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文檔簡介
浙江省義烏市2025屆高考沖刺模擬(五)數(shù)學(xué)試題試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知函數(shù),,若方程恰有三個不相等的實根,則的取值范圍為()A. B.C. D.2.函數(shù),,的部分圖象如圖所示,則函數(shù)表達(dá)式為()A. B.C. D.3.已知為定義在上的奇函數(shù),若當(dāng)時,(為實數(shù)),則關(guān)于的不等式的解集是()A. B. C. D.4.函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標(biāo)構(gòu)成一個公差為的等差數(shù)列,要得到函數(shù)的圖象,只需將的圖象()A.向左平移個單位 B.向右平移個單位C.向左平移個單位 D.向右平移個單位5.設(shè)等比數(shù)列的前項和為,若,則的值為()A. B. C. D.6.設(shè),是空間兩條不同的直線,,是空間兩個不同的平面,給出下列四個命題:①若,,,則;②若,,,則;③若,,,則;④若,,,,則.其中正確的是()A.①② B.②③ C.②④ D.③④7.已知集合,,,則的子集共有()A.個 B.個 C.個 D.個8.設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且在(0,+∞)單調(diào)遞減,則()A. B.C. D.9.在關(guān)于的不等式中,“”是“恒成立”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件10.已知數(shù)列中,,且當(dāng)為奇數(shù)時,;當(dāng)為偶數(shù)時,.則此數(shù)列的前項的和為()A. B. C. D.11.已知橢圓的左、右焦點分別為、,過的直線交橢圓于A,B兩點,交y軸于點M,若、M是線段AB的三等分點,則橢圓的離心率為()A. B. C. D.12.一個幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.某種賭博每局的規(guī)則是:賭客先在標(biāo)記有1,2,3,4,5的卡片中隨機(jī)摸取一張,將卡片上的數(shù)字作為其賭金;隨后放回該卡片,再隨機(jī)摸取兩張,將這兩張卡片上數(shù)字之差的絕對值的1.4倍作為其獎金.若隨機(jī)變量ξ1和ξ2分別表示賭客在一局賭博中的賭金和獎金,則D(ξ1)=_____,E(ξ1)﹣E(ξ2)=_____.14.拋物線上到其焦點距離為5的點有_______個.15.某同學(xué)周末通過拋硬幣的方式?jīng)Q定出去看電影還是在家學(xué)習(xí),拋一枚硬幣兩次,若兩次都是正面朝上,就在家學(xué)習(xí),否則出去看電影,則該同學(xué)在家學(xué)習(xí)的概率為____________.16.已知復(fù)數(shù)z是純虛數(shù),則實數(shù)a=_____,|z|=_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)某生物硏究小組準(zhǔn)備探究某地區(qū)蜻蜓的翼長分布規(guī)律,據(jù)統(tǒng)計該地區(qū)蜻蜓有兩種,且這兩種的個體數(shù)量大致相等,記種蜻蜓和種蜻蜓的翼長(單位:)分別為隨機(jī)變量,其中服從正態(tài)分布,服從正態(tài)分布.(Ⅰ)從該地區(qū)的蜻蜓中隨機(jī)捕捉一只,求這只蜻蜓的翼長在區(qū)間的概率;(Ⅱ)記該地區(qū)蜻蜓的翼長為隨機(jī)變量,若用正態(tài)分布來近似描述的分布,請你根據(jù)(Ⅰ)中的結(jié)果,求參數(shù)和的值(精確到0.1);(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,從該地區(qū)的蜻蜓中隨機(jī)捕捉3只,記這3只中翼長在區(qū)間的個數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望(分布列寫出計算表達(dá)式即可).注:若,則,,.18.(12分)在四棱錐中,是等邊三角形,點在棱上,平面平面.(1)求證:平面平面;(2)若,求直線與平面所成角的正弦值的最大值;(3)設(shè)直線與平面相交于點,若,求的值.19.(12分)設(shè),(1)求的單調(diào)區(qū)間;(2)設(shè)恒成立,求實數(shù)的取值范圍.20.(12分)如圖,平面分別是上的動點,且.(1)若平面與平面的交線為,求證:;(2)當(dāng)平面平面時,求平面與平面所成的二面角的余弦值.21.(12分)某商店舉行促銷反饋活動,顧客購物每滿200元,有一次抽獎機(jī)會(即滿200元可以抽獎一次,滿400元可以抽獎兩次,依次類推).