河南省某中學2024-2025學年高三年級下冊模擬預測數學試卷（含答案解析）

河南省鄭州中學2024-2025學年高三下學期模擬預測數學試卷

學校:..姓名:.班級:考號:

一、單選題

1.已知集合4=3*<3},3={-1,0,1,2,3},則AB=()

A.{-1,0,1,2,3}B.{-1,0,1,2}C.{-1,0,1}D.{0,1,2}

2.已知復數z滿足|z-(l+2i)|=0,其中i是虛數單位，則|z|=()

A.5B.75C.1D.2

3.已知向量滿足卜+司=2技a_L(〃一2Z?),且0=(1,1),則向=()

A.若B.2C.75D.3

4.已知。為坐標原點，/為拋物線石:無2=2py(p>0)的焦點，A為右上的一點，川垂直

于y軸，3為y軸上一點，且2849=90°,若恒到=46，則夕二()

A.上B.2百C.46D.873

5.已知銳角。滿足3sina+4cosa=4,貝ijtan^=()

45

A.BD.

3-1口12

6.己知/(x)=/[#osx+sinx,則曲線y=/(無)在彳=0處的切線與坐標軸圍成的三角形的

面積為()

A,上拽B,…C.1D.2

222

7.若(iMEx)。=4+O](1+%)+a,(1+x)2++%(1+尤,(qeR,i=0,1,2?)，則％=()

A.180B.-180C.-90D.90

8.中國古建筑聞名于世，源遠流長.如圖1所示的五脊殿是中國傳統(tǒng)建筑中的一種屋頂形

式，該屋頂的結構示意圖如圖2所示，在結構示意圖中，已知四邊形ABCZ)為矩形，EF//AB,

AB=2EF=2,VADE與VBC歹都是邊長為1的等邊三角形，若點A,B,C,D,E,尸都

在球。的球面上，則球。的表面積為()

EF

二、多選題

9.比較兩組測量尺度差異較大數據的離散程度時，常使用離散系數，其定義為：離散系數

=嵯普?某地區(qū)進行調研考試，共40000名學生參考，測試結果（單位：分）近似服從正

均值

態(tài)分布，且平均分為57.4,離散系數為0.36,則下列說法正確是（）

（附：若隨機變量Z服從正態(tài)分布N3b2）,p（|z-4<b）。0.68.）

A.學生考試成績標準差為57.4x0.36=20.664

B.學生考試成績近似服從正態(tài)分布N（57.4,0.362）

C.約有20000名學生的成績低于58分

D.全體學生成績的第84百分位數約為78

10.已知函數〃司=*3—|3尤2一,一根，貝U（）

A.“X）只有1個極小值點

B.曲線y=在點（3,”3））處的切線斜率為9

C.當有3個零點時，加的取值范圍為（-3,1）

D.當只有1個零點時，機的取值范圍為（e,-3）

11.如果定義在R上的函數/（x）,對任意兩個不相等的實數4，%,都有

占了（占）+3（尤2）>占"％）+々/（占），則稱函數f（x）為“”函數”，下列函數是'H函數”的有（）

A.y=ew+1B.y=3%+2(sinx-cosx)

Inx,x>0

C.y=d—3x?+3x+3

x,x<0

試卷第2頁，共4頁

三、填空題

12.已知直線/：y-l=Mx—l)被圓C:(x-2y+(y-2)2=/(r>0)截得的最短弦長為2萬,

則—.

13.在某次國際商貿交流會展期間，舉辦城市為了提升安保級別，在平時正常安保的基礎上

再將甲、乙等6名特警人員分配到展區(qū)附近的4個不同的路口進行執(zhí)勤，若每個特警只能分

配去1個路口且每個路口至少安排1名特警，則甲和乙不安排在同一個路口執(zhí)勤的概率

是.

