等比數(shù)列（解析版）-2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)同步訓(xùn)練（人教B版選擇性必修第三冊(cè)）

第05講等比數(shù)列

01學(xué)習(xí)目標(biāo)

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.能敘述等比數(shù)列和等比中項(xiàng)定義，能夠應(yīng)用定義判斷

1.通過(guò)生活中的實(shí)例，理解等比數(shù)列的概

一個(gè)數(shù)列是否為等比數(shù)列；

念.

2.探索并記憶等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，能夠應(yīng)用它解決等

2.掌握等比數(shù)列通項(xiàng)公式的意義.

比數(shù)列的問(wèn)題；

3.掌握等比數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)，并能解決一些

3.在學(xué)習(xí)和運(yùn)用等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式的過(guò)程中，

簡(jiǎn)單問(wèn)題.

提升數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

02思維導(dǎo)圖

等比數(shù)列的概念

f等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及應(yīng)用

等比數(shù)列的判定或證明

題型V等比中項(xiàng)及應(yīng)用

―—等比數(shù)列性質(zhì)及其應(yīng)用

［等比數(shù)列的單調(diào)性

等比數(shù)列中的最值問(wèn)題

等比數(shù)列的簡(jiǎn)單應(yīng)用

03知識(shí)清單

知識(shí)點(diǎn)01等比數(shù)列的概念

6Z篦+1

一般地，如果數(shù)列｛斯｝從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)之比都等于同一常數(shù)%_即——=］恒成立，則

Cln

稱(chēng)數(shù)列｛四｝為等比數(shù)列，其中4稱(chēng)為等比數(shù)列的公比.

【解讀】

(1)“從第2項(xiàng)起”，是因?yàn)槭醉?xiàng)沒(méi)有“前一項(xiàng)”，同時(shí)注意公比是每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比，前后次序不能點(diǎn)至L

另外等比數(shù)列中至少含有三項(xiàng)；

(2)定義中的“同一常數(shù)”是定義的核心之一，一定不能把“同''字省略，這是因?yàn)槿绻粋€(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,

每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都是一個(gè)與〃無(wú)關(guān)的常數(shù)，但是如果這些常數(shù)不相同，那么此數(shù)列也不是等比數(shù)

列，當(dāng)且僅當(dāng)這些常數(shù)相同時(shí)，數(shù)列才是等比數(shù)列；

（3）若一個(gè)數(shù)列不是從第2項(xiàng)其，而是從第3項(xiàng)起或第〃（〃〉3,〃eN*）項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比

等于同一常數(shù)，則此數(shù)列不是等比數(shù)列；

（4）由定義可知，等比數(shù)列的任一項(xiàng)都不為0,且公比qwO；

（5）不為0的常數(shù)列是特殊的等比數(shù)列，其公比為1。

【即學(xué)即練。下列數(shù)列為等比數(shù)列的是（）

111

A.2,22-3X22,???B.-,――,…

aa2a3

C.S-1,（S—1）2,（S—1）3,…D.0,0,0,…

【答案】B

【解析】A、C、D不是等比數(shù)列，A中不滿(mǎn)足定義，C、D中項(xiàng)可為0,不符合定義.

知識(shí)點(diǎn)02等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

一般地，如果等比數(shù)列｛四｝的首項(xiàng)是死，公比是q,那么等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為

【解讀】

（1）等比數(shù)列的通項(xiàng)公式共涉及ai，q,n,a“四個(gè)量，已知其中三個(gè)量可求得第四個(gè)量.

（2）等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系

U\U\6Z1

等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可整理為a,=-q",而>=一歹（如1）是一個(gè)不為0的常數(shù)一與指數(shù)函數(shù)爐的乘積,

qqq

從圖象上看，表示數(shù)列也/中的各項(xiàng)的點(diǎn)是函數(shù)了="必的圖象上的孤立點(diǎn).

【即學(xué)即練2］（24-25高二上?上海松江?期中）已知數(shù)列｛為｝滿(mǎn)足。用=2%,且%=1,則%=.

【答案】128

【分析】由地推公式得出數(shù)列是等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得到網(wǎng)的值.

【詳解】2%,

數(shù)列｛與｝是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列，

/.%—ad=2,=128.

故答案為：128.

知識(shí)點(diǎn)03等比數(shù)列的單調(diào)性

等比數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)為%,公比為9

。1>0

q的范圍0<^<1q=iq>i0<^<1q=i戶(hù)1

數(shù)列｛為｝的增減

遞減數(shù)列常數(shù)列遞增數(shù)列遞增數(shù)列常數(shù)列遞減數(shù)列

性

【即學(xué)即練31（24-25高二上,上海?期中）數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列，公比為4,"0>1"是"數(shù)列｛6｝是嚴(yán)格增

數(shù)列”的（）條件.

A.充分非必要B.必要非充分

C.充要D.既非充分也非必要

【答案】D

【分析】根據(jù)"g>i與"數(shù)列｛。"｝是嚴(yán)格增數(shù)列”的互相推出關(guān)系判斷屬于何種條件.

