二次根式的運算的四種類型（原卷版）-2024-2025學(xué)年人教版八年級數(shù)學(xué)下冊

二次根式的運算的四種類型

類型一：利用基礎(chǔ)法則進行計算

類型二：運用乘法公式進行計算

類型三：運用等式規(guī)律進行計算

類型四：與二次根式有關(guān)的化簡求值運算

類型一：利用基礎(chǔ)法則進行計算

1.計算：

⑴2^/12+V48-V27；(2)+(2-兀)°+|1-V3卜

⑶(2>/27108)-r-V12-(4)-)-V(V3-2)25

(5)(V48V3W24XV45-

⑹(J)?-每+4(-3)2；⑺病xa正分

⑻退凈一毫心又正.(9)(2^/12-+V27)^2^3.

(10)V18-

類型二：運用乘法公式進行計算

2.計算：

⑴(V2-l)2+2V8-(V5-2)(V5+2);

(2)(2W3)2-(3-272)(3+2>/2);

⑶(A/5~V2)(V5,+V2)-(V5-1)??

⑷(3V2-2V3)(3V2+2V3)-(V2-V3)2-

⑸(2\^-7)(27^+7)-(遍-3)2?

⑹(2V3-1)(273+1)-(1-2V3)2-

⑺(2V5-3V3)2-(4+3>/2)(4-3>/2);

⑻(V3+V2)2-(V7+V2)(V7-V2)-

類型三：運用等式規(guī)律進行計算

3.閱讀下列材料，然后解答下列問題:

V2+1(V2+1)(V2-1)

1二IX

M啦;正皿)皿用)

1-1義避-2)二產(chǎn)

V5+2-(V5+2)(V5-2)-

以上這種化簡的方法叫分母有理化.

77+V6

(2)1("為正整數(shù))=

Vn+1+Vn

(3)化簡：-7=i—+y—ly—+廠1廠+…+/1/=_________?

V2+1V3W2V4+V3V100W99

化簡下列式子的值：-^..111.

(4)+=+++

V3+1V5W3V7W5V99W97

4.【閱讀材料】

在進行二次根式化簡時，我們有時會碰上如32這樣一類的式子，其實我們還可以將其

7TV3+1

33xV53G[2[2X3V622X(V3-1)

進一步化簡

=

而飛乂娓廿；真■3B與；V3+1(V3+1)(V3-1)

2"-1)=?-1.以上這種化簡的步驟叫做分母有理化.

(V3)2-12

【解決問題】

(1)仿照上面的解題過程，化簡：.

V7-V6

(2)計算：(-=J—―1尸+；-1；-+-?-+/1/)X(42025+1)-

V2+1V3W2V4W342025W2024

(3)已知aA—l—,b一廠1求。2+y的值.

V3W2V3-V2

12

5.材料閱讀：在二次根式的運算中，經(jīng)常會出現(xiàn)諸如的計算，需要運用分式的基本性質(zhì),

7T,VsW2

二加二

將分母轉(zhuǎn)化為有理數(shù)，這就是“分母有理化”，例如:1

丐;（加）2下

2________2X(V3+V2)2V3+2V22V3+2V2

=273+272.類似地，將分子

V3W2=(V3W2)X(V3W2)=(73)2-(V2)2-

轉(zhuǎn)化為有理數(shù)，就稱為“分子有理化”，例如：近=&=嘩）2=義

1V2V2

北-1二E-1)義(芯+1)=(V^)2-F=3-12

根據(jù)上述知識，請你完成下列問題:

V3V3X(V3+1)-=(V3)2W3-3^3-34V3

（1）比較大小:-1____-1—(埴或“=”）；

3-V7711-3'

(2)計算：---L1L+L1/-+,?,+I1/；

1+V2V2W3V3+V4V2024W2025

(3)若a=~p^—，求5*-10a+15的值.

V3-1

6.有這樣一類題目：將夷王2石化簡，如果你能找到兩個數(shù)〃?、"，使加2+/=。且a土入用將

變成"於+"2±2加小即變成G"土")2,從而使"a土得以化簡.

⑴例如，：5+2V^=3+2+2&=(?)2+(點)2+W^XV3=(V3+V2)2>

：75+2娓=V(6g)2=--------------，請完成填空?

(2)仿照上面的例子，請化簡44-2百;

(3)利用上面的方法，設(shè)A=46+4&，B=V3-V5-求/+8的值.

7.小明在解決問題：已知a='求2a2-8a+l的值.

2^3

他是這樣分析與解的：1_2pfL__=2^

2W3(2W3)(2-V3)

a-2=-J^，(。-2)2=3,*-40+4=3

/.a2-4a=-1,2cr-8a+l=2(a2-4a)+1=2X(-1)+1=-1.

請你根據(jù)小明的分析過程，解決如下問題：

V3+V2，V5W3

(2)化簡:

VilW9V13WilV121W119

(3)若2十^,請按照小明的方法求出4“2-8a+l的值.

V2-1

8.閱讀材料:

材料一：兩個含有二次根式的非零代數(shù)式相乘，如果它們的積不含二次根式，那么這兩個代數(shù)式互為有

理化因式.

例如：正義a=3，(V6W2)(V6W2)=6-2=4.我們稱愿的一個有理化因式是正，娓用

的一個有理化因式是遍+72.

材料二：如果一個代數(shù)式的分母中含有二次根式，通?？蓪⒎肿?，分母同乘分母的有理化因式，使分母

中不含根號，這種變形叫做分母有理化.

1一日小.&+1一（&+1）2萬

例如:-_-32V2

2V32V3XV36'V2-r（V2-l）（V2+l）

解答下列問題:

(1)根據(jù)以上概念直接在橫線上寫出2A/3-遙的一個有理化因式；

(2)若a=——求°3-3a+l的值；

2-V3

(3)請在以下問題①和②任選一個題作答：

①設(shè)實數(shù)x,i滿足(X+VX2+2024)(y+Vy2+2024)=2024,求x+y+2024的值;

3+V3+V6

②化簡:

3-*V3^/6

類型四：與二次根式有關(guān)的化簡求值運算

9.計算：已知，x=2-?，y=2+V3,求/+/一盯的值.

10.已知：x二愿+2，y=-V3+2.計算:

(1)xy；

(2)x^+y2-xy.

y=；,求代數(shù)式x2+3xy+/的值.

2W3

1

12.已知y=7、-,求下列各式的值:

X=7TV2V3W2

(1)x^xy+y2；(2)工巨

xy

13.我們已經(jīng)知道(S3+3)(后-3)=4,因此將—分子、分母同時乘“小石+3”，分母就變成了

V13-3

4.例如：-=J—=―_§(小巴——=8(V13+3)從而可以達到對根式化簡的目

V13-3(V13-3)(V13+3)4

的.根據(jù)上述閱讀材料解決下列問題：

已知—，V".

V5+1V5-1

(1)化簡a,b；

(2)求代數(shù)式2a2+ab+2b2的值.

14.先閱讀下列的解答過程，然后再解答：

形如Um±2'G的化簡,只要我們找到兩個正數(shù)。、b,使0+6="，ab=n,使得(4)2+(五)2=口