14.黎曼猜想由數學家波恩哈德?黎曼于1859年提出，是至今仍未解決的世界難題.黎曼猜想

涉及到很多領域的應用，有些數學家將黎曼猜想的攻堅之路趣稱為：“各大行長躲在銀行保

險柜前瑟瑟發(fā)抖，不少黑客則潛伏敲著鍵盤蓄勢待發(fā)”.黎曼猜想研究的是無窮級數

co1111111

==-+-+-+,我們經常從無窮級數的部分和+二入手.已

1231213n

知正項數列｛%｝的前"項和為S“，且滿足=』q,H］，則—+—+—=_____(其

21a?JSS,

中國表示不超過x的最大整數).

四、解答題

15.在VABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知c-a=l,b=而,內角A，B,

C成等差數列.

(1)求a的值及VA3C的面積；

⑵求tan(2A+3)的值.

16.已知數列｛?！埃那啊椇蜑镾“，S?=2a?+1-3.

(1)求數列｛%｝的通項公式；

⑵若b?=(〃+1)%,求數列也｝的前〃項和1；

n2+rj

(3)若=二，求使％取得最大值時的〃的值.

a”

17.如圖，在三棱柱ABC-ABG中，ABLAC,AB=y[3AC=3,AD=2DB,。為BC的中

點，A。，平面ABC.

(2)若的=26，求二面角B-抽-。的余弦值.

22

18.已知橢圓E:「+當=l(a>b>0),兩焦點和短軸一個端點構成邊長為2的正三角形.

ab

(1)求橢圓方程；

(2)設直線乙：y=履+機與橢圓E相切于第一象限內的點尸，不過原點0且平行于<的直線4

與橢圓E交于不同的兩點A,B,點A關于原點。的對稱點為C.記直線O尸的斜率為《，

直線3c的斜率為內.

①求口的值；

k2

②若。，P,B,C四點圍成的四邊形為平行四邊形，求》幽的值.

19.設函數［(數(其中。是非零常數，e是自然對數的底),記力(X)"：T(X)

(〃22,aeN*).

(1)求對任意實數X,都有力(X)=(X)成立的最小整數〃的值22,"eN*)；

(2)設函數g〃(x)=^(x)+力(x)++f?(x),若對任意“23,"eN*,y=g”(x)都存在極值點

x=tn,求證：點4日名“(/僅23,〃—*)在一定直線上，并求出該直線方程；

⑶是否存在正整數?%22)和實數%,使力(%)=力T(5)=0且對于任意“eN*,，(x)至多

有一個極值點，若存在，求出所有滿足條件的％和%,若不存在，說明理由.

試卷第4頁，共4頁

《河南省鄭州中學2024-2025學年高三下學期模擬預測數學試卷》參考答案

題號12345678910

答案CBDBBAADACDBCD

題號11

答案BC

1.C

【分析】先求得集合4=k1-退<》<6),再根據集合交集的概念及運算即可求解.

【詳解】A={.x|X2<3}=|X|-A/3<X<A/3],B={-1,0,1,2,3},.'.AB={-1,0,1}.

故選：C.

2.B

【分析】求出復數z,利用復數的模長公式可求得目的值.

【詳解】因為|z-(l+2i)|=0,貝|z=l+2i,故忖=々+為=6

故選：B.

3.D

【分析】由題意可得/=2a.b，b=2,又卜+*26，可得/+2。力+/=20，可求用

【詳解】因為所以°.,一26)=0,所以]_20g=0,所以/=2。g，

又因為卜+0=26,所以5+2°乃+62=20,又6=(1,1),所以片=1+1=2，

所以2了+2=20,所以5=9,所以"=3.

故選：D.

4.B

【分析】利用數形結合，通過三角形相似找到|A殲=|。尸|忸口的關系，建立關于P的等式，

進行求解.

