高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)復(fù)習(xí)專練：比較大小六大方法（解析版）

重難點(diǎn)專題07比較大小六大方法匯總

題型1臨界值法比較大小.............................................................1

題型2利用函數(shù)性質(zhì)比較大小........................................................4

題型3構(gòu)造差與商比較大小...........................................................7

題型4構(gòu)造函數(shù)比較大小............................................................11

題型5放縮法比較大小..............................................................16

題型6導(dǎo)數(shù)法.......................................................................20

題型1臨界值法比較大小

T卜劃重點(diǎn)

結(jié)構(gòu)不相同的比較大小題目，可以尋找“中間橋梁"，通常是與0,1比較

通過找中間值比較大小，要比較的兩個(gè)或者三個(gè)數(shù)之間沒有明顯的聯(lián)系，這個(gè)時(shí)候我們就可:

以通過引入一個(gè)常數(shù)作為過渡變量，把要比較的數(shù)和中間變量比較大小，從而找到它們之間

的大小關(guān)系.

【例題1】（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知。=1唯2.8,b=log0.82.8,。=2-。-8試比較a,

b,c的大小為（）

A.b<a<cB.b<c<aC.c<b<aD.a<c<b

【答案】B

【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性將a、Ac與0、1相比較，即可得到結(jié)論

【詳解】-a=log22.8>log22=1,

b=log0,82.8<log0,8l=0,

0<c=2-°-8<20=1,

:.b<c<a.

故選：B.

3

【變式1-1]1.（2021?全國?高三專題練習(xí)）已知a=log0,53,b=0.5-,c=3試比較

a,b,c的大小為（）

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<b<aD.c<a<b

【答案】B

【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性將a、b、c與0、1相比較，即可得到結(jié)論.

【詳解】解：=log0.53=-log23<0,

b=0.5-3=23>20=1,

1o

0<c=3-0-5=O<（9=1,

:.a<c<b,

故選：B.

3

【變式1-112.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知a=log0,33,b=（|尸，c=L,則下列

大小比較正確的是（）

A.a<b<cB.b<a<c

C.a<c<bD.c<b<a

【答案】C

【分析】由對數(shù)函數(shù)及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得a,b,c的范圍，進(jìn)而比較出它們的大小關(guān)

系.

【詳解】因?yàn)閍=logo,33<logo.31=0,即a<0,

C=4-1=1G（0,1）,

?。ǜ?即b>1，

所以可得：a<c<b,

故選：C.

【變式1-1】3.(2022?山西太原?統(tǒng)考一模)比較大?。篴=log3奩，6=e?！?，c=e嗚

()

A.a<c<bB.c<a<bC.c<b<aD.a<b<c

【答案】A

【分析】由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知a=log3V2<I，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可求出b>1,c=|,

進(jìn)而可判斷三者的大小關(guān)系.

01lnln2

【詳解】解：因?yàn)槲?lt;V3,所以a=log3V2<I，b=e>e°=1,c=e2=e~=2T

1

=2'

則6>c>a,

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)、對數(shù)式的大小比較.若兩式的底數(shù)相同，常結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)

性比較大小，若兩式的指數(shù)相等，則常結(jié)合圖像比較大?。挥袝r(shí)也進(jìn)行整理通過中間值比較

大小.

【變式1-1】4.(2021?福建泉州?福建省德化第一中學(xué)?？既?比較下列幾個(gè)數(shù)的大小:

030001

a=(1),b=log2|,c=5,則有()

A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

【答案】D

【分析】首先讓a,b,c和0或1比較大小，然后再判斷a,b,c的大小.

0001

【詳解】a=￡(0,1),b=log2|<0,c=5>1

c>a>b.

故選D

【點(diǎn)睛】本題考查指對數(shù)比較大小，意在考查轉(zhuǎn)化與計(jì)算，屬于簡單題型.

題型2利用函數(shù)性質(zhì)比較大小

比較指對幕形式的數(shù)的大小關(guān)系，常用方法：

(1)利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性：y=a”,當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)遞增；當(dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù)遞減;

(2)利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性：y=logax,當(dāng)a>l時(shí)，函數(shù)遞增；當(dāng)。<a<l時(shí)，函數(shù)遞

減；

【例題2】(2022?重慶?校聯(lián)考模擬預(yù)測)下列各式比較大小正確的是()

A.1.72-5>1.73B,0.6-1〉0.62QO.801>1,201D,1.703<0.931

【答案】B

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷AB,再由幕函數(shù)單調(diào)性判斷C,借助1判斷D.

【詳解】A中，〔?函數(shù)y=1.7，在R上是增函數(shù)，2.5<3,/.1.72-5<1.73,故錯(cuò)誤；

B中，:y=os在R上是減函數(shù)，-1<2,.-.o.e-^o.e2,故正確；

C中，-.7=炒1在(0,+8)上是增函數(shù)，O.801<1.2。1.故錯(cuò)誤；

D中,'.I.70-3>1,0<0.931<1,.-.1.70-3>0.931,故錯(cuò)誤.

