函數(shù)的概念（原卷版）

專題06函數(shù)的概念

【考點(diǎn)預(yù)測】

1.函數(shù)的概念

(1)一般地，給定非空數(shù)集A,B,按照某個(gè)對應(yīng)法則了,使得A中任意元素x,都有3中唯一確定的

y與之對應(yīng)，那么從集合A到集合5的這個(gè)對應(yīng)，叫做從集合A到集合3的一個(gè)函數(shù).記作：

xfy=xeA.集合A叫做函數(shù)的定義域，記為。，集合｛y|y=/(x),xeA｝叫做值域，記為C.

(2)函數(shù)的實(shí)質(zhì)是從一個(gè)非空集合到另一個(gè)非空集合的映射.

(3)函數(shù)表示法：函數(shù)書寫方式為y=/(x),xeD

(4)函數(shù)三要素：定義域、值域、對應(yīng)法則.

(5)同一函數(shù)：兩個(gè)函數(shù)只有在定義域和對應(yīng)法則都相等時(shí)，兩個(gè)函數(shù)才相同.

2.基本的函數(shù)定義域限制

求解函數(shù)的定義域應(yīng)注意：

(1)分式的分母不為零；

(2)偶次方根的被開方數(shù)大于或等于零：

(3)對數(shù)的真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不等于1；

(4)零次哥或負(fù)指數(shù)次募的底數(shù)不為零；

(5)三角函數(shù)中的正切y=tanx的定義域是｛%|工6氏且+■，左ez1；

(6)已知/(%)的定義域求解/'[g(x)]的定義域，或已知y[g(x)]的定義域求/(%)的定義域，遵

循兩點(diǎn)：①定義域是指自變量的取值范圍；②在同一對應(yīng)法則J下，括號內(nèi)式子的范圍相同；

(7)對于實(shí)際問題中函數(shù)的定義域，還需根據(jù)實(shí)際意義再限制，從而得到實(shí)際問題函數(shù)的定義域.

3.基本初等函數(shù)的值域

(1)y=kx+b(k^O)的值域是R.

(2)y=ax2+bx+c(a^0)的值域是：當(dāng)Q>0時(shí)，值域?yàn)椋又?；?dāng)QVO時(shí)，值域?yàn)?/p>

；I.4ac-b2

{y\y>—}.

(3)y=￡(AwO)的值域是{y|ywO}.

(4),=優(yōu)(a>0且a*l)的值域是(0,+<?).

(5)y=logq%(a>0且aw1)的值域是R.

4.分段函數(shù)的應(yīng)用

分段函數(shù)問題往往需要進(jìn)行分類討論，根據(jù)分段函數(shù)在其定義域內(nèi)每段的解析式不同，然后分別解決,

即分段函數(shù)問題，分段解決.

【題型歸納目錄】

題型一：函數(shù)的概念

題型二：同一函數(shù)的判斷

題型三：給出函數(shù)解析式求解定義域

題型四：抽象函數(shù)定義域

題型五：函數(shù)定義域的應(yīng)用

題型六：函數(shù)解析式的求法

1.待定系數(shù)法（函數(shù)類型確定）

2.換元法或配湊法（適用于了/[g（x）]型）

3.方程組法

4.求分段函數(shù)的解析式

5.抽象函數(shù)解析式

題型七：函數(shù)值域的求解

1.觀察法

2.配方法

3.圖像法（數(shù)形結(jié)合）

4.基本不等式法

5.換元法（代數(shù)換元與三角換元）

6.分離常數(shù)法

7.判別式法

8.單調(diào)性法

9.有界性法

10.導(dǎo)數(shù)法

題型八：分段函數(shù)的應(yīng)用

【典例例題】

題型一：函數(shù)的概念

例1.（2022?全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)y=/（x）的圖象與直線x=l的交點(diǎn)個(gè)數(shù)（）

A.至少1個(gè)B.至多1個(gè)C.僅有1個(gè)D.有0個(gè)、1個(gè)或多個(gè)

（多選題）例3.（2022?全國?高三專題練習(xí)）下列對應(yīng)關(guān)系方能構(gòu)成從集合M到集合N的函數(shù)的是

)

A.TV={-6-3,1),/W=-6,f(l)=-3,=l

B.M=N={x\x>-\],/(x)=2x+l

C.M=N={1,2,3},f(x)=2x+l

-1,x為奇數(shù),

D.M=Z,N={-1,1},f(x)=

1,%為偶數(shù).