【詳解】根據題意作下圖：

答案第1頁，共16頁

二NOAF+/BAF=90。,

AF垂直于y軸，

.\ZAFO=ZBFA=90°,

,\ZAOF-hZOAF=90°f

ZBAF=ZAOF,

/.AFO^BFA,

.AFOF

*BF-AF

.-.\AFf=\OF\\BF\,

又\OF\=j,\AF\=p,

p1=—X4A/3,

2

解得p=2A/3,

故選：B.

5.B

【分析】整理齊次式方程，利用同角平方式整理方程，根據二倍角公式，結合角的取值范圍，

可得答案.

【詳解】由3sini+4cos1=4,則(3sina+4c°sa)=42,

sin2a+cos2a

—r不日9tan2a+24tana+16,,

可得--------.----------二16，

tana+1

24

化簡可得7tan21—24tana=0,由角。為銳角，貝ljtana=~y,

_a

2tan—

由tan<z=--------,整理可得12tan?一■i-7tan----12=0,

1-tan2^22

2

分解因式可得(3ta吟+41"吟-31=0,

由角多為銳角，解得tan￡=j

故選：B.

6.A

【分析】首先對原函數求導并結合賦值法求解原函數，再利用導數求出切線方程，求出切線

和坐標軸的交點，最后得到三角形面積即可.

答案第2頁，共16頁

【詳解】因為/(x)=/14[osx+sinx,所以/'(x)=-/[^|Jsinx+cosx,

令x=，得到嗚=-廣即嗚+吟，

化簡得((1)=一/怎卜母+g，解得:二)=2-《，

代入回原函數得到/⑺=(2-6)cosx+sinx,

而〃0)=2-6，故切點為(0,2-6)，

而/'0)=—(2_6)$111尤+(：0$彳，/(0)=1,

設曲線y=/(x)在x=o處的切線斜率為左,

由導數的幾何意義得k=/'(0)=1,

故切線方程為y-(2-6)=x,化簡得y=x+2-6,

令x=0,得至Uy=2-石，所以與了軸交點為(0,2-6),

令丫=0,得到了=若-2,所以與x軸交點為(6-2,0),

且設三角形面積為S,故S=；x|2-百卜|道-2卜上羋，故A正確.

故選：A

7.A

【分析】由(l+2x由=[2(l+x)-l/寫出其通項公式,依題意對「賦值即可求得出.

【詳解】因(1+2姆°=[2(1+幻—1產,其二項展開式的通項為：

10rrr10r

Tr+1=C；0[2(l+x)]-(-D=(-D2-C；0(l+x)g,r=0,1,,10,

而々是電(1+勸2的系數，故只需取r=8,得4=22C：°(1+X)2=180(1+X)2,

即日=180.

故選：A.

8.D

【分析】如圖，根據球的性質可得平面A3CD,根據中位線的性質和勾股定理可得

，尸。且=正，分類討論當。在線段qv上和。在線段的延長線上時2種情

2

答案第3頁，共16頁

況，結合球的性質和表面積公式計算即可求解.

【詳解】如圖，連接AC,BD,設=

因為四邊形ABC。為矩形，所以。?為矩形A8CD外接圓的圓心.連接。。一

則。。，平面A8C。，分別取ERAD,BC的中點M,P,Q,

根據幾何體ABCDEF的對稱性可知，直線。。1交EF于點M.

連接尸。，則PQ〃AB,且。?為尸。的中點，因為歷〃相，所以PQ〃EF,

連接EP,FQ,在VADE與V3c尸中，易知EP=FQ=RO

_走

所以梯形EFQP為等腰梯形，所以且=

一2

設。。1=根，球。的半徑為R,連接OE,OA,

當0在線段。1加上時，由球的性質可知R2=OE2=OA2,

當。在線段的延長線上時，由球的性質可知，

2

—+m=[—+fn\+W,解得加=出，所以R2=OE2=U,

I2J〔21048

所以球。的表面積5=4成、可,

故選：D.

