曲線運(yùn)動(dòng)與萬有引力定律-2025年新高考物理大題必刷（含答案）

曲線運(yùn)動(dòng)與萬有引力定律-2025年新高考物理

大題笑:曲線運(yùn)前與萬有弓I力定律

目錄

考情分析......................................................................................1

題型分類訓(xùn)練.................................................................................2

題型一拋體運(yùn)動(dòng)..........................................................................2

題型二圓周運(yùn)動(dòng)..........................................................................4

題型三萬有引力定律及其應(yīng)用............................................................6

刷模擬........................................................................................8

刷真題.......................................................................................17

舞情分析

曲線運(yùn)動(dòng)與萬有引力定律是高考物理的高頻模塊，在全國卷及新高考卷中占比約10%~15%,2025年高

考對(duì)“曲線運(yùn)動(dòng)與萬有引力定律”的考查將延續(xù)“重基礎(chǔ)、強(qiáng)應(yīng)用、拓創(chuàng)新”的風(fēng)格，突出物理模型構(gòu)建與實(shí)際

問題轉(zhuǎn)化能力。備考需緊扣核心素養(yǎng)，強(qiáng)化天體運(yùn)動(dòng)與曲線運(yùn)動(dòng)的綜合分析，同時(shí)關(guān)注航天科技熱點(diǎn)與跨學(xué)

科融合，做到“以模型破萬題，以思想馭變化”。

題sg翁類訓(xùn)練

題型一拋體運(yùn)動(dòng)

1.（2024山東煙臺(tái)三模）跑酷,又稱自由奔跑，是一種結(jié)合了速度、力量和技巧的極限運(yùn)動(dòng)。如圖甲所示的

是一城墻的入城通道，通道寬度乙=6小,一跑酷愛好者從左墻根由靜止開始正對(duì)右墻加速運(yùn)動(dòng)，加速

到雙點(diǎn)時(shí)斜向上躍起,到達(dá)右墻壁P點(diǎn)時(shí),豎直方向的速度恰好為零，P點(diǎn)距離地面高點(diǎn)=0.8然后

立即蹬右墻壁，使水平方向的速度變?yōu)榈却蠓聪?，并獲得一豎直方向速度，恰好能躍到左墻壁上的Q點(diǎn)，

P點(diǎn)與Q點(diǎn)等高，飛躍過程中跑酷愛好者距地面的最大高度為2.05m,重力加速度g取10m/s2,整

個(gè)過程中跑酷愛好者的姿態(tài)可認(rèn)為保持不變，如圖乙所示，則：

L-

乙

（1）跑酷愛好者助跑的距離是多少？

（2）跑酷愛好者剛離開墻壁時(shí)的速度大小是多少？

（3）跑酷愛好者剛離開P點(diǎn)時(shí)的速度方向與豎直方向夾角的正切值是多少？

2.（2024廣東二模）如圖所示，傾角8=30°的足夠長斜面固定于水平地面上，將一小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）從斜

面底端O以速度。。斜向上方拋出，速度方向與斜面間的夾角為叫經(jīng)歷一段時(shí)間，小球以垂直于斜面方

向的速度打在斜面上的P點(diǎn)。已知重力加速度為g,不計(jì)空氣阻力,求：

（1）小球拋出時(shí)的速度方向與斜面間的夾角a的正切值tana；

（2）小球到斜面的最大距離；

（3）小球到水平地面的最大高度。

0

1.平拋運(yùn)動(dòng)（類平拋運(yùn)動(dòng)）問題的求解方法

_____將平拋運(yùn)動(dòng)（類平拋運(yùn)動(dòng)）分解為沿初

平拋速度方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和垂直于初

運(yùn)動(dòng)吊規(guī)分_速度方向（即沿合外力的方向）的勻加

（類平〔解法J速直線運(yùn)動(dòng)。兩分運(yùn)動(dòng)彼此獨(dú)立，互不

拋運(yùn)影響，且與合運(yùn)動(dòng)具有等時(shí)性

-

題的過拋出點(diǎn)建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，將］

彳寸緋刀

求解解沖加速度。分解為%、%,初速度為分解為

、方法,%、力然后分別在%、y方向歹方程求解

2斜拋運(yùn)動(dòng)（類斜拋運(yùn)動(dòng)）的處理方法

（1）斜拋運(yùn)動(dòng)是勻變速曲線運(yùn)動(dòng)，以斜上拋運(yùn)動(dòng)為例（如圖所示）

速度：vx=v0cos6,

vy—fosin6—gt

NICCS

位移：=（）>64,y=vosin0-t—產(chǎn)。

（2）當(dāng)物體做斜上拋運(yùn)動(dòng)至最高點(diǎn)時(shí)，運(yùn)用逆向思維,可轉(zhuǎn)化為平拋運(yùn)動(dòng)。

3.拋體運(yùn)動(dòng)在各類體育運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目中很常見，如乒乓球運(yùn)動(dòng)。現(xiàn)討論乒乓球發(fā)球問題，設(shè)球臺(tái)長2L、網(wǎng)高區(qū)

乒乓球反彈前后的水平分速度不變，豎直分速度大小不變、方向相反，且不考慮乒乓球的旋轉(zhuǎn)和空氣阻

力。（設(shè)重力加速度為g）

（1）若球在球臺(tái)邊緣。點(diǎn)正上方高度加處，以速度g水平發(fā)出，落在球臺(tái)上的8點(diǎn)（如圖中實(shí)線所示）,

求PI點(diǎn)距。點(diǎn)的距離Ti；

（2）若球從。點(diǎn)正上方某高度處以速度機(jī)水平發(fā)出，恰好在最高點(diǎn)時(shí)越過球網(wǎng)落在球臺(tái)上的2點(diǎn)（軌跡

如圖中虛線所示），求”2的大?。?/p>

（3）若球從O點(diǎn)正上方水平發(fā)出后，球經(jīng)反彈恰好越過球網(wǎng)且剛好落在對(duì)方球臺(tái)邊緣屈點(diǎn)，求發(fā)球點(diǎn)距

。點(diǎn)的高度％3。

題型二圓周運(yùn)動(dòng)

4.如圖所示為賽車場(chǎng)的一個(gè)“梨形”賽道，兩個(gè)彎道分別為半徑R的大圓弧和半徑「的小圓弧，直道與彎道

相切，直道長度。賽車沿彎道路線行駛時(shí)，路面對(duì)輪胎的最大徑向靜摩擦力是賽車重力的k倍,假設(shè)賽

車在直道上做勻變速直線運(yùn)動(dòng)，在圓心角為120°和240°的彎道上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，且五=4r.若賽車不

側(cè)滑且繞賽道一圈時(shí)間最短，發(fā)動(dòng)機(jī)功率足夠大，重力加速度為g.求：

（1）賽車行駛的最大速率.

