根據(jù)平行線的性質(zhì)與判定求角度大題（解析版）

專題12根據(jù)平行線的性質(zhì)與判定求角度大題

1.如圖，直線PQ//MN,點(diǎn)、C是PQ、肱V之間（不在直線P。，肱V上）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

（1）如圖L若團(tuán)1與02都是銳角，請(qǐng)寫出回。與團(tuán)1,回2之間的數(shù)量關(guān)系為：.

（2）把直角三角形/2C如圖2擺放，直角頂點(diǎn)C在兩條平行線之間，CB與PQ交于點(diǎn)、D,CA與

/AF.N

"N交于點(diǎn)￡,8/與P0交于點(diǎn)尸，點(diǎn)G在線段CE上，連接DG,有ZBDF=NGDF,下二;為

Z.CD（j

多少？

（3）如圖3,若點(diǎn)。是下方一點(diǎn)，2c平分即AD,平分回。1，已知NPBG=25。，求

NACB+NAD8的度數(shù).

【答案】（1）NC=N1+N2；（2）|；（3）75°

【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)、余角和補(bǔ)角的性質(zhì)即可求解；

（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)、對(duì)頂角的性質(zhì)和平角的定義解答即可；

（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義以及三角形內(nèi)角和解答即可.

【詳解】解：⑴ZC=Z1+Z2,

證明：過(guò)C作〃/MN,如下圖所示，

圖1

■.-1//MN,

.-.Z4=Z2（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）,

-.-1//MN,PQ//MN,

:.l//PQ,

二/3=/1（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）,

，N3+N4=N1+N2,

.\ZC=Z1+Z2；

(2)

ZBDF=Z.GDF,

?.?ZBDF=NPDC,

:.ZGDF=ZPDC,

???ZPDC+ZCDG+ZGDF=180°,

ZCDG+2ZPDC=180°,

ZPDC=90°--ZCDG,

2

由(1)可得，ZPDC+NCEM=NC=9Q。,

.\ZAEN=ZCEM,

NAEN_NCEM_90°-NPZ)C_90。-(90?！猤/CDG)_工；

ZCDG~ZCDG~ZCDG-ZCDG-2

(3)設(shè)BD交MN于J.

PBQ

?;BC平分NPBD,AM平分NCW,NPBC=25。,

ZPBD=2ZPBC=50°,ZCAM=ZMAD,

PQ//MN,

:.ZBJA=ZPBD=50°,

:.ZADB=ZAJB-ZJAD=500-ZJAD=500-ZCAM,

由⑴可得，ZACB=ZPBC+ZCAM,

z.ZACB+ZADB=ZPBC+ZCAM+50°-ZCAM=250+50°=75°.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、余角和補(bǔ)角的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)平行

找出角度之間的關(guān)系.

2.如圖，ABLAK,點(diǎn)A在直線上，A3、AK分別與直線E廠交于點(diǎn)5、C,/M4S+/KCF=90。.

(1)如圖1,求證：EF//MN；

(2)如圖2,作NCBA與/BC4的角平分線交于點(diǎn)G,求NG的度數(shù)；

(3)如圖3,作與/ECK的角平分線交于點(diǎn)H,請(qǐng)問(wèn)N”的值是否為定值，若為定值請(qǐng)求出定

值，若不是，請(qǐng)說(shuō)明原因.

【答案】⑴見(jiàn)解析

⑵N3GC=135°

(3)回，的值是為定值，NH=45。

［分析1(1)由垂直定義可得ZMAB+ZKCF=90°,然后根據(jù)同角的余角相等可得ZNAC=ZKCF,

從而判定兩直線平行.

(2)根據(jù)角平分線的性質(zhì)和直角三角形兩個(gè)銳角互余，可得出/CBG+/BCG=45°，再利用三角

形內(nèi)角和180,即可求解.

(3)設(shè)NM4B=NABC=x,則/KCF=90-x,再結(jié)合角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)即可求解.

(1)

證明：HABLAK,

^\ZMAB+ZNAC=90°,

又國(guó)NMAB+NKCF=90°,

SZNAC=ZKCF,

?MN〃EF.

(2)

解：BAB±AK

SABAC=90°,

SZCBA+ZACB=90°,

EIBG平分NC54,

^ZCBG=-ZCBA,

2

同理ZBCG」NBCA,

2

0ZCBG+ZBCG=-(ZCBA+ZBCA)=45°,

2

EI/3GC=180O-(/CBG+ZBCG)=135。.

(3)

解：設(shè)/舷42=尤

貝|JNABC=X,

ZKCF=90-x,

EIAH平分/B4V,

^ZHAN=-ZBAN=90°--x,

22

SZHAC=-x,

2

同理ZHCK=-Z.BCK=45°+-x,

22

0ZH=45°.

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)、平行線的判定及性質(zhì)、直角三角形兩銳角互余知識(shí)，解決本

題的關(guān)鍵是熟練掌握知識(shí)點(diǎn)，找到角的關(guān)系，列出等式求解.

3.已知4BEICD,點(diǎn)M在直線48上，點(diǎn)、N、0在直線CD上，點(diǎn)尸在直線/2、CD之間，EL4MP

=^PQN,尸0平分0MPN.