【詳解】當(dāng)4>1時(shí)，取9=-2,則%=44=-24<-2=%,顯然｛%｝不是嚴(yán)格增數(shù)列，

所以"4>1"不能推出"數(shù)列｛%｝是嚴(yán)格增數(shù)列"；

當(dāng)數(shù)列｛%｝是嚴(yán)格增數(shù)列時(shí)，設(shè)為=,

當(dāng)4<0時(shí)，｛%｝是擺動(dòng)數(shù)列，不符合要求，所以g>0,

nx

若4>0,貝I]an+l>=axq">alq~oq>1,

nnx

若為<0,則an+i>%=axq>axq~<=>0<q<1,

所以"數(shù)列｛總是嚴(yán)格增數(shù)列"不能推出"0>1";

綜上所述，"0>1"是"數(shù)列｛%｝是嚴(yán)格增數(shù)列”的既非充分也非必要條件，

故選：D.

知識(shí)點(diǎn)04等比中項(xiàng)

如果x,G,y是等比數(shù)列，那么稱(chēng)G為x與y的等比中項(xiàng).

【解讀】（1）在一個(gè)等比數(shù)列中，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)（有窮數(shù)列的末項(xiàng)除外）都是它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的

等比中項(xiàng).

（2）當(dāng)a,6同號(hào)時(shí)，a,6的等比中項(xiàng)有兩個(gè)，異號(hào)時(shí)，沒(méi)有等比中項(xiàng).所以“a,G,6成等比數(shù)列”與“G

=5/茄”是不等價(jià)的.

（3）任意兩數(shù)都存在等差中項(xiàng)，但并不是任意兩數(shù)都存在等比中項(xiàng)，當(dāng)且僅當(dāng)兩數(shù)同號(hào)且均不為0時(shí)

才存在等比中項(xiàng).

【即學(xué)即練4】（23-24高二下,陜西榆林?階段練習(xí)）若。是1與9的等比中項(xiàng)，則實(shí)數(shù)。的值為（）

A.3B.-3C.±3D.9

【答案】C

【分析】由等比中項(xiàng)的性質(zhì)求解.

【詳解】由已知得/=1x9=9,a=±3,

故選：C.

知識(shí)點(diǎn)05等比數(shù)列的性質(zhì)

(1)一般地，如果｛即｝是等比數(shù)列，而且正整數(shù)s,/,p,4滿(mǎn)足s+t=p+q,則=%4.特別地,

如果2s=p+q,則成=4%.

(2)若｛〃“｝是公比為q的等比數(shù)列，則：

?｛can｝(c為任一常數(shù))是公比為q的等比數(shù)列；

②｛|即|｝是公比為團(tuán)的等比數(shù)列；

為常數(shù)，〃6N+)是公比為qm的等比數(shù)列.

(3)若｛a*｝,｛兒｝分別是公比為公,失的等比數(shù)列，則數(shù)列&也｝是公比為0?儀的等比數(shù)列.

【即學(xué)即練5】(23-24高二下?北京大興?期中)已知數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列,若％=2，。2%=32,則用的值為

()

A.-4B.-2

C.4D.16

【答案】D

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)運(yùn)算即可.

32

【詳解】因?yàn)椋啊埃堑缺葦?shù)列，所以%%=的%，所以Q=彳=16.

故選：D.

04題型精講

題型01等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及應(yīng)用

【典例1】(24-25高二上?江蘇鎮(zhèn)江?期中)在等比數(shù)列｛%｝中，若。5=4,%=8,貝U%1=()

A.-32B.-16C.16D.32

【答案】D

【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)即可得出.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為4,

???J=2

a5

4222

au=-q=%?(^)=8x2=32.

故選：D.

【變式1】（23-24高二下?安徽蕪湖?期末）已知數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列，滿(mǎn)足%=1,公比4=2,則%=

（）

A.2B.4C.8D.16

【答案】B

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式結(jié)合已知條件直接求解即可.

【詳解】因?yàn)閿?shù)列｛七｝是等比數(shù)列，滿(mǎn)足%=1,公比4=2,

所以%=a\Q2=1x22=4.

故選：B

【變式2]（24-25高二上?江蘇淮安?期中）若在1和81之間插入3個(gè)數(shù)，使這5個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則該等比

數(shù)列的公比為（）

A.3B.-3C.±3D.±9

【答案】C

【分析】根據(jù)等比數(shù)列定義知81=lx/,求解即得答案.

【詳解】設(shè)這5個(gè)數(shù)組成的等比數(shù)列為｛%｝,公比為4,則q=1,%=81.

a5=a,?,即81=lxq4

解得4=±3

故選：C.

【變式3】（24-25高二上?江蘇?期中）已知等比數(shù)列｛?！埃墓?>1,且滿(mǎn)足勺+*=5,%=2,則4的值

為（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】A

【分析】由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算基本量即可.

【詳解】由于。2+“4=5,%=2,

所以也+曾?兩式相除得

[a｛q=2q2

解得q=2或4=g,

因?yàn)間>i,所以4=2.