例4.（2022?浙江?高三專題練習(xí)）將函數(shù)y=2sin；xe0,g的圖像繞著原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角a得到曲線

T,當(dāng)a?0,到時(shí)都能使T成為某個(gè)函數(shù)的圖像，則。的最大值是（）

71c2

A.—C.D.-7i

6-73

例5.（2022?全國?高三專題練習(xí)）存在函數(shù)/（x）,對于任意xeR都成立的下列等式的序號是

【方法技巧與總結(jié)】

利用函數(shù)概念判斷

題型二：同一函數(shù)的判斷

例6.（2022?全國?高三專題練習(xí)）下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的是（）

①/'（x）=J-2十與g（%）=.②〃司=%與8（*=病.③/=與g（x）=%.@

/（x）=爐一2了一1與g（t）=/一27-1.

A.①②B.①③C.③④D.①④

例7.（2022?全國?高三專題練習(xí)）下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是（）

A.f（x）=e'"x,g（x）=x

—4

C./(x)=x°,g(x)=l

D.f(x)=\x\,xe{-l,0,1},g(x)=x2,%￡{T,0,1)

(多選題)例8.(2022.全國?高三專題練習(xí))下列各組函數(shù)中表示同一個(gè)函數(shù)的是()

..[2x,x>0c°

A./(x)=|2x|,g(x)=<jB./(x)=x2,g(f)=r

I—ZX,X<U

X°1尤2—]6

C./(x)=x+—,g(x)=x+-D./(x)=x+4,g(x)二------

33x-4

(多選題)例9.(2022?全國?高三專題練習(xí))在下列四組函數(shù)中，〃幻與g(%)不表示同一函數(shù)的是

()

Y2-1fx+l,x>-l

A.f{x}=x-1,g(x)=-------B.f(x)=\x+l\,g(x)=\

x+1[-X-1,X<-1

C./(X)=1,g(尤)=(x+l)°D./(x)=x,g(x)=(4)2

【方法技巧與總結(jié)】

當(dāng)且僅當(dāng)給定兩個(gè)函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則完全相同時(shí)，才表示同一函數(shù)，否則表示不同的函數(shù).

題型三：給出函數(shù)解析式求解定義域

例10.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知等腰三角形的周長為40cm,底邊長y（cm）是腰長x（cm）的函數(shù)，則

函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

A.（10,20）B.（0,10）C.（5,10）D.[5,10）

例1L（2022?全國?河源市河源中學(xué)模擬預(yù)測）函數(shù)"司=而Qd'x+M工的定義域?yàn)?/p>

例12.（2022.北京.模擬預(yù)測）函數(shù)/（x）=7^工T+lg（2-x）的定義域是

例13.（2022.上海市奉賢中學(xué)高三階段練習(xí)）函數(shù)了（》）=的定義域?yàn)?/p>

【方法技巧與總結(jié)】

對求函數(shù)定義域問題的思路是：

（1）先列出使式子/（無）有意義的不等式或不等式組;

（2）解不等式組；

（3）將解集寫成集合或區(qū)間的形式.

題型四：抽象函數(shù)定義域

例14.（2022?北京?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)y=/（x）的定義域?yàn)椋?,1）,則函數(shù)爪到=川2—|）的定義域

為（）

A.B.(-oo,0)u(0,l)C.(0,+oo)D.[0,1)

例15.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)＞=/（x2-4）的定義域是［—1,5］,則函數(shù)y=/（2x+l）的定義

域?yàn)?/p>

例16.（2022?全國.高三專題練習(xí)）已知函數(shù)y=/（元-1）的定義域?yàn)椋?,3］,則函數(shù)y=/（log3x）的定義域?yàn)?/p>

()

A.[0,1]B.[1,9]C.[0.2]D.[0,9]

例17.（2022?全國.高三專題練習(xí)）若函數(shù)的定義域?yàn)椋跿2］,則函數(shù)g（x）=/）一）的定義域是

VX-1

()

A.[1,4]B.(1,4]C.[1,2]D.(1,2]

/(2%)

例18.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/（刈的定義域?yàn)椋?,6］,則函數(shù)|logi（2-x）的定義域?yàn)?/p>

(

33

A.—,+ooB.C.—,+ooD.2

22?