⑴如圖①，若ELWPN=88。，則；

(2)如圖②，過(guò)點(diǎn)。作0E0PN交尸M的延長(zhǎng)線于點(diǎn)過(guò)點(diǎn)E作斯平分EPE0且交尸。于點(diǎn)尸.求

證：￡7同尸0；

⑶如圖③，在(2)的條件下，連接EN,若NE平分即NQ,EL4W=24°,則EWEF=.

【答案】⑴22°;

(2)見(jiàn)解析；

(3)12°

【分析】(1)如圖①，過(guò)點(diǎn)尸作尸R||AB,可得AB||C0|PR,利用平行線的性質(zhì)來(lái)得到結(jié)論；

(2)根據(jù)已知條件可得2ZEPQ+2ZP￡F=180。，進(jìn)而可得EF與PQ的位置關(guān)系；

(3)結(jié)合(2)和已知條件可得國(guó)"￡=回°硒,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得回MVE=J(180。一回VQE)

=；(180°-3ct),可得0A?尸=18O-EIQEF-IWV0￡-I30NE,進(jìn)而可得結(jié)論.

(1)

解：(1)如圖①，過(guò)點(diǎn)P作mIIA3,

?/AB//CD,AB\\PR,

:.PR\\CD,

ZRPQ=ZPQN.

■.■ZAMP=ZPQN,

ZAMP=ZMPR=ZRPQ=|ZMPQ.

■■■P0平分EAfPN,0A〃W=88。，

ZMPQ=|ZMPN=1x88°=44°,

ElZAMP=^ZMPQ=1x44°=22°.

故答案為：22°；

(2)

解：如圖②，EF^PQ,理由如下：設(shè)EL4MP=0PQN=a,

F

4M六B

CNQD

圖②

即。平分IWPN.

^\MPQ—^NPQ=2a.

BQE\\PNf

^\EQP=^\NPQ=2af

^\EPQ=^\EQP=2a.

團(tuán)既平分即E。，

^PEQ=^\PEF=2^\QEF.

^EPQ+BEQP+^PEQ=180°,

團(tuán)2蛇尸0+2即￡尸=180°,

如￡7乜+2EF=90。，

豳PFE=180°-90°=90°,

ELETW^Q

(3)

解：如圖③，SNEF=^^AMP=12°,理由如下：設(shè)EL4MP=EIPQN=a,

圖③

由(2)可知：WQP=2a,ELEFQ=90°,

回團(tuán)。跖=90°-2a.

aiP0N=a,

^NQE=^PQN+WQP=3a.

07VE?平分EIPN0,

^\PNE=SQNE.

SQE\\PN,

^3\QEN=^PNE,

^QNE=^QEN.

EEN0E=3a,

^S\QNE=j-(180°-EWQE)=[(180°-3ct),

^\NEF=1800-SQEF-^NQE-SQNE

=180°-(90°-2a)-3a-y(18O°-3ot)

3

=180°-90°+2a-3a-900+-a

2

1

=2a

=^^AMP.

HZWEF=J回AMP=12°.

故答案為：12。.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，理解平行線的判定和性質(zhì)是解答關(guān)鍵.

4.AB^\CD,C在。的右側(cè)，平分0A8C,平分0AoC,BE、DE所在的直線交于點(diǎn)E.SL4DC

=70°.

(1)求回EDC的度數(shù)；

(2)若0Age=30。，求勖ED的度數(shù)；

(3)將線段BC沿。。方向移動(dòng)，使得點(diǎn)8在點(diǎn)/的右側(cè)，其他條件不變，若&42C="。，請(qǐng)直

接寫出勖￡。的度數(shù)(用含"的代數(shù)式表示).

備用圖

【答案】(1)35°(2)50°(3)215°--n°

2

【分析】(1)根據(jù)角平分線定義即可得到答案；

(2)過(guò)點(diǎn)E作EF//AB,然后根據(jù)角平分線的定義、平行線的判定和性質(zhì)以及角的和差進(jìn)行推導(dǎo)即

可得解；

(3)過(guò)點(diǎn)E作所〃AB,然后根據(jù)角平分線的定義、平行線的判定和性質(zhì)以及角的和差進(jìn)行推導(dǎo)即

可得解.

【詳解】解：(1)回。E平分/ADC,ZADC=70°

0Z￡DC=-ZADC=35°；

2

(2)過(guò)點(diǎn)E作EF//AB,如圖：

EIOE平分/4X7,ZADC=70°；破平分/ABC,ZABC=30°

BlZEDC=-ZADC=35°,ZABE=-ZABC=15°

22

ABIICD,EF//AB

^ABIIEFIICD

S\ZFED=ZCDE=35°,NFEB=ZABE=15。

0/BED=/FED+/FEB=50°；

(3)過(guò)點(diǎn)E作EF//AB,如圖：

ElDE平分/ADC,ZADC=70°;BE平分/ABC,ZABC=n°

0ZEDC=-ZADC=35°,ZABE=-ZABC=-n°

222

SAB//CD,EF//AB

^ABHEFUCD

0/FED=ZCDE=35°,NFEB=180°-ZABE=180°--/i°

2

0/BED=/FED+ZFEB=35°+180°-1"°=215°-1.

