每項(xiàng)為牛，故數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為%=(-1)向彳.

12J12J

故選：D.

【變式2](24-25高二上?全國?課后作業(yè))數(shù)列1,一走」,_1一

…的一個(gè)通項(xiàng)公式%=()

2244

1

4-r…rD.(-1)節(jié)(/yV'

【答案】D

【分析】觀察每項(xiàng)的特點(diǎn)，分別確定項(xiàng)的符號(hào)以及每一項(xiàng)的聯(lián)系，即可找出數(shù)列的通項(xiàng)公式.

【詳解】通過觀察這一列數(shù)發(fā)現(xiàn)，奇數(shù)項(xiàng)為正,偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)，

故第"項(xiàng)的正負(fù)可以用(-1)向表示；

而HL一[2卜2-[2卜一廠]卜4=〔2卜—

(萬丫一

故數(shù)列的通項(xiàng)可為4=(-1)牛,

12J

故選：D

，，-"l，!■，…的通項(xiàng)公式可以為()

【變式3](23-24高二下?安徽?期末)數(shù)列-2,-

A.(-1)"^^B.(_1)〃上

'72〃+1'72?-1

/八〃-12〃.(_廠2

C.(-1)-------D

'72〃+11721

【答案】B

【分析】根據(jù)題意逐一檢驗(yàn)選項(xiàng)即可.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：令〃=1,可得-；，不合題意;

對(duì)于選項(xiàng)B：代入檢驗(yàn)均可，符合題意；

對(duì)于選項(xiàng)C：令〃=1,可得：，不合題意；

對(duì)于選項(xiàng)D：令〃=1,可得2,不合題意；

故選：B.

題型07根據(jù)通項(xiàng)公式求值

【典例7]（24-25高二上?河南?期中）已知數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為%=/+6,且2和7是｛%｝中的兩項(xiàng)，則

b=（）

A.-3B.-2C.1D.3

【答案】B

【分析】根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式，可得到兩個(gè)方程，解方程可得解.

【詳解】設(shè)。?,=2,%=7｛m<k,m,左為正整數(shù)），

貝（1加2+6=2,*+6=7，

即有k2-m2=（后一加）（左+加）=5=1x5,

\k-m=1[k=3

可得十解得

[K+m=j[m=2

可得b=7-9=-2.

故選：B.

（一1）〃+為奇數(shù)/eN*

【變式1】（23-24高二下海南?期中）已知一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式4=?一中乩*，則生=

（-1）叫+1為偶數(shù),

（）

A.-3B.3C.-5D.5

【答案】C

【分析】將"=2代入通項(xiàng)公式即可.

【詳解】因?yàn)?=2為偶數(shù)，

所以g=（-1）3X2X2-1=-5

故選：C

【變式2]（24-25高二上?全國?課后作業(yè)）已知數(shù)列｛??｝的通項(xiàng)公式為a?=n-+2n,若第2m項(xiàng)是第m項(xiàng)的3

倍，則加=.

【答案】2

【分析】根據(jù)題意，由數(shù)列的通項(xiàng)公式列出方程，代入計(jì)算，即可求解.

【詳解】由題得又a2m=4"/+4私%“=加2+2加，所以4加2+4加=3加2+6相,

解得m=0（舍去）或〃7=2.

故答案為：2

【變式3］（24-25高二上?全國?課后作業(yè)）已知數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為則須=，若4,=大，

則"=.

【答案】占12

【分析】根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算求出為。，再根據(jù)項(xiàng)的值計(jì)算求參.

111

【詳解】..嗎。=際=商.

11

由知=（「「心，得〃2+2〃一168=0，解得〃=12或幾=一14（舍去）.

磯〃+2）168

故答案為：——;12.

120

'e____________________

05

一、單選題

i.下列數(shù)列中，既是遞增數(shù)列又是無窮數(shù)列的是（）

A.1,,—,—,...B.—1,-2,-3,—4

234

111

C?-1,~~，一~，???D.1,Jr2，V3，…，?yn

248

【答案】C

【分析】由無窮數(shù)列的概念，數(shù)列的單調(diào)性利用排除法判斷.