故選：B

【變式2-1】1.已知2021a=2022,20224=2021,c=ln2,貝(]()

A.logac>logfccB.logca>log*

C.ac<bcD.ca<

【答案】D

【分析】比較a、6、c的大小關(guān)系，利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷各選項(xiàng)的正誤.

【詳解】Ta=log20212022>log20212021—1,0=log20221<b—log20222021<log2022

2022=1,

0=Ini<c=ln2<Ine=1,即0VcV1,

所以，log/<Iogal=0,10ghC>10gfel=0,則log/<loghC,即A錯(cuò)誤；

ccab

a>b,0<c<1,所以，logcCi<logch,a>b,c<c,即BC都錯(cuò)誤，D正確.

故選：D.

【變式2-1]2.(2022春?天津北辰?高三天津市第四十七中學(xué)?？奸_學(xué)考試)定義在R上的

函數(shù)"久)=sinx+2久，若a=fg),b=/(lnV2),c=/(￡)，則比較a,6,c的大小關(guān)系為

()

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.b>a>c

【答案】C

【分析】由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)得以1n五,屋1的大小，由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，然后由單調(diào)性比較

大小.

【詳解】由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)知ln&<In^=I1，e13>l,

11

所以ln&<5<e3

/0)=cosx+2>。恒成立，/1(x)在R上是增函數(shù),所以6<a<c.

故選：C.

【變式2-1]3.(2023?全國?高三專題練習(xí))若函數(shù)y=f(x)是R上的奇函數(shù)，又y=f(x+1)

為偶函數(shù),且一1W1時(shí),[/(x2)(%2-xi)>0,比較f(2017),f

(2018),f(2019)的大小為()

A.f(2017)</(2018)</(2019)B.f(2018)</(2017)<f(2019)

C./(2018)</(2019)</(2017)D./(2019)</(2018)</(2017)

【答案】D

【分析】由題意可知，函數(shù)y=f(x)的周期r=4,再由當(dāng)一1w句<及w1時(shí),

[/(x2)-/(%i)](x2-%力>。可知函數(shù)y=f(%)在[一1,1]上為增函數(shù)，然后計(jì)算比較即可.

【詳解】???函數(shù)y=f(久)是R上的奇函數(shù)，又y=f0+1)為偶函數(shù)，

???/(-%)=-/(%),f(-x+l)=/(x+l),

???f(X)=f(久+4),即函數(shù)y=/'(X)的周期T=4,

-l<x1<x2<10^,x2->0,[/(應(yīng))一/(%1)](>2—右)>0,

???/(%2)-7(X1)>。即f。2)>函數(shù)y=f。)在[—L1]上為增函數(shù)，

f(2017)=f(1+4X504)=/(I),/(2018)=f(2+4X504)=f(2)=f(0),

/(2019)=/(-1+4x505)=/(-1),

???f(2019)<f(2018)<f(2017).

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，考查邏輯思維能力和運(yùn)算能力，屬于?？碱}.

【變式2-1】4.(2023?安徽亳州?高三校考階段練習(xí))我們比較熟悉的網(wǎng)絡(luò)新詞，有

"yyds"、"內(nèi)卷"、"躺平"等，定義方程fO)=r。)的實(shí)數(shù)根x叫做函數(shù)人久)的“躺平

點(diǎn)”.若函數(shù)g(x)=e"-/i(x)=In%,卬⑺=2023x+2023的“躺平點(diǎn)”分別為a,b,

c,則a,b,c的大小關(guān)系為()

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>a>bD.c>b>a

【答案】B

【分析】根據(jù)“躺平點(diǎn)"新定義，可解得a=l,c=0,利用零點(diǎn)存在定理可得be(l,e)，即可

得出結(jié)論.

【詳解】根據(jù)“躺平點(diǎn)”定義可得9(a)=g'(a),又g'(x)=/—1；

所以e°—a=—1,解得a=1；

同理h'(x)=I，SPlnZ?=i;

令巾(x)=lnx-i,則=§++>0,即爪(久)為(0,+8)上的單調(diào)遞增函數(shù)，

]

又小(1)=-1<Ojn(e)=1-g>0,所以巾(%)在(l,e)有唯一零點(diǎn)，即6e(l,e)；

易知W'Q)=2023,即9(c)=2023c+2023=0(c)=2023,解得c=0;

因此可得6>a>c.

故選：B

題型3構(gòu)造差與商比較大小

中―蜘#占

(1)作差法：作差與。作比較；

(2)作商法：作商與1作比較(注意正負(fù))；

【例題3】(2022?全國?高三專題練習(xí))若x,y,z是正實(shí)數(shù)，滿足2x=3y=5z,試比較

3x,4y,6z大小()

A.3x>4y>6zB.3x>6z>4y

C.4y>6z>3xD.6z>4y>3x

【答案】B

【解析】令2x=3〃=5z=t,則t>l,x=瞿，y=詈，z=置,利用作差法能求出結(jié)果.