（2）賽車?yán)@賽道一圈的最短時(shí)間.

5.如圖所示，裝置BO'O可繞豎直軸O'O轉(zhuǎn)動(dòng)，可視為質(zhì)點(diǎn)的小球A與兩細(xì)線連接后分別系于B、。兩點(diǎn),

裝置靜止時(shí)細(xì)線水平,細(xì)線入。與豎直方向的夾角6=37°o已知小球的質(zhì)量巾=1kg,細(xì)線AC長

L—lHi,口點(diǎn)到。點(diǎn)的水平和豎直距離相等。（重力加速度g取10m/s2,sin37°=0.6,cos37°=0.8）

（1）若裝置勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為g,細(xì)線上的張力為零而細(xì)線AC與豎直方向夾角仍為37°,求角速

度g的大?。?/p>

（2）若裝置勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為g時(shí)，細(xì)線AB剛好豎直，且張力為零,求此時(shí)角速度g的大小。

1.解決IH周運(yùn)動(dòng)問題的主要步驟

2求解豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)問題的思路

判斷是輕繩模型還是輕桿模型

。臨=病?對(duì)輕繩模型來說是能否通過

逢典甌汁最高點(diǎn)的臨界點(diǎn);而對(duì)輕桿模型來說，

是&表現(xiàn)為支持力還是拉力的臨界點(diǎn)

F焉主、通常情況下豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)只

涉及最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況

II對(duì)物體在最高點(diǎn)或最低點(diǎn)時(shí)進(jìn)行受力

—分析，根據(jù)牛頓第二定律列出方程，

尸合二尸向

廠端屋運(yùn)用動(dòng)能定理或機(jī)械能守叵定律將初、

末兩個(gè)狀態(tài)聯(lián)系起來列方程

6.（2024山東青島一模）很多青少年在山地自行車上安裝了氣門嘴燈，夜間騎車時(shí)猶如踏著風(fēng)火輪,格外亮

眼。圖甲是某種自行車氣門嘴燈,氣門嘴燈內(nèi)部開關(guān)結(jié)構(gòu)如圖乙所示,彈簧一端固定，另一端與質(zhì)量為

m的小滑塊（含觸點(diǎn)a）連接，當(dāng)觸點(diǎn)a、b接觸，電路接通使氣門嘴燈發(fā)光，觸點(diǎn)b位于車輪邊緣。車輪靜

止且氣門嘴燈在最低點(diǎn)時(shí)觸點(diǎn)a、b距離為乙，彈簧勁度系數(shù)為半，重力加速度大小為g,自行車輪胎半

徑為不計(jì)開關(guān)中的一切摩擦，滑塊和觸點(diǎn)a、

乙

（1）若自行車勻速行駛過程中氣門嘴燈可以一直亮，求自行車行駛的最小速度；

（2）若自行車以/硒的速度勻速行駛，求車輪每轉(zhuǎn)一圈，氣門嘴燈的發(fā)光時(shí)間。

題型三萬有引力定律及其應(yīng)用

7.（2024江蘇南通三模）兩顆相距較遠(yuǎn)的行星48的半徑分別為瑪、&,且&=2瑪,距行星中心r■處的

衛(wèi)星圍繞行星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的線速度的平方"隨「變化的關(guān)系如圖所示。行星可看作質(zhì)量分布均勻

的球體,忽略行星的自轉(zhuǎn)和其他星球的影響。

（1）求行星4B的密度之比pA-.pB-,

（2）假設(shè)有相同的人形機(jī)器人在行星人、口表面的水平地面上從肩位水平射出相同的鉛球，在初速度相

同的情況下,求鉛球射程的比值以:%。

天體所及和密度的計(jì)算

已知g（或可

［重力加.

求中心A以測(cè)g）和星-

天麻的f速度法

球半徑R…空-

質(zhì)量和

」衛(wèi)星環(huán)已知r（或。）

、密度"life1和軌道串徑不

注意：（1）天體表面的重力加速度9=駕，是9的決定式,具有普適性。

（2）若繞行天體繞中心天體表面（如近地）做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，軌道半徑「定五，則中心天體的密度p=*o

CTI

人造衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)問題的分析要點(diǎn)

（T中心戶萬有引力提供衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力

2

GMm=m^=mrw=mri—ma

［兩種思路1

GMm

a、o、s、八r只要一個(gè)量發(fā)生變化，其他量

一也發(fā)生變化

（三點(diǎn)說明）-a、0、3、T與衛(wèi)星的質(zhì)量無關(guān)