抽獎的規(guī)則如下:在一個不透明口袋中裝有編號分別為1,2,3,4,5的5個完全相同的小球,顧客每次從口袋中摸出一個小球,共摸三次,每次摸出的小球均不放回口袋,若摸得的小球編號一次比一次大(如1,2,5),則獲得一等獎,獎金40元;若摸得的小球編號一次比一次?。ㄈ?,3,1),則獲得二等獎,獎金20元;其余情況獲得三等獎,獎金10元.(1)某人抽獎一次,求其獲獎金額X的概率分布和數(shù)學(xué)期望;(2)趙四購物恰好滿600元,假設(shè)他不放棄每次抽獎機(jī)會,求他獲得的獎金恰好為60元的概率.22.(10分)古人云:“腹有詩書氣自華.”為響應(yīng)全民閱讀,建設(shè)書香中國,校園讀書活動的熱潮正在興起.某校為統(tǒng)計學(xué)生一周課外讀書的時間,從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)査,統(tǒng)計了他們一周課外讀書時間(單位:)的數(shù)據(jù)如下:一周課外讀書時間/合計頻數(shù)46101214244634頻率0.020.030.050.060.070.120.250.171(1)根據(jù)表格中提供的數(shù)據(jù),求,,的值并估算一周課外讀書時間的中位數(shù).(2)如果讀書時間按,,分組,用分層抽樣的方法從名學(xué)生中抽取20人.①求每層應(yīng)抽取的人數(shù);②若從,中抽出的學(xué)生中再隨機(jī)選取2人,求這2人不在同一層的概率.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】
由題意可將方程轉(zhuǎn)化為,令,,進(jìn)而將方程轉(zhuǎn)化為,即或,再利用的單調(diào)性與最值即可得到結(jié)論.【詳解】由題意知方程在上恰有三個不相等的實根,即,①.因為,①式兩邊同除以,得.所以方程有三個不等的正實根.記,,則上述方程轉(zhuǎn)化為.即,所以或.因為,當(dāng)時,,所以在,上單調(diào)遞增,且時,.當(dāng)時,,在上單調(diào)遞減,且時,.所以當(dāng)時,取最大值,當(dāng),有一根.所以恰有兩個不相等的實根,所以.故選:B.【點睛】本題考查了函數(shù)與方程的關(guān)系,考查函數(shù)的單調(diào)性與最值,轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,屬于中檔題.2、A【解析】
根據(jù)圖像的最值求出,由周期求出,可得,再代入特殊點求出,化簡即得所求.【詳解】由圖像知,,,解得,因為函數(shù)過點,所以,,即,解得,因為,所以,.故選:A【點睛】本題考查根據(jù)圖像求正弦型函數(shù)的解析式,三角函數(shù)誘導(dǎo)公式,屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】
先根據(jù)奇函數(shù)求出m的值,然后結(jié)合單調(diào)性求解不等式.【詳解】據(jù)題意,得,得,所以當(dāng)時,.分析知,函數(shù)在上為增函數(shù).又,所以.又,所以,所以,故選A.【點睛】本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用,側(cè)重考查數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).4、A【解析】依題意有的周期為.而,故應(yīng)左移.5、C【解析】
求得等比數(shù)列的公比,然后利用等比數(shù)列的求和公式可求得的值.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為,,,,因此,.故選:C.【點睛】本題考查等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用,解答的關(guān)鍵就是求出等比數(shù)列的公比,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】
根據(jù)線面平行或垂直的有關(guān)定理逐一判斷即可.【詳解】解:①:、也可能相交或異面,故①錯②:因為,,所以或,因為,所以,故②對③:或,故③錯④:如圖因為,,在內(nèi)過點作直線的垂線,則直線,又因為,設(shè)經(jīng)過和相交的平面與交于直線,則又,所以因為,,所以,所以,故④對.故選:C【點睛】考查線面平行或垂直的判斷,基礎(chǔ)題.7、B【解析】
根據(jù)集合中的元素,可得集合,然后根據(jù)交集的概念,可得,最后根據(jù)子集的概念,利用計算,可得結(jié)果.【詳解】由題可知:,當(dāng)時,當(dāng)時,當(dāng)時,當(dāng)時,所以集合則所以的子集共有故選:B【點睛】本題考查集合的運(yùn)算以及集合子集個數(shù)的計算,當(dāng)集合中有元素時,集合子集的個數(shù)為,真子集個數(shù)為,非空子集為,非空真子集為,屬基礎(chǔ)題.8、D【解析】