【詳解】：x、V、Z均為正數(shù)，且2X=3>=5Z,

令2工=3〃=5z=t,貝[]t>1,

故X=log2t=假，y=log3t=魯，Z=log5t=魯，

-'-3x~6z=3(蕾-鬻)=31Sig2jg584)>°-即3x>6z;

6z-4y=2落一第=考產(chǎn)〉。，即6z>4y,

即3久>6z>4y成立,

故選：B.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：

(1)將指數(shù)式轉(zhuǎn)化為對數(shù)式；

(2)利用作差法比較大小.

【變式3-1】1.已知正數(shù)x,y,z滿足xlny=yez=zx,則x,y,z的大小關(guān)系為()

A.x>y>zB.y>x>zC.x>z>yD.以上均不對

【答案】A

【分析】將z看成常數(shù)，然后根據(jù)題意表示出x,y,再作差比較出大小即可

【詳解】解：由xlny=yez=zx,得xlny=zx,則z=Iny,=ez,

所以ez.ez=zx,所以x=

令f(z)=ez—z(z>0),則尸(z)=ez—1>0,

所以函婁好(z)在(0,+8)上單調(diào)遞增，所以f(z)>/(0)=e。—0=1,

所以ez>z,即y>z

所以x—y=?_ez=三空=生/>0,

所以久>y,

綜上％>y>z,

故選：A

2

【變式3-1】2.(2023?全國?模擬預(yù)測)已知a=2e而，=ee,c=&，試比較a,b,c

的大小關(guān)系為()

A.b>c>aB.b>a>c

C.c>a>bD.c>b>a

【答案】B

【分析】先利用Inx常見的不等式，估計(jì)出ln2的范圍，精確估計(jì)出1.73〈訴＜1.8,然后利

用作商法比較大小.

【詳解】先證明兩個(gè)不等式：

(1)21nx<x—1(x>1),設(shè)/(%)=21n%—%+*%>1),貝！]

f(x)=|-l-i=-g-l)2<0(%>l),即-x)在(1,+8)上單調(diào)遞減，故

/(%)</(I)=0,即21nx<%—|(x>1)成立

(2)lnx>^(x>l),設(shè)g(x)=lnx—等(x〉l),貝

9'(乃=?一高=竟券>0(尤>1),即9(嗎在。,+8)上單調(diào)遞增，故

9(￡)>9(1)=0,即Inx>>1)成立

再說明一個(gè)基本事實(shí)，顯然3<n<3.24,于是1.73<遮<訴<1.8.

由(1)可得，取%=2,可得21n2<1.5<=>ln2<0.75<=^e0,75>2;

由(2)可得，取x=2,可得ln2>g,再取x=(可得1岐>：>0.27,即e。"<g=e-°-27

3

>7

!=矗=%二>萼>1，顯然a>。，于是6>a；

￡=-^p=蹤詈<3e：、"<e2-Vrr-0.27_ei.73-v^<e°=1(顯然a>0,于是c<a.故6>a

>c.

故選：B

-1

【變式3-1]3.若。<bVa<2%=a+beb,y=b+aea,z=b+aeb,貝(]()

A.x<z<yB.z<x<y

C.z<y<xD.y<z<x

【答案】A

【分析】利用作差法，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)可得結(jié)果.

bab

【詳解】=a+befy=b+ae,z=b+ae,

:.y—z=a(ea—eb)

ab

又a>b>0,e>lz:.e>e

'y>z

bh

z-x=(6-a)+(a-b)e=(a-/?)(e-l)z

又a>b>0,eb>l

:.z>x

綜上：x<z<y

故選：A

【變式3-1】4.(2023?貴州貴陽校聯(lián)考三模)已知正實(shí)數(shù)a,瓦吩別滿足a?=1b=ln2,

c=竽，其中e是自然常數(shù)，貝必瓦c的大小關(guān)系為()

A.a>c>bB.a>b>cC.b>c>aD.b>a>c

【答案】A

【分析】利用作商法可比較出a,c大小關(guān)系；可構(gòu)造函數(shù)/(x)=器，將a力和仇c大小關(guān)系的比

較轉(zhuǎn)化為f(2)/(e)和f(e2)/(8)大小的比較，利用導(dǎo)數(shù)可求得f(x)單調(diào)性，從而比較出大小

關(guān)系.

【詳解】由次=翡：。=焉..*=/條=平,

e>Q)=v??,>Ve>i，,■>c=^>1,又c>0,

人kInxix?——2—In%

令/a)=五，則roc=皿—n=豆豆，

???當(dāng)Xe(022)時(shí),r(x)>0;當(dāng)xeg2,+8)時(shí)，尸(x)<o；

???f(X)在(0,e2)上單調(diào)遞增，在(e2,+8)上單調(diào)遞減；

??■/(e)>/(2),即母=上>借，.,噂>ln2,即a>b;

且小2)>/(8),即詈=|>翳=翳，，ln2〈甯，即6<C；

綜上所述：a>c>b.

故選：A.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性比較大小的問題；解題關(guān)鍵是能

夠根據(jù)所給數(shù)字的特征，將問題轉(zhuǎn)化為/(%)=稱的不同函數(shù)值的比較問題，從而利用導(dǎo)數(shù)

求得函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性得到大小關(guān)系.

