幾何證明壓軸題分類(lèi)訓(xùn)練1（解析版）-2025年重慶中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練

專(zhuān)題17幾何證明壓軸題分類(lèi)訓(xùn)練1(3種類(lèi)型30道)

目錄

【題型1探究數(shù)量關(guān)系】.........................................................................1

【題型2最值問(wèn)題】............................................................................41

【題型3特定條件下(最值)求線段比值1.............................................................................73

【題型1探究數(shù)量關(guān)系】

1.在Rt△力BC中，^ACB=9Q,AC=BC,點(diǎn)。為直線AC上一點(diǎn)，連接BD.

(1)如圖1,若點(diǎn)D在邊4C上，且滿足tanNABD=[/C=5五，求BD的長(zhǎng)；

(2汝口圖2,若點(diǎn)。為C4延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)E為BD中點(diǎn)，在射線力C上取點(diǎn)M滿足AM=24E,連接2E,過(guò)點(diǎn)4

作2F14E,連接FDFM,若2NFDA+NE4B=45°,猜想線段4B/EFM之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想;

⑶如圖3,點(diǎn)。為AC的中點(diǎn)，4,點(diǎn)N為直線48上任意一點(diǎn)，連接DN,將△AND沿ND翻折得△4

ND,連接4B,4C,當(dāng)4B最小時(shí)，將△4CB沿4c翻折得△4CQ,連接A4/Q,請(qǐng)直接寫(xiě)出△44'Q的面積.

【答案】(1)2后

(2)AB=MF+42AG,理由見(jiàn)解析

(3)4-1V5

【分析】(1)過(guò)點(diǎn)。作于點(diǎn)￡,先根據(jù)勾股定理得到48=10,,然后根據(jù)三角函數(shù)得到

AE=DE=^BE,然后得到AE=DE=2,然后利用勾股定理解題即可；

(2)延長(zhǎng)4E到點(diǎn)“，使得EH=4E,連接證明△ADE三△/?￡1,即可得到4。||8H,AD=BH,進(jìn)而

得至1」乙84。=乙48"=45。，然后根據(jù)題意得到乙F。4=乙4/。，然后延長(zhǎng)E4到點(diǎn)G,使得4G=4產(chǎn)，連接

GF,GM,根據(jù)三角形全等證明G、尸、M三點(diǎn)共線，即可得到結(jié)論；

(3)由題可得點(diǎn)4在以。為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，即當(dāng)。、4、8共線時(shí)，4B長(zhǎng)度最小，最小

值為2年—2,然后利用翻折和三角形的外角得到N4CQ=NCB0=NCQ4,即可得到4QII4C,然后求出三

角形的面積.

【詳解】（1）解：如圖，過(guò)點(diǎn)。作DE1AB于點(diǎn)E,

,：Z-ACB=90°MC=BC,

■■AB=VxC2+BC2=10,〃=45。

1

又Ttan乙48。=

4

DE1

??而一下

.-.DE=^BE,

又?:DE1AB,

■■/LADE=NA=45°,

;.AE=DE=：BE,

■.AB=5AE=5DE,

：.AE=DE=2,

■■AD=JDE2+AE2=2VL

.,.CD—AC—AD—5V2—2V2=3V2?

■■BD=7CD2+BC2=J(5際,+?際2=?后;

(2)4B=M尸+①4G,理由如下：

延長(zhǎng)4E到點(diǎn)”，使得=連接

"E是BD的中點(diǎn)，

：.DE=BE,

又=乙BEH,

.-.AADE=AHBE,

工乙DAE=,AD=BH,

：.AD||BH,

：,^LBAC=Z.ABH=^°,

-AF1AE,

??ZF/E=90。，

.?ZFAC+乙BAE=AFAE-/-CAB=90°-45°=45°,

Xv2zFDi4+乙EAB=45°,

."AC=2^FDAf^Z-FDA=^AFDf

,-.AF=AD=BH,

延長(zhǎng)瓦4到點(diǎn)G,使得4G=AF,連接GF,GM,

則NFG力=N4FG=45°,FG=NAG2+加=五AG,

又?■?NGAM=H4E=NH,AM^2AEAH,

△GAM三△B/M,

.-.AB=MG,^MGA=/.ABH=45°=AFGA,

??.G、F、M三點(diǎn)共線，

:.AB=MG=MF+FG=MF+五AG；

(3)解：由題可知。4=￡M=DC=2,

???點(diǎn)4在以。為圓心，口4長(zhǎng)為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，即當(dāng)D、4、8共線時(shí)，4B長(zhǎng)度最小,

BD=y/cD2+BC2=V22+42=2運(yùn),

''A'B=BD-A'D=2V^—2,

又；AD=DC=2,

：.Z.DCA'=乙DA'C,

由翻折得：上CBD=^CQA',^QCA'=^BCA',4Q=48=24一2,

.-.^DCA'-^QCA'=ADA'C-ABCA',即NACQ=乙CBD=ACQA',

?'■A'QIIAC,

過(guò)，作AE1AC于點(diǎn)E,則△DEAS^DCB,

A'E_A'D日n4E__2

.?就一說(shuō)'即丁一2西'

解得：=

"△.Q=%Q.AE=|X初x(2V5-2)=4-1V5.

【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性

質(zhì)，三角函數(shù)，作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.

2.在RSABC中，NB4C=90°,AB=AC.