例19.（2022.全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/（X）是定義在［2,+?）的單調(diào)遞增函數(shù)，若

22

/（2a-5G+4）＜f（a+a+4）,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（

A.B.[2,6)

*32,6)

C.D.(0,6)

例20.（2022?全國?高三專題練習(xí)）求下列函數(shù)的定義域：

⑴已知函數(shù)〃x）的定義域?yàn)椋?2,2］,求函數(shù)y=/（x2-1）的定義域.

⑵己知函數(shù)y=〃2x+4）的定義域?yàn)椋?,1］,求函數(shù)的定義域.

⑶已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?1,2］,求函數(shù)y=/（X+1）--1）的定義域.

【方法技巧與總結(jié)】

1.抽象函數(shù)的定義域求法：此類型題目最關(guān)鍵的就是法則下的定義域不變，若外幻的定義域?yàn)椋?。，b）,

求/［g（x）］中a＜g（x）＜6的解x的范圍，即為Hg（x）］的定義域，口訣：定義域指的是x的范圍，括號范圍相

同.已知/（X）的定義域，求四則運(yùn)算型函數(shù)的定義域

2.若函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運(yùn)算結(jié)合而成的，其定義域?yàn)楦骰竞瘮?shù)定義域的交集，即先求

出各個(gè)函數(shù)的定義域，再求交集.

題型五：函數(shù)定義域的應(yīng)用

+a

例21.（2022?全國?高三專題練習(xí)）若函數(shù)，。）=了而一^的定義域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

InI2+a\

（）

A.（-2,+oo）B.（-l,+oo）C.（-2,-1）D.（-2,-l）u（-l,+oo）

例22.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)=Jw+1）尤2_（加+1卜+，的定義域?yàn)镽,則加的取值范

圍是（）

A.-l<m<2B.-l<m<2C.-l<m<2D.-l<m<2

（多選題）例23.（2022?全國?高三專題練習(xí)）（多選）若函數(shù)y=在區(qū)間［-2,-1］上有意義，則實(shí)數(shù)

〃可能的取值是（）

A.-1B.1C.3D.5

1

例24.（2022?全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)」的定義域是H，則。的取值范圍是_________.

7ax+ax+l

例25.（2022.上海.高三專題練習(xí)）已知函數(shù)〃x）=IglTTZ+ax）的定義域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

【方法技巧與總結(jié)】對函數(shù)定義域的應(yīng)用，是逆向思維問題，常常轉(zhuǎn)化為恒成立問題求解，必要時(shí)對參

數(shù)進(jìn)行分類討論.

題型六：函數(shù)解析式的求法

【方法技巧與總結(jié)】求函數(shù)解析式的常用方法如下：

（1）當(dāng)已知函數(shù)的類型時(shí)，可用待定系數(shù)法求解.

（2）當(dāng)已知表達(dá)式為/'［g（x）］時(shí)，可考慮配湊法或換元法，若易將含x的式子配成g（x）,用配湊法.

若易換元后求出x,用換元法.

（3）若求抽象函數(shù)的解析式，通常采用方程組法.

（4）求分段函數(shù)的解析式時(shí)，要注意符合變量的要求.

（5）當(dāng)出現(xiàn)大基團(tuán)換元轉(zhuǎn)換繁瑣時(shí)，可考慮配湊法求解.

（6）若已知成對出現(xiàn)/（x）,八1）或/⑴，/（-幻，類型的抽象函數(shù)表達(dá)式，則常用解方程組法構(gòu)造另

一個(gè)方程，消元的方法求出/（x）.

1.待定系數(shù)法（函數(shù)類型確定）

（多選題）例26.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/（x）是一次函數(shù)，滿足/（/（x））=9x+8,則

“X）的解析式可能為（）

A./（%）=3x+2B./（JC）=3X-2

C./（x）=-3x+4D./（x）=-3x-4

例27.（2022.全國?高三專題練習(xí)）設(shè)y=/U）是一次函數(shù)，若八0）=1,且/⑴J（4）J（13）成等比數(shù)列，則

/（2）+/（4）+3+/（2〃）等于（）

A.〃（2九+3）B.〃（九+4）

C.2幾（2〃+3）D.2n（n+4）

例28.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知了（%）為二次函數(shù)，/（0）=0,/（2X+1）-/（X）=X2+3X+2,求

的解析式.