22

故答案是：(1)35°(2)50°(3)215°--n°

2

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義、平行線的判定和性質(zhì)以及角的和差，解答本題的關(guān)鍵是作出

輔助線，要求同學(xué)們掌握平行線的性質(zhì)，難度中等.

5.已知AB〃C￡>,點(diǎn)〃、N分別是48、CD上的點(diǎn)，點(diǎn)G在CD之間，連接MG、NG.

Z7

⑴如圖1,若GM_GN,求EL4MG+EICNG的度數(shù)；

(2)如圖2,若點(diǎn)P是CD下方一點(diǎn)，MG平分B5WP,ND平濟(jì)0GNP,已知03MG=32。，求0MGN+ELWPN

的度數(shù)；

⑶如圖3,若點(diǎn)E是N2上方一點(diǎn)，連接瓦0、EN,且GM的延長(zhǎng)線〃/平分的ME,NE平分回CNG,

2^MEN+^MGN=105a,求西ME的度數(shù)？

【答案】(1)90°

(2)96°

(3)50°

【分析】(1)過(guò)G作依據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，即可得到西MG+E1CNG的度數(shù)；

(2)過(guò)G作GK〃4B,過(guò)點(diǎn)尸作尸?！?8,設(shè)國(guó)GND=a,利用平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義，

求得ELWGN=32°+a,EA〃W=64°-a,即可得至1]回質(zhì)7'+財(cái)花板=32。+(1+64。-a=96°；

(3)適G作GK"AB,過(guò)E作￡7〃/8,設(shè)a4MR=x,SGND=y,利用平行線的性質(zhì)以及角平分線

的定義，可得0^￡、=回量^-13歷1/=90。-；卜-2》，^MGN=x+y,再根據(jù)2IWEN+[3G=：L05。，即可

得到2(90°-；y-2x)+x+y=105°,求得x=25°,即可得出EL4ME=2x=50.

【詳解】(1)如圖1，過(guò)G作

圖1

酎B〃CD,

^GHI/AB/ICD,

^AMG=WGM,您CNGFHGN,

^MG^NG,

^MGN=^MGH-^NGH=^AMG^CNG=90°；

(2)如圖2,過(guò)G作GKUAB,過(guò)點(diǎn)尸作尸。〃/5,設(shè)團(tuán)GNL>=a,

團(tuán)GK〃處

團(tuán)RlKGN=R]GND=a,

◎GK"AB,^BMG=32°,

^\MGK=^\BMG=32°,

團(tuán)MG平分團(tuán)BMP,

^\GMP=^BMG=32°f

[WAfP=64°,

^PQ//AB,

^\MPQ=^BMP=2^BMG=64°,

即億>平分團(tuán)GAT3,

^\DNP=^lGND=a,

酎BHCD,

^PQ//CD//GK,

^\QPN=BDNP=^KGN=a,

^\MGN=^MGK^GN=32°+a,^MPN=^MPQ-團(tuán)。尸N=64°-a,

團(tuán)必GN+團(tuán)MPN=32°+a+64°-a=96°；

(3)如圖3,過(guò)G作GK〃4S,過(guò)E作ETUAB,設(shè)四MF=x,^\GND=y,

圖3

/G交于M,MF平分蜘ME,

回^FME=^FMA=^BMG=x，

^\AME=2x,

^GK//AB,

^\MGK=^\BMG=x,

⑦ETHAB,

^\TEM=^AME=2x,

^CD//AB,AB//KG,

團(tuán)GK〃處

^KGN=^\GND=y,

W^\MGN=x+yf

^CND=18Q°,NE平分處CNG,

釀CNG=180°-y,^\CNE=-0C7VG=9O°--v,

22

^ET//AB,ABIICD,

^ETHCD,

團(tuán)團(tuán)TEN=RCNE=90°--y,

2

^BMEN=^\TEN-^\TEM=90°~^y-2x,^\MGN=x+y,

團(tuán)21WEN+[WGN=105°,

02(90°-；y-2x)+x+y=105°,

盟=25°,

回囿4〃￡=2%=50°.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定的綜合運(yùn)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造內(nèi)錯(cuò)角,

利用平行線的性質(zhì)以及角的和差關(guān)系進(jìn)行推算.

6.問(wèn)題情境：如圖1,AB//CD,07%8=130。，0PC￡>=12O°,求a4PC的度數(shù).小明的思路是：過(guò)

P悍PE〃AB,通過(guò)平行線性質(zhì)來(lái)求a4PC.

（2）問(wèn)題遷移：如圖2,AB//CD,點(diǎn)P在射線0M上運(yùn)動(dòng)，記皿B=a,回「。。=夕，當(dāng)點(diǎn)尸在8、D

兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，問(wèn)蜘PC與*/之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；

⑶在（2）的條件下，如果點(diǎn)P在3、。兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)O、B、。三點(diǎn)不重合），請(qǐng)直

接寫出明尸C與a、4之間的數(shù)量關(guān)系.