圖1圖3

(1)如圖1,點(diǎn)。是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是4C上一點(diǎn)，連接DE,作DF1DE交于點(diǎn)F,若BC=2五，CE=g,求

線段BF的長(zhǎng)；

(2汝口圖2,點(diǎn)。是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接4),以4D為直角邊在AD上方作等腰直角△4DF,4MF=90。，

點(diǎn)E是尸。的中點(diǎn)，連接BE并延長(zhǎng)到點(diǎn)H,連接若2NH+NHBO=90。，用等式表示線段HE、EB、CD之

間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

⑶如圖3,點(diǎn)。是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接2D,將4D繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。到MD,連接4M,點(diǎn)E是線段2C上

一點(diǎn)，滿足2CE=4E=2,連接EM,點(diǎn)P是線段4。上一點(diǎn)，連接PM,當(dāng)EM最小時(shí)，在平面內(nèi)將aAPM沿

PM翻折至△NPM,連接CN,當(dāng)CN最小時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出AAPM的面積.

【答案】⑴|

(2)HE=CD+BE,理由見(jiàn)解析

/□^208-13V130

(*28

【分析】(1)連接a。，證明△DCE三△￡MF(ASA)得出==a由勾股定理得出48=AC=2,即可得

解；

(2)連接BF,過(guò)點(diǎn)。作0M||B尸，交BH于點(diǎn)M,證明△D4C三△FAB(SAS)，

得出NDC4=NF84=135°,BF=CD,證明△EMC三△EBF(ASA)，得出M0=BF=C0,EM=EB,再證

明Z_H=NMDH得出HM=DM,即可得證；

(3)由全等三角形的性質(zhì)可得M點(diǎn)在過(guò)點(diǎn)B且平行于2C的直線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)EM14C時(shí)，線段EM最小，由題

意可知，點(diǎn)N在以點(diǎn)M為圓心，AL4為半徑的圓周上運(yùn)動(dòng)，連接MC并延長(zhǎng)交圓周于點(diǎn)N,此時(shí)所在的位置即

為CN取得最小值的位置，連接CM,作NCMA的角平分線交AD于點(diǎn)P,作C714M交MP于點(diǎn)3交4M于點(diǎn)7,

作PQL4M交4M于點(diǎn)Q,作LK1CM交CM于點(diǎn)K,由等面積法得出CT=察，則MT=甯,推出tanzlCMT=

設(shè)LT=a=LK,MT=7,TC=9,貝也C=9-a,/<C=7130-7,由勾股定理求出a=工野”，得到

tan4PM4=①魯，設(shè)2Q=ni=PQ,MQ=^3-m,解直角三角形求出爪=最后再由面積

9V130+2

公式計(jì)算即可得解.

【詳解】(1)解：如圖：連接

???乙84。=90。，AB=AC,。點(diǎn)是的中點(diǎn),

；.AD=CD=BD,4coz=90。，/-CAD=^DAB=45°f

DE1DF,

???4EOF=90。,

Z.CDE=Z-ADF,

在△OCE和△IMF中,

ZC=^DAB

CD=DA

"DE=Z.ADF

??.△DCE=△F(ASA)，

???CE=AF=I，

在RtZiABC中，BC2=AB2+AC2,

AB=AC=2,

3

??.FB=AB-AF=-；

(2)解：如圖，連接BF,過(guò)點(diǎn)。作OMIIBF,交于點(diǎn)M,

vA.BAC=^DAF=90°,

??.Z,CAD=^BAF=90°-zCi4F,

在△D4C和△凡43中

(AD=AF

/-CAD=Z.BAF,

IAC=AB

???△￡MC三△尸/B(SAS)，

Z.DCA=/LFBA=135°,BF=CD,

???DM||BF,

???Z-BMD=乙FBE,

??,萬(wàn)為尸。的中點(diǎn)，

??.ED=EF,

在△EMO和△EBF中，

(Z-MDE=乙BFE

]ED=EF,

IzMEZ)=乙BEF

??.△EMD=△EBF(ASA)，

MD=BF=CD,EM=EB,

???2ZH+乙HBD=90°,乙FBE+乙HBD=乙FBA—乙CBA=90°,

???2^H=LFBE=LBMD,

“H=ZMDH,

:.HM=DM,

：.HE=HM+ME=CD+BE；

(3)解：---ADHM=△DFA

M點(diǎn)在過(guò)點(diǎn)B且平行于2C的直線上運(yùn)動(dòng)，

.?.當(dāng)EM，4c時(shí)，線段EM最小，

由題意可知，點(diǎn)N在以點(diǎn)M為圓心，AL4為半徑的圓周上運(yùn)動(dòng)，

二連接MC并延長(zhǎng)交圓周于點(diǎn)N,此時(shí)所在的位置即為CN取得最小值的位置，連接CM,作NCM4的角平分線

交AD于點(diǎn)P,

作CT14M交MP于點(diǎn)3交4M于點(diǎn)T,作PQ_L4M交4M于點(diǎn)Q,作LK1CM交CM于點(diǎn)K

■■■AMxCT=ACxEM,

.?.“=咨

13

???MT=也，

13

9

tanZ.CMT=

設(shè)LT=a=LK,MT=7,TC=9,

?**LC=9—CL,

??.KC=V130-,

???(V130-7)2+a2=(9-a)2,

.「_7V130-49

??(x-----------,

9

tan^PMA=叵zZ,

9

設(shè)/Q=/n=PQ,MQ=V13—

V130-7_———

???tmZ-PMA=9V13-m，

???m=

V130+2

「11-(V130-7)xV13208—1371^

后雙+2

,,,SfM=5xx281

3.已知△ABC是等腰直角三角形，AB=AC,。為平面內(nèi)一點(diǎn).