—當(dāng)r=R地時(shí),0=7.9km/s為第一宇宙速度

所有同步衛(wèi)星繞地心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的

周期等于地球的自轉(zhuǎn)周期

靜止衛(wèi)星在赤道上空相同的高度上

（四點(diǎn)提醒

注意靜止衛(wèi)星與地球赤道上物體的區(qū)別

與聯(lián)系

區(qū)別軌道半徑與距天體表面的高度

8.（2024四川達(dá)州一模）2024年10月30日，神舟十九號(hào)載人飛船發(fā)射取得圓滿成功。不僅體現(xiàn)了中國航天

技術(shù)進(jìn)步，也標(biāo)志著中國在全球航天領(lǐng)域競爭力提升。下圖為神舟十九號(hào)載人飛船與天和核心艙對(duì)接

過程的示意圖，天和核心艙處于圓軌道IIL神舟十九號(hào)飛船處于圓軌道I,變軌操作后，飛船沿橢圓軌道

II運(yùn)動(dòng)到8點(diǎn)與天和核心艙對(duì)接。已知軌道I的半徑為八,軌道ni的半徑為A，神舟十九號(hào)飛船的質(zhì)量

為小，地球質(zhì)量為飛船在地球周圍的引力勢(shì)能4=一6則。求：

r

⑴神舟十九號(hào)載人飛船從軌道I變軌到軌道ni穩(wěn)定運(yùn)行的過程中外界需要提供的能量成不考慮整個(gè)

過程中質(zhì)量的變化，不計(jì)一切阻力）；

（2）飛船通過軌道II到達(dá)B點(diǎn)時(shí)卻發(fā)現(xiàn)核心艙在其正前方，飛船通過向后噴氣使其加速追趕核心艙和側(cè)

向向外噴氣讓其在軌道III上運(yùn)動(dòng)。假設(shè)核心艙在飛船正前方，兩者間的圓弧長為S（S<<「3），飛船瞬間

向后噴氣加速后獲得恒定速率，經(jīng)過時(shí)間土飛船追上核心艙。已知飛船側(cè)向每秒向外噴出質(zhì)量為的

粒子。求向側(cè)向噴出粒子的速度”。

9.（2024山東煙臺(tái)三模）跑酷,又稱自由奔跑，是一種結(jié)合了速度、力量和技巧的極限運(yùn)動(dòng)。如圖甲所示的

是一城墻的入城通道,通道寬度乙=6m,一跑酷愛好者從左墻根由靜止開始正對(duì)右墻加速運(yùn)動(dòng)，加速

到M點(diǎn)時(shí)斜向上躍起，到達(dá)右墻壁P點(diǎn)時(shí),豎直方向的速度恰好為零，P點(diǎn)距離地面高九=0.8然后

立即蹬右墻壁，使水平方向的速度變?yōu)榈却蠓聪?，并獲得一豎直方向速度，恰好能躍到左墻壁上的Q點(diǎn)，

P點(diǎn)與Q點(diǎn)等高，飛躍過程中跑酷愛好者距地面的最大高度為2.05重力加速度g取lOm",整

個(gè)過程中跑酷愛好者的姿態(tài)可認(rèn)為保持不變,如圖乙所示,則：

（1）跑酷愛好者助跑的距離是多少？

（2）跑酷愛好者剛離開墻壁時(shí)的速度大小是多少？

（3）跑酷愛好者剛離開P點(diǎn)時(shí)的速度方向與豎直方向夾角的正切值是多少？

__________________________

10.電磁炮滅火消防車（圖甲）采用電磁彈射技術(shù)投射滅火彈進(jìn)入高層建筑快速滅火。電容器儲(chǔ)存的能量通

過電磁感應(yīng)轉(zhuǎn)化成滅火彈的動(dòng)能，設(shè)置儲(chǔ)能電容器的工作電壓可獲得所需的滅火彈出膛速度。如圖乙

所示，若電磁炮正對(duì)高樓，與高樓之間的水平距離L=60滅火彈出膛速度的=50m/s，方向與水平面

夾角8=53°,不計(jì)炮口離地面高度及空氣阻力，取重力加速度大小g=10m/s2,sin53°=0.80

高

樓

L仇

（1）求滅火彈擊中高樓位置距地面的高度

（2）已知電容器儲(chǔ)存的電能E=轉(zhuǎn)化為滅火彈動(dòng)能的效率〃=15%,滅火彈的質(zhì)量為3kg,電容

0=2.5X104〃尸，電容器工作電壓U應(yīng)設(shè)置為多少？

11.如圖所示的是跳臺(tái)滑雪軌道簡化模型，48段光滑曲面為加速滑道，BCD段圓弧滑道為半徑r=16m

的姿態(tài)調(diào)整滑道,左側(cè)與AB段平滑連接，右側(cè)與水平跳臺(tái)。E連接，EF段為傾角30°的速降斜坡。質(zhì)

量為60kg的滑雪運(yùn)動(dòng)員從加速滑道滑下后到達(dá)圓弧軌道的最低點(diǎn)。點(diǎn)時(shí)的速度大小%=20m/s,經(jīng)過

。點(diǎn)時(shí)的速度大小為”2=15m/s,運(yùn)動(dòng)員整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程的最高點(diǎn)P恰好在E點(diǎn)的正上方h=7.2巾處，

最后落在斜坡上的Q點(diǎn)。已知重力加速度為10m/s2,不計(jì)空氣阻力，速降斜坡足夠長，sin37°=0.6,

cos37°=0.8,求:

。平臺(tái)E

調(diào)整滑道

（1）運(yùn)動(dòng)員在。點(diǎn)時(shí)受到圓弧軌道的彈力；

⑵水平平臺(tái)。E的長度；

（3）經(jīng)過尸點(diǎn)之后，運(yùn)動(dòng)員距斜坡的最遠(yuǎn)距離（結(jié)果用根式表示）。

12.單板滑雪U型池比賽是冬奧會(huì)比賽項(xiàng)目，其場(chǎng)地可以簡化為如圖甲所示的模型：U形滑道由兩個(gè)半徑相

同的四分之一圓柱面軌道和一個(gè)中央的平面直軌道連接而成，軌道傾角為17.2°。某次練習(xí)過程中，運(yùn)動(dòng)

員以vM=10m/s的速度從軌道邊緣上的河點(diǎn)沿軌道的豎直切面ABCD滑出軌道,速度方向與軌道邊緣

線AO的夾角a=72.8°,騰空后沿軌道邊緣的N點(diǎn)進(jìn)入軌道。圖乙為騰空過程左視圖。該運(yùn)動(dòng)員可視

為質(zhì)點(diǎn)，不計(jì)空氣阻力，取重力加速度的大小g=10m/s2,sin72.8°=0.96,cos72.8°=0.30o求:

017.2°

'水平面

(1)運(yùn)動(dòng)員騰空過程中離開AD的距離的最大值d；

⑵之間的距離工。

13.（2024吉林長春模擬預(yù)測(cè)）我國為了防御小行星撞擊地球,計(jì)劃在2030年實(shí)現(xiàn)一次對(duì)小行星的動(dòng)能撞

擊。已知地球質(zhì)量為河,可視為質(zhì)量分布均勻的球體，引力常量為G。若一顆質(zhì)量為小的小行星距離

地心為r時(shí),速度的大小”=，m遠(yuǎn)小于M。不考慮地球運(yùn)動(dòng)及其它天體的影響。

（1）如圖（a）,若小行星的速度方向垂直于它與地心的連線，通過分析判斷該小行星能否圍繞地球做圓周

運(yùn)動(dòng)；

（2）如圖（6），若小行星的速度方向沿著它與地心的連線指向地心。已知取無窮遠(yuǎn)處的引力勢(shì)能為零,則

小行星在距地心為r處的引力勢(shì)能號(hào)=-”o設(shè)想提前發(fā)射質(zhì)量為0.1巾的無人飛行器,在距離地

r

心為r處與小行星發(fā)生迎面撞擊,撞擊過程視為完全非彈性對(duì)心碰撞且撞擊后均未解體。為徹底解除小

行星對(duì)地球的威脅（碰撞后運(yùn)動(dòng)到距地球無窮遠(yuǎn)）,求飛行器撞擊小行星時(shí)的最小速度

_________?

14.（2024山西太原一模）在完成登陸任務(wù)后，登陸艇自某行星表面升空與飛船會(huì)合并與飛船一起繞行星做

圓周運(yùn)動(dòng)，其速率為外飛船與登陸艇的質(zhì)量均為行星的質(zhì)量為M,萬有引力恒量為G。已知質(zhì)量

為小的物體與該行星的萬有引力勢(shì)能鼎=-9詈（以無窮遠(yuǎn)處勢(shì)能為零，”為行星質(zhì)量，r表示物體

到行星中心的距離）。

（1）求飛船與登陸艇繞行星做圓周運(yùn)動(dòng)的周期T和軌道半徑

（2）在啟動(dòng)返程時(shí)，飛船上火箭作一短時(shí)間的噴射（噴出氣體的質(zhì)量可忽略），使飛船相對(duì)登陸艇以速度1t

分離，且飛船分離時(shí)方向與速度。同向。若分離后飛船恰能完全脫離行星的引力。

i.求飛船相對(duì)登陸艇的速度成

ii.求飛船和登陸艇在火箭噴射過程中共獲得的機(jī)械能kE。

15.（2024重慶九龍坡三模）2024年4月25日神舟十八號(hào)載人飛船成功發(fā)射，標(biāo)志著中國載人航天技術(shù)已走

在世界前列。有人對(duì)今后神舟系列飛船的發(fā)射構(gòu)想：沿著地球的某條弦挖一通道，并鋪設(shè)成光滑軌道，

在通道的兩個(gè)出口分別將一物體和飛船同時(shí)釋放,利用兩者碰撞（彈性碰撞）效應(yīng)，將飛船發(fā)射出去，已

知地表重力加速度g,地球的半徑為H；物體做簡諧運(yùn)動(dòng)的周期丁=2%/亳，小為物體的質(zhì)量，R為簡諧

運(yùn)動(dòng)物體的回復(fù)力和其離開平衡位置的位移大小之比。

（1）若神舟十八號(hào)飛船貼近地球表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則其運(yùn)行的線速度大?。?/p>

（2）如圖甲，設(shè)想在地球上距地心h處挖一條光滑通道從人點(diǎn)靜止釋放一個(gè)質(zhì)量為m的物體,求物

體從A運(yùn)動(dòng)到8點(diǎn)的時(shí)間，以及物體通過通道中心。的速度大?。ㄙ|(zhì)量分布均勻的空腔對(duì)空腔內(nèi)的物

體的萬有引力為零）；

（3）如圖乙，若通道已經(jīng)挖好，且九=忘7?,如果在處同時(shí)釋放質(zhì)量分別為河和山的物體和飛船，

他們同時(shí)到達(dá)O,點(diǎn)并發(fā)生彈性碰撞，要使飛船飛出通道口時(shí)速度達(dá)到第一宇宙速度，河和m應(yīng)該滿足

什么關(guān)系？

_________0

16.（2025云南昭通模擬預(yù)測(cè)）某固定裝置的豎直截面如圖所示，該裝置由弧形光滑軌道48、豎直光滑圓軌

道、水平粗糙直軌道8。、傾角為37°的粗糙斜軌道DE、圓弧形光滑管道即平滑連接而成?，F(xiàn)將一質(zhì)量

為0.1。kg、可視為質(zhì)點(diǎn)的小滑塊mx由弧形軌道AB上高h(yuǎn)處由靜止釋放仇未知），在經(jīng)歷幾段不同的

運(yùn)動(dòng)后，小1在斤點(diǎn)與靜止在水平臺(tái)面上質(zhì)量為0.4。kg的長木板M發(fā)生正碰。已知圓軌道半徑R=

0.5°m,LBD=LDE=l0m；m,與軌道BD、DE間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為Z=0.25,雙與水平臺(tái)面間的動(dòng)

摩擦因數(shù)“2=0.3,M■最右端停放一質(zhì)量為0.1。kg、可視為質(zhì)點(diǎn)的小滑塊小2,M'與小2間的動(dòng)摩擦因

數(shù)“3=0.2;水平臺(tái)面和木板及足夠長；從軌道上滑下后進(jìn)入圓弧軌道,運(yùn)動(dòng)到與圓心O等高的

。點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力為10。No忽略空氣阻力，重力加速度g取10。m/s2,sin37°=0.6、cos37°=0.8。