【答案】⑴110

⑵陰PC=a+￡,理由見(jiàn)解析

⑶當(dāng)尸在AD延長(zhǎng)線上時(shí)，EICE4=a/；當(dāng)P在。2延長(zhǎng)線上時(shí)，SCPA=/3-a

【分析】（1）過(guò)尸作小〃N8,通過(guò)平行線性質(zhì)求mPC即可；

（2）過(guò)P作PE〃AB交AC于E,推出AB//PE//DC,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出回a=&4PE,回￡=團(tuán)3￡,

即可得出答案；

（3）分兩種情況：尸在8。延長(zhǎng)線上；P在。3延長(zhǎng)線上，分別畫出圖形，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出

0a=EL4PE,股=回。尸￡,即可得出答案.

【詳解】（1）解:過(guò)點(diǎn)P作尸E〃/2,

^AB//CD,

^PE//AB//CD,

團(tuán)西+助PE=180°,團(tuán)C+團(tuán)CPE=180°,

回叫5=130°,0PCZ)=120°,

團(tuán)四尸E=50°,團(tuán)CPE=60。,

團(tuán)蜘尸。二四尸8+團(tuán)。依=110°.

故答案為：110.

(2)解：^APC=a+/3,

理由：如圖2,過(guò)P作PE〃4B交AC于E,

^AB//CD,

^AB//PE//CD,

^a=^\APE,0器CPE,

^\APC=^\APE^CPE=a^；

(3)解分兩種情況：當(dāng)尸在5。延長(zhǎng)線上時(shí)，過(guò)尸作尸皿8交4。于E,如圖所示,

^AB//CD,

^AB//PE//CD,

^a^\APE,0E1CPE,

^\CR4=^APE-^CPE=a-/3f

即團(tuán)C7M=a/；

當(dāng)尸在延長(zhǎng)線上時(shí)，過(guò)P作PE〃4B交4c于E,如圖所示,

N

O

^AB//CD,

BAB//PE//CD,

Ela=EL4PE,0@CPE,

EES=^CPE-^CR4=/3-a,

即EICE4=Q-a.

綜上，當(dāng)尸在AD延長(zhǎng)線上時(shí)，0CE4=a/；當(dāng)尸在延長(zhǎng)線上時(shí)，^CPA^-a.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，題目是一道比較

典型的題目，解題時(shí)注意分類思想的運(yùn)用.

7.如圖1,AB//CD,G為AB、8之間一點(diǎn).

圖2圖3

⑴若GE平分NAEF,GF平分/￡FC.求證：EGLFG；

44

⑵如圖2,若/AEP=~^AEF,NCFP=-ZEFC,且FP的延長(zhǎng)線交/但的角平分線于點(diǎn)M,

EP的延長(zhǎng)線交NCFP的角平分線于點(diǎn)N,猜想/M+/N的結(jié)果并且證明你的結(jié)論；

⑶如圖3,若點(diǎn)H是射線￡8之間一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)GN分NEFH,MF平分NEFC,過(guò)點(diǎn)G作GQL月0

于點(diǎn)Q,請(qǐng)猜想NEHF與NFGQ的關(guān)系；并證明你的結(jié)論.

【答案】⑴見(jiàn)解析

(2)/M+/N=120。，見(jiàn)解析

⑶NEHF=2NFGQ,見(jiàn)解析

【分析】⑴由平行線的性質(zhì)可得/A￡F+/EFC=180。，再由角平分線的定義得NGEF=g/A所,

NEFG=；NEFC,從而利用三角形的內(nèi)角和可求解；

⑵過(guò)點(diǎn)用作過(guò)點(diǎn)N作NK//CD,從而可得到AB//MH〃NK//CD,結(jié)合平行線的性

質(zhì)及角平分線的定義可求得一￡MF+一￡2VF的度數(shù)；

(3)由垂直可得NG尸。=90。-/7^迨，再由角平分線的定義可求得/"FC=2/GFQ,再由平行線

的性質(zhì)得/EHF+/HFC=180。，從而可求解.

(1)

證明：?.?AB〃CD,

NAEF+ZEFC=180°,

?.?GE平分上4￡F,GF平分/EFC,

NGEF=-NAEF,NEFG=-/EFC,

22

ZGEF+NGFE=1(NAEF+NEFC)=90°,

r.NG=180。-(/GEb+NGFE)=90°,

:.EG±FG；

(2)

解：ZM+ZN=\2Q°,

證明：過(guò)點(diǎn)“作MH/MB,過(guò)點(diǎn)、N作NKUCD,如圖2所示：

圖2

■：AB//CD,

:.AB//MH//NK//CD,^AEF+^EFC=180°,

:.NAEM二NEMH,NHMF=/MFC,NAEN=NENK,NKNF=NNFC,

NEMF=NEMH+NHMF=ZAEM+/MFC,/ENF=NENK+NKNF=/AEN+NNFC,

44

vZAEP=-ZAEF,NCFP'NEFC,EM平分NAEP,FN平分NMFC,

22

/.ZAEM=-ZAEF,NNFC=-NEFC,

99

2442

NEMF=-ZAEF+-NEFC,NENF=-NAEF+-NEFC,

9999

:.NEMF+NENF

2442

=-ZAEF+-NEFC+-NAEF+-NEFC

9999

22

=—NAEF+—NEFC

33

=：(/AEF+/EFC)

=120°；

(3)

解：ZEHF=2ZFGQ,

證明：???Ge，Rw,

ZGFQ=90°-ZFGQ,

FG平分NEFH,MF平分NEFC,

ZGFQ=NGFE+NQFE=g(NHFE+/EFC)=|NHFC,

NHFC=2NGFQ,

-.AB!/CD,

/EHF+NHFC=180°,

NEHF=180°—NHFC=180°—2/GFQ=2NFGQ.