(1)如圖1,當(dāng)D點(diǎn)在力B的中點(diǎn)時(shí)，連接CD,將CD繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到ED,若2B=4,求△4DE的

周長(zhǎng);

(2)如圖2,當(dāng)。點(diǎn)在△ABC外部時(shí)，E、尸分另I」是4B、8c的中點(diǎn)，連接EF、DE、DF,將DE繞E點(diǎn)逆時(shí)針旋

轉(zhuǎn)90。得到EG,連接CG、DG、FG,若乙FDG=dGE,請(qǐng)?zhí)骄縁D、FG、CG之間的數(shù)量關(guān)系并給出證明；

⑶如圖3,當(dāng)。在△ABC內(nèi)部時(shí)，連接力D,將4D繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到ED,若ED經(jīng)過(guò)BC中點(diǎn)F,連

接力E、CE,G為CE的中點(diǎn)，連接GF并延長(zhǎng)交力B于點(diǎn)H,當(dāng)4G最大時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出受”的值.

【答案】(1/4。石的周長(zhǎng)為2+24+2五

(2)FD=CG+^2FG,證明見(jiàn)解答

⑶亨

【分析】(1)過(guò)點(diǎn)E作交84的延長(zhǎng)線于H,利用AAS證明△三△CD4,可得EH=4D=2,

DH=4C=4,AH=DH—40=4—2=2,運(yùn)用勾股定理可得4E=2五，即可得出答案;

(2)連接力F、AG,過(guò)點(diǎn)F作FH，F(xiàn)G交4G于H,利用SAS證明△瓦4G三△EFD,可得4G=FD,

Z.AGE=^FDE,再利用S4S證明三△CFG,可得4H=CG,即可得出答案;

(3)設(shè)AE、GH交于點(diǎn)M,作4B中點(diǎn)P,連接PC、PE、BE、4F,作PC中點(diǎn)Q,連接4Q、QG,設(shè)

AB=AC=4a,則QG=a,PA=2a,運(yùn)用勾股定理可得PC=2V^a,進(jìn)而可得AQ==而m當(dāng)人Q、

G三點(diǎn)共線時(shí)，4G=4Q+QG=V^a+a=(V^+l)a,取得最大值，利用ASA證得△三△4GM,可得

HM=GM,AH=4G=(其+i)a,根據(jù)

^AE-MG

S4ACGS^AEG=1XS=^即可求得答案?

S》"G2sAAMG2x^AM-MG

【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)E作EHL4B交B4的延長(zhǎng)線于H,如圖1,