【點睛】求解外接球問題的關鍵在于確定球心的位置，而確定球心位置的依據一是球心到球

面上各點的距離都等于球的半徑，二是球心與截面圓圓心的連線垂直于截面.由此出發(fā)，利

用一些特殊模型，或借助一般方法，即可確定外接球球心的位置.

9.ACD

答案第4頁，共16頁

【分析】對于A,根據離散系數=考群求出標準差；對于B,根據正態(tài)分布公式N（M，/）

判斷B；對于C,求出低于58分概率，根據總人數，得到低于58分人數，判斷C；對于D,

利用正態(tài)分布曲線性質和百分位數的定義判斷D.

【詳解】對于A,根據離散系數一獸

，平均分為57.4,離散系數為0.36,可得標準差

為57.4x0.36=20.664,故A正確;

對于B,測試結果（單位：分）近似服從正態(tài)分布，則學生考試成績近似服從正態(tài)分布

N（57.4,20.664?）,故B錯誤；

對于C,平均分為57.4,所以成績低于58分得概率約為0.5,所以約有40000x0.5=20000名

學生的成績低于58分，故C正確；

對于D,又因為84%=0.5+等，且尸（|Z-4<b）a0.68,所以全體學生成績的第84百分

位數約為〃+。=57.4+20.664它78,故D正確；

故選：ACD.

10.BCD

【分析】分xNl或x<—l、一1<%<1兩種情況討論，利用導數說明函數的單調性，即可求出

函數的極值點，即可判斷A、B,根據零點的個數得到不等式組，即可判斷C、D.

【詳解】因為〃可=*3—|3尤2—3|一加，

當xNl或xV-l時/(x)=x3-3x2+3-m,貝！|/'(%)=3/-6x=3x(x-2),

所以當尤>2或xV—1時［(x)>0,當K2時尸(%)<0,

所以在（—,-1］，（2,+8）上單調遞增，在［1,2）上單調遞減；

當-1<x<10^/（^）=x3+3x2-3-m,貝！J/'（x）=3爐+6x=3x（x+2）,

所以當0<x<l時尸（力>0,當一l<x<0時尸（無）<0,

所以/（元）在（0,1）上單調遞增，在（-1,0）上單調遞減；

則/（X）在尤=0、x=2處取得極小值，故/（X）有2個極小值點，故A錯誤；

因為/'（3）=3x32-6x3=9,所以曲線y=〃x）在點（3,/（3））處的切線斜率為9,故8正確；

令4（彳）=尤3_13尤2_3，

答案第5頁，共16頁

則g（x）的圖象如下所示:

其中“X）的圖象是由g（X）的圖象向下（相＞0）或向上（加＜。）平移帆個單位得到；

因為〃-1）=一1一加，/（0）=-3-m,/（l）=l-m,f（2）=-l-m,

要使有3個零點,則懦；：或盜）：；或4-1）=/（9=。，

fl-m＞0f-1—m＞0,

即＜1八或＜c八或一1一機=0,解得Tv根V1或一3＜相＜一1或加二一1,

綜上可得機的取值范圍為（-3,1）,故C正確；

要使“X）只有1個零點，則/⑴＜。或〃。）＞0,即1-根＜0或—3-〃＞0,

解得力＞1或〃/＜-3,即，”的取值范圍為（TO,-3）（1,+℃）,故D正確.

故選：BCD

【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵是利用導數說明函數的單調性，從而畫出g（元）=爐一|3爐-3|

的圖象，將函數的零點問題轉化為函數與函數的交點問題.

11.BC

【分析】新定義變形為函數是增函數，因此只要確定函數是不是增函數即可得.