【詳解】A,B都是遞減數(shù)列，D是有窮數(shù)列，只有C符合題意.

故選：C.

2.（23-24高二上?江蘇淮安?階段練習(xí)）已知數(shù)列出乖后72n-32n+1,則歷是這個(gè)數(shù)列的（）

A.第20項(xiàng)B.第21項(xiàng)

C.第22項(xiàng)D.第23項(xiàng)

【答案】D

【分析】

由歷=72x23+1即可得.

【詳解】V47=72x23+1,故為第23項(xiàng).

故選：D.

3.（22-23高二下?全國,課后作業(yè)）數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式是%=〃+1,〃eN*,則它的圖象是（）

A.直線B.直線上孤立的點(diǎn)

C.拋物線D.拋物線上孤立的點(diǎn)

【答案】B

【分析】根據(jù)數(shù)列的知識(shí)確定正確答案.

【詳解】數(shù)列。"對(duì)應(yīng)點(diǎn)為（1,2）,（2,3）,（3,4）,…,

所以圖象是直線V=x+1上孤立的點(diǎn).

故選：B

4.（24-25高二上?甘肅白銀?期中）已知數(shù)列1,-3,5,-7,9,…，則該數(shù)列的第985項(xiàng)為（）

A.-1971B.1971C.-1969D.1969

【答案】D

【分析】根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)，得出數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求解.

【詳解】因?yàn)閿?shù)列為1,-3,5,-7,9,…，

所以該數(shù)列的通項(xiàng)公式為??=（-lF（2n-l）,得到嘖=（-Ip1（22x985-1）=1969,

故選：D.

5.（23-24高二下?浙江?期中）大衍數(shù)列，來源于《乾坤譜》中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解

釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項(xiàng)都代表太極衍生過程中曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和，

它是中華傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題目，該數(shù)列從第一項(xiàng)起依次是0,2,4,8,12,18,

24,32,40,50,…,則（）

A.數(shù)列第16項(xiàng)為144B.數(shù)列第16項(xiàng)為128

C.200是數(shù)列第18項(xiàng)D.200不是數(shù)列中的項(xiàng)

【答案】B

【分析】根據(jù)數(shù)列已知項(xiàng)可分奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)得規(guī)律即可判斷各選項(xiàng).

【詳解】由此數(shù)項(xiàng)的前10項(xiàng)的規(guī)律可知，

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，a?=—,

當(dāng)"為奇數(shù)時(shí)，，

1zr2

對(duì)于AB,al6=—=128,所以A錯(cuò)誤，B正確，

1?2

對(duì)于C,陽=—=162^200,所以C錯(cuò)誤，

2

對(duì)于D,若200中偶數(shù)項(xiàng)，貝U土=200,得〃=20,

2

所以200是此數(shù)列的第20項(xiàng)，所以D錯(cuò)誤，

故選：B

6.(23-24高二上?貴州貴陽?階段練習(xí))數(shù)列-1,y,-;，；，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為4=(

）

A(-D"R(T嚴(yán)「(T嚴(yán)口(一D"

nnn+\n+1

【答案】A

【分析】利用觀察法即可得解.

【詳解】觀察數(shù)列-1,…

可知其分母為"，其分子是交替出現(xiàn)，故分子可為(-1)",

所以該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為。“=a.

n

故選：A.

/、1(3——6,x<10x/、*

7.(24-25高二上?全國?課后作業(yè))己知函數(shù)〃x)=：_9若數(shù)列｛r氏｝滿足%=/(〃),,且

ICI,X>1U

｛%,｝是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.(1,3)B.(1,2]C.(2,3)D.

【答案】C

【分析】由函數(shù)解析式得到數(shù)列的通項(xiàng)公式,由分段函數(shù)的單調(diào)性法則列出不等式，從而求得實(shí)數(shù)。的取值

范圍.

（3-a）w-6,?<10

【詳解】由題意知4

a"-9,?>10

因?yàn)閿?shù)列｛%｝是遞增數(shù)列，

所以當(dāng)“W10時(shí)，3-a>0,即a<3；

當(dāng)〃>10時(shí)，a>1,且可o<“u，

所以(3-4)、10-6<儲(chǔ)-9,即/+10”24>0,即(。+12)("2)>0,

所以a<-12或a>2.