.-.AD=BD=^AB=2,

在Rt^ACD中，/.CAD=90°,AC=AB=4,

-,?tanz.ACD=第=：=J，CD=JAD2+AC2=V22+42=2V5,

由旋轉(zhuǎn)得：DE=CD=2近,NCDE=90。，

即乙4DC+ZT1DE=90。，

Z.ADC+Z.ACD=90°,

???Z-ADE=Z-ACD,

在△OE”和△coa中，

ZDHE=^CAD=90°

2LADE=Z.ACD

DE=CD

.-.△DEH=AC￡)71(AAS),

EH=AD=2,DH=AC=4f

AH=DH-AD=A-2=2,

在Rt^AEH中，IE=〃口2+EH2="+22=2VL

力DE的周長(zhǎng)=AD+DE+AE=2+245+2V2；

(2)猜想：FD=CG+^FG,理由如下：

如圖2,連接4F、AG,過(guò)點(diǎn)F作FH1FG交4G于H,

A

瓦

圖2...△ZBC是等腰直角三角形，E、F分別是48、BC的中點(diǎn),

AE=EF,AE1EF,AF=CF,

???乙AEG+乙FEG=90。，

由旋轉(zhuǎn)得EO=EG,乙DEG=9。。,

/,FED+Z.FEG=90°,乙EDG=LEGD=45°,

???Z.AEG=乙FED,

在△瓦4G和△EFD中，

(AE=EF

{/.AEG=乙FED,

(EG=ED

???△E/G三△EFO(SAS),

：.AG=FD,匕AGE=tFDE,

vZ-FDG=Z-FGE,

/.AGE+(FGE=Z.FDE+2FDG=乙EDG=45°,

即乙4GF=45。，

v^GFH=90°,

???Z.FHG=45°=乙FGH,

??.△FGH是等腰直角三角形，

FH=FG,HG=>/iFG,

vZ-AFH+Z,CFH=乙CFG+4CFH=90°,

???Z-AFH=乙CFG,

在△4FH和中，

(AF=CF

]Z-AFH=(CFG,

(FH=FG

???△4FHwZkCFG(SAS),

■■.AH^CG,

■■■AG=AH+HG,

???FD=CG+近FG；

(3)設(shè)4E、GH交于點(diǎn)M,作ZB中點(diǎn)P,連接PC、PE、BE、AF,作PC中點(diǎn)Q,連接力Q、QG,如圖3,

圖3??,將40繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到ED,

??.△AED是等腰直角三角形，

AD1?^EAD=45°,

?.?△ABF是等腰直角三角形，

???^=—,NBAF=45。，

AF1

.AB_AE

**~AF~~AD"

■■■ABAF-AEAF=^EAD-^EAF,即NB4E=AFAD,

.??△BAE-△FA。，

.-.Z.BEA=/.FAD=90°,

???點(diǎn)P是4B的中點(diǎn)，

.-.PE=^AB,

?；Q是PC的中點(diǎn)，G是EC的中點(diǎn)，

??.QG是△CPE的中位線，

??.QG=#E=%B,QGWPE,

設(shè)AB=AC=4a,則QG=a,PA=2a,

在RtAPAC中，PC=^PA1+AC2=7(2a)2+(4a)2=

AQ=gpC=|X2Vsa=y/^a,

當(dāng)爾Q、G三點(diǎn)共線時(shí)，

AG=AQ+QG=y/~Sa+a=(V5+1)。，取得最大值,

又???QGWPE

???4G||PE,

Z.PEA=Z.GAE,

PE=PA,

???/,PAE=Z-PEA=乙EAG,

??,F是BC的中點(diǎn)，G是EC的中點(diǎn),

???FG是△BEC的中位線，

???FGWBE,

???AE1HG,

.-.Ai4HM=Ai4GM(ASA),

：.HM=GM,AH=AG=(^/5+l)af

AEAH4a

,?布=而=(每l)a=)5f

EMG

=^-=lx—=

S4AHG2sAy1MG2x1i4M-MG2AM2

4.己知△ABC為等邊三角形，點(diǎn)、D、E分別是8C、AC上一點(diǎn).

BDCF

圖1圖2

(1)如圖1,BD=CE,連接4。，BE,2。交BE于點(diǎn)R在BE的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)G,使得FG=AF,連接AG,若

AF=4,求aAFG的面積；

(2)如圖2,AD,BE相交于點(diǎn)G,點(diǎn)尸為力。延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接BF、CF、CG,已知BD=CE,

ZBFG=60°,乙AEB=^BGC,探究BF、GE、CF之間的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由；

(3)如圖3,已知AB=12,過(guò)點(diǎn)/作8c于點(diǎn)。，點(diǎn)M是直線4。上一點(diǎn)，以CM為邊，在CM的下方作等

邊△CMN,連接DN,當(dāng)。N取最小值時(shí)請(qǐng)直接寫(xiě)出CM的長(zhǎng).

【答案］⑴4倔

(2)BF+CE=2CF,見(jiàn)解析；

⑶CM=3V7

【分析】(1)證明△力BC三△BCE(SAS)，貝此瓦4。="BE,進(jìn)一步證明△4FG為等邊三角形，根據(jù)等邊

三角形的性質(zhì)即可得到答案；

(2)作DHIICG交BE于〃，作DT||AC交BE于T,證明DH=DT,進(jìn)一步證明△4BE三△CAD(SAS)，則

ACAD=AABE,AD=BE,證明△GBF是等邊三角形，再證明△ABG三△CBF(SAS)，則力G=CF,證明

△aEGNZXDTG(ASA)，則力G=DG,得至lMD=24G,則BE=力。=24G=2CF,即可得到結(jié)論；

(3)連接BN,利用等邊三角形的性質(zhì)得到BD=；BC=YB=6,ACAD=30°,勾股定理得到4D=

dAB2-BD2=6?證明aBCN三△4CM(SAS)，得到NCBN=N。4M=30。，則當(dāng)DN1BN時(shí)，DN最小，

最小值為：BD=3,此時(shí)BN=4"=3百，則￡>M=AD-4"=3百，在Rt^CDM中，利用勾股定理即可求

出答案.

【詳解】(1)證明：在等邊△力BC中，AB=BC,乙4BC=NC=60。，

在△ABD和△BCE中，

(AB=BC

AABD=ZC,

IBD=CE

??.△ABD=△BCE(SAS)，

???Z-BAD=Z-CBE,

vz.^C=60°,

???AAFG=乙ABF+4BAD=60°,

???AF=FG,

??.△4FG為等邊三角形；

,1?SAAFG=-^X4,2=4后

(2)解：BF+CE=2CF；

證明：如圖1,作D”IICG交BE于H,作DT||AC交BE于T,

A

A.THD=乙EGC乙DTH=^CEG,乙BDH=CGCD,

Z.AEB=乙BGC,

即“GC+乙GCE=乙CEG+乙GCE,

???Z-EGC=Z-CEG,

???^THD=乙DTH,

??.DH=DT,

???△/BC是等邊三角形，

AB=AC=BCf/-ABC=Z.ACB=^BAC=60°,

???CE=BD,

AE=CD,BD=CG；

在△Z8E和△CZO中，

(AB=AC

]ABAC=/-ACB,

IAE=CD

??.△ABE=△CZD(SAS)，

Z-CAD=Z.ABE,AD=BE,

???/.CAD+乙BAD=Z.BAC=60°,

???/.ABE+乙BAD=60°,

???乙BGF=乙ABE+匕BAD=60°,

???乙BFG=60°,

??.△GBF是等邊三角形，

：.BF=BG,NGBF=60。，

???乙ABC=乙GBF,

Z-ABC-Z-EBC=Z-GBF—乙EBC,

BP：乙ABG=^CBF,

???△ABG=△CBF(SAS)，

AG=CF,

???(BGF=乙ACB=60°,乙EGD+乙BGF=180°,

二在四邊形EGOC中，ZCEG+ZCDG=180°,

???乙BHD+乙DHT=180°,乙DHT=Z.CGE=MEG,

???乙BHD=乙CDG,

在△8。"和△GCD中，

(/.BHD=Z.CDG

](BDH=乙GCD,

IBD=CG

??.△BDH=△GCD(AAS)，

??.DH=CD,

.?.DT=DH=CD=AE,

???DT\\AC,

Z.EAG=Z-TDG,乙AEG=zJ)TG,

AEG=△DTG(ASA),

AG=DG,

AD=2AG,

??.BE=AD=2AG=2CF,

BG+GE=2CF,

??.BF+GE=2CF；

(3)解：CM=3小

連接BN,

■■.BD=^BC=^AB=6,ACAD=^CAB=30°,AD=AB2-BD2=6V3,

-AABC,ZkCMN是等邊三角形，

AACB=^MCN=60°,CA=CB,CM=CN,

"BCN=/-ACM,

在4807和△/CM中，

(BC=AC

Z.BCN=乙4cM,

ICN=CM

???△BCN=△/CM(SAS)，

???乙CBN=Z.CAM=30°,

當(dāng)DNLBN時(shí)，DN最小,最小值為匏。=3,

此時(shí)BN=AM=3百，

DM=AD-AM=3百，

22限

■-.在Rt△COM中，CM=VDM+CD=J(3百$+62=3

5.在△ABC中，AC=BC,AC=6,乙4cB=a,點(diǎn)。是BC邊上任意一點(diǎn)，點(diǎn)E是直線4D上一動(dòng)點(diǎn)，連接

BE,將BE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為a,得到線段BF,連接EF.