【詳解】因為國/（為）+々/（%）＞為/。2）+尤2〃再），所以（王一々）［/（%）一/（/）］＞0,

即%＞馬時，/（為）＞/（＞2）恒成立，因此/■（X）是增函數，

/。）=朋+1時，/（-；0=/才+1=朋+1=/。）為偶函數，在定義域內不可能是增函數，A

不滿足新定義；

/（x）=3x+2（sinx-cosx）,貝ij/'（x）=3+2（cos尤+sinx）=3+20sin（x+工）＞0恒成立，所以

4

/（x）是R上的增函數，滿足新定義；

答案第6頁，共16頁

/(X)=X3-3X2+3X+3,r。)=3/一6》+3=3。-1)220恒成立，/(尤)是R上的增函數，滿

足新定乂;

Inx,x>01

〃無)=時，=/(X)不是定義域內的增函數，不滿足新定義.

x9x<0e

故選：BC.

【點睛】本題考查新定義，解題關鍵是理解新定義，通過變形新定義轉化為函數的單調性,

然后通過導數或單調性定義確定函數在定義域內是否為增函數即可得.

12.2

【分析】根據定點及兩點間距離公式得出圓心到直線距離的最大值，進而結合圓的弦長公式,

得到弦長lmD=2G一篇,計算即可求解.

【詳解】由題意，圓C：(x-2)2+(y-2)2=r2&>0),可得圓心C(2,2),半徑r,

/:y—l=Mx—l)過定點(1,1)

則圓心到直線/：y—1=Mx-1)的距離為％=J(l-2)2+(l-2)2=72,

可得截得弦長為/*=2J產-41ax2=2A/產-2=20,

弦長取得最小值2亞時，r=2.

故答案為：2.

3H

【分析】根據給定條件，利用分組分配求出試驗的基本事件總數，再求出甲乙安排在同一路

口的事件含有的基本事件數，然后用對立事件概率公式計算即得.

【詳解】6名特警分配到展區(qū)附近的4個不同的路口進行執(zhí)勤，不同安排方法數為

c2c2

A?

甲乙安排在同一路口，視甲乙為一個人，5個人安排到4個路口的安排數為C；A：,

C；A；_io_2_

因此甲和乙安排在同一個路口執(zhí)勤的概率是??或\44-65-13,

A；

211

所以甲和乙不安排在同一個路口執(zhí)勤的概率是1-石=彩.

答案第7頁，共16頁

故答案為：—

14.38

【分析】根據已知結合前九項和與通項關系，可得｛。｝為等差數列，進而求出S〃=〃，再

利用—五）〈方，以及當〃>1時，為<2（五一標斤），求出1+（+…+一一的

八〃八〃）400

范圍，

即可求出結論.

1（1>1

【詳解】當力=1時，?i=^=—%+—,%=—,fl,2=1,Va?>0,/.a=S=l,

21aJ%il

當〃22時，an=S?-S“_],2S"=S“-S,i+<,,S“+S,-=1,,

，〃一?〃一

???S；-S；T=1,???同｝是以1為首項，公差為1的等差數列，???S；二〃，

*/an>0,：.Sn>0,：.S,=冊，2（八+'—&）=不^+@<~^~,即^>2（,幾+1-6）,

22___]

又〃>]時，yzr<_7=—]——<2（6i-Jn-l）,即不<2（冊_Jv-l）,

令S=—+—++-----,

51“丁°20"m40e0

[(7401-7400)+(^/400-V399)++(A/2-lj]=2(A/401-1)>38,

2[(7400-7399)+(^99-V398)++(V2-1)]+1=2(^/400-l)+l=39,

即38<S<39,從而網=38.

故答案為：38

【點睛】關鍵點點睛：本題以數學文化為背景，考查數列的前，項和與通項的關系、數列前

〃項和的范圍，構造新的等差數列｛0｝以及用放縮法求數列和是解題的關鍵，注意常見的裂

項相消法求和的模型.

15.⑴。=4；5^/3；

7T

【分析】（1）由等差數列的中項性質及三角形內角和定理可得8=',利用余弦定理即可出

a的值，再由三角形面積公式即可求解；

答案第8頁，共16頁

（2）利用正弦定理求出sinA=2且，根據同角三角函數的商關系求出tanA,然后根據二

7

倍角公式即可得出tan2A,最后根據兩角和的正切公式即可求解.