題型4構(gòu)造函數(shù)比較大小

【例題4】(2023?全國?高三專題練習(xí))下列大小比較中，錯(cuò)誤的是()

e3e3ene713n71

A.3<e<nB,e<rt<eC.n<e<D.n<e<3

【答案】D

【分析】對于選項(xiàng)D,構(gòu)造函數(shù)/(久)=與，得到-x)</(e)=(令x=號,得到/>e\所

以選項(xiàng)D錯(cuò)誤；

對于選項(xiàng)A,在f(x)W(中，令x=手，得到酒>e3.所以選項(xiàng)A正確；

對于選項(xiàng)B,在f(x)W；中，令x=兀，貝啦e<屋，所以選項(xiàng)B正確；

對于選項(xiàng)C,e"<3兀，所以游<e"<3",所以選項(xiàng)C正確.

【詳解】解：對于選項(xiàng)D,構(gòu)造函數(shù)/(%)=*所以/(乂)=審，

所以當(dāng)0<x<e時(shí)，f(x)>0,函數(shù)/'(%)單調(diào)遞增;當(dāng)％>e時(shí)，/(久)<0,函數(shù)/1(%)單調(diào)

遞減.

所以f(%)</(e)=(當(dāng)且僅當(dāng)x=e時(shí)取等)

e2

則令久=9，則??<；化簡得Inzr>2—康，故3ln?r>6>6—e>兀，

故In兀3>兀，故兀3>/，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤；

對于選項(xiàng)A,3e<f（3）辱〈詈,;.3e<e3,

在〃x）向中，令"手,則與<占化簡得1加>2-1故eln/r>e（2。>2.7x（2—等

7T

）>2,7x（2-0.88）=3.024>3,

所以elriTT>3,ln〃e>1g3,.,?游>e3.所以3e<e3<冰，所以選項(xiàng)A正確；

對于選項(xiàng)B,在/⑺■中，令無=%則誓<詈,；.兀e<e\所以e3<游<e,所以選項(xiàng)B

正確；

對于選項(xiàng)C,e"<3",所以酒<e7r<3。所以選項(xiàng)C正確.

故選：D

19113139

【變式4-1]1.（2022?全國?高三專題練習(xí)）比較a=#,b=^e-,c=點(diǎn)兩（e為自然對數(shù)

的底數(shù)）的大小為（）

A.a>b>cB.c>b>aC.c>a>bD.a>c>b

【答案】A

【分析】根據(jù)這三個(gè)數(shù)的結(jié)構(gòu)，構(gòu)造函數(shù)'=玩2-”,再用導(dǎo)數(shù)法判斷其單調(diào)性，然后利用

單調(diào)性判斷.

【詳解】根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)丁=斑2-3

所以V=（1-%）e2-x,

當(dāng)0<x<1時(shí)/=（1—x）e2~x>0

所以y=xe2T在（0,1）上遞增，

因?yàn)?日>擊

所以a>b>c

故選A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了比較數(shù)的大小，構(gòu)造函數(shù)，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性等問題，還考查了

運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.

1.In2

【變式4-1】2.(2023?遼寧?大連二十四中校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知a=(丁乃=律廣,c=

ln3

(增試比較a,仇c的大小關(guān)系()

A.a<b<cB.b<a<c

C.a<c<bD.c<b<a

【答案】c

【分析】根據(jù)三個(gè)指數(shù)的底數(shù)的形式，通過構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)判斷其大小，再根

據(jù)三個(gè)數(shù)的形式構(gòu)造新函數(shù)，通過取對數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)判斷其單調(diào)性，最后利用單調(diào)

性判斷即可.

【詳解】設(shè)f⑺=等a>0)")=等，

當(dāng)x>e時(shí),r(x)<0,f(%)單調(diào)遞減,

所以有f(e)>f⑶>f(4),

所以「詈〉吟

設(shè)g(%)=xx(x>O)^lng(x)=x\nx,

設(shè)y=%ln%=>y'=Inx+1,

當(dāng)ov%<:時(shí)，y'<0,函數(shù)y=單調(diào)遞減,

因?yàn)椋?gt;號>竽>0,

所以1電。<in［娉)］<1電(叨

因?yàn)楹瘮?shù)y=Inx是正實(shí)數(shù)集上的增函數(shù)，

1ln3ln4ln2

即QF<停尸<=（學(xué)）=，所以a<c<b,

故選：C

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)所給指數(shù)的底數(shù)和指數(shù)的形式，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)是解題

的關(guān)鍵.

【變式4-1】3.（2023?全國?長郡中學(xué)校聯(lián)考二模）設(shè)實(shí)數(shù)a,b滿足1001。+1010^=

2023。，1014a+1016*=2024\則a,b的大小關(guān)系為（）

A.a>bB.a=bC.a<bD.無法比較

【答案】C

【分析】先假設(shè)a2比再推理導(dǎo)出矛盾結(jié)果或成立的結(jié)果即可得解.

ah

【詳解】假設(shè)a2b,貝!JlOlO。21010乙10i4>1014,

由1001。+1010萬=2023a得1001。+1010a>2023a今（瑞）°+（蜷）°>1,

因函數(shù)/（比）=（瑞）'+（黑）"在R上單調(diào)遞減，又/。）=瑞+筮=費(fèi)<1，則必。

）>1>/（1）,所以"1；

&

由1014。+1016=2024b得10140+1016b<2024b=（*）"+（黑）”<1,

/、z1014xX./1016、X—ci_x、R、y、TL/a、1014,10162030、..