【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，垂線，解答的關(guān)鍵是結(jié)合圖形分析清楚各角之間的關(guān)系.

8.如圖，A5〃CD,點(diǎn)P,Q為直線CO,AB上兩定點(diǎn)，0°<NPAQ<180°.

(2)若PM平分NCPN,平分NAQN,NPNQ=110"；

①如圖2,點(diǎn)N在PQ左側(cè)時(shí)，求/尸河。的角度；

②如圖3,點(diǎn)N在PQ右側(cè)，求/PM。的角度；

⑶如圖4,PM平分■NCPN,QW平分NAQN,NPNQ=120。，點(diǎn)N在PQ右側(cè)，若NCPM與NAQM

的角平分線交于點(diǎn)“I，與的角平分線交于點(diǎn)AG;此次類推，貝|/加2必。

=.(直接寫出結(jié)果)

【答案】(1)N2=Z1+N3

⑵①55。；②125°

(1V022

(3)-xl20°

【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)與判定即可求解；

（2）①根據(jù)（1）的結(jié)論,結(jié)合角平分線的定義ZPMQ=NCPM+ZAQM=^ZCPN+ZAQN）=55°；

②點(diǎn)N在PQ右側(cè)時(shí)，過(guò)點(diǎn)N作NG〃AB,則GN〃CD,可得NPMQ=/CPM+NAQM

=J（/CPN+NAQN）=125°；

（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，分別寫出前幾個(gè)角的度數(shù)，找到規(guī)律即可求解.

（1）

解：如圖，過(guò)點(diǎn)NV〃A3,

Z3=ZFNQ,

■.■AB//CD,NF//AB,

:.NF//CD,

:.N1=NPNF,

Z2=ZPNF+ZQNF,

.-.Z2=Z1+Z3,

故答案為：Z2=Z1+Z3；

(2)

①如圖，點(diǎn)N在尸。左側(cè)時(shí),

由(1)可得/PNQ=NCPN+ZAQN,ZPMQ=ZCPMZAQM,

.?PM平令/CPN,QM平分NAQV,

NCPM=|NCPN,ZAQM=|ZAQN,

ZCPN+ZAQN=110°,

：.NPMQ=NCPM+ZAQM=：(NCPN+/AQN)=55。；

②如圖，點(diǎn)N在尸。右側(cè)時(shí)，過(guò)點(diǎn)N作NG〃AB,則GN〃C￡>

ZGNQ+ZAQN=180。,NCPN+ZGNP=180°,

ZCPN+ZAQN+NQNP=360。，

:/PNG=110°,

ZCPN+ZAQN=360°-110°=250°,

PM平分/CPN,QM平分ZAQN,

ZCPM=|ZCPN,ZAQM=|ZAQN,

：.NPMQ=NCPM+ZAQM=g(/CPN+ZAQN)=125°；

(3)

圖4

依題意由(2)②可知，^CPN+ZAQN+ZQNP=360°,NPNQ=120。，

ZPM2=1(ZCPA^+ZA0^)=1(360°-120°)=120°,

由①可知。，

(2)NPMQ=NCPM+ZAQM=120ZPMtQ=ZCPM+ZAQM

=^(ZCPM+ZAQM)=60。=IIxl20°；

同理可得/產(chǎn)4%。=30。=1Ixl20°,

(iY022

ZPM2022e=^-Jxl20°

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定，角平分線的定義，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.

9.直線EF、GH之間有一個(gè)直角三角形ABC,其中回BAC=90。，回ABC=。.

（1）如圖1,點(diǎn)A在直線EF上，B、C在直線GH上，若回々=60。，0FAC=3O°.求證：EF0GH;

（2）將三角形ABC如圖2放置，直線EFI3GH,點(diǎn)C、B分別在直線EF、GH±,且BC平分回ABH,

直線CD平分回FCA交直線GH于D.在々取不同數(shù)值時(shí)，回BCD的大小是否發(fā)生變化？若不變求其值，

若變化指出其變化范圍.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）不變，45。.

【分析】（1）要想求得兩條直線平行，我們先要確定題中的內(nèi)錯(cuò)角相等，即證明回EABWABC,由題

知13ABe=603E1FAC=3O9,所以回EAB=l3ABC=18CrEIBAC-[aFAC=：L80°-90°-30°=609,所以EF0GH.

（2）過(guò)點(diǎn)A作AM平行EF和GH,本題利用平行線間的同旁內(nèi)角互補(bǔ)，回A=90。，求得EIFCA+EIABH=270。,

在利用已知條件中的兩個(gè)角平分線，得到EIFCD+I3CBH=1353再利用兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，可知

0CBH=EECB,即EIFCD+OECB=135。，所以可以求得EIBCD的度數(shù).