故選：A

【變式4】（23-24高二下?遼寧遼陽(yáng)?期末）若等比數(shù)列｛%｝滿(mǎn)足。,4+1=后"（左>1）,則其公比為（）

A.kB.—yfkC.-\/kD.土y/H

【答案】C

【分析】根據(jù)等比數(shù)列｛%｝滿(mǎn)足。,。"+1=左"，得到%+4+2=左5,兩式相比得/,再求得4驗(yàn)證即可.

【詳解】因?yàn)樽?gt;1),

所以等比數(shù)列｛%｝的公比q>0,

aak+

又n+in+2="'>

所以以&!=左=心

aa

?n+l

所以q=五，

即等比數(shù)列｛%｝的公比為現(xiàn).

故選：C.

題型02等比數(shù)列的判定或證明

2

【典例2】(2024高二?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí))己知數(shù)列｛%｝和也｝滿(mǎn)足。]=彳，an+l=-an+n-4,

2=(-1)"(。,-3"+21),其中彳為常數(shù)，〃為正整數(shù).

(1)證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)4,數(shù)列｛%｝不是等比數(shù)列；

⑵試判斷數(shù)列低｝是否為等比數(shù)列.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

(2)答案見(jiàn)解析

【分析】(1)利用反證法，根據(jù),=%%，可得矛盾，即可求解，

2

(2)代入化簡(jiǎn)可得￡+]=-§〃，利用等比數(shù)列的定義，即可求證.

224

【詳角軍】(1),??%+]+〃-4且%=4,2,a3=-A—4.

假設(shè)存在一個(gè)實(shí)數(shù)X,使數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列，

則蠟=%%，即=彳(：2-4),即[萬(wàn)一44+9=1萬(wàn)-44,得9=0，矛盾.

故對(duì)任意實(shí)數(shù)彳，數(shù)列｛%｝不是等比數(shù)列.

(2)...a=(一1)”〃一3"+21),

b1+1aB+1

n+i=(-)"-[_n+x-3(n+1)+21]=(-1)-2?+14^|=(a?-3?+21)=-1fo?,

bx——(2+18),

???當(dāng)X=-18時(shí)，4=0,此時(shí)數(shù)列也｝不是等比數(shù)列；

b2

當(dāng)-18時(shí)，6尸0,止匕時(shí)常1=一鼻（"€江），數(shù)列也｝是等比數(shù)列.

【變式1】（24-25高二上?福建?期中）己知數(shù)列｛%｝各項(xiàng)都是正數(shù)的數(shù)列，下列說(shuō)法正確的是（）

A.若｛%｝是等差數(shù)列，貝吐2"”｝是等差數(shù)列

B.若｛對(duì)｝是等比數(shù)列，貝U｛2%｝是等比數(shù)列

C.若｛%｝是等差數(shù)列，貝|｛2"”｝是等比數(shù)列

D.若｛?！埃堑缺葦?shù)列，貝U｛2?！保堑炔顢?shù)列

【答案】C

【分析】利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義逐項(xiàng)判斷，可得出合適的選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A(yíng)C選項(xiàng)，若數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，設(shè)其公差為1,則（=2%』=2"為正常數(shù)，

所以，數(shù)列｛2%｝是等比數(shù)列，

但2%一2""=2%+"-2%=2""（2"-1）不是常數(shù)，故數(shù)列｛2%｝不是等差數(shù)列，A錯(cuò)C對(duì)；

對(duì)于BD選項(xiàng)，若數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列，設(shè)其公比為4,

則養(yǎng)=2。~%=2%（?。┎皇浅?shù)，故數(shù)列｛2%｝不是等比數(shù)列，

2m-2。"=2的-2%=2。"（2"”（?。?1）不是常數(shù)，故數(shù)列｛2%｝不是等差數(shù)列，BD都錯(cuò).

故選：C.

【變式2】（24-25高二上?廣東東莞?期中）（多選）已知數(shù)列｛《｝是首項(xiàng)為1,公比為3的等比數(shù)列，則

（）

A.［午］是等差數(shù)列B.｛%+「%｝是等差數(shù)列

C.｛1嗎見(jiàn)｝是等比數(shù)列D.｛?！?。用｝是等比數(shù)列

【答案】AD

【分析】由題意得數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式，然后寫(xiě)出每個(gè)選項(xiàng)中對(duì)應(yīng)的數(shù)列的通項(xiàng)公式，再判斷是等差數(shù)列

還是等比數(shù)列.

【詳解】對(duì)于A(yíng),由題意得其包=3,所以數(shù)列目是常數(shù)列，A正確；

%［a?J

對(duì)于B,數(shù)列的｛%｝通項(xiàng)公式為4=3"T,則a"+「a”=3"-3"T=2x3",

所以數(shù)列｛%+「%｝是公比為3的等比數(shù)列，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,logs%=logs所以數(shù)列｛logs。,,｝是公差為1的等差數(shù)列，C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,1M=3"，3"=327,所以數(shù)列。用｝是公比為9的等比數(shù)列，D正確，

故選：AD.