圖1圖2圖3

(1)如圖1,a=90。，^BAD=15°,點(diǎn)尸在射線4D上，求BF的長(zhǎng)；

⑵如圖2,BF||AD,CGL2E于點(diǎn)G,2zXBF-3z￡BF=4Z.BAE,猜想線段GE,BE,AC之間存在的數(shù)量關(guān)

系，并證明你的猜想；

⑶如圖3,a=60。，點(diǎn)F在射線4。上，點(diǎn)P是8E上一點(diǎn)且滿足”=3BP,連接4P,直接寫(xiě)出當(dāng)4P最小時(shí),

點(diǎn)P到AB的距離.

【答案】(1)3痣-3五

(2)GE+BE=^.AC,證明見(jiàn)解析

【分析】(1)由題意易得48=6叁，^CAD=30°,由特殊三角函數(shù)值求出4。，進(jìn)而得出8。的長(zhǎng)，證明

△ABFFADB,利用相似三角形的性質(zhì)求解即可；

(2)由平行線的性質(zhì)結(jié)合題意求出NC4E=30。，進(jìn)而得出4G=?C,作CH1BE于H,則N"=90。，證明

△4CD三△BED(AAS)，得出BH=4G=54C,CG=CH,證明Rt△CEGmRt△CEH(HL)，得出GE=EH,

即可得證；

(3)由題意易得△ABC、△BEF是等邊三角形，則點(diǎn)尸在△4BC的外接圓上，作△ABC的外接O。，鏈接

OC,并延長(zhǎng)C。交4B于點(diǎn)“，貝兒"垂直平分4B,作點(diǎn)F關(guān)于。C的對(duì)稱點(diǎn)F,則浮=療，連接力廠，BF',證

明△4BF三△BAF(AAS)，得出B9=AF,連接。/、OB,在BF上截取Bp=匏F,作PMII。/，P'M^OB

于點(diǎn)M,則MB=g08,求出OB=2百，得出MB=MP,推出點(diǎn)P在以M為圓心，以苧為半徑的圓上，當(dāng)4、

P、M三點(diǎn)共線時(shí)，4P的值最小，作PQ1HB于點(diǎn)Q,作MNL4B于點(diǎn)N,貝|PQ||MN,推出

AAPQ-AAMN,由相似三角形的性質(zhì)得出得=焉，解直角三角形得出MN、BN,再由勾股定理得出4V,

進(jìn)而得出4P,代入計(jì)算即可得出答案.

【詳解】(1)解：?."C=BC=6,/4CB=a=90。，

：./.CAB=/.ABC=45°,

?/8=高^(guò)=磊；=66,

"BAD=15°,

：.^CAD=Z.CAB-Z.BAD=45°-15°=30°,

在Rt△ADC^p,CD=AC-tanZ.CAD=6-tan30°=2百，

：,AD=2CD=4V3，BD=BC-CD=6-2百，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：BF=BE,4EBF=90。,

.-.ZF=Z^EF=45°,

：.Z.F=Z-ABD,

,：Z-BAF=Z-DAB,

：.AABF-AADBf

BFABBF6A/2

—=—,即an-=,

BDAD916-2V34V3

?-BF=3V6-3V2；

(2)解：GE+BE=^-AC,

證明如下：?.\4C=BC,AC=6,Z-ACB=a,

：^CAB=Z.CBA=^p-

同理可得：/-BEF=￡.BFE=^p-

-BF||AD,

;.乙乙

ABF+Z.EAB=180°,/-AEB=EBF=af

.?.乙4BF=180。一"血

-2^ABF-3￡.EBF=4^BAE,

3

.'.^ABF=2^BAE+-af

3

：3Z-BAE=180°--a,

：.Z-BAE=60。-；。,

：180°-a60°—：a)=30。,

.Z.CAE=Z-CAB—Z-EAB=-2-

-CGLAE,乙4GC=90。,

^cosZ-CAE=煞即cos30。_AG

~~AC

.-.AG=^.AC,

如圖，作CHIBE于”，則NH=90。,

圖2

在△4C0和△BE。中，Z.ACD=Z.AEB=a,Z.ADC乙BDE,

.-.^CBH=^CAG=30°f

-AC=BC,N”=N/GC=90。,

AACD=△BED(AAS)，

.：BH=AG=^AC,CG=CH,

-CE=CE,

.,.Rt△CEG^Rt△CEH(HL)，

??,GE=EH,

-EH=BH—BE,

：.GE=^-AC-BE,即GE+BE=苧4C；

(3)解：-：AC=BC,AACB=a=60°,

.?.△ABC是等邊三角形，

同理可得△BEF是等邊三角形，

：./-BFE=/.ACB=60°,/.CAB=/.CBA=60°,

二點(diǎn)F在△ABC的外接圓上，

如圖，作△ABC的外接。0,鏈接。C,并延長(zhǎng)C。交48于點(diǎn)“，貝UCH垂直平分2B,作點(diǎn)尸關(guān)于。C的對(duì)稱點(diǎn)