利用是偶函數(shù)化簡,結(jié)合在區(qū)間上的單調(diào)性,比較出三者的大小關(guān)系.【詳解】是偶函數(shù),,而,因為在上遞減,,即.故選:D【點睛】本小題主要考查利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性比較大小,屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】
討論當(dāng)時,是否恒成立;討論當(dāng)恒成立時,是否成立,即可選出正確答案.【詳解】解:當(dāng)時,,由開口向上,則恒成立;當(dāng)恒成立時,若,則不恒成立,不符合題意,若時,要使得恒成立,則,即.所以“”是“恒成立”的充要條件.故選:C.【點睛】本題考查了命題的關(guān)系,考查了不等式恒成立問題.對于探究兩個命題的關(guān)系時,一般分成兩步,若,則推出是的充分條件;若,則推出是的必要條件.10、A【解析】
根據(jù)分組求和法,利用等差數(shù)列的前項和公式求出前項的奇數(shù)項的和,利用等比數(shù)列的前項和公式求出前項的偶數(shù)項的和,進(jìn)而可求解.【詳解】當(dāng)為奇數(shù)時,,則數(shù)列奇數(shù)項是以為首項,以為公差的等差數(shù)列,當(dāng)為偶數(shù)時,,則數(shù)列中每個偶數(shù)項加是以為首項,以為公比的等比數(shù)列.所以.故選:A【點睛】本題考查了數(shù)列分組求和、等差數(shù)列的前項和公式、等比數(shù)列的前項和公式,需熟記公式,屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】
根據(jù)題意,求得的坐標(biāo),根據(jù)點在橢圓上,點的坐標(biāo)滿足橢圓方程,即可求得結(jié)果.【詳解】由已知可知,點為中點,為中點,故可得,故可得;代入橢圓方程可得,解得,不妨取,故可得點的坐標(biāo)為,則,易知點坐標(biāo),將點坐標(biāo)代入橢圓方程得,所以離心率為,故選:D.【點睛】本題考查橢圓離心率的求解,難點在于根據(jù)題意求得點的坐標(biāo),屬中檔題.12、A【解析】
根據(jù)題意,可得幾何體,利用體積計算即可.【詳解】由題意,該幾何體如圖所示:該幾何體的體積.故選:A.【點睛】本題考查了常見幾何體的三視圖和體積計算,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、20.2【解析】
分別求出隨機(jī)變量ξ1和ξ2的分布列,根據(jù)期望和方差公式計算得解.【詳解】設(shè)a,b∈{1,2,1,4,5},則p(ξ1=a),其ξ1分布列為:ξ112145PE(ξ1)(1+2+1+4+5)=1.D(ξ1)[(1﹣1)2+(2﹣1)2+(1﹣1)2+(4﹣1)2+(5﹣1)2]=2.ξ2=1.4|a﹣b|的可能取值分別為:1.4,2.3,4.2,5.6,P(ξ2=1.4),P(ξ2=2.3),P(ξ2=4.2),P(ξ2=5.6),可得分布列.ξ21.42.34.25.6PE(ξ2)=1.42.34.25.62.3.∴E(ξ1)﹣E(ξ2)=0.2.故答案為:2,0.2.【點睛】此題考查隨機(jī)變量及其分布,關(guān)鍵在于準(zhǔn)確求出隨機(jī)變量取值的概率,根據(jù)公式準(zhǔn)確計算期望和方差.14、2【解析】
設(shè)符合條件的點,由拋物線的定義可得,即可求解.【詳解】設(shè)符合條件的點,則,所以符合條件的點有2個.故答案為:2【點睛】本題考查拋物線的定義的應(yīng)用,考查拋物線的焦半徑.15、【解析】
采用列舉法計算古典概型的概率.【詳解】拋擲一枚硬幣兩次共有4種情況,即(正,正),(正,反),(反,正),(反,反),在家學(xué)習(xí)只有1種情況,即(正,正),故該同學(xué)在家學(xué)習(xí)的概率為.故答案為:【點睛】本題考查古典概型的概率計算,考查學(xué)生的基本計算能力,是一道基礎(chǔ)題.16、11【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算法則計算復(fù)數(shù)z,根據(jù)復(fù)數(shù)的概念和模長公式計算得解.【詳解】復(fù)數(shù)z,∵復(fù)數(shù)z是純虛數(shù),∴,解得a=1,∴z=i,∴|z|=1,故答案為:1,1.【點睛】此題考查復(fù)數(shù)的概念和模長計算,根據(jù)復(fù)數(shù)是純虛數(shù)建立方程求解,計算模長,關(guān)鍵在于熟練掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ);(Ⅱ),;(Ⅲ)詳見解析.【解析】