2.換元法或配湊法（適用于了/k（%）]型）

例29.（2022?陜西西安?高三階段練習(xí)（文））已知〃x+l）=ln?,則〃同=（）

A.ln(x+l)2B.21n(x+l)

C.21n|x-l|D.ln(x2-1)

例30.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)dW]=/，則〃尤）的解析式為（）

A-"x）=^T（xxT）B.=

C.〃龍）=U7（彳~1）D-”X）=_7^（X/T）

例31.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)“X）滿足/（cosx-l）=cos2x-l,則〃尤）的解析式為

()

A./(x)=2x2+4x(-2<x<0)B./(x)=2x2+4X(XG7?)

C./(x)=2x-l(-2<x<0)D./(X)=2X-1(X￡R)

例32.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)+2)=x+4五+5,則的解析式為

x

已知^[~~21

例33.（2022?全國?高三專題練習(xí)）一7’則函數(shù)?;

例34.(2022?全國?高三專題練習(xí))已知了(|x-l|)=*-2x+3,則/(3)=()

A.6B.3C.11D.10

例35.（2022.全國?高三專題練習(xí)）已知/（x，）=log2X,則〃8）=（）

3.方程組法

例36.(2022.全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/*)的定義域?yàn)镽,且/3+2/(-*)=爐_丈，則/(》)=

()

,x2+2x?2x2八2x2+2x「7

A.-------B.——+xC.----------D.——+x

3333

(oniQA

例37.(2022.全國?高三專題練習(xí))設(shè)函數(shù)/(%)對xwO的一切實(shí)數(shù)均有/(“+24二)=3%，則

“2018)等于

A.2016B.-2016C.-2017D.2017

例38.(2022?全國?高三專題練習(xí))若函數(shù)/(尤)，g(x)滿足/(x)-2/(口=2%/,且/(x)+g(x)=x+6,

\XJX

貝iJ〃l)+g(T)=.

例39.(2022?全國?高三專題練習(xí))已知3/(x)+5/[j)=：+l,則函數(shù)式x)的解析式為.

4.求分段函數(shù)的解析式

x,-l<x<0

例40.(2022?全國?高三專題練習(xí))設(shè)函數(shù)〃x)=1,〃，若函數(shù)丫=/(%)-2/在區(qū)間(-L1)

7CM

內(nèi)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)r的取值范圍是()

A.B.(-℃,0)C.D.-J，。)

[-1,X>—1IXI

例41.(2022?浙江?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/。)=.，，，貝lf(/(x))=___________,"的最大值

[-2,x4-1/(x)

是.

例42.(2022?全國?高三專題練習(xí))函數(shù)五無)=-7+4無一1在區(qū)間[f,t+l](tGR)上的最大值為g⑺.求g⑺

的解析式

5.抽象函數(shù)解析式

例43.（2022.全國?高三專題練習(xí)）對任意實(shí)數(shù)x,九^W/（x+y）-2/（y）=x2+2Ay-y2+3x-3y,求

函數(shù)的解析式.

例44.（2022?河南?高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)“X）是定義在（0,+e）上的增函數(shù)，且

（〃尤）+￡|=1，/（1）=0,則〃3）=（）

24

A.-B.-C.2D.3

33

例45.（2022.安徽.蕪湖一中三模（理））已知函數(shù)〃尤）在xeR上滿足〃2+x）=2〃2-x）-V+6x,則曲

線丁=/（力在點(diǎn)（2,〃2））處的切線方程是（）

A.2x-y-6=0B.6x-y-4=0

C.2x-y-4=0D.2%+y-4=0

例46.（2022?全國?高三專題練習(xí)（文））定義在R上的函數(shù)/（九）單調(diào)遞增，且對VxeR,有

/（/（x）-r）=3,則〃log43）=.

例47.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知定義在（0，+8）上的單調(diào)函數(shù)“X）,若對任意xe（O,+s）都有

f/M+logjX=3,則方程/（x）=2+?的解集為.