F',則CF'=而,連接4F,BF',

.'.Z-F'AC—Z.FBC,

：.Z-F'AB=Z.FBA,

?：Z-AF'B=Z.BFA,AB=BA,

△ABF'=△BAF(AAS)，

：.BF'=AF,

連接。尸、OB,在B/上截取作PM||。/,P，M交。8于點(diǎn)M,則需=罌=器=，

,：OB—OF,

：.MB=MP',

???△/BC是等邊三角形，。。是△ZBC的外接圓，AC=6,

.?.BH=，B=3,NOBH=30。,

DLI

'°B=次心=2百,

?：BF'=AF,AF=3BP,

BP'BP1

~BF~AF3

.??點(diǎn)P在以M為圓心，以等為半徑的圓上，當(dāng)2、P、M三點(diǎn)共線時(shí)，AP的值最小，作PQ1AB于點(diǎn)Q,作MN14B

PQ_AP

??麗一~AM

在RtzXBMN中，MN=爭(zhēng)1\4=日,

nnrMN.

''BN=^30^=lf

；.AN=AB—BN=5,

由勾股定理得：AM=y/AN2+MN2=哼

...AP=AM-PM=^-^

PQ2V572V3

?------3-------3_

?,立一2V57

3

?*Q=小等

6.在等腰Rt△力BC中，ZB=90°,AB=BC,D,E分別為力B,BC邊上的動(dòng)點(diǎn)且滿足ZD=BE,連接OE,

AE.

(2)如圖2,AC上有一點(diǎn)尸滿足NEDF=45。時(shí)，試探究DE與。尸的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由;

C

(3)如圖3,連接CD,4E交于點(diǎn)。，當(dāng)4E+CD取最小值時(shí)，直接寫(xiě)出產(chǎn)的值.

4△ABC

【答案】(l)VIU

⑵近DF=DE,理由見(jiàn)解析

【分析】(1)先求出2B=BC=3,設(shè)BE=4D=x,則BD=3-久，利用勾股定理求出BE=4。=1,再利用

勾股定理即可求解出ZE的長(zhǎng)；

(2)取4C中點(diǎn)尸，連接BP,過(guò)點(diǎn)尸作PM1B&PNL4B,垂足分別為M,N,連接PE,證明△8P4三aBPC

(SAS)，AADP三△BEP(SAS)，進(jìn)而證明△OPE是等腰直角三角形，推出P點(diǎn)與尸點(diǎn)重合，即可得出結(jié)論；

(3)將線段BE繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。到BE',連接CE',以點(diǎn)C為圓心，CD長(zhǎng)為半徑畫(huà)OC,在OC上取點(diǎn)

D',連接DD1C。，延長(zhǎng)OC交。C于點(diǎn)N,連接DN,證明△ABE三△CBE'(SAS)，得到CE'=AE,由作圖可

得：CD=CD',當(dāng)當(dāng)DN,DE'重合時(shí)，點(diǎn)E'在OUt,CE'+CD'有最小值，即4E+CD有最小值，最小值為

D'E'=2CD=2AE,證明△CBE'"△D'DE',推出△BDE是等腰直角三角形，得到DEII4C,設(shè)

BD=BE=AD=a,則2B=BC=2a,求出"=+8c2=2?a,CD=y/BC2+BD2=Vsa-DE=

dBD2+BE2=阮,△BED-ABCA,AODE-△OCA,求出。C=|cD=^a,04=|aE=*a,易

證△40C是等腰三角形，過(guò)點(diǎn)。作0"147,則1"=。"=顓；=何，求出。"=Joc2-C"2=爭(zhēng),即可

求出泮￡的值.

,△ABC

【詳解】(1)解：在等腰中，48=90。，AB=BC,

;AC=3五,

.-.AB=BC=^AC=3,

2

設(shè)BE=4。=%,貝IJBD=3-%,

??DE2=BD2+BE2,即5=/+(3一汽產(chǎn)

解得：x=1或久=2,

???AD<DB,

??.BE<DB,

??.BE=AD=1,

???AE=yjAB2+BE2-V10;

(2)解：近DF=DE,理由如下：

如圖，取力C中點(diǎn)P,連接BP,過(guò)點(diǎn)尸作PM1BC,PN，4B,垂足分別為M,N,連接PE,

:tc

EMAD=BE,AB=BC,

???AB-AD=BC-BE,即BD=CE,

-??zABC=90°,

.?.△4BC是等腰直角三角形，

,；P點(diǎn)是4c中點(diǎn)，

BP=AP=CP,Z.BPA=^BPC=90°,

BPA,△BPC是等腰直角三角形，

.-.4ABP="=45°,

(AB=BC

在△BPD與△CPE中，|乙4BP=NC,

IBD=CE

??.△BPA=△BPC(SAS)，

??.PD=PE/BPD=乙CPE,

(AD=BE

在△尸與△BEP中，］/-CBP=^A=45°,

(AP=BP

??.△ADP=△BEP(SAS)，

.-.Z.APD=乙BPE,

Z.BPD+Z.APD=乙BPD+Z.BPE=90°=乙DPE,

.?.△DPE是等腰直角三角形，

二NPDE=45。，

???NEDF=45。，

???P點(diǎn)與尸點(diǎn)重合，

；.DF=PD=*DE,即五DF=DE；

(3)解：將線段BE繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。到BE,連接CET以點(diǎn)C為圓心，CD長(zhǎng)為半徑畫(huà)。C,在OC上

