第七章 隨機(jī)變量及其分布（知識(shí)歸納題型突破）（11題型清單）（原卷版）

第七章隨機(jī)變量及其分布(n題型清單)

01思維導(dǎo)圖

02知識(shí)速記

1：條件概率

P(AB}

(1)一般地，設(shè)4,5為兩個(gè)隨機(jī)事件，且P(A)>0,我們稱P(3|A)=T77s為在事件A發(fā)生的條件

下，事件B發(fā)生的條件概率，簡(jiǎn)稱條件概率.

2：乘法公式

由條件概率的定義，對(duì)任意兩個(gè)事件A與6,若P(A)>0,則P(AB)=P(A)-P(3|A).我們稱上式為

概率的乘法公式.

3：事件的相互獨(dú)立性

(1)事件A與事件B相互獨(dú)立：對(duì)任意的兩個(gè)事件4與8,如果P(AB)=P(A)P(B)成立，則稱事件A與

事件6相互獨(dú)立，簡(jiǎn)稱為獨(dú)立.

(2)性質(zhì)：若事件A與事件8相互獨(dú)立，則A與耳，?與耳與耳也都相互獨(dú)立，P(B\A)=P(B),

P(A|B)=P(A).

4：全概率公式

(1)一般地，設(shè)A，4，44是一組兩兩互斥的事件，4AA4=。，且P(4)〉O,

，=1,2,3,4n,則對(duì)任意的事件3口。，有P(B)=汽P(A,.)P(B\4)，我們稱此公式為全概率公式.

i=l

5：兩點(diǎn)分布

對(duì)于只有兩個(gè)可能結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)，用A表示“成功”，

1,A發(fā)生

了表示“失敗"，定義x=＜

0,破生

如果P(A)=P，則尸(a=l-p,那么X的分布列如下所示:

X01

P1-pp

我們稱X服從兩點(diǎn)分布或者0-1分布.

6：離散型隨機(jī)變量的均值與方差

一般地，若離散型隨機(jī)變量X的概率分布為:

X%Xn

pPiPlPiP"

則稱E(X)=X]P1+x2P2++x,,Pn=WXP”為隨機(jī)變量X的均值(mean)或數(shù)學(xué)期望(mathematical

?=1

expectation),數(shù)學(xué)期望簡(jiǎn)稱期望.

稱。(X)=(X「E(X))20++(X,—E(X))2R++(x“—E(X))2p.=￡(N-E(X))2R

Z=1

為隨機(jī)變量X的方差，有時(shí)也記為Var(X).稱cr(X)=《D(X)為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差.

7：二項(xiàng)分布

一般地，在“重伯努利試驗(yàn)中，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為P(0＜。＜1),用X表示事件A發(fā)

生的次數(shù)，則X的分布列為尸(X=A)左=1,2,3,.,n.

如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作xB(n,p).

8：超幾何分布

一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有〃件次品，從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取"件(不放回)，用X表示抽

^~ik^~m—k

取的〃件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為P(X=k)=M,k=m,m+l,m+2,,r.

其中2N,A/wN*,MSN,n<N,m=max{O,〃—N+M},r=min{n,M}.

如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布.

9：正態(tài)分布

若隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為/(%)=—占)后L，(xwH,其中4￡尺，。>0為參數(shù))，稱隨機(jī)變

量X服從正態(tài)分布，記為XN(〃,/).

03題型歸納

題型一計(jì)算條件概率

例題1：(2025?河南鄭州?一模)將一枚質(zhì)地均勻的正八面體骰子連續(xù)拋擲2次，其八個(gè)面上分別標(biāo)有18八

個(gè)數(shù)字，記錄骰子與地面接觸的面上的點(diǎn)數(shù)，用X,￥表示第一次和第二次拋擲的點(diǎn)數(shù)，則

P(max(X,y)=8|min(X,y)=4)=()

例題2：(2425高三上?天津?期末)中華茶文化源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，博大精深，不但包含豐富的物質(zhì)文化，還包含深

厚的精神文化.其中綠茶在制茶過程中，在采摘后還需要經(jīng)過殺青、揉捻、干燥這三道工序.現(xiàn)在某綠茶廠將

采摘后的茶葉進(jìn)行加工，其中殺青、揉捻、干燥這三道工序合格的概率分別為］，［，J，每道工序的加工都相

345

互獨(dú)立，則茶葉加工中三道工序至少有一道工序合格的概率為;在綠茶的三道工序中恰有兩道工序加

工合格的前提下，殺青加工合格的概率為.

例題3：（2425高三上?上海楊浦?期末）某校高二有50人報(bào)名足球俱樂部，60人報(bào)名乒乓球俱樂部，70人

報(bào)名足球或乒乓球俱樂部，若已知某人報(bào)足球俱樂部，則其報(bào)乒乓球俱樂部的概率為.

鞏固訓(xùn)練

1.（2425高三上?江蘇?期末）第15屆中國(guó)國(guó)際航空航天博覽會(huì)于2024年H月12日至17日在珠海舉行.本

屆航展規(guī)模空前，首次打造“空、海、陸”一體的動(dòng)態(tài)演示新格局，盡顯逐夢(mèng)長(zhǎng)空的中國(guó)力量.航展共開辟

了三處觀展區(qū)，分別是珠海國(guó)際航展中心、金鳳臺(tái)觀演區(qū)、無人系統(tǒng)演示區(qū).甲、乙、丙、丁四人相約去

參觀，每個(gè)觀展區(qū)至少有1人，每人只參觀一個(gè)觀展區(qū).在甲參觀珠海國(guó)際航展中心的條件下，甲與乙不到

同一觀展區(qū)的概率為（）

A,-B,-C,-D.1

6432

2.（2324高三下?河北?階段練習(xí)）甲、乙、丙、丁4位同學(xué)報(bào)名參加學(xué)校舉辦的數(shù)學(xué)建模、物理探究、英

語演講、勞動(dòng)實(shí)踐四項(xiàng)活動(dòng)，每人只能報(bào)其中一項(xiàng)，則在甲同學(xué)報(bào)的活動(dòng)其他同學(xué)不報(bào)的情況下，4位同學(xué)

所報(bào)活動(dòng)各不相同的概率為（）

1c3八8

A.—B.—C.—D.一

183299

3.（2425高三上?湖北?期末）對(duì)于隨機(jī)事件A,3,若P（8|A）=;，尸（XIB）=,P（B）=—尸（A）=________.

3o15

題型二乘法公式應(yīng)用

例題1：（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）一個(gè)不透明的箱子裝有若干個(gè)除顏色外完全相同的紅球和黃球.若第

一次摸出紅球的概率為自，在第一次摸出紅球的條件下，第二次摸出黃球的概率為:，則第一次摸出紅球

且第二次摸出黃球的概率為（）

例題2：（2324高二下.江蘇常州?期中）已知隨機(jī)事件AB,P（A）=P（B|A）=g,P（B）=g,則尸（A2）=.

P（A|B）=.

例題3：（2425高三.上海.課堂例題）已知尸（A|B）=；,則P（Ac3）=.

鞏固訓(xùn)練

1.（2021高二下?山東青島?期中）某機(jī)場(chǎng)某時(shí)降雨的概率為（，在降雨的情況下飛機(jī)準(zhǔn)點(diǎn)的概率為￡,則

某時(shí)降雨且飛機(jī)準(zhǔn)點(diǎn)的概率為（）

2.（2024.浙江.模擬預(yù)測(cè)）己知一道解答題有兩小問，每小問5分，共10分.現(xiàn)每十個(gè)人中有六人能夠做出

第一問，但在第一問做不出的情況下，第二問做出的概率為01；第一問做出的情況下，第二問做不出的概

率為0.6.用頻率估計(jì)概率，則此題得滿分的概率是；得。分的概率是.

2

3.（2324高二下?黑龍江哈爾濱?期中）某地區(qū)氣象臺(tái)統(tǒng)計(jì)，該地區(qū)下雨的概率為石，已知下雨的條件下，

刮風(fēng)的概率為則既刮風(fēng)又下雨的概率為.

題型三全概率公式

例題1：（2425高三上?山東濰坊?期末）盒中有5個(gè)紅球，3個(gè)黑球，今隨機(jī)地從中取出一個(gè)，觀察其顏色

后放回，并放入同色球2個(gè)，再?gòu)暮兄腥稳∫磺颍瑒t第二次取出的是黑球的概率是（）

A.—B.-C.-D.1

10782

例題2：（2425高三上?安徽宿州?期末）兩批同種規(guī)格的產(chǎn)品，第一批占25%,次品率為5%；第二批占75%,

次品率為4%,將兩批產(chǎn)品混合，從混合產(chǎn)品中任取一件，則這件產(chǎn)品為次品的概率為.

例題3：（2425高三上?天津靜海?階段練習(xí)）有三臺(tái)車床加工同一型號(hào)的零件，第一臺(tái)為舊車床加工的次品

率為10%,第二，三臺(tái)為新車床加工的次品率均為5%,三臺(tái)車床加工出來的零件混放在一起.已知一，二，

三臺(tái)車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的20%,40%,40%.任取一個(gè)零件，計(jì)算它是次品的概率為.

鞏固訓(xùn)練

1.（2425高二上?黑龍江哈爾濱?期末）某地市場(chǎng)上供應(yīng)一種玩具電動(dòng)車，其中甲廠產(chǎn)品占得,乙廠產(chǎn)品占;，

丙廠產(chǎn)品占;，甲廠產(chǎn)品的合格率是95%,乙廠產(chǎn)品的合格率是90%,丙廠產(chǎn)品的合格率是80%,若從該

地市場(chǎng)上買到一個(gè)電動(dòng)車，此電動(dòng)車是次品的概率是（）

A.0.08B.0.15C.0.1D.0.9

2.（2425高三上.云南昆明.期中）若P（B|A）=|,P（A）=；,則P（3）=.

3.（2324高二下?湖南邵陽?期末）有甲、乙兩個(gè)工廠生產(chǎn)同一型號(hào)的產(chǎn)品，其中甲廠生產(chǎn)的占40%,甲廠

生產(chǎn)的次品率為2%，乙廠生產(chǎn)的占60%，乙廠生產(chǎn)的次品率為3%,從中任取一件產(chǎn)品是次品的概率是

題型四貝葉斯公式

例題1：（2324高二下?廣東廣州?期中）某校高三（1）班和（2）班各有40名同學(xué)，其中參加數(shù)學(xué)興趣社

團(tuán)的學(xué)生分別有10人和8人，現(xiàn)從這兩個(gè)班中隨機(jī)抽取一名同學(xué)，若抽到的是參加數(shù)學(xué)興趣社團(tuán)的學(xué)生，

則他來自高三（1）班的概率是（）

例題2：（2324高二下?福建泉州?期末）某學(xué)校有A,2兩家餐廳，王同學(xué)第1天選擇B餐廳就餐的概率是g,

4

若第1天選擇A餐廳，則第2天選擇A餐廳的概率為不；若第1天選擇3餐廳就餐，則第2天選擇A餐廳

3

的概率為g;已知王同學(xué)第2天是去A餐廳就餐，則第1天去A餐廳就餐的概率為（）

A.AB,1C,1D,1

111153

例題3：（2025高三?全國(guó)?專題練習(xí)）一個(gè)大型電子設(shè)備制造廠有A和B兩條生產(chǎn)線負(fù)責(zé)生產(chǎn)電子元件.已知

生產(chǎn)線A的產(chǎn)品合格率為95%,生產(chǎn)線8的產(chǎn)品合格率為90%,且該工廠生產(chǎn)的電子元件中60%來自生產(chǎn)

線A,40%來自生產(chǎn)線瓦現(xiàn)從該工廠生產(chǎn)的電子元件中隨機(jī)抽取一個(gè)進(jìn)行檢測(cè)，則該電子元件在檢測(cè)不合

格的條件下來自生產(chǎn)線A的概率是.

鞏固訓(xùn)練

1.（2324高二下.江蘇揚(yáng)州?階段練習(xí)）假設(shè)甲袋中有3個(gè)白球和3個(gè)紅球，乙袋中有2個(gè)白球和2個(gè)紅球.現(xiàn)

從甲袋中任取2個(gè)球放入乙袋，再?gòu)囊掖腥稳?個(gè)球.已知從乙袋中取出的是2個(gè)紅球，則從甲袋中取

出的也是2個(gè)紅球的概率為（）

A.AB.更C—D.』

137585

2.（2324高二下?廣東佛山?階段練習(xí)）若某地區(qū)一種疾病的患病率是0.05,現(xiàn)有一種試劑可以檢驗(yàn)被檢者

是否患病.已知該試劑的準(zhǔn)確率為95%,即在被檢驗(yàn)者患病的前提下用該試劑檢測(cè)，有95%的可能呈現(xiàn)陽性；

該試劑的誤報(bào)率為0.5%,即在被檢驗(yàn)者未患病的情況下用該試劑檢測(cè)，有0.5%的可能會(huì)誤報(bào)陽性.現(xiàn)隨機(jī)

抽取該地區(qū)的一個(gè)被檢驗(yàn)者，已知檢驗(yàn)結(jié)果呈現(xiàn)陽性，則此人患病的概率為（）

,495c995〃10C21

A.------B.------C.—D.—

100010001122

3.（2526高三上?上海?單元測(cè)試）某倉(cāng)庫(kù)有同樣規(guī)格的產(chǎn)品12箱，其中6箱、4箱、2箱依次是由甲、乙、

丙三個(gè)廠生產(chǎn)的，且三個(gè)廠的次品率分別為［、］、上.現(xiàn)從這12箱中任取一箱，再?gòu)娜〉玫囊幌渲腥?/p>

101418

意取出一個(gè)產(chǎn)品.若已知取得一個(gè)產(chǎn)品是次品，則這個(gè)次品是乙廠生產(chǎn)的概率是.

題型五利用離散型隨機(jī)變量的性質(zhì)求參數(shù)或概率

例題1：（2324高二下?江蘇?單元測(cè)試）已知隨機(jī)變量X的分布列為尸（X=i）=：（i=l,2,3,4）,則

P（2<X<4）=（）

A.IB.3c.LD.2

251010

例題2：（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）隨機(jī)變量V的概率分布如下：

Y123456

P0.1X0.350.10.150.2

則尸（y>3）=.

例題3：（2024高三.全國(guó).專題練習(xí)）已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為:

X123

31

Pm

510

則P(X42)=

鞏固訓(xùn)練

1.（2324高二下.河北滄州?期中）已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為P（X="）=—"=1,2,3），

n\n+Y\

則。二（）

?3「4-2

A.—B.—C.-D.一

4332

k

2.（2324高二下?寧夏石嘴山?期中）設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布為尸（X=左）=五（1WXW4,kcZ）,則

P（2<X<4）=.

3.（2324高二下.江蘇無錫.期中）若隨機(jī)變量X的分布列為

X-2-10123

P0.10.20.20.30.10.1

則當(dāng)尸（x<a）=Q5時(shí)，實(shí)數(shù)。的取值范圍是,

題型六離散型隨機(jī)變量的的分布列，均值

例題1：（2425高三上?天津北辰?期末）某種資格證考試，每位考生一年內(nèi)最多有3次考試機(jī)會(huì).一旦某次考

試通過，便可領(lǐng)取資格證書，不再參加以后的考試；否則就繼續(xù)參加考試，直到用完3次機(jī)會(huì).小王決定參

加考試，若他每次參加考試通過的概率依次為0.5,0.6,0.7,且每次考試是否通過相互獨(dú)立，則小王在一

年內(nèi)領(lǐng)到資格證書的概率為;他在一年內(nèi)參加考試次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為.

例題2：（2425高三上?廣西河池?期末）新春佳節(jié)即將到來，某超市為了刺激消費(fèi)、提高銷售額，舉辦了回

饋大酬賓抽獎(jiǎng)活動(dòng)，設(shè)置了一個(gè)抽獎(jiǎng)箱，箱中放有7折、7.5折、8折的獎(jiǎng)券各2張，每張獎(jiǎng)券的形狀都相

同，每位消費(fèi)者可以從中任意抽取2張獎(jiǎng)券，最終超市將在結(jié)賬時(shí)按照2張獎(jiǎng)券中最優(yōu)惠的折扣進(jìn)行結(jié)算.

⑴求一位消費(fèi)者抽到的2張獎(jiǎng)券的折扣相同的概率；

(2)若某位消費(fèi)者購(gòu)買了300元(折扣前)的商品，記這位消費(fèi)者最終結(jié)算時(shí)的消費(fèi)金額為X,求X的分布

列及數(shù)學(xué)期望E(X).

例題3：(2425高三上?貴州黔南?期末)某同學(xué)參加射擊俱樂部射擊比賽，每人最多有三次射擊機(jī)會(huì)，射擊

靶由內(nèi)環(huán)和外環(huán)組成，若擊中內(nèi)環(huán)得10分，擊中外環(huán)得5分，脫靶得0分.該同學(xué)每次射擊，脫靶的概率

為;，擊中內(nèi)環(huán)的概率為：，擊中外環(huán)的概率為每次射擊結(jié)果相互獨(dú)立，只有前一發(fā)中靶，才能繼續(xù)

射擊，否則結(jié)束比賽.

(1)在該同學(xué)最終得分為10分的情況下，求該同學(xué)射擊了2次的概率；

(2)設(shè)該同學(xué)最終得分為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X).

鞏固訓(xùn)練

1.(2425高三下?安徽?開學(xué)考試)甲、乙兩人進(jìn)行電子競(jìng)技比賽，已知每局比賽甲贏的概率為A(O<A<1),

乙贏的概率為P2,且Pi+Pz=l.規(guī)定：比賽中先贏三局者獲勝，比賽結(jié)束.若每局比賽結(jié)果相互獨(dú)

立，記比賽共進(jìn)行了X局，則X的數(shù)學(xué)期望的最大值為一.

2.(2425高三上?河北唐山?階段練習(xí))某大學(xué)社團(tuán)共有8名大學(xué)生，其中男生4人，女生4人，從這8名

大學(xué)生中任選4人參加比賽.

⑴設(shè)“男生甲被選中”為事件A,“女生乙被選中”為事件B,求同；

（2）設(shè)所選的4人中男生和女生的人數(shù)分別為。*，記X=|a-4,求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

3.（2425高三上?湖南長(zhǎng)沙?期末）甲同學(xué)計(jì)劃去參觀某景點(diǎn)，但門票需