【詳解】解：（1）先要確定題中的內(nèi)錯(cuò)角相等，即證明國(guó)EABWABC,

fflEAB=180°-l3BAC-[3FAC,回BAC=90°,EIFAC=30°

00EAB=6O°,

又EBABC=60°,

fflEAB=0ABC,

0EF0GH;

fflFCA+ECAM=180°,EIMAB+0ABH=18O°,ECBH=EECB,

又H3CAM+EIMAB=I3BAC=90",

EBFCA+回ABH=270°,

又EIBC平分回ABH,CD平分EIFCA,

00FCD+0CBH=135",X0CBH=fflECB,BPEFCD+EECB=135",

H3BCD=180°-(0FCD+EECB)=180°-135°=45°.

考點(diǎn)：L平角定義；2.平行線性質(zhì)與平行公理推論的應(yīng)用.

（2）如圖2,若點(diǎn)尸是射線A4上的一點(diǎn)，且ZBEF=NBFE,EG平分/。班交射線A4于點(diǎn)G,ZZ）=30°,

求/FEG的度數(shù).

【答案】⑴見(jiàn)解析

（2）NFEG=15°

【分析】（1）過(guò)點(diǎn)、E作EF〃DC,根據(jù)平行線的性質(zhì)及角的和差求解即可；

（2）過(guò)點(diǎn)E作E/7//DC,根據(jù)平行線的性質(zhì)及角的和差并結(jié)合（1）求解即可.

(1)

^EF//DC,

?/CDE=NDEF（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）.

^AB//DC,EF//DC,

0EF//AB,

fflZEEB+ZABE=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）.

回ZFEB=ZDEB-ZDEF=ZDEB-NCDE,

0ZDEB+ZABE-ZCDE=180°（等量代換）.

即ZDEB+ZABE=180°+ZCDE；

（2）

0ZE>￡H=ZD=3O°（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）.

SEH//DC,AB//DC,

S\AB//EH,

fflZHEB+ZABE=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）,

ZHEF=ZBFE（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）.

^ZBEF=ZBFE,

⑦NBEF=ZHEF（等量代換），

0NBEF=-NHEB=-（180°-ZABE）=90°--/ABE.

22'72

由（1）知：ZDEB+ZABE-ZCDE=180°,

0ZD=3O°,

回Z.DEB+ZABE=180°+ZCDE=180°+30°=210.

BEG平分NDEB,

0/BEG=-/DEB=-（210°-/ABE）=105°-工NABE,

22'72

0ZFEG=ZBEG-ZBEF=105°-1/ABE-^90°-1ZABE^=15°.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟記平行線的判定與性質(zhì)并作出合理的輔助線是解題的

關(guān)鍵.

11.（1）閱讀并回答：

科學(xué)實(shí)驗(yàn)證明，平面鏡反射光線的規(guī)律是：射到平面鏡上的光線和被反射出的光線與平面鏡所夾的

角相等.如圖1,一束平行光線AB與射向一個(gè)水平鏡面后被反射，此時(shí)/1=N2,N3=-4.

①由條件可知：N1與N3的大小關(guān)系是,理由是；N2與N4的大小關(guān)

系是;

②反射光線BC與EF的位置關(guān)系是,理由是；

（2）解決問(wèn)題：

如圖2,,一束光線加射到平面鏡“上，被。反射到平面鏡b上，又被b鏡反射，若b反射出的光線力

平行于小，且/1=40。，求N2和/3的度數(shù).

【答案】（1）①相等；兩直線平行，同位角相等；相等；②平行；同位角相等，兩直線平行；（2）

80°,90°

【分析】（1）①根據(jù)題意利用平行線的性質(zhì)進(jìn)行分析即可；

②根據(jù)題意利用平行線的判定定理進(jìn)行分析即可.

（2）根據(jù)題意利用平行線的判定定理與性質(zhì)以及補(bǔ)角定義進(jìn)行綜合分析求解.

【詳解】解：（1）?0AB//DE,

0Z1=Z3；

又團(tuán)N1=N2,N3=N4,

EIZ2=Z4.

故答案為：相等；兩直線平行，同位角相等；相等.

②E1N2=N4,

SBC//EF.

故答案為：平行；同位角相等，兩直線平行.

（2）如圖

-.?Zl=40°,

.?_Z4=Z1=4O°.

.?.Z5=180°-40°-40°=100°,

m\\n,

/.Z2+Z5=18O°,

.*.Z2=180°-100°=80°,

,N6=N7=（180°-80。）+2=50。，

.?.Z3=180°-40°-50°=90°.

【點(diǎn)睛】本題考查角的運(yùn)算，熟練掌握平行線的判定定理與性質(zhì)以及補(bǔ)角定義是解題的關(guān)鍵.

12.如圖，已知直線I川2，點(diǎn)、A、B在直線乙上，點(diǎn)C、。在直線4上，點(diǎn)C在點(diǎn)D的右側(cè)，ZADC=80°,

ZABC=n°,BE平分/ABC,DE平分NADC,直線BE、DE交于點(diǎn)、E.