⑴求九的大小。

（2）求mi剛到達(dá)F點(diǎn)時(shí)的速度大小。

（3）若mi與M碰撞時(shí)間極短，且碰后立即粘在一起,求最終m2與M最右端之間的距離。

17.（2024福建福州二模）如圖所示，在豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)中有軌道ABCDFMNP，其中8C部分為水平軌

道,與曲面平滑連接。CDF和9AW是豎直放置的半圓軌道，在最高點(diǎn)F對(duì)接，與8c在。點(diǎn)相切。

NP為一與FMN相切的水平平臺(tái)，P處固定一輕彈簧。點(diǎn)。、N、P在同一水平線上。水平軌道8c粗

糙，其余軌道均光滑，可視為質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為巾=0.02kg的帶正電的滑塊從曲面上某處由靜止釋放。

已知?jiǎng)驈?qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)E=2N/C,BC段長度L=1的半徑R=0.2m=的半徑r=

0.1mo滑塊帶電量q=0.1。，滑塊與間的動(dòng)摩擦因數(shù)〃=0.5,重力加速度g=lOm/s?；求：

（1）滑塊通過半圓軌道CD尸最高點(diǎn)F的最小速度vF-,

（2）若滑塊恰好能通過F點(diǎn),求滑塊釋放點(diǎn)到水平軌道BC的高度h0；

（3）若滑塊在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，始終不脫離軌道，且彈簧的形變始終在彈性限度內(nèi)，求滑塊釋放點(diǎn)到水平

軌道的高度％需要滿足的條件。

________0

刷真題

18.（2024北京高考真題）科學(xué)家根據(jù)天文觀測(cè)提出宇宙膨脹模型:在宇宙大尺度上，所有的宇宙物質(zhì)（星體

等）在做彼此遠(yuǎn)離運(yùn)動(dòng)，且質(zhì)量始終均勻分布，在宇宙中所有位置觀測(cè)的結(jié)果都一樣。以某一點(diǎn)O為觀

測(cè)點(diǎn)，以質(zhì)量為m的小星體（記為P）為觀測(cè)對(duì)象。當(dāng)前P到O點(diǎn)的距離為0,宇宙的密度為p0o

（1）求小星體P遠(yuǎn)離到2ro處時(shí)宇宙的密度p；

（2）以。點(diǎn)為球心，以小星體尸到O點(diǎn)的距離為半徑建立球面。P受到的萬有引力相當(dāng)于球內(nèi)質(zhì)量集

中于。點(diǎn)對(duì)P的引力。已知質(zhì)量為mj和小2、距離為R的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)間的引力勢(shì)能珞=—G嗎乜，G為

引力常量。僅考慮萬有引力和P遠(yuǎn)離。點(diǎn)的徑向運(yùn)動(dòng)。

a.求小星體P從小處遠(yuǎn)離到20。處的過程中動(dòng)能的變化量△及；

b.宇宙中各星體遠(yuǎn)離觀測(cè)點(diǎn)的速率v滿足哈勃定律”=防，其中r為星體到觀測(cè)點(diǎn)的距離，H為哈勃系

數(shù)。H與時(shí)間土有關(guān)但與r無關(guān)，分析說明H隨力增大還是減小。

19.（2023北京高考真題）螺旋星系中有大量的恒星和星際物質(zhì),主要分布在半徑為R的球體內(nèi)，球體外僅有

極少的恒星。球體內(nèi)物質(zhì)總質(zhì)量為河，可認(rèn)為均勻分布，球體內(nèi)外的所有恒星都繞星系中心做勻速圓周

運(yùn)動(dòng)，恒星到星系中心的距離為r,引力常量為G。

（1）求r>R區(qū)域的恒星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度大小”與r的關(guān)系；

（2）根據(jù)電荷均勻分布的球殼內(nèi)試探電荷所受庫侖力的合力為零，利用庫侖力與萬有引力的表達(dá)式的相

似性和相關(guān)力學(xué)知識(shí)，求rWR區(qū)域的恒星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度大小”與r的關(guān)系；

（3）科學(xué)家根據(jù)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，得到此螺旋星系中不同位置的恒星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度大小。隨r的變化

關(guān)系圖像,如圖所示,根據(jù)在r>R范圍內(nèi)的恒星速度大小幾乎不變,科學(xué)家預(yù)言螺旋星系周圍（r>R）

存在一種特殊物質(zhì)，稱之為暗物質(zhì)。暗物質(zhì)與通常的物質(zhì)有引力相互作用，并遵循萬有引力定律，求『=

nR內(nèi)暗物質(zhì)的質(zhì)量AT。

_________________________E

20.（2024江西高考）雪地轉(zhuǎn)椅是一種游樂項(xiàng)目，其中心傳動(dòng)裝置帶動(dòng)轉(zhuǎn)椅在雪地上滑動(dòng)。如圖a、b所示，傳

動(dòng)裝置有一高度可調(diào)的水平圓盤,可繞通過中心O點(diǎn)的豎直軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)。圓盤邊緣人處固定連接一輕

繩，輕繩另一端B連接轉(zhuǎn)椅（視為質(zhì)點(diǎn)）。轉(zhuǎn)椅運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定后，其角速度與圓盤角速度相等。轉(zhuǎn)椅與雪地之

間的動(dòng)摩擦因數(shù)為〃，重力加速度為g,不計(jì)空氣阻力。

a圓盤在水平雪地

（1）在圖a中，若圓盤在水平雪地上以角速度g勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)椅運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定后在水平雪地上繞O點(diǎn)做半徑

為n的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。求與之間夾角a的正切值。

（2）將圓盤升高，如圖6所示。圓盤勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)椅運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定后在水平雪地上繞Oi點(diǎn)做半徑為r2的勻速