\27

例48.（2022.全國?高三專題練習(xí)）已知“X）在（0,+s）上是減函數(shù)，且〃x）+〃y）=〃孫）+1對任意的

xe（0,+8）都成立，寫出一個(gè)滿足以上特征的函數(shù)/（%）=.

例49.（2022?全國?高三專題練習(xí)）設(shè)“盼是定義在R上的函數(shù)，且滿足對任意蒼y等式

/（2y—x）=-2/（x）+3y（4x—y+3＞恒成立，貝|/（%）的解析式為.

題型七：函數(shù)值域的求解

【方法技巧與總結(jié)】

函數(shù)值域的求法主要有以下幾種

⑴觀察法:根據(jù)最基本函數(shù)值域（如丁之（）,優(yōu)＞0及函數(shù)的圖像、性質(zhì)、簡單的計(jì)算、推理，憑觀察能

直接得到些簡單的復(fù)合函數(shù)的值域.

（2）配方法：對于形如丁=辦2+/+C（。中0）的值域問題可充分利用二次函數(shù)可配方的特點(diǎn)，結(jié)合二次

函數(shù)的定義城求出函數(shù)的值域.

（3）圖像法：根據(jù)所給數(shù)學(xué)式子的特征，構(gòu)造合適的幾何模型.

（4）基本不等式法：注意使用基本不等式的條件，即一正、二定、三相等.

（5）換元法：分為三角換元法與代數(shù)換元法，對于形y=+6+的值城，可通過換元將原函數(shù)

轉(zhuǎn)化為二次型函數(shù).

（6）分離常數(shù)法：對某些齊次分式型的函數(shù)進(jìn)行常數(shù)化處理，使函數(shù)解析式簡化內(nèi)便于分析.

（7）判別式法：把函數(shù)解析式化為關(guān)于x的一元二次方程，利用一元二次方程的判別式求值域，一般

地，形如y=Ax+3,4ax2+如+?；蜓?修包±￡的函數(shù)值域問題可運(yùn)用判別式法（注意x的取值范圍

-dx2+ex+f

必須為實(shí)數(shù)集R）.

（8）單調(diào)性法：先確定函數(shù)在定義域（或它的子集）內(nèi)的單調(diào)性，再求出值域.對于形如

y=y/ax+b+y/ex+d或y=ax+b+^lcx+d的函數(shù)，當(dāng)ac>0時(shí)可利用單調(diào)性法.

（9）有界性法：充分利用三角函數(shù)或一些代數(shù)表達(dá)式的有界性，求出值域.因?yàn)槌３霈F(xiàn)反解出y的表達(dá)

式的過程，故又常稱此為反解有界性法.

（10）導(dǎo)數(shù)法：先利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極大值和極小值，再確定最大（?。┲?，從而求出函數(shù)的值域.

1.觀察法

例50.（2022?全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)安士-1的值域是（

A.(-oo,-l)B.(+1,+<?)C.(-oo,-l)U(-l,+°°)D.(-00,+00)

例51.（2022?全國.高三專題練習(xí)）下列函數(shù)中,值域?yàn)椋ā＃?8）的是（

c2

A.y=x2B.y二一C.y=2"D.>=腿2工

x

例52.（2022?浙江?高三專題練習(xí)）下列函數(shù)中,函數(shù)值域?yàn)椋?,+8）的是（）

A.y=(X+1)2,XG(0,+co)B.y=log2x,xe(l,+co)

C.y=2x-lD.y=\/2x--l

2.配方法

例53.（2022?全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)的、=]_金一6%一5值域?yàn)椋ǎ?/p>

A.[0,-H?）B.[0,2]

C.[2,+<?）D.（2,+oo）

例54.（2022?全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)y=/（x）的圖象是如圖所示的折線段。鉆，其中4（1,2）,

3（3,0）,函數(shù)g（x）=x?/（x）,那么函數(shù)g（尤）的值域?yàn)椋ǎ?/p>

9

A.[0,2]B.0,-

一3"l

C.o,-D.[0,4]

例55.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)4，b,c滿足2a+6=l,abc+l=2c,則c的最大值為

（）

A.[B.gC.—D.2

3.圖像法（數(shù)形結(jié)合）

例56.（2022?全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)yu/Tx+l,xe[0,4]的值域是（）