【變式3】(24-25高二上?全國(guó)?課后作業(yè))已知數(shù)列｛%｝中，ai=1,a2=2,2an=a?+2-an+l.

(1)求。3，%，%，并猜想｛%｝的通項(xiàng)公式(不需證明)；

(2)證明：數(shù)列｛。用+%｝是等比數(shù)列.

n

【答案】(1)%=4，-4=8,a5=16,an=2

⑵證明見(jiàn)解析

【分析】(1)先根據(jù)遞推公式得出〃3，%，%，再計(jì)算得出等比的通項(xiàng)公式；

(2)結(jié)合已知應(yīng)用遞推公式,根據(jù)等比數(shù)列定義證明等比數(shù)列.

【詳解】(1)由2%=〃〃+2—%+1得。3=2%+2=4,%=2%+。3=8,。5=2%+。4=16.

結(jié)合%=1,%=2可猜想數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為an=2"、

(2)因?yàn)閍“+2=2a“+?！?1，%=l,a2=2,

所以｛??｝為正項(xiàng)遞增數(shù)列,所以見(jiàn)+i+《產(chǎn)0,

"〃+2+為+1_24+。“+]+%+i_2

a+a

n+ln%+1+4

故數(shù)列｛%+1+%｝是等比數(shù)列.

題型03等比中項(xiàng)及應(yīng)用

【典例3】(2024,安徽馬鞍山?三模)已知數(shù)列｛4｝是公差為2的等差數(shù)列，若1+2,%+2嗎4成等比數(shù)歹U，

則。14=()

A.9B.12C.18D.27

【答案】D

【分析】利用等比中項(xiàng)列式，借助等差數(shù)列通項(xiàng)公式求解即得.

【詳解】由％+2,。4+2,%4成等比數(shù)列，得+2『=(%+2)X%4，

所以(%+8)2=(%+2)3+26),解得q=1,

所以%=1+2x13=27.

故選：D

【變式1】.(23-24高二下?江西?階段練習(xí))設(shè)公差不為零的等差數(shù)列｛見(jiàn)｝的前“項(xiàng)和為邑，52=?3+1,且

%，Cl#%3成等比數(shù)列,則。2024=()

A.2024B.2025C.4049D.4050

【答案】C

【分析】

把等差數(shù)列｛&｝中的項(xiàng)用基本量q和1表示，根據(jù)已知條件列方程組求解即可.

【詳解】

設(shè)數(shù)列｛%｝的公差為"#0，

2q+d=%+2d+1]〃=3

則，52(1力，解得「、，

(%+3d)=%(q+12d)[a=2

所以”=3+2(幾一1)=2幾+1.

故%024=2x2024+1=4049.

故選：C.

【變式2】(23-24高二上?山東青島?期末)等差數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)為1,公差為d,若的，生，七成等比數(shù)列，則

d=Q)

A.0或一2B.2或-2C.2D.0或2

【答案】A

【分析】利用等比中項(xiàng)及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解.

【詳解】因?yàn)榈腗3M6成等比數(shù)列，

所以抬=。2。6，

因?yàn)榈炔顢?shù)列｛%｝的首項(xiàng)為1,公差為"，

所以(l+2d)~=(l+d)(l+5d),即12+21=0,解得"=?；?=-2.

故選：A.

【變式3】(23-24高二上?云南玉溪?期末)"=疝"是"a,b,c成等比數(shù)歹！J”的()

A.充分不必要條件B.充要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】D

【分析】利用充分條件和必要條件的定義判斷.

【詳解】解：若。，6,c成等比數(shù)列，則62=囪,6=土疝，故不必要；

b=4ac,令a=b=。,滿(mǎn)足/=℃,但此時(shí)。，6,c不構(gòu)成等比數(shù)列，故不充分；

故選：D.

【變式4】(23-24高二下?上海浦東新?期末)在數(shù)列1、X、乃15中，若1、x、y成等比數(shù)列，且X、八15

成等差數(shù)列，則x、y的值分別是.

5

X=——

fx=32

【答案】?；颉?/p>

b=925

y=~r

【分析】由于1、X、V成等比數(shù)列，且小八15成等差數(shù)列，則/=y,2y=x+15,從而得解.

【詳解】1、小歹成等比數(shù)列，且小小15成等差數(shù)列，

則/=y,2y=x+15,聯(lián)立得到2-=工+15,解得x=3或x=—|.

當(dāng)x=3時(shí)，V=9,此時(shí)工、3、9成等比數(shù)列，且3、9、15成等差數(shù)列，符合題意；

當(dāng)'=-彳5時(shí)，＞=2?5，此時(shí)1、-5：、2與5成等比數(shù)列，且-51、2—5、15成等差數(shù)列，符合題意.

242424

\x=3~2

綜上所得，小歹的值分別是0或

[V=925.

y=T

5

X=——

fx=32

故答案為：「或＜

[y=925

y=-

題型04等比數(shù)列性質(zhì)及其應(yīng)用

【典例4]（24-25高二上?山東?期中）已知數(shù)歹U｛%｝為各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，出和是方程X2-9X+10=0

的兩個(gè)根，則lgq+lg〃2+…+3%=（）

57

A.—B.3C.—D.4

22

【答案】C

【分析】利用等比數(shù)歹u的性質(zhì)得至I%%=電&=。3計(jì)算出&=回，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算出結(jié)果.