圓周運(yùn)動(dòng),繩子與豎直方向的夾角為6,繩子在水平雪地上的投影A.B與O】B的夾角為仇求此時(shí)圓盤

的角速度g。

21.（2022江蘇高考真題）在軌空間站中物體處于完全失重狀態(tài)，對(duì)空間站的影響可忽略，空間站上操控貨物

的機(jī)械臂可簡化為兩根相連的等長輕質(zhì)臂桿,每根臂桿長為L,如題圖1所示，機(jī)械臂一端固定在空間站

上的。點(diǎn)，另一端抓住質(zhì)量為小的貨物，在機(jī)械臂的操控下，貨物先繞O點(diǎn)做半徑為2L、角速度為3的

勻速圓周運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)到/點(diǎn)停下，然后在機(jī)械臂操控下,貨物從/點(diǎn)由靜止開始做勻加速直線運(yùn)動(dòng),經(jīng)時(shí)

間1到達(dá)8點(diǎn)，A、8間的距離為Lo

（1）求貨物做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)受到合力提供的向心力大小叫；

（2）求貨物運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)機(jī)械臂對(duì)其做功的瞬時(shí)功率P。

（3）在機(jī)械臂作用下，貨物、空間站和地球的位置如題圖2所示，它們?cè)谕恢本€上，貨物與空間站同步做

勻速圓周運(yùn)動(dòng)，已知空間站軌道半徑為r,貨物與空間站中心的距離為d,忽略空間站對(duì)貨物的引力，求

貨物所受的機(jī)械臂作用力與所受的地球引力之比4月。

貨物

圖1

22.（2021福建高考真題）一火星探測(cè)器著陸火星之前，需經(jīng)歷動(dòng)力減速、懸停避障兩個(gè)階段。在動(dòng)力減速階

段，探測(cè)器速度大小由96m/s減小到0,歷時(shí)80s。在懸停避障階段，探測(cè)器啟用最大推力為7500N的變

推力發(fā)動(dòng)機(jī)，在距火星表面約百米高度處懸停，尋找著陸點(diǎn)。已知火星半徑約為地球半徑的火星質(zhì)

量約為地球質(zhì)量的擊，地球表面重力加速度大小取10m/s2,探測(cè)器在動(dòng)力減速階段的運(yùn)動(dòng)視為豎直向

下的勻減速運(yùn)動(dòng)。求：

（1）在動(dòng)力減速階段,探測(cè)器的加速度大小和下降距離；

（2）在懸停避障階段,能借助該變推力發(fā)動(dòng)機(jī)實(shí)現(xiàn)懸停的探測(cè)器的最大質(zhì)量。

大題曲線運(yùn)就與萬有引力定律

目錄

考情分析..........................................................................1

題型分類調(diào)練......................................................................2

題型1枇體運(yùn)動(dòng).................................................................2

題型二圄周運(yùn)動(dòng)................................................................4

題型三萬有引力定律及其應(yīng)用....................................................7

刷模擬............................................................................9

刷真題...........................................................................18

舞情分析

曲線運(yùn)動(dòng)與萬有引力定律是高考物理的高頻模塊，在全國卷及新高考卷中占比約10%~15%,2025年高

考對(duì)“曲線運(yùn)動(dòng)與萬有引力定律”的考查將延續(xù)“重基礎(chǔ)、強(qiáng)應(yīng)用、拓創(chuàng)新”的風(fēng)格，突出物理模型構(gòu)建與實(shí)際

問題轉(zhuǎn)化能力。備考需緊扣核心素養(yǎng)，強(qiáng)化天體運(yùn)動(dòng)與曲線運(yùn)動(dòng)的綜合分析，同時(shí)關(guān)注航天科技熱點(diǎn)與跨學(xué)

科融合，做到“以模型破萬題，以思想馭變化”。

題sg翁類訓(xùn)練

題型1拋體運(yùn)動(dòng)

1.（2024山東煙臺(tái)三模）跑酷,又稱自由奔跑，是一種結(jié)合了速度、力量和技巧的極限運(yùn)動(dòng)。如圖甲所示的

是一城墻的入城通道，通道寬度乙=6小,一跑酷愛好者從左墻根由靜止開始正對(duì)右墻加速運(yùn)動(dòng)，加速

到雙點(diǎn)時(shí)斜向上躍起,到達(dá)右墻壁P點(diǎn)時(shí),豎直方向的速度恰好為零，P點(diǎn)距離地面高點(diǎn)=0.8然后

立即蹬右墻壁，使水平方向的速度變?yōu)榈却蠓聪?，并獲得一豎直方向速度，恰好能躍到左墻壁上的Q點(diǎn)，

P點(diǎn)與Q點(diǎn)等高，飛躍過程中跑酷愛好者距地面的最大高度為2.05m,重力加速度g取10m/s2,整

個(gè)過程中跑酷愛好者的姿態(tài)可認(rèn)為保持不變，如圖乙所示，則：

*

甲乙

（1）跑酷愛好者助跑的距離是多少？

（2）跑酷愛好者剛離開墻壁時(shí)的速度大小是多少？

（3）跑酷愛好者剛離開P點(diǎn)時(shí)的速度方向與豎直方向夾角的正切值是多少？

答案（1）3.6m（2）V61m/s（3）§

5

解析（1）跑酷愛好者到達(dá)右墻壁P點(diǎn)時(shí)，豎直方向的速度恰好為零，根據(jù)逆向思維可知，從河點(diǎn)到P點(diǎn)的逆過

程為平拋運(yùn)動(dòng)，則仁而，從P點(diǎn)到Q點(diǎn)的過程為斜拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)對(duì)稱性可得仁

解得力1=0.4s,t2—1s,3=6m/s,跑酷愛好者助跑的距離為x—L——3.6m。

（2）跑酷愛好者剛離開墻壁時(shí)豎直方向的速度大小為%=9X卷=5m/s,跑酷愛好者剛離開墻壁時(shí)的速度大

小為。=夜喬1^=，^1m/so

（3）跑酷愛好者剛離開P點(diǎn)時(shí)的速度方向與豎直方向夾角的正切值為tan夕=也=今。

vy5

2.（2024廣東二模）如圖所示，傾角5=30°的足夠長斜面固定于水平地面上，將一小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）從斜