(Ⅰ)由題知這只蜻蜓是種還是種的可能性是相等的,所以,代入數(shù)值運(yùn)算即可;(Ⅱ)可判斷均值應(yīng)為,再結(jié)合(1)和題干備注信息可得,進(jìn)而求解;(Ⅲ)求得,該分布符合二項分布,故,列出分布列,計算出對應(yīng)概率,結(jié)合即可求解;【詳解】(Ⅰ)記這只蜻蜓的翼長為.因為種蜻蜓和種蜻蜓的個體數(shù)量大致相等,所以這只蜻蜓是種還是種的可能性是相等的.所以.(Ⅱ)由于兩種蜻蜓的個體數(shù)量相等,的方差也相等,根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性,可知由(Ⅰ)可知,得.(Ⅲ)設(shè)蜻蜓的翼長為,則.由題有,所以.因此的分布列為.【點睛】本題考查正態(tài)分布基本量的求解,二項分布求解離散型隨機(jī)變量分布列和期望,屬于中檔題18、(1)證明見解析(2)(3)【解析】
(1)取中點為,連接,由等邊三角形性質(zhì)可得,再由面面垂直的性質(zhì)可得,根據(jù)平行直線的性質(zhì)可得,進(jìn)而求證;(2)以為原點,過作的平行線,分別以,,分別為軸,軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),由點在棱上,可設(shè),即可得到,再求得平面的法向量,進(jìn)而利用數(shù)量積求解;(3)設(shè),,則,求得,,即可求得點的坐標(biāo),再由與平面的法向量垂直,進(jìn)而求解.【詳解】(1)證明:取中點為,連接,因為是等邊三角形,所以,因為且相交于,所以平面,所以,因為,所以,因為,在平面內(nèi),所以,所以.(2)以為原點,過作的平行線,分別以,,分別為軸,軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),則,,,,因為在棱上,可設(shè),所以,設(shè)平面的法向量為,因為,所以,即,令,可得,即,設(shè)直線與平面所成角為,所以,可知當(dāng)時,取最大值.(3)設(shè),則有,得,設(shè),那么,所以,所以.因為,,所以.又因為,所以,,設(shè)平面的法向量為,則,即,,可得,即因為在平面內(nèi),所以,所以,所以,即,所以或者(舍),即.【點睛】本題考查面面垂直的證明,考查空間向量法求線面成角,考查運(yùn)算能力與空間想象能力.19、(1)單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為;(2)【解析】
(1),令,解不等式即可;(2),令得,即,且的最小值為,令,結(jié)合即可解決.【詳解】(1),當(dāng)時,,遞增,當(dāng)時,,遞減.故的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為.(2),,,設(shè)的根為,即有可得,,當(dāng)時,,遞減,當(dāng)時,,遞增.,所以,①當(dāng);②當(dāng)時,設(shè),遞增,,所以.綜上,.【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性以及函數(shù)恒成立問題,這里要強(qiáng)調(diào)一點,處理恒成立問題時,通常是構(gòu)造函數(shù),將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的極值或最值來處理.20、(1)見解析;(2)【解析】
(1)首先由線面平行的判定定理可得平面,再由線面平行的性質(zhì)定理即可得證;(2)以點為坐標(biāo)原點,,所在的直線分別為軸,以過點且垂直于的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量法求出二面角的余弦值;【詳解】解:(1)由,又平面,平面,所以平面.又平面,且平面平面,故.(2)因為平面,所以,又,所以平面,所以,又,所以.若平面平面,則平面,所以,由且,又,所以.以點為坐標(biāo)原點,,所在的直線分別為軸,以過點且垂直于的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系,則,,設(shè)則由,可得,,即,所以可得,所以,設(shè)平面的一個法向量為,則,,,取,得所以易知平面的法向量為,設(shè)平面與平面所成的二面角為,則,結(jié)合圖形可知平面與平面所成的二面角的余弦值為.【點睛】本題考查線面平行的判定定理及性質(zhì)定理的應(yīng)用,利用空間向量法求二面角,解題時要認(rèn)真審題,注意空間思維能力的培養(yǎng),屬于中檔題.21、(1)分布見解析,期望為;(2).【解析】
(1)先明確X的可能取值,分別求解其概率,然后寫出分布列,利用期望公式可求期望;(2)獲得的獎金恰好為60元,可能是三次二等獎,也可能是一次一等獎,兩次三等獎,然后分別求解概率即可.【詳解】(1)由題意知,隨機(jī)變
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