因函數(shù)gO）=（詔）+（謝）在R上單倜遞減，又9（1）=耐+痂=赤？>1，貝mi叼仙

）<1<5（1）,所以匕>1；

即有a<1<b與假設(shè)a>b矛盾，所以a<b,

故選：C

【變式（河南開封?？寄M預(yù)測）若2則瓦的

4-1]4.2023??a=e0-,b=<2,c=In3.2,a,c

大小關(guān)系為（）

A.a>b>cB.c>b>a

C.b>a>cD.a>c>b

【答案】D

【分析】根據(jù)結(jié)構(gòu)，構(gòu)造函數(shù)y=ef-t-l,利用導(dǎo)數(shù)證明出e'>t+l,利用單調(diào)性判斷

出a>c;令外功=鼠—蜜匕利用單調(diào)性判斷出c>b,即可得到答案.

【詳解】記、=e'一t一1,因?yàn)閥'=才一1,

令y>o,解得t>o；令y<o,解得t<o；

所以y=ef-1-1在(一8,0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以ymm=e0—0—1=0,所以e=>t+l,

所以a=e"?>0.2+1=1.2>V1,2=b,a>1.2=|ne1,2>c=In3.2,

因?yàn)?e12)5=e6>(2.7)6x387.4>(3,2)5?335,5,所以e、2>3,2,即a>c;

令f8=In%—給“e(o,+8),>0,

所以f(%)在(0,+8)單調(diào)遞增，/(I)=0,

所以當(dāng)久>1時(shí)，f(x)>0,即Inx>等，

所以In3.2=In2+lnl.6>+*>琮=

又1<1,2<1,21,1<b=V12<1,1,所以c>1,1>b.

故a>c>6.

故選：D.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查比較大小，解答的關(guān)鍵是結(jié)合式子的特征，合理構(gòu)造函數(shù)，利

用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷.

題型5放縮法比較大小

通過構(gòu)造函數(shù)比較大小，要比較大小的幾個(gè)數(shù)之間可以看成某個(gè)函數(shù)對應(yīng)的函數(shù)值，我們只

要構(gòu)造出函數(shù)，然后找到這個(gè)函數(shù)的單調(diào)性就可以通過自變量的大小關(guān)系，進(jìn)而找到要比較

的數(shù)的大小關(guān)系.有些時(shí)候構(gòu)造的函數(shù)還需要通過放縮法進(jìn)一步縮小范圍.在本題中，通過構(gòu)

【答案】a<b<c

【分析】通過構(gòu)造函數(shù)f(x)=%—sinx,利用其單調(diào)性得到a=sing<1再通過作差與零

進(jìn)行比較，得出b與伊勺大小關(guān)系，再通過b,c與1進(jìn)行比較，判斷出b<c,進(jìn)而得到結(jié)果.

【詳解】令/'(%)=x-sinx,r(%)=1-cos%>0恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)％=2fcn(fceZ)取等號，

所f(x)=x-sinx是增函數(shù)，

當(dāng)x6(0,+8)時(shí)，/(%)=%-sinx>/(0)=0,即x>sinx,所以a=sing<g,

111__1

又6—W=lg3—§=Ig3—|giou又因?yàn)?7>10,所以3>10］，故由y=Igx的單調(diào)性知,

Ig3>Igiol所以。一!>0,從而b>a,

1

又易知b<1,又由函數(shù)y=2工的單調(diào)性知，c=2號>2°=1,所以a<b<c.

故答案為：a<b<c

【變式5-1】1.已知a=e°L。=嗤+1,c=VL2,則它們的大小關(guān)系正確的是()

A.b>a>cB.c>b>aC.a>c>bD.a>b>c

【答案】C

【分析】構(gòu)造函數(shù)f(%)=Inx+1—%可證b<c,又lnV12+l<V12<1.1,可得InVl》<0.1z

即可證a>c.

【詳解】由b=竽+1=lnVL2+1

I

令/(x)=in比+1—比，貝!Jf'(x)=Y-1,當(dāng)％e(o,i),f(x)>0;當(dāng)％e(i,+8),/'(%)<0;

所以/(x)=Inx+1-X在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減，且/(I)=0

則/(VI②<0,因此Ing+1-V12<0,所以b<c

又因?yàn)镃=V12<1.1,所以lnV17+1<V12<1.1,得<0.1

故VI》<e01,有a>c

故選：C

【變式5-1】2.(2022?湖南?校聯(lián)考模擬預(yù)測)若a=y^e5,b=或,c=ln5,(e

=2.71828-)試比較a,b,c的大小關(guān)系()

A.a>b>c

B.b>a>c

C.a>c>b

D.b>c>a

【答案】D

【分析】先估算出e5,進(jìn)而求出a的范圍，再由1.642<e求出b的范圍，最后構(gòu)造函數(shù)估算

出c即可求解.