（1）寫出NEOC的度數(shù)；

（2）試求ZBED的度數(shù)（用含n的代數(shù)式表示）；

（3）將線段3c向右平行移動(dòng)，使點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)，其他條件不變，請(qǐng)畫出圖形并直接寫出N3ED

的度數(shù)（用含n的代數(shù)式表示）.

【答案】（1）40°;（2）ZBED=^n°+40°■（3）；喳+40?；?20。一；廢或?『一40°,見(jiàn)解析.

【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義，即可得至崛EDC=《回ADC；

(2)過(guò)點(diǎn)E作EF//AB,根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得回ABE=I3BEF,EICDE=I3DEF,根據(jù)角平分線的

定義求出回ABE,0CDE,然后求解即可；

⑶過(guò)點(diǎn)E作EF//AB,然后分類討論：①點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊，根據(jù)角平分線的定義求出回ABE,ECDE,

根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得I3ABF=EIBEF,0CDE=EIDEF,然后求解；②點(diǎn)A在點(diǎn)B的右邊時(shí)，

根據(jù)角平分線的定義求出回ABE,0CDE,根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得國(guó)CDEWDEF,根據(jù)兩直線

平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)求出回BEF,然后求解即可.

【詳解】解：(1)「DE平分/4DC,ZADC=80°,

ZEDC=-ZADC=-x80°=40°■

22

(2)如圖1,過(guò)點(diǎn)E作EF//AB,

■.■AB//CD,

:.AB//CD//EF,

:.ZABE^ZBEF,NCDE=NDEF,

?.?BE平分/ABC,DE平分/ADC,ZABC=n°,ZADC=80°,

:.ZABE=-ZABC=-n°,ZCDE=-ZADC=40°,

222

1

ABED=ZBEF+ZDEF=-no+40°；

2

(3)過(guò)點(diǎn)石作瓦7/48,

①如圖1,點(diǎn)A在點(diǎn)6的右邊時(shí)，同(2)可得，石D不變，為■|〃。+40。；

②如圖2,點(diǎn)A在點(diǎn)6的左邊時(shí)，若點(diǎn)E在直線4和4之間，貝I

?/HE平分/ABC,平分/ADC,ZABC=n%ZADC=8Q°,

NABE=-/ABC=-n°,ZCDE=-ZADC=40°,

222

VAB//CD,

:.AB//CD//EF,

：./BEF=180°—/ABE=180°--n°,ZCDE=ZDEF=40°,

2

ABED=ZBEF+ZDEF=180°--M°+40°=220°--n°,

22

若點(diǎn)E在直線4的上方或乙的下方，則^BED=180°-（220°-1n°）=^na-40°,

綜上所述，/血＞的度數(shù)變化，度數(shù)為$產(chǎn)+40?；?20。-]〃。或｝產(chǎn)-40。.

【點(diǎn)睛】此題考查平行線的性質(zhì)與判斷，平移的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于掌握各性質(zhì)定義分情況進(jìn)行討

論.

13.如圖，已知1面2，MN分別和直線Mb交于點(diǎn)A、B,ME分別和直線li、b交于點(diǎn)C、D,點(diǎn)P

在MN上（P點(diǎn)與A、B、M三點(diǎn)不重合）.

（1）如果點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，的、射、助之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）如果點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)，Ela、附、助有何數(shù)量關(guān)系（只須寫出結(jié)論）.

【答案】（1）Ela+附=回丫?（2）①P在A點(diǎn)左邊時(shí)，Ela-附=助；②P在B點(diǎn)右邊時(shí)，Elp-0a=0y.

【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)可求出它們的關(guān)系，從點(diǎn)尸作平行線，平行于/C,根據(jù)兩直線平

行內(nèi)錯(cuò)角相等可得出.

（2）分類討論，①點(diǎn)尸在點(diǎn)/左邊，②點(diǎn)尸在點(diǎn)2右邊.

【詳解】解：⑴如圖，過(guò)點(diǎn)P做/C的平行線尸O,

XEL4C135Z),

ELPOaftD,

回回

團(tuán)團(tuán)a+第二團(tuán)y.

(2)①P在/點(diǎn)左邊時(shí)，加-明=臥；

②尸在2點(diǎn)右邊時(shí)，冊(cè)-回a=Ely.

【點(diǎn)睛】主要考查了平行線的性質(zhì)：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等.作出輔助線是解決本題的關(guān)鍵.

14.將一副三角板的直角重合放置，如圖1所示，

⑴圖1中回BED的度數(shù)為;

(2)三角板MOB的位置保持不動(dòng)，將三角板回C。。繞其直角頂點(diǎn)。順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)：

①當(dāng)旋轉(zhuǎn)至圖2所示位置時(shí)，恰好。?；谹B,求此時(shí)MOC的大??；

②若將三角板配。。繼續(xù)繞O旋轉(zhuǎn)，直至回到圖1位置，在這一過(guò)程中，是否會(huì)存在回C。。其中一

邊能與AB平行？如果存在，請(qǐng)你畫出圖形，并直接寫出相應(yīng)的蜘OC的大?。蝗绻淮嬖?，請(qǐng)說(shuō)明

理由.B

,A

圖1

【答案】(1)15°;(2)①30°；(2)120°,165°,30°,150°,60°,15°.