面底端。以速度的斜向上方拋出，速度方向與斜面間的夾角為心經(jīng)歷一段時(shí)間，小球以垂直于斜面方

向的速度打在斜面上的P點(diǎn)。已知重力加速度為g,不計(jì)空氣阻力，求：

（1）小球拋出時(shí)的速度方向與斜面間的夾角a的正切值tana-,

（2）小球到斜面的最大距離；

（3）小球到水平地面的最大高度。

答案（1）彳（2）于（3）等

27g56g;

解析⑴小球拋出后，將小球的速度與重力分別沿斜面與垂直于斜面分解，則小球在這兩個(gè)方向上均做勻變

速直線運(yùn)動(dòng)。小球以垂直于斜面方向的速度撞擊在斜面上的P點(diǎn)，表明此時(shí)沿斜面方向的分速度恰好減為

0,根據(jù)對(duì)稱性可知，小球打在P點(diǎn)時(shí)垂直于斜面方向的分速度與拋出時(shí)垂直于斜面方向的分速度等大反向，

……____——B

在沿斜面方向上，有g(shù)eosa=^sin夕也在垂直于斜面的方向上，有一gsina=o（）sina—geos。上，則小球拋

出時(shí)的速度方向與斜面夾角&的正切值tan&=史烏=今。

coscz2

⑵由⑴可得sina—,cosa—2夸.,當(dāng)小球垂直于斜面的分速度減為0時(shí)，距離斜面最遠(yuǎn)，則有

（%sina）2=2gcosd/1m必，解得11m=^仇□

7g

（3）小球做斜拋運(yùn)動(dòng)，將其運(yùn)動(dòng)沿水平與豎直方向分解，當(dāng)球體到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，豎直方向的速度減為0,則有

1

[-M0sin（?+6）『=2gHa，解得=等。

L平拋運(yùn)動(dòng)（類平拋運(yùn)動(dòng)）問題的求解方法

____將平拋運(yùn)動(dòng)（類平拋運(yùn)動(dòng)）分解為沿初

平拋速度方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和垂直于初

運(yùn)動(dòng)吊規(guī)分_速度方向（即沿合外力的方向）的勻加

（類平〔解法J速直線運(yùn)動(dòng)。兩分運(yùn)動(dòng)彼此獨(dú)立，互不

拋運(yùn)

-影響，且與合運(yùn)動(dòng)具有等時(shí)性

題的過拋出點(diǎn)建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，將]

|_彳寸緋刀

求解解沖加速度。分解為%、%,初速度為分解為

、方法,%、力然后分別在%、y方向歹I方程求解

2斜拋運(yùn)動(dòng)（類斜拋運(yùn)動(dòng)）的處理方法

（1）斜拋運(yùn)動(dòng)是勻變速曲線運(yùn)動(dòng)，以斜上拋運(yùn)動(dòng)為例（如圖所示）

速度：vx=v0cos0,

vy—t>osin0—gt

位移：c=uocos6-t,y—vosin6-t—^"9#。

（2）當(dāng)物體做斜上拋運(yùn)動(dòng)至最高點(diǎn)時(shí)，運(yùn)用逆向思維,可轉(zhuǎn)化為平拋運(yùn)動(dòng)。

3.拋體運(yùn)動(dòng)在各類體育運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目中很常見,如乒乓球運(yùn)動(dòng)?，F(xiàn)討論乒乓球發(fā)球問題，設(shè)球臺(tái)長2乙、網(wǎng)高加

乒乓球反彈前后的水平分速度不變，豎直分速度大小不變、方向相反，且不考慮乒乓球的旋轉(zhuǎn)和空氣阻

力。（設(shè)重力加速度為g）

（1）若球在球臺(tái)邊緣O點(diǎn)正上方高度砥處，以速度生水平發(fā)出，落在球臺(tái)上的E點(diǎn)（如圖中實(shí)線所示），

求E點(diǎn)距。點(diǎn)的距離g；

（2）若球從O點(diǎn)正上方某高度處以速度”2水平發(fā)出，恰好在最高點(diǎn)時(shí)越過球網(wǎng)落在球臺(tái)上的B點(diǎn)（軌跡

如圖中虛線所示），求s的大??；

（3）若球從O點(diǎn)正上方水平發(fā)出后，球經(jīng)反彈恰好越過球網(wǎng)且剛好落在對(duì)方球臺(tái)邊緣打點(diǎn)，求發(fā)球點(diǎn)距

。點(diǎn)的高度％3。

解析（1）根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律得

'i=+g%0=。由

聯(lián)立解得0=仍聲1^。

（2）根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律得九2二"^g場(chǎng)/2=。2力2

且九2=無，2g=L

聯(lián)立解得v2=M°

（3）球的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，得

3=]g據(jù)

劣3=。3力3

且3g=2￡

設(shè)球從恰好越過球網(wǎng)到達(dá)到最高點(diǎn)所用的時(shí)間為力，水平距離為S,則有自一九=￡gi?

S=v3t

由幾何關(guān)系得力3+S=L

解得無3=?鼠

O

題型二圓周運(yùn)動(dòng)

4.如圖所示為賽車場(chǎng)的一個(gè)“梨形”賽道，兩個(gè)彎道分別為半徑五的大圓弧和半徑7■的小圓弧，直道與彎道

相切，直道長度二賽車沿彎道路線行駛時(shí)，路面對(duì)輪胎的最大徑向靜摩擦力是賽車重力的自倍,假設(shè)賽

車在直道上做勻變速直線運(yùn)動(dòng)，在圓心角為120°和240°的彎道上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，且A=4r.若賽車不

側(cè)滑且繞賽道一圈時(shí)間最短，發(fā)動(dòng)機(jī)功率足夠大，重力加速度為g.求：

（1）賽車行駛的最大速率.

（2）賽車?yán)@賽道一圈的最短時(shí)間.