【詳解】由題意得。2。6=端=10，｛2｝為各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，故&=麗，

H.=。2。6~。3。5=，

故Igq+lg2+…+lg%=尼。避2…%=lgQ；=71g6z4=71gVio=1-.

故選：C

【變式1]（24-25高二上?福建龍巖?階段練習(xí)）等比數(shù)列｛4｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，且%4+%%=18,貝！J

log3^+log3dl2+…+log3?10=（）

A.12B.10C.5D.21og35

【答案】B

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得=9,即可結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解.

【詳解】由%%=%%和的6+。4a7=18可得=9,

5

故log36Z1+log36Z2+…+log36Z10=]og3（q?〃2.出…?。10）=1°§3（%〃10）=l°g395=10,

故選：B

【變式2】（24-25高二上?甘肅張掖?階段練習(xí)）在等比數(shù)列｛%｝中，出，。6是方程--8x+加=0兩根，若

%%=34,則m的值為（）

A.-9B.-3C.3D.9

【答案】D

【分析】根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)可得出R=，再由根與系數(shù)的關(guān)系計(jì)算可得結(jié)果.

fa,+cif--8

【詳解】由生，&是方程8X+7〃=O兩根可得，

f-=m

由等比數(shù)列性質(zhì)可得/%=34，解得&=3或&=。（舍）；

所以a2a6=。：=加=9.

故選：D

【變式3】（2024?山東淄博?二模）已知等比數(shù)列｛%｝,g=4,%。=16,則6=（）

A.8B.±8C.10D.±10

【答案】A

【分析】運(yùn)用等比中項(xiàng)，結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可解決.

【詳解】根據(jù)等比中項(xiàng)知道尺=2生。，求得4=64,則&=±8.

又R=?2?4＞0,則&=8.

故選：A.

【變式4】（23-24高二下?安徽滁州?期末）己知正項(xiàng)等比數(shù)列｛%｝單調(diào)遞增，2?%=&%+%=9,則%=

（）

A.12B.16C.24D.32

【答案】B

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算即可.

【詳解】因?yàn)檎?xiàng)等比數(shù)列｛%｝單調(diào)遞增，所以出q=8嗎+%=9,所以4=1,%=8,

又=8=%/=/,所以q=2,所以%=為4=16,

故選B.

題型05等比數(shù)列的單調(diào)性

【典例5］（23-24高三下?山東,開(kāi)學(xué)考試）已知數(shù)列｛6｝是以《為首項(xiàng)，0為公比的等比數(shù)列，貝U

"%（1-4）＞0"是"｛?！埃菃握{(diào)遞減數(shù)歹（’的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的單調(diào)性和必要不充分條件的判斷即可得到答案.

【詳解】若等比數(shù)列｛??｝滿(mǎn)足"％（1F）＞0",

比如4>0,q<Q,此時(shí)｛對(duì)｝不是單調(diào)遞減數(shù)列，故正向無(wú)法推出，即充分性不成立，

若數(shù)列｛%｝為遞減數(shù)列，/<0，1>1或%>0,0<^<1.

則①"%<0,0>1”可以推出q(1-?)>0;

②"％>0,0<4<1"也可以推出《(1-g)>0,則必要性成立；

則"4(1-q)>0"是"｛??｝是單調(diào)遞減數(shù)歹『的必要不充分條件，

故選：B.

【變式11(23-24高二下?北京順義?期中)數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列，則對(duì)于"對(duì)于任意的小GN*,%+2>為"是"｛%｝

是遞增數(shù)列"的()條件

A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.不充分也不必要

【答案】C

【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義及等比數(shù)列的單調(diào)性與通項(xiàng)公式判斷即可.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛g｝的公比為g,4片0,

若“〃+2>??>則an+2—an=a?(Q2-1)>0,

當(dāng)%>0時(shí)，由％(/-1)>0得解得4<-1或0>1,

若4<-1,則％=砧<0,此時(shí)與己知矛盾；

若9>1,則%>0,此時(shí)｛%｝為遞增數(shù)列.

當(dāng)為<0時(shí)，由41)>0,得解得-1<4<0或0<q<l,

若則%=%4>0,此時(shí)的(/T)<。與已知矛盾；

若0<q<l,則%<0,此時(shí)｛%｝為遞增數(shù)列.

反之，若之"｝是遞增數(shù)列,則叫2>電，

所以“對(duì)于任意的“6N*,a?+2>g"是"｛%｝是遞增數(shù)歹廣的充要條件.

故選：C.

【變式2】(22-23高二下,北京海淀?期中)在等比數(shù)列｛6｝中，"%>0,且公比9>1",是"｛%｝為遞增數(shù)歹U”

的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的單調(diào)性結(jié)合充分不必要條件的判定即可.