【詳解】由e=2.71828…得e2<7.5,4^(e5<7,5x7,5x2.72=153,又1.64x1.64=

-1

2.6896<e,故俞e5<1.6<Vi，

由常用數(shù)據(jù)得ln5X1.609,下面說明ln5?1.609,令/(x)=ln(%+1)-舞,(⑴=擊—

(2久+6)(4汽+6)—4(久2十6支)4汽3

(4x+6)2-(x+l)(4x+6)2'

當(dāng)xe(—1,0)時(shí)，/(%)>0,f(x)單增，當(dāng)久e(0,+8)時(shí)，>⑺<0,/(工)單減,則八X)max

=/(0)=0,

則ln(x+l)w烹鬻,則ln5=21n2+In*ln2=In償x^jx^jx…X意)=ln(l+白+In

(l+±)+-+ln(l+±),

令。(無)=需，則ln2xg島)+gg)+…+g島”0.6932,ln1=ln(|x^)=ln(l+1)

+ln(l+J

ln|xgQ+?0.2232,貝!Jln5=2In2+ln|?2X0,6932+0.2232?1.6096,綜上，

b>c>a.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查指數(shù)對數(shù)的大小比較，關(guān)鍵點(diǎn)在于通過構(gòu)造函數(shù)求出也5的范圍，放

縮得到ln(x+1)<耨,再由至2=ln(l++ln(l+冷+…+ln(l+表)和尾=In

(1+1)+ln(l+/結(jié)合ln5=21n2+尾即可求解.

【變式5-1]3.已知a=sin20。力=>=則它們的大小關(guān)系正確的是()

A.c<a<bB.a<c<bC.c<b<aD.b<c<a

【答案】A

【分析】由%>。時(shí)，sinx<%判斷a,6的大小關(guān)系，作出y=sinx與y=|x的圖象判斷a,c

的大小即可.

【詳解】20°=3故a=si%

因?yàn)?>0時(shí)，sinx<x,

UL|\|7T7T7

所以sm§<9<—,

因?yàn)閒(x)=sinx-|x中/'(力=0.

Q______

作出y=sinx與y=了在同一坐標(biāo)系中的圖象，如圖，

由數(shù)形結(jié)合可知sinx>也在(04)恒成立，所以si詔>

所以c<a<b,

故選：A

【變式5-1]4.已知實(shí)數(shù)a.6滿足a=log23+log86,6a+8。=10%則下列判斷正確的

是()

A.a>2>bB.b>2>aC.a>b>2D.b>a>2

【答案】C

【分析】根據(jù)對數(shù)和指數(shù)的單調(diào)性可判斷a>2,b>2;在構(gòu)造函數(shù)/")=6工+爐-10，,

%>2,再根據(jù)換元法和不等式放縮，可證明當(dāng)x>2時(shí)，/0)=6，+8工-10,<0,由此即

可判斷a力的大小.

【詳解】因?yàn)閍=log23+log86=log23+|log2(2X3)

x=2

=^log23+1>^log22V2+|=il+|i>，所以a>2；

由6a+8。=10>且a>2,所以6a+8。>36+64=100,所以6>2,

令f(%)=6X+8X—10x,x>2,

令t=x—2>0,則x=t+2,

則/'(x)=6X+8X-10x,x>2等價(jià)于g(t)=36X6f+64X8￡-100X10、t>0;

又g(t)=36X6t+64X8f-100X10f<100X8f-100X10f<0,

所以當(dāng)久>2時(shí)，f(x)=6x+8x-10x<0,

故6a+8。=10b<10a,所以a>b>2.

故選：C

題型6導(dǎo)數(shù)法

【例題6】(2022秋?河北保定?高三?？茧A段練習(xí))已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，其導(dǎo)

函數(shù)為廣。），且不等式廣。）＞f（久）恒成立，則下列比較大小錯(cuò)誤的是（）

A.e/(l)</(2)B./(O)>ef(-i)C.e/(-2)>/(-1)D.e7(-1)</(l)

【答案】C

【分析】由已知條件可得弋華>0,所以構(gòu)造函數(shù)9(“)=%,求導(dǎo)后可得9'(x)>0,

從而可得g(X)在R上單調(diào)遞增，然后分析判斷

【詳解】由已知r(x)>n>),可得弋用>0,

設(shè)g(x)=%,

,?23>0,因此g(x)在R上單調(diào)遞增，

所以g(l)<g(2),9(-1)<9(0),9(-2)<5(-1),5(-1)<5(1)，

pn/(i)f⑵f(-i)f(o)f(-2)“7f(-i)rm

所以e/⑴<所2),e/(-i)</(0),e/(-2)<所-l),e2/(-1)<所D，

所以ABD正確，C錯(cuò)誤，

故選：C.