取點(diǎn)D',連接DD',C。，延長(zhǎng)0c交OC于點(diǎn)N,連接DN,

,A

A///

IX\//

E，、婕，/

N、--"

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到BE=BF/ABC=乙CBE'=90°,

-??AB=BC,

A^B￡=ACBF(SAS);

?,.CE'=AE,

由作圖可得：CD=CD',

如圖，當(dāng)DN,DE'重合時(shí)，點(diǎn)E'在OC上，

(N)EX/1

J-J

此時(shí)，CE'=CD=CN,則CE'+CD'有最小值，即AE+CD有最小值,最小值為D'E'=2CD=2AE,

???乙E'DD'=乙E'BC=90°,

???BC\\DDr,

???△UBE'”AD'DE',

B-C--B_E_'_—_C_E'_—1_

"DD'DE'D'E'2，

???DD'=2BC,DE'=2BE',

???8點(diǎn)為。爐的中點(diǎn)，即BD—

由（1）知=

BE=AD,

???BE—BD—AD,

??.△BDE是等腰直角三角形，

；?乙BED=乙BCA=45°,

??.DE\\AC9

設(shè)80=BE=40=a,則==

???AC=飛七爐+BC2=2?a,CD=BC2+BD2=V5a,DE=飛BD?+BE2=近a,

???DE\\AC,

??.△BED?△BCA,△ODE-△OCA,

.BE_DEDE_0D_0E

''~BC~'ACFAC~~0C~~0A"

.BE_DE_1_0D_0E

'''BC~~AC~2~~0C~~0A"

0C=|cp=^a,。力=|助=爭(zhēng)，

???△4。。是等腰三角形，

過(guò)點(diǎn)。作。

則a”=CH=Ic=&a,

22

0H=7OC-CH=堂,

.S/XAOC_54c_1

?S^ABC^ABBC3?

7.已知，△ABO與均為直角三角形，^LADB=/.AEC=90°^D=AE,BD=CE.

⑵如圖2,若NB4D=NC4E=30。，連接BC,CD,ED,并延長(zhǎng)ED交BC于點(diǎn)F,NCDF=90。，猜想CD與BC的

數(shù)量關(guān)系并證明；

(3)如圖3,AD=AE=Vs-連接BE,點(diǎn)M,點(diǎn)N分別為AC與BE的中點(diǎn)，連接MN,記MN的最大值為x,MN的

最小值為y,請(qǐng)直接寫(xiě)出孫的值.

【答案】(1)DE=||百3

(2)BC=4CD

【分析】(1)先證明Rt^AEB三Rt^aDBaiL)，在中，由勾股定理得48=2后，由等面積法得

^ABxDK^^ADxDB,則。K=黑=泉石，再由等腰三角形的三線合一求得DE=2DK=箭?；

(2)延長(zhǎng)ED至點(diǎn)R,使得DR=DE,連接BR,先證明△DR8三△EDC(SAS)，再證明△BRF三△CDF

1_1

(AAS)，則CF=BF=5BC,設(shè)/C4D=a,導(dǎo)角可得41=90°-43=15°+］明顯然△4DB三△AEC(SAS)，

導(dǎo)角可得N5=44BC-N力BD=15°-：a,貝I|N7=Nl+45=30°,繼而FC=2DC,故BC=4DC；

(3)取4E中點(diǎn)為點(diǎn)G,鏈接MG,NG,由三角形的中位線得到CE=2MG/B=AC=2NG,在△MNG中，有

NG-MG<MN<NG+MG,故MN的最大值為x=NG+MG,最小值為％=%6-/1?；,在RtZkACE中，由勾

股定理得：Ac2-CE2=5,即：(ac+CE)(4C-CE)=5,即可求解.

【詳解】(1)解：如圖：記48,OE的交點(diǎn)為K,

???點(diǎn)C,E,B共線，乙4EC=90。,

???乙4EB=90°,

-AD=AE,AB=AB,"OB=90。，

??.Rt△AEB^Rt△ZDB(HL)，

.*.zl=z2

...EK=DK=gDE,ABIDE,

?-,AD=6,BD=4,

???在RtZkADB中，由勾股定理得：AB=JAD2+DB2=2V13,

-.^ABXDK=^ADxDB,

.?.CE=2CK=||Vn；

(2)解：BC=4CD,理由如下,

證明：延長(zhǎng)ED至點(diǎn)R,4吏得DR=DE,連接BR,

,??AD=AE,

.*.z3=z4,

VAAEC=Z-ADB=90°,

.-.z2+z4=zl+z3=90°,

/.zl=z2,

?：EC=BD,

??.△DRBw△EDC(SAS)，

：.BR=DC,Z-R=乙EDC=乙FDC=90°,

???z6=Z7,

??.△BRF=△CD尸(AAS)，

,-.CF=BF=^BC

設(shè)NCW=a,

■：^CAE=30°,

1800—4及40

.?23=N4==75。-)

2

.-.zl=90°-z3=15°+1a,

-AD=AE,BD=CE/ADB=^AEC,

△ADB=△/EC(SAS)，

：.AB=AC,

同理可求：^ABC=Z.ACB=7S°-a,

MBAD=30°,

??/ABD=90。一4B/D=60°,

i

???乙5=Z.ABC-Z.ABD=15°--a,

.*.z7=zl+z.5=30°,

vzCZ)F=90°,

：.FC=2DC,

；.BC=4DC；

(3)解：取/E中點(diǎn)為點(diǎn)G,鏈接MG,NG,

???點(diǎn)M,點(diǎn)N分別為力C與BE的中點(diǎn)，

：.CE=2MG.AB=4C=2NG,

在中，有NG-MGWMNWNG+MG,

???MN的最大值為x=NG+MG,最小值為x=NG-MG,

在白△ACE中，由勾股定理得：AE2+CE2AC2,

■■-AE=Vs，

：.AC2-CE2=5,

即：(4C+CE)Q4C—CE)=5,

，(2NG+2MG)(2NG-2MG)=5,

???4(NG+MG)(NG—MG)=5,

即4xy=5,

???孫=工5

8.己知，在等邊△ABC中，點(diǎn)。是射線4c上一點(diǎn)，連接DB.