A.[1,6]B.[—3,1]C.[—3,6]D.[—3,+8）

例57.（2022?全國?高三專題練習(xí)（理））函數(shù)〃x）=八:二一；.（xe[Q2捫）的最小值是（）

v3-2cosx-2sinx

A.-gB.-1C.-V2D.-V3

例58.（2022?全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)人%）=業(yè)二匚二1的值域?yàn)椋ǎ?/p>

x—2

444

A.B.[--,0]

333

4

C.[0,1]D.[0,y]

2

例59.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知xe[-石，我，y&R+,則（丈-y）+（力-無?-'r的最小值為

例60.（2022?上海?高三專題練習(xí)）函數(shù)y='Z24x-3+3的值域?yàn)?

x+1

4.基本不等式法

例61.（2022?河南?模擬預(yù)測（文））下列函數(shù)中最小值為6的是（）

9

A.y=x2+2x+6B.^=1cosx|+---------

|cosXI

9

C.y=r+—D.y=InxH------

3XInx

例62.（2。22?全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)>=弋產(chǎn)的值域是

5.換元法（代數(shù)換元與三角換元）

例63.（2022?全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)y（x）=j3+2x-/的值域?yàn)椋ǎ?/p>

A.[0,4]B.(-℃,2]C.[2,+co)D.[0,2]

例64.（2022?全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)尸4，+21+3（%€r）的值域?yàn)椋ǎ?/p>

13

A.[2,+oo)B.(3,+oo)C.§,+coD.[9,-H?)

例65.（2022?全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)/（X）=X+J3-2x的值域是（）

A.[0,+oo)B.[1,+<?)C.(』2]D.

例66.（2022?全國?高三專題練習(xí)）若丫=54+加石，則y的取值范圍是

6.分離常數(shù)法

例67.（2022?全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域;是（)

4-3%

A.(-co,+oo)B.(-oo,U(g,+co)

22

,1、

C.(-co,--)U(-,+co)D.(-oo,U(——,+oo)

3333

2九一3

例68.（2。22.全國.江西科技學(xué)院附屬中學(xué)模擬預(yù)測（文））函數(shù)小戶丁的值域（）

11

A.-co,—U—,+ooB.

3j(3Id

1u(一§,+8

C.—00,------D.

3

7.判別式法

例69.（2022?全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)/⑺=的最大值與最小值的和是（）

'）x2+x+l

A-1B-IC.1D-4

函數(shù)的值域是

例70.（2021?浙江杭州?高一期中）+l

'）X2-X+2

2r+1

例71.（2021?江蘇?高一專題練習(xí)）求函數(shù)的值域

7Y2+4r+9

例72.（2021?浙江?高一期末）函數(shù)y=三二竺三的值域?yàn)?/p>

x2+l

8.單調(diào)性法

例73.（2022.全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的值域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)。的取值范圍

是（）

9

A.(-8,1)B.——,+ao

4

例74.（2022.全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)〃力=廬7-病與，則函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ?/p>

A.[-3,0]B.[0,3]C.[-3,3]D.[3,12]

例75.（2022.全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)/（尤）=A/T萬+2x的值域?yàn)椋ǎ?/p>

A.[-l,+oo)B.[0,+oo)C.[l,+oo)D.[2,+oo)

9.有界性法

CQQry4-1

例76.（2022.全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)y=：的值域是________________.

cosa+2

>+i鼻

例77.（2022?全國?圖三專題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ?/p>

2*+1

A.（0,2）B.[2,+s）C.（2,3）D.[1,2]

例78.（2022.全國?高三專題練習(xí)（理））實(shí)數(shù)x,y滿足（尤+y_i『+（無一2y+l『=l,則2x+y的最大值為

10.導(dǎo)數(shù)法

例79.（2022?四川省高縣中學(xué)校高三階段練習(xí)（文））函數(shù)/（x）=]+V—3x-4在[0,2]上的最小值是

例80.（2022.全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/（無）=/-21nx,則/（x）在[l,e]上的最大值是.