【詳解】（1）由角A,B,C成等差數列，可得23=A+C,

JT

結合三角形內角和定理A+C+5=TI,可得5

由余弦定理=〃2+02-2QCCOS3,代入已知條件得：

21=+（。+1）2_+］）,化簡得，々2+4—20=0

解得。=4,或〃=—5（舍去），所以。=4,

又因為c—a=l,所以。=〃+1=5,

由三角形面積公式S=-acsinB,得：S=-x4x5x—=5^.

222

73

ab4A

（2）利用正弦定理,可得.asinBXT”,

sinAsinBsmA=--------

b~42T~~

。=4<01=6，貝I角A為銳角,

所以cosA=Vl-sin2A=

7

4#)

2手2x空

.sinA72^/32A=3

所以tanA=--=tan、2

cosA1213(26

1-3

7I3J

故ta3)=＞蒜%3不

IT-

⑵7；=3+2(〃一1)

（3）〃=4或〃=5

3

【分析】（1）根據為3”的關系，作差可得」包=不，即可根據等比數列的定義求解;

an」

（2）由（1）求得勿+利用錯位相減法可求T,；

答案第9頁，共16頁

c2(n+l)(、

(3)根據工可得〃<5；從而判斷%的單調性，即可求解.

*3(1)

【詳解】(1)因為y=2%-3且岳=4=；3,所以%=不9

由S“=2a,「3,可得：S^=2an-3(n>2),

兩式相減得：a“=Sn-S,i=2an+1-2a,,

因為a,*。，所以-2±I=-|,

an,

&3,、，a.3

又j=不，綜上，n>l,--n-x=~,

ax2an2

a

所以｛%｝是首項和公比均為］的等比數列.

.?-i(3丫

..%=qxq=1-1.

3

(2)由題意,2=(〃+1)

+3x0+4x0+…+(“+1)x0①

%=2x圖+3x0+4x]|[+…+(“+1)x0②

①-②得

3

---F

2

n+l

?”=3+2("l)圖

(3)由(1)可得，所以％=n2+n)，

答案第10頁，共16頁

由C"_2(,/+〃2(/7+1)

〃22時,>1可得〃<5；

C"T3("2-〃3(77-1)

當“<5時，c1<c2<c3<c4,當〃>5時，c5>c6>c7>?■?,

當”=4時,

當〃=5時，c5H（5?+5）=言,

所以。4=。5，

所以9<C2<°3<,4=。5>。6>C7>…，

綜上，w=4或〃=5時，c,取得最大值3浣20.

81

17.⑴證明見解析;

⑵丁

【分析】（1）根據給定條件，借助余弦定理及勾股定理的逆定理證得49,OD,再利用線

面垂直的判定、性質推理即得.

（2）由（1）的信息以。為原點建立空間直角坐標系，利用面面角的向量求法求解即可.

【詳解】（1）在三棱柱ABC-agCi中，AB1AC,AB=43AC=3,則

ZACB=60°,OA=-BC=43,

2

由AB=3,AD=2r>B,得DB=1,在-D3O中，NDBO=30°,DB=1,OB=6,

22

由余弦定理。。2=0+（石）2-2xlx6xcos30°=l,得。0=1,O^+OD^4=AD,

于是AO_LOD,由A。，平面ABC。。u平面ABC,得其。，。。，

而4。4。=。,40,4。<=平面4。4，因此ODL平面4。4，又Mu平面A04，

所以A4,，。。，

（2）由（1）知，。4,one4兩兩垂直，以。為原點，直線O4ODOA分別為x，y，z軸建立

空間直角坐標系。-孫Z,

由A4,=26,40=6，得4。=3,則4石,0,0），4（0,0,3），2（-#,|，0），

答案第11頁，共16頁

于是網=(￥，-”例=差,-|,0),設m=(x,y,z)為平面AB4的一個法向量，

-x--y+3z=0

則22,取了=若，得狒=(g,3,l),顯然“=(0,1,0)為平面AOA1的一個法向

363n

-----x——y=0

I22，

量，

因此cos<m,n>==提=*,顯然二面角B-AA.-0的大小為銳角，

17nllmvl313

所以二面角人胡-。的余弦值為嚕.