AA

C

圖1圖2

(1)如圖1,CD=3AD=1,請(qǐng)求解線段BD的長(zhǎng);

(2)如圖2,點(diǎn)。在線段4C上，若點(diǎn)E為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，滿足4D=CE,連接DE,將線段0E繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋

轉(zhuǎn)60。得到線段DP,連接BP,EP,用等式表示線段BP、4D之間的數(shù)量關(guān)系，并證明;

⑶在(2)條件下，點(diǎn)D是線段4C延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，若△BEP為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出黑的值.

【答案】(1方。=亨

(2)BP=^3AD,理由見(jiàn)解析

⑶喈

【分析】(1)過(guò)點(diǎn)3作BE14;于點(diǎn)E,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到BC=4C,然后利用勾股定理依次計(jì)算

即可解題;

(2)過(guò)點(diǎn)。作力B平行線交BC于點(diǎn)N,連接PN,得到△DQV為等邊三角形，進(jìn)而得到△DCE三△DNP,即

可得到CE=PN,然后過(guò)點(diǎn)N作NM1PB于點(diǎn)利用勾股定理解題即可;

(3)過(guò)點(diǎn)。作DNII4B交BE于點(diǎn)N,連PN,設(shè)力C=8C=a,AD=CE=b,由(2)可得△OQV為等邊三

角形，4DCEm4DNP,即可得到CD=CN=DN=b—a,PN=CE=b,過(guò)點(diǎn)P作PH1BE于點(diǎn)X,利用30。

角的直角三角形計(jì)算NH,PH長(zhǎng)，然后在RtZXPHB中利用勾股定理解題即可.

【詳解】(1)解：過(guò)點(diǎn)8作BE14C于點(diǎn)E,

A

-CD=3AD=lf

1

：.AD=-,

14

"C=C0+4D=§+l=W，

又???△ABC是等邊三角形，

47

：.BC=AC=AB=AE=

2I1

：,DE=AE-AD

-'-BE=JAB2-AE2=JG)2-(|)2=|Vi，

■■BD=y/DE2+BE2=J(1)2+(|V3)2=1V13;

(2)解：BP=心AD,理由如下：

過(guò)點(diǎn)。作4B平行線交BC于點(diǎn)N,連接PN,

由題意得，DE=DP.^EDP=60°

-：DN||AB,

：.乙CDN=44=60°=乙EDP,乙DNB=180°-zXBC=120°,

：/DNC=180°-乙DNB=60°,

又“DCB=60°,

.?.△DCN為等邊三角形,

；.DN=DC=CN,

■,■AD=CE,

：.△DCE三△DNP(SAS),

Z.DNP=Z.DCE=120°,CE=PN,

???乙PNB=36?！阋簧螪NP—KDNB=120°,NB=4。=CE=PN,

:ZNBP=乙NPB=30°

過(guò)點(diǎn)、N作NMJ.PB于點(diǎn)、M,

則NM=1BN,BP=2BM,

■-BM=y/BN2-MN2=*BN,

：.BP=^BN=^AD；

（3）由題可知PE力BE,PE豐BP,

過(guò)點(diǎn)。作。N||AB交BE于點(diǎn)N,連PN,設(shè)4C=BC=a,4D=CE=b,

則BE=BC+CE=a+b,

又?■?△BEP為等腰三角形，

：.BE—BP=a+b,

由（2）可得：△OCN為等邊三角形，4DCE三4DNP（SAS）,

.-.CD=CN=DN=b-a,PN=CE=b,/.NCD=/LCND=A.DNP=60°,

??/PNE=60。,

過(guò)點(diǎn)P作PHIBE于點(diǎn)H

:.LNPH=30°,

■.NH=（NP=劍PH=y/pN2-NH2=爭(zhēng)，

：.BH=NH+CN+BC=/+b-a+a=|b,

在RtzXPHB中，PH2+BH2=BP2,

即（梟：+（為,=（口+切2,

解得：b=或。=甘旦1（舍去），

tAD_b_1+V3

?.元一/下一.

A

【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，能構(gòu)造直角三角形進(jìn)

行計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

9.已知在△4BC中，AB=AC,AC=90°,”為直線BC上一點(diǎn).

⑴如圖1,若力B=4,AAHB=60°,求線段4H的長(zhǎng);

(2)如圖2,過(guò)點(diǎn)8作于點(diǎn)。，點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，連接DE,作EF1DE交4D于點(diǎn)尸，連接BF,若G為

8尸中點(diǎn)，試判斷線段GE與力。的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

⑶在(2)間的條件下，若48=4,當(dāng)BF最小時(shí)，直接寫(xiě)出△BFD的面積.

【答案】⑴竽

(2)AD=2GE,理由見(jiàn)解析

(3)1^1-4

【分析】(1)過(guò)4作利用60。和45。計(jì)算即可.

(2)采用中線倍長(zhǎng)，得4BGQ三Z\FGE,得BQ||FE,故/QBE=NFEC.再證明△BED三△4EF,

△BEQ三△4