【變式6-1J1.(2022?安徽?六安二中高三階段練習(xí))定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足xe(o,+oo)

時(shí),都有不等式f(x)—xf'(x)>0成立，若a=log32f(噫3),b=物俘),c=ln^f(|n^),

則a,b,c的大小關(guān)系是()

A.a<b<cB.a<c<bC.b>a>cD.a>b>c

【答案】A

【分析】根據(jù)f(x)—xf'(x)>0構(gòu)造函數(shù)g(x)=%可得函數(shù)為減函數(shù)，又由f(x)為奇函數(shù)可知

g(x)為偶函數(shù)，據(jù)此可比較a,b,c大小.

【詳解】???當(dāng)xe(0,+8)時(shí)不等式颯―xf'(x)>0成立，??.(號)'=辿等<0,

匹

西2

???g(x)=竽在(0,+8)上是減函數(shù).匹

則a=log32f(log23)=不方=g(log23),2

2

g(-|),又???函數(shù)y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù),

???g(x)=等是定義在R上的偶函數(shù)，則g(—》=g(1),

...噫3>1>乎>[g(x)在(0,+8)上是減函數(shù),

g(log23)<g(y)<g(|),則a<b<c,

故選：A.

【變式6-1】2.(2022?山東聊城一中高二期中)定義在(0,勺上的函數(shù)f(x),f'(x)是f(x)的導(dǎo)函

數(shù)，且f'(x)<—tanxf(x)成立，a=2fg),b=V?G),c=^②，則a,b,c的大小關(guān)系為

()

A.b>a>cB.c>b>aC.c>a>bD.a>b>c

【答案】B

【分析】由條件可得cosx-f'(x)+sinx-f(x)<0,考慮構(gòu)造函數(shù)g(x)=黑，結(jié)合導(dǎo)數(shù)運(yùn)算公

式和導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系由條件證明函數(shù)g(x)在(0,勺上的單調(diào)遞減，再根據(jù)函數(shù)的

單調(diào)性比較函數(shù)值的大小即可.

【詳解】因?yàn)閤e(0,?時(shí)，cosx>0,

所以f'(x)<—tanx.f(x)可化為f'(x)+親.f(x)<0,即cosx.f'(x)+sinx?f(x)<0,設(shè)g(x)=

黑，則g(x)=(黝=處鬻嗎所以當(dāng)x?o④時(shí)，g(x)<o,

所以函數(shù)g(x)在(0$)上的單調(diào)遞減，因?yàn)橹?lt;^<J,所以g&)>g?>g?

所以旻〉^>裳即學(xué)G)>收②>2f(i),

643

所以c>b>a,

故選：B.

【變式6-1】3.(2022?四川南充一模)設(shè)定義R在上的函數(shù)y=f(x),滿足任意X6R,都

有f(x+4)=f(x),且xe(0,4]時(shí)，xf'(x)>f(x),則f(2021),等咨然區(qū)的大小關(guān)系是

,f(2022)f(2023)-f(2022)f(2023)

A.f(2021)<B.<rf(2021)<

cf(2023)f(2022)一f(2023)上f(2022)

C.<fr(2021)D.<f(2021)<

【答案】A

【分析】利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)以及函數(shù)的周期性確定正確答案.

【詳解】依題意，任意X6R,者隋f(x+4)=f(x),所以f(x)是周期為4的周期函數(shù).

所以f(2021)=f(D粵=啜等=等.

構(gòu)造函數(shù)F(x)=號(0<x<4),F'(x)=">0,

所以F(x)在區(qū)間(0,4］上單調(diào)遞增，所以F(l)<F(2)<F(3),

即苧〈竽〈等，也即f(2021)<*<中.

故選：A

【變式6-1】4.(2021?陜西漢中模擬預(yù)測(文))已知定義在R上的函數(shù)f(x),其導(dǎo)函數(shù)為

f1(x),當(dāng)x>0時(shí)，送”的>0,若2=竽為=警c=等，貝g,b,c的大小關(guān)系是()

A.c<b<aB.c<a<b

C.b<a<cD.a<b<c

【答案】D

【分析】根據(jù)題意當(dāng)x>0時(shí)，送萼>0,結(jié)合導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則可構(gòu)造函數(shù)g(x)=%由

此判斷其單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷a,b,c的大小.

【詳解】設(shè)g(x)=?,則g(x)=#*,由題意知當(dāng)x>0時(shí)，止*>0,即g(x)>0,

故g(x)=生X>0時(shí)單調(diào)遞增，故g⑵<g(n)<g(5),即竽<平<警.?.a<b<c,

故選：D.