【分析】(1)根據(jù)三角形的外角性質(zhì)和對(duì)頂角的性質(zhì)求出回BED的度數(shù)；

(2)①由0DI3AB可得回BOD=EIB=30°,再由EIBOD+IBBOC=90°和13Aoe+I3BOC=90°求出E1A0C的度數(shù)；

②根據(jù)題意作圖，可分6種情況進(jìn)行分析求解.

【詳解】(1)00CEA=EBAO-0C=6O°-45O=15°,

EBBED=I3CEA=15°,

(2)①EIODEIAB,

fflBOD=0B=3O°

又EIBOD+I3BOC=90°和13Aoe+IBBOC=90°

00AOC=EBOD=3O-；

②存在，如圖1,I3AB0CO,

EEAOC=I3AOB+EIBOC=[3AOB+IBB=120°；

如圖2,延長(zhǎng)AO交CD于E,

0AB0DC,ffl0DEO=0A=6O°,又I3C=45°,00COE=0DEO-EIC=15O,

EH3AOC=1800-EICOE=1650；

如圖3,0AB0DO,

團(tuán)團(tuán)A+團(tuán)AOD=180°,

麗A=60°

團(tuán)團(tuán)A。D=120°

麗AOC二團(tuán)AOD-團(tuán)COD=30°；

如圖4,回AB回DO,回團(tuán)AOC二回AOD+回COD=團(tuán)BAO+團(tuán)COD=600+90°=150°

如圖5,回ABR1C0,團(tuán)團(tuán)AOC二回BAO=60°

如圖6,

設(shè)AO與CD相交于點(diǎn)M

團(tuán)AB團(tuán)CD,

團(tuán)團(tuán)DMO=回A=60°

?AOD=180o-45°-60o=75°,

團(tuán)團(tuán)AOC=90°-回AOD=15°.

【點(diǎn)睛】此題主要考查三角形的角度計(jì)算，解題的關(guān)鍵是熟知三角形的外角性質(zhì)及平行線的判定與

性質(zhì).

15.已知的三角形的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)和是180。，如圖是兩個(gè)三角板不同位置的擺放，其中

ZACB=ZCDE=90°,44c=60。，ZDEC=45°.

(1)當(dāng)AB〃OC時(shí)，如圖①，求NDCB的度數(shù).

(2)當(dāng)C。與C8重合時(shí)，如圖②，判斷與NC的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

(3)如圖③，當(dāng)/DCB等于度時(shí)，AB//EC.(直接寫出答案)

【答案】⑴30。

(2)DESAC

(3)15

【分析】(1)根據(jù)運(yùn)用平行線的性質(zhì)，求得EDC8的度數(shù)；

(2)根據(jù)EL48E+皿C=180。，運(yùn)用平行線的判定，得出。EEL4C；

(3)根據(jù)/8EICE,求得0￡C8=3O。，再根據(jù)E1￡>CE=45。，求得配)。8的度數(shù).

【詳解】(1)解：KIEL4c5=90°,E3/C=60°,

EE3=180°-90°-60°=30°,

^AB^DC,

aar>C8=EB=30°；

(2)解：DE^AC.

當(dāng)CD與CB重合時(shí)，EICD/=EIC8Z=30。，

^ADE=SCDE+SCDA=900+30°=120°,

EGA4c=60°,

aa4BE+aB/c=:i80°,

ELDEEWC；

(3)解：當(dāng)/施CE時(shí)，勖=跖。2=30。，

又EEZ)CE=45°,

0ELDC5=45O-3OO=15°.

故答案為：15.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，解題時(shí)注意：平行線的判定是由角的數(shù)量關(guān)系判斷

兩直線的位置關(guān)系，平行線的性質(zhì)是由平行關(guān)系來(lái)得出角的數(shù)量關(guān)系.

16.如圖，已知直線48E1CZ),EL4=0C=1OO0,E,尸在CD上，且滿足BE平分EIC8?

(1)直線與BC有何位置關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；

(2)求0DAE1的度數(shù)；

(3)若平行移動(dòng)40,在平行移動(dòng)40的過(guò)程中，是否存在某種情況，使aBEC=a4DB?若存在，求

出0AD3；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)AD^BC,理由見(jiàn)解析；(2)0￡B￡=40。；(3)存在，EL4DB=60°

【分析】(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)，以及等量代換證明的。C+回C=180。，即可證得4DESC；

(2)由直線/施CD,根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，即可求得a48c的度數(shù)，又由0D5斤;

即可求得前BE的度數(shù).

(3)首先設(shè)西8。=&089=05/兀-。，由直線4BE1CD,根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)與兩直線平

行，內(nèi)錯(cuò)角相等，可求得I38EC與EL4Z>5的度數(shù)，JL^BEC^DB,即可得方程：％°+40。=80。封°,解

此方程即可求得答案.

【詳解】解：(1)直線/。與BC互相平行，理由：

EL4BEICZ),

0EL4+EL4Z)C=18OO,

又0JL4=EIC,

0EL4Z)C+0C=18O°,

EL4P05C；

(2)EL4BECD,

0a45C=18O°-EC=8O",

'SEDBF^ABD,BE平分團(tuán)CBF,

^\DBE=-SABF+-BiCBF=-&43。=40。；