Y2y2

18.(1)—+^=1

43

⑵①，=1;②沁=;或1

423PAB$

【分析】(1)根據已知條件確定。、。，即可求解

(2)①根據直線4與橢圓E相切于第一象限內的點尸，求出尤，再根據設出4的方

程，表示出3、C的坐標，得到BC的斜率心，由此可求F；②根據已知條件與平行關系確

定導姐=什=黑='^,由平行四邊形確定4/“2=(僅2+3)\再結合病=止+3,

SPABS0ABQNm-n'>

得加=±2〃，分兩種情況求解即可.

【詳解】(1)由題意a=2c=2,從而a=2,c=l,b=^3

22

所以橢圓方程為三+匕=1.

43

(2)

答案第12頁，共16頁

y=kx+m

①由，2y2消y得（4嚴+3）x2+8Amx+4m2-12=0

（*）,

-----1-----=1

143

由△=（8k〃）2-4（4產+3）（4m2-12）=0,得病=必2+3,

此時方程（*）可化為：m2x2+8knvc+16k2=0,

AL-

解得：工=---（由條件可知：k,相異號）,

m

設尸（無,%）,貝—竺，y=kx+m=k-m2-4k23

lj/=00+m=-----=—

mmm

3

即《■世33

—I，所以a=逢

（mm7k

m

因為〃〃2，所以可設直線4：y=履+〃（〃。0,〃。相），

y=kx+n

2

由<X2y消>得（4左2+3）了2+8^^+4〃2—12=0,

[43

當A>。時，方程有兩個不相等的實根，

設A（x”X），3仇，％）,則%+%=43'*2=

因為A,C兩點關于原點對稱，所以C（-x”-M）,所以，

_y+y_kx+n+kx+n_j2n_2n_4Z:2

K2x2x{z=7+3_3

K.j———Ki-KI0/K—?

x

x2+xr/+玉%2+i-4k4k，

-一-4k2+3

k

所以尤=左2n廣=1.

k2

②設直線4與y軸交于點Q,直線，2與》軸交于點N,則=

qqON_幾

「日QOA3_QOAB

―一

°PAB°QABQNm-n

由①可知：OP//BC,若O,P,B,C四點圍成的四邊形為平行四邊形,

答案第13頁，共16頁

則還需IOPRBCI,即I。尸[2=|BC|2,

16F+9

由①可知:-1,所以|。尸「=

m)11

又3(無2,%)，。(-玉,-％)，

4》(16汰2+9)

所以iBc|2=a+%)2-8kn

止+3

由|OP|2=|BC\2可得：4m2n2=(4r+3『，

又〃?2=4及2+3,所以加2=41,gpm=±2n,

【點睛】方法點睛：

解答直線與圓錐曲線的題目時，時常把兩個曲線的方程聯立，消去飛或》),

建立一元二次方程，然后借助根與系數的關系，并結合題設條件，

建立有關參變量的等量關系，

強化有關直線與圓錐曲線聯立得出一元二次方程后的運算能力，

重視根與系數之間的關系、弦長、斜率、三角形的面積等問題.

19.(1)5；

⑵證明見解析，y=2x；

2

(3)存在％=3,a=—滿足條件.

e

【分析】(1)按照給定定義，依次求導，再觀察規(guī)律即可判斷作答.

(2)由(1)求出函數g.(x),求出g.(x)的導數，再利用已知結合極值點的意義推理作答.

(3)由(1)結合已知，確定人=3或左=2,再分類討論極值點的情況作答.