【詳解】當(dāng)q>0,且1>1時(shí)，有--a”=%??"-%?q'T=%尸(q-1)>0,

所以見(jiàn)+i>an(〃eN"),即｛6｝為遞增數(shù)列；

當(dāng)｛%｝為遞增數(shù)列時(shí)，即對(duì)一切〃eN*,有??+1>。，恒成立,

所以an+i-an=%?/t(q-1)>0,

但％<0且0<4<1時(shí)，上式也成立，顯然無(wú)法得出％>0,且g>1.

則"％>0,且公比9>1"是"｛%｝為遞增數(shù)歹！J"的充分不必要條件.

故選：A.

【變式3】(23-24高二上?河北保定?期末)(多選)已知等比數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)為《，公比為4,則下列能判斷

｛%｝為遞增數(shù)列的有()

【答案】BD

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解.

【詳解】由等比數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)為％,公比為q,

對(duì)于A(yíng)中，若％=3,q=；,可得a,"=%?<%,所以｛。"｝為遞減數(shù)列，所以A錯(cuò)誤；

對(duì)于B中，若q=2,q=3,可得4用=a/>%,所以｛見(jiàn)｝為遞增數(shù)列，所以B正確；

對(duì)于C中，若％=；,“=:，可得a角=%?<%,所以｛七｝為遞減數(shù)列，所以C錯(cuò)誤；

對(duì)于D中，若％=-g,q=；,可得?！?i，所以｛%｝為遞增數(shù)列，所以D正確.

故選：BD.

題型06等比數(shù)列中的最值問(wèn)題

【典例6】(2024高二,全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí))等比數(shù)列｛a.｝(〃eN*)滿(mǎn)足公比為2,數(shù)列也｝(〃eN*)滿(mǎn)足

“=%+2”“，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()

A.｛%｝為遞增數(shù)列B.也｝為遞增數(shù)列

C.低｝中最小項(xiàng)的值為1D.(n-3).(Z)?-??)>0

【答案】C

【分析】A選項(xiàng)，計(jì)算出%=2"-5>0且q=2>1,故A正確；B選項(xiàng)，計(jì)算出“=2"8>0且公比大于1,B

正確；C選項(xiàng)，在B選項(xiàng)基礎(chǔ)上得到最小值4=2，D選項(xiàng)，計(jì)算出a-a“=2"-5(2"-3_i),從而得到當(dāng)〃W3

時(shí),bn-an<0,當(dāng)I>3時(shí),bn-an>0,故(〃-3>(6“-a“)20.

【詳解】A選項(xiàng)，由題意可知，a“=%-2i=：2"4=2"-5,

?！?gt;0且公比夕=2>1,故｛%｝為遞增數(shù)列,A正確;

b2

B選項(xiàng),”,=%+2嗎,=2"一3.2"-5=22"一8>0,,=尹=4>1,

則｛4｝為遞增數(shù)列，故B正確；

C選項(xiàng)，當(dāng)〃=1時(shí)，或取得最小值印=2/，故C錯(cuò)誤；

2s553

D選項(xiàng)，bn-a?=2"--2"-=2"-(2"--1),

當(dāng)〃V3時(shí)，bn-an<0,

當(dāng)〃>3時(shí)，bn-an>0,

故(〃-3)0-見(jiàn))20,故D正確.

故選：C.

【變式1】(23-24高二下?山西晉城?期末)已知等比數(shù)列｛%｝滿(mǎn)足%>0,公比4>1,且

log2Oj+log2a2+---+log2a2024<0,log2ax+log2a2+---+log2a2025>0,則當(dāng)％%…”"最小時(shí)，”=()

A.1012B.1013C.2022D.2023

【答案】A

【分析】根據(jù)題意結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)可推得0<。助2am3<1以及。助3>1，即可判斷數(shù)列的增減性以及項(xiàng)與

1的大小關(guān)系，由此即可求得答案.

【詳解】由題意知Iog2%+log2%+…+唾2。2024<0，故10g2(W2……?2024)<0>

則0<......。2024<1，B|J0<(01012^1013)<1，

結(jié)合等比數(shù)列｛%｝滿(mǎn)足％>0,公比9>1,可知0<%012al013<1，

??

由log2+log2a2+---+log202025>0，得l°g2??,02025)>0，

即得...°2025>1，故(。1013)>1，即。1013>1，

由此可得o<4<a2<■■■<a1012<1<a1013<??-,

故當(dāng)色。2…?！弊钚r(shí)，?=1012,

【變式2】(23-24高二上?福建漳州?期末)已知正項(xiàng)等比數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)積為北，且%>1,則下列結(jié)論正

確的是()

A.若q=n，則幾>1B.若看=篤，則［47；

C.若￡<。，則刀D.若則。>篤

【答案】B

【分析】結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)及數(shù)列的單調(diào)性判斷各選項(xiàng)即可.