4L+10兀廠

答案⑴J硒

3^/kgr

解析（1）根據(jù)題意，由牛頓第二定律有

kmg=晦%

解得最大速率為vm—^/kgR

（2）根據(jù)題意，由公式力二駕2力可得，賽車在兩直道的時(shí)間為

,2L4L4L

t-\—-----=-------------=-------

二所十師3師

小圓弧彎道的時(shí)間為《=2:二

3/kgT

大圓弧彎道的時(shí)間為t3=8工

3y/kgr

則賽車?yán)@賽道一圈的最短時(shí)間

6y/kgr

5.如圖所示，裝置BO'O可繞豎直軸O'O轉(zhuǎn)動(dòng),可視為質(zhì)點(diǎn)的小球A與兩細(xì)線連接后分別系于B、。兩點(diǎn),

裝置靜止時(shí)細(xì)線水平，細(xì)線人。與豎直方向的夾角6=37°。已知小球的質(zhì)量巾=lkg,細(xì)線AC長

L—lm,B點(diǎn)到。點(diǎn)的水平和豎直距離相等。（重力加速度g取10m/s2,sin37°=0.6,cos37°=0.8）

（1）若裝置勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為例，細(xì)線AB上的張力為零而細(xì)線AC與豎直方向夾角仍為37°,求角速

度g的大?。?/p>

（2）若裝置勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為g時(shí)，細(xì)線AB剛好豎直,且張力為零,求此時(shí)角速度。2的大小。

答案⑴立^rad/s⑵5*~rad/s

解析（1）細(xì)線48上的張力恰為零時(shí)有

mgtan370=ma^Lsin370

解得g=J=A/^rad/s=rad/s?

VLcos37V42

（2）細(xì)線AB恰好豎直,但張力為零時(shí)，由幾何關(guān)系得cos伊=§,則有伊=53°

5

又mgtan夕=ma^Lsin夕

解得Q）2=rad/so

1.解決19周運(yùn)動(dòng)問題的主要步事

2求解豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)問題的思路

判斷是輕繩模型還是輕桿模型

麟=質(zhì)對(duì)輕繩模型來說是能否通過

臨穗?最高點(diǎn)的臨界點(diǎn);而對(duì)輕桿模型來說，

是FN表現(xiàn)為支持力還是拉力的臨界點(diǎn)

通常情況下豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)只

涉及最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況

U對(duì)物體在最高點(diǎn)或最低點(diǎn)時(shí)進(jìn)行受力

分析，根據(jù)牛頓第二定律列出方程，

尸合二"向

/端尢運(yùn)用動(dòng)能定理或機(jī)械能守叵定律將初、

末兩個(gè)狀態(tài)聯(lián)系起來列方程

6.（2024山東青島一模）很多青少年在山地自行車上安裝了氣門嘴燈，夜間騎車時(shí)猶如踏著風(fēng)火輪,格外亮

眼。圖甲是某種自行車氣門嘴燈,氣門嘴燈內(nèi)部開關(guān)結(jié)構(gòu)如圖乙所示,彈簧一端固定，另一端與質(zhì)量為

m的小滑塊（含觸點(diǎn)a）連接，當(dāng)觸點(diǎn)a、b接觸，電路接通使氣門嘴燈發(fā)光，觸點(diǎn)b位于車輪邊緣。車輪靜

止且氣門嘴燈在最低點(diǎn)時(shí)觸點(diǎn)a、b距離為L,彈簧勁度系數(shù)為半，重力加速度大小為g,自行車輪胎半

徑為凡不計(jì)開關(guān)中的一切摩擦,滑塊和觸點(diǎn)a、b均可視為質(zhì)點(diǎn)。

氣門嘴燈

甲

（1）若自行車勻速行駛過程中氣門嘴燈可以一直亮，求自行車行駛的最小速度；

（2）若自行車以，硒的速度勻速行駛，求車輪每轉(zhuǎn)一圈，氣門嘴燈的發(fā)光時(shí)間。

答案（1）前反（2）白至區(qū)

2g

解析⑴只要?dú)忾T嘴燈位于最高點(diǎn)時(shí)a、6接觸即可保證全程燈亮，彈簧原長時(shí)a、6間的距離為半+L=2乙

2

氣門嘴燈位于最高點(diǎn)時(shí)，對(duì)于小滑塊，有mg+2kL=2*

解得滿足要求自行車行駛的最小速度為v=J硒。

（2）速度為J硒時(shí)輪子滾動(dòng)的周期為T=之嗎=匹了硒

/2gR9

此速度下氣門嘴燈所需的向心力為用=坐匚=2mg,

此力恰好等于a、6接觸時(shí)彈簧的彈力，即無重力參與向心力，對(duì)應(yīng)與圓心等高的點(diǎn)，故當(dāng)氣門嘴燈位于下半圓

周時(shí)燈競，即t=冬—~^—y/2gRo

22g

題型三萬有引力定律及其應(yīng)用

7.（2024江蘇南通三模）兩顆相距較遠(yuǎn)的行星A、B的半徑分別為Ra、RB，且AB=2RA，距行星中心r處的

衛(wèi)星圍繞行星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的線速度的平方"隨「變化的關(guān)系如圖所示。行星可看作質(zhì)量分布均勻

的球體,忽略行星的自轉(zhuǎn)和其他星球的影響。

（1）求行星4B的密度之比pA：pB；

（2）假設(shè)有相同的人形機(jī)器人在行星4、8表面的水平地面上從肩位水平射出相同的鉛球，在初速度相

同的情況下,求鉛球射程的比值xA-.xB.

AB

答案：（1）P：P=4:1;（i）xA--xB—1：V2

解析⑴設(shè)質(zhì)量為nz的衛(wèi)星繞行星做圓周運(yùn)動(dòng)

入Mmv2

G——=m—

r2r

整理得

v2^GM--

r

由7?B=2_RA，結(jié)合圖像得兩行星的質(zhì)量關(guān)系

MB=2MA

密度

M=M_3M

v（危?34兀不

解得

pA:pB=4:1

（2）在每個(gè)行星表面

cMm

mg=G-^T

兩行星表面的重力加速度之比

9A:9B=2：1

鉛球做平拋運(yùn)動(dòng)，豎直方向

h=^gt2

水平方向