綜上可得。的取值范圍為(2,3).

故選：C.

4/7-199

8.(23-24高二上?安徽馬鞍山?階段練習(xí))已知％=二，則這個(gè)數(shù)列的前100項(xiàng)中的最大項(xiàng)與最小項(xiàng)分

72n-99

別是（）

A.q,°5oB.%,Go。C.%9,asoD.^49,^100

【答案】C

【分析】分離常數(shù)，得到當(dāng)1V〃W49,〃eN*時(shí)，a?>2,且隨著”的變大，。,變大，當(dāng)504〃4100,?eN

時(shí)，為<2,且隨著〃的變大，。〃變大，從而得到答案.

……477-1994?-198-101

【詳角牟］?！?--------=-----------=2------------,

“2〃-992〃-992〃-99

當(dāng)13<49,〃eN*時(shí)，2〃-99<0,a?=2--^—>2,且隨著〃的變大，?！白兇螅?/p>

2/1-99

當(dāng)50W”W100,〃eN*時(shí)，2〃-99>0,a?=2--l—<2,且隨著〃的變大，。“變大，

2n-99

故這個(gè)數(shù)列的前100項(xiàng)中的最大項(xiàng)與最小項(xiàng)分別是%9，%）.

故選：C

二、多選題

9.（23-24高二下?四川成都,期中）下面四個(gè)結(jié)論正確的是（）

A.數(shù)列1,2,3,4和數(shù)列1,3,4,2是相同的數(shù)列

B.數(shù)列2,5,2,5,2,5,...是無窮數(shù)列

C.數(shù)列若用圖象表示，從圖象上看都是一群孤立的點(diǎn)

D.數(shù)列的通項(xiàng)公式是唯一的

【答案】BC

【分析】根據(jù)數(shù)列的定義判斷A,根據(jù)數(shù)列的分類判斷B,根據(jù)數(shù)列為特殊的函數(shù)判斷C,根據(jù)通項(xiàng)公式概

念判斷D.

【詳解】由數(shù)列中項(xiàng)是有次序的，可知A錯(cuò)誤；

根據(jù)數(shù)列中項(xiàng)數(shù)是無限個(gè)，可判斷數(shù)列為無窮數(shù)列，故B正確；

由于數(shù)列看作函數(shù)時(shí)，自變量是從1開始的正整數(shù)，故圖象為一群孤立的點(diǎn)，故C正確；

數(shù)列的通項(xiàng)公式不是唯一的，如%=sinT，a“=cos”里可以表示同一個(gè)數(shù)列，故D錯(cuò)誤.

故選：BC

10.（24-25高二上,全國?課后作業(yè)）（多選）下列有關(guān)數(shù)列的說法正確的是（）

A.數(shù)列的圖象是一群孤立的點(diǎn)

B.如果一個(gè)數(shù)列不是遞增數(shù)列，那么它一定是遞減數(shù)列

C.數(shù)列0,2,4,6,8,...的一個(gè)通項(xiàng)公式為

D.數(shù)列1,V2,2,2行,4,…的一個(gè)通項(xiàng)公式為a,=（亞廣1

【答案】AD

【分析】利用數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式一一判定選項(xiàng)即可.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A,因?yàn)閿?shù)列是一類特殊的函數(shù)，其自變量〃eN+，

所以數(shù)列的圖象是一群孤立的點(diǎn)，故A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B,常數(shù)列既不是遞增數(shù)列，也不是遞減數(shù)列，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C,當(dāng)"=1時(shí)，％=2/0,故C錯(cuò)誤；

24

對(duì)于選項(xiàng)D,因?yàn)?=（V2）°,a2=V2,a3=（V2）,tz4=（也了，&=（V2）,---,

所以該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為a“=（V2）-1,故D正確.

故選：AD.

11.（24-25高二上?江蘇鹽城?階段練習(xí)）若數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為4=-2/+13〃，則（）