例81.（2022.全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)〃x）=2x-sinx,當(dāng)xe[0,l]時(shí)，函數(shù)y=/（x）的最大值為

例82.（2022.全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=ln（lnx+（e-l）x-m）,若曲線丁=江土1.上存在點(diǎn)

廠+1

（孫珀，使得％="/（％））,則實(shí)數(shù)小的最大值是（）

A.0B.3C.-2D.-1

題型八：分段函數(shù)的應(yīng)用

2x-l,x<0,

例83.（2022?山東濟(jì)南?二模）已知函數(shù)=<>若〃租）=3,則%的值為（）

x2,x>0,

A.上B.2C9D.2或9

例84.（2022?廣西廣西?模擬預(yù)測（理））已知=若〃a-3)=/(a+2),則〃。)=

()

A.2B.&C1D.0

-+3,x<l（北卜）

例85.（2022?浙江?模擬預(yù)測）己知函數(shù)/（X）?X，則」

log3x,x>1

A.1B.2C3D.4

設(shè)函數(shù)?。?町”

例86.（2022?廣東梅州?二模）貝|]/(-2)+〃1嗝6)=()

A.2B.6C8D.10

2叫％〉o,

例87.（2022?浙江.模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（x）=<x+“，則/⑴=；若/"(一1))=1,則

,x40,

x—\

實(shí)數(shù)"".

例88.（2022?浙江省臨安中學(xué)模擬預(yù)測）設(shè)，（x）=：'若〃a）=〃a+l）,則。=

2（x—1）,x1

【方法技巧與總結(jié)】

1.分段函數(shù)的求值問題，必須注意自變量的值位于哪一個(gè)區(qū)間，選定該區(qū)間對應(yīng)的解析式代入求值

2.函數(shù)區(qū)間分類討論問題，則需注意在計(jì)算之后進(jìn)行檢驗(yàn)所求是否在相應(yīng)的分段區(qū)間內(nèi).

【過關(guān)測試】

一.單選題

1.（2022?全國?高三專題練習(xí)（理））下列函數(shù)中，不滿足:〃2x）=2/（x）的是

A./（x）=|x|B.f{x）=x-\j^C./（x）=x+lD./（x）=—x

2.（2022?陜西陜西?二模（理））已知/■（%）是定義域?yàn)镽上的單調(diào)增函數(shù)，且對任意xeR,都有

/（/（X）-2x）=6,則"6）的值為（）

A.12B.14C.-14D.18

3.（2022.寧夏?銀川一中一模（文））若函數(shù)了（無）滿足/（I-hu）則7（2）=（）

X

A.—B.e

2

C.—D.—1

e

4.（2022.江西?南昌十中模擬預(yù)測（文））設(shè)全集U=R,集合M={x|y=ln（x—l）},N={x|y=J%2_句,

則（）

A.（1,2）B.（1,2]

C.（2,+oo）D.[2,+oo）

5.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/（x+D的定義域?yàn)椋ㄒ?,0）,則7（2%-1）的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

A.（-1,0）B.（-2,0）C.（0,1）D.[一；，°]

6.（2022.全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)y=―的值域是（）

x-3

A.（l,+oo）B.（。,+8）C.（3,+oo）D.（4,+oo）

7.（2022?河北保定二模）若函數(shù)=士-2+1,則函數(shù)g（x）=/（x）-4x的最小值為（）

\XJXX

A.-1B.-2C.-3D.-4

8.（2022?全國?高三專題練習(xí)）高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的美譽(yù),

用其名字命名的“高斯函數(shù)”：設(shè)xeR,用印表示不超過x的最大整數(shù)，則＞=口]稱為高斯函數(shù)，也稱取

整函數(shù)，例如：63.7]=-4,[2.3]=2.已知/。）=一一-則函數(shù)，="（刈的值域?yàn)椋ǎ?/p>

e+12

A.{0}B.{-1,0）C.{-2,-1,0}D.{-1,0,1）

二、多選題

9.（2022.全國.高三專題練習(xí)）已知23滿足1/（x）-2f（T）=2x—l,則（）

A."3）=3B.〃3）=-3

C./（%）+/（-%）=2D./（%）+/（-%）=-2

10.（2022.全國.高三專題練習(xí)）下列四組函數(shù)中，五尤）與g（x）表示同一函數(shù)的是（）

A.兀t）=x+l,~B.《x+1?Jl-x,g（x）=Jl-f

x-1

（、6）2x

c.1Ax）=（x-l）。，g（x）=lD