1.(2022秋?黑龍江哈爾濱?高三哈爾濱三中?？茧A段練習(xí))已知f(x)=2022--2022-x-In

(Vx2+1-x),當(dāng)0<x<5，a=cosx,b=Incosx,c=ecosx,試比較f(a),/(/?),/(c)

的大小關(guān)系()

A./(a)</(c)<B./(b)</(c)</(a)

C./(c)</(a)<f(b)D.f(b)<f(a)</(c)

【答案】D

【分析】根據(jù)函數(shù)f(x)的單調(diào)性及利用xe(O,l)0yt,ln%<%<e，判斷a,b,c的大小即可得解.

x

【詳解】f(x)=2022-2022T-in(V^TT-x)=2022,-2022T+也(7^1+%),

???/(x)在R上是增函數(shù)，

由xG(0,1)時(shí),Inx<x<e*知，b<a<c,

???/(￡>)</(a)</(c),

故選：D

2.(2023遼寧沈陽?東北育才學(xué)校?？寄M預(yù)測)設(shè)。=短，b=為啥，c=Ing,則a,

b,c的大小關(guān)系正確的是()

A.C<a<bB.c<b<a

C.b<c<aD.a<b<c

【答案】C

【分析】構(gòu)造函數(shù)f(x)=ln(x+l)—*in久，求導(dǎo)確定單調(diào)區(qū)間，得到C>b,再構(gòu)造函數(shù)g(

x)=f-ln(x+1),求導(dǎo)確定單調(diào)區(qū)間得到a>c,得到答案.

QI1Q

【詳解】設(shè)/(%)=ln(x+l)--sinx,0<%<-,則尸(x)=---cosx,

0<%<|,|<擊<1,|cosx<I，故尸(x)>0,f(x)在(0.)上單調(diào)遞增,

故f(x)>f(0)=0,當(dāng)。<x<爭寸,ln(x+1)>|siiu恒成立，

11\6131

令

即

貝H

X6!n>n->

-一-J---C

o,376o4si

6060

設(shè)g(x)=￥—In(久+1),O<X<^,則9'(幻=點(diǎn)一

又x—6Vx+1=(V%)2—6<x+1=(Vx—3)2—8,

故x-6V%+1在爪6卜,需)上單調(diào)遞減，x-67%+1>^-^=+1>0,

故g，(x)>0,則函數(shù)g(x)在(0,2)上單調(diào)遞增，即g(x)>g(0)=0,

故當(dāng)。<久時(shí)，￥>皿久+1)恒成立，

令》=表?0總),則短=/>喘即a>c,

綜上所述：b<c<a.

故選：C

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)比較函數(shù)值的大小問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力,

轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小是解題的關(guān)鍵.

3.(2023?四川成都?樹德中學(xué)?？寄M預(yù)測)已知f(x)、g(x)分別為夫上的奇函數(shù)和偶函數(shù),

且/'(久)+g(久)=e'+cosx,a=2ln(sin"+cos*)，b=logi3,c=|Og3|,則9(a)、9

(匕)、9(c)大小關(guān)系為()

A.g(c)<9(a)<g(6)B.9(a)<g(b)<5(c)

C.g(a)<g(c)<g(b)D.g(b)<g(a)<g(c)

【答案】C

【分析】利用函數(shù)奇偶性的定義求出函數(shù)f(x)、g(x)的解析式，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)g(x)在

(0,+8)上的單調(diào)性，并比較a、網(wǎng)、|c|的大小關(guān)系，結(jié)合函數(shù)g(x)在(0,+8)上的單調(diào)性可

得出g(a)、g⑻、g(c)的大小關(guān)系.

【詳解】因?yàn)閒O)、g。)分別為R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且/(x)+g(x)=e"+cos久,

則f(-%)+9(-%)=er+cos(-%),

f(x)=/

x

所以,/O)+g(x)=e+cos%,所以,x_|_—

—/(%)+g(%)=e-x+cos%g(x)=---+cosx

當(dāng)x>。時(shí)，g'(x)=-----sinx,令h(x)=以￡----sinx,其中x>0,

則〃(x)=---cosx>Vex-e~x~cosx=1—cosx>0,函數(shù)/i(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,

則h(x)>/i(0)=0,因此函數(shù)g(x)在(0,+8)上為增函數(shù),

因?yàn)閟in工+cos"=V2sin^+￡)=V2sinf=乎,

所以，a=21n孚=ln|=ln《<In正=g,\b\=logi3=log43>log42=

|c|=jlogsj|=1唯2>log3V3=I，

(ln3)2-(ln國>

因?yàn)榫W(wǎng)一回=需一ln2_(In3)2-ln2?ln4>0

ln3In3-ln4In3-ln4

所以，|fe|>|c|>a>0,所以，9(a)<9(|c|)<g(網(wǎng)),

因?yàn)楹瘮?shù)9(x)為R上的偶函數(shù)，故9(a)<5(c)<g(b).

故選：C.

4.(2023秋?湖北?高三校聯(lián)考階段練習(xí))記。=2。2返位，b=202V2023,c=202V2023,貝U

a,b,c的大小關(guān)系是()

A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.b>a>c

【答案】D

1

【分析】由函數(shù)=上單調(diào)遞增，可判斷a<b,再對a、c兩邊取對數(shù)，由函數(shù)

g(x)=黑在(e2,+8)單調(diào)遞減，可得c<a,從而得解.

1

【詳解】設(shè)f(x)=X麗，則/。)在R上單調(diào)遞增，

故―2022)<革2023),即a<b；

由于Ina=-^-ln2022,lnc=111n2023,

設(shè)9(x)=察，x>e2