【詳解】由已知數(shù)列各項(xiàng)均為正，因此乘積1也為正，公比《>0,若北=1，則%g=1，

由等比數(shù)列性質(zhì)知％%4=。2。13=…=。7。8=1，所以工4=1，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

又a7a8=a/q6-a/q7=a；-q"=1,因?yàn)?>1,所以0<q<l,所以的>1>%,

則可>電>…>R>%>。8>…，故區(qū)｝先增后減,所以故選項(xiàng)B正確；

若（<。，則圣=%=?！?gt;1,又%>1,無(wú)法判斷4與1的大小，即無(wú)法判斷。8與1的大小，故4與"

大小沒(méi)法判斷，故選項(xiàng)CD錯(cuò)誤.

故選：B

【變式3】（24-25高二上?江蘇,階段練習(xí)）（多選）已知等比數(shù)列｛%｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，公比為1,%>1,

記也｝的前"項(xiàng)積為:，則下列選項(xiàng)正確的是（）

A.0<^<1B.&>1C.Ti2>lD.Ti3>l

【答案】ABC

【分析】等比數(shù)列｛《｝的各項(xiàng)均為正數(shù),%>1，%+%>。6%+1>2,可得析-1）（%T）<O,因此共〉1，

%<1,0<4<1.進(jìn)而判斷出結(jié)論.

【詳解】???等比數(shù)列｛%｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，%>1,%+%>6%+1>2,

二（。6-1）（。7-1）<0，

?]>1r若&<1，則一定有的<1，不符合，

由題意得。6>1，。7<1，故AB正確，

?/a6a7+1>2,/.a6a7>1，

63

幾=%?%..嗎2=（a6a7）>1，7]3=a'<1,故C正確，D錯(cuò)誤,

故選：ABC.

【變式4】（22-23高二上?江蘇鹽城?階段練習(xí)）（多選）設(shè)等比數(shù)列｛%｝的前“項(xiàng)積為北并滿(mǎn)足%>1,

盤(pán)=蠢，則下列結(jié)論正確的有（）

A.?2022<a2023B.a20?3O-l>0C.當(dāng)〃=25時(shí)，]取最大值D.當(dāng)“251時(shí)，Tn<1

【答案】BCD

【分析】首先根據(jù)題意得到。25,=1，從而得到%>1，所以0<0<1,即等比數(shù)列｛%｝為遞減數(shù)歹!J.對(duì)選項(xiàng)

A,根據(jù)數(shù)列｛a?｝的單調(diào)性即可判斷A錯(cuò)誤,對(duì)選項(xiàng)B,根據(jù)?20?30=；即可判斷B正確,對(duì)選項(xiàng)C,根據(jù)a25a26=1

即可判斷C正確，對(duì)選項(xiàng)D,根據(jù)4=（出5%6）"=1，當(dāng)〃251時(shí)，即可判斷D正確.

【詳解】T20=T30>所以[=021X022*……*%。=（。25。26=1,即出5%6=L

^20

所以。25。26=Qi/4,ad，=_],

因?yàn)?>1,所以0<q<l,即等比數(shù)列｛%｝為遞減數(shù)列.

對(duì)選項(xiàng)A,因?yàn)椋?｝為遞減數(shù)列，所以。2022>。2023，故A錯(cuò)誤.

對(duì)選項(xiàng)B,因?yàn)椤?0%。=終-a/=&史絲=-，

qqq

因?yàn)?<g<l,所以出0%0=1>1，即。20%0-1>°，故B正確.

q

對(duì)選項(xiàng)C,因?yàn)榈缺葦?shù)列｛0“｝為遞減數(shù)列，出5出6=1，

所以電5>1,0<?6<1，即當(dāng)”=25時(shí)，］取最大值，故C正確.

對(duì)選項(xiàng)D,750=%X。2X..........*〃50=（。25°26）25=］，

又因?yàn)?<%6<1，

所以當(dāng)〃251時(shí)，當(dāng)〃251時(shí)，（<1,故D正確.

故選：BCD

題型07等比數(shù)列的簡(jiǎn)單應(yīng)用

【典例7］（23-24高二上?重慶,期末）古代“微塵數(shù)"的計(jì)法："凡七微塵，成一窗塵；合七窗塵，成一兔塵;

合七兔塵，成一羊塵；合七羊塵，成一牛塵；合七牛塵，成于一帆；合于七蝸，成于一虱；合于七虱，成

一芥子；合七芥子，成一大麥；合七大麥，成一指節(jié)；累七指節(jié)，成于半尺….”這里，微塵、窗塵、兔塵、

羊塵、牛塵、蝸、虱、芥子、大麥、指節(jié)、半尺的長(zhǎng)度構(gòu)成了公比為7的等比數(shù)列.那么1指節(jié)是（）

A.7’兔塵B.7’羊塵C.5兔塵D.《羊塵

【答案】A

【分析】設(shè)1微塵為〃，求出1兔塵為72°,1羊塵為7'a,1指節(jié)為7b,從而可得答案.

【詳解】設(shè)1微塵為。，

因?yàn)槲m、窗塵、兔塵、羊塵、牛塵、蛆、虱、芥子、大麥、指節(jié)、半尺的長(zhǎng)度，

構(gòu)成了公比為7的等比數(shù)列，

所以1窗塵為7a,1兔塵為72°,1羊塵為7%,1牛塵為7%,

1蝸為7%,1虱為76°,1芥子77a,1大麥7》，工指節(jié)為73,

因?yàn)樵?77，所以1指節(jié)是7,兔塵，A正確，C不正確；

72a

79a

因?yàn)?73所以1指節(jié)是76羊塵,BD不正確;

7a

故選：A.

【變式1】（22-23高三上?福建寧德,期末）《莊子?天下》中講到：“三尺之梗，日取其半，萬(wàn)世不竭.”這其

實(shí)是一個(gè)以1?為公比的等比數(shù)列問(wèn)題.有一個(gè)類(lèi)似的問(wèn)題如下：有一根一米長(zhǎng)的木頭，第2天截去它的

第3天截去第2天剩下的：，…，第〃天截去第1天剩下的工，則到第2022天截完以后，這段木頭還剩

3n

下原來(lái)的（）

1111

A.----B.----C.-----D.-----

2021202240424044

【答案】B

1X-,再計(jì)算第〃天后共截去原來(lái)的1-工，故可得第2022天截完

【分析】根據(jù)題意歸納得出第"截去

n—1nn

以后，這段木頭還剩下原來(lái)的比值.

【詳解】解：由題可知第一天長(zhǎng)1,

第二天截去

第三天截去(1-51111

X—=—=—X—

3623

1111

第四天截去1-1X—=——=—X—,

2641234

依次可得：第〃天截去：

n-\n

故第，天后共截去lxg+；x；+卜;+…+111,1111111,1

n22334n—1nn

所以到第2022天截完以后，這段木頭還剩下原來(lái)的焉］=焉.

故選：B.

【變式2】(24-25高二上?全國(guó)?課后作業(yè))“綠水青山就是金山銀山.”我國(guó)某西部地區(qū)進(jìn)行沙漠治理，己知

該地區(qū)有土地1萬(wàn)平方千米，其中70%是沙漠，從今年起，該地區(qū)進(jìn)行綠化改造，每年把原有沙漠的16%改

造為綠洲I,同時(shí)原有綠洲的4%被沙漠所侵蝕又變成沙漠，設(shè)從今年起第"年綠洲面積為與萬(wàn)平方千米.

⑴求。"與(〃22)的關(guān)系；

(2)判斷g｝是不是等比數(shù)列，并說(shuō)明理由；

⑶至少經(jīng)過(guò)幾年，綠洲面積可超過(guò)60%?(Ig2?0.301)

44

【答案】⑴%=不?！癬1+石(“22)

⑵是等比數(shù)列，理由見(jiàn)解析

⑶至少經(jīng)過(guò)6年

【分析】⑴根據(jù)題意可得出?！?(1-0.04)%+(1-%)x016,化簡(jiǎn)可得%與%(北2)的關(guān)系;

(2)利用待定系數(shù)法結(jié)合等比數(shù)列的定義可得結(jié)論；

a

(3)求出數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式，然后解不等式即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)由題意〃22時(shí),

44

%=(1-0.04)%_]+(1-Q“_JX0.16=0.8%_i+0.16=—an_{+—,

44

所以，an=-an_x+—(n>2).

(2)數(shù)列，a,-g1是等比數(shù)列.理由如下：

44

由(1)得4=1%_1+玉(〃N2),

/|4xx44

設(shè)%+x=N(a〃_i+x),可得%二1?！ㄒ?一1，所以，一不=去，可得％=一1,

44/4、/、434

所以，??--=-^--0^2),且％一=一

2

因此，數(shù)列卜“-11是首項(xiàng)為-公比為1的等比數(shù)列.

（3）由（2）可知，數(shù)列是首項(xiàng)為-；，公比為g的等比數(shù)歹U，

49

兩邊取常用對(duì)數(shù)，得5-1）炮（＜想:,

,lgTIg2-lg5Ig2-(l-lg2)21g2-l2x0.301-1

所以,n—l>—-=---------=--------------=-------?----------

lg421g2-lg521g2-(l-lg2)31g2-l3x0.301-1

-0.398

?4.1,所以,n>5A,

-0.097

所以，至少經(jīng)過(guò)6年，綠洲面積可超過(guò)60%.

強(qiáng)化訓(xùn)練

一、單選題

L（23-24高二下?北京房山?期中）已知等比數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式”“=-2*3",則數(shù)列｛《｝的公比為（）

A.3B.2C.-3D.-6

【答案】A

【分析】根據(jù)已知及等比數(shù)列的定義可得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)椋?｝為等比數(shù)列且通項(xiàng)公式為%=-2x3",

所以公比4='=年1?=3，

%-2x3

故選：A.

2.（23-24高二上?全國(guó)?期末）已知數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列，且出+%=7,4+%=21,貝!1。8+%1=（）

A.28B.63C.189D.289

【答案】C

【分析】設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為明求出%+知值.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為"由出+。5=7,。4+%=21,

則為+%=（。2+。5）=21,解得屋=3,

4+a=2

故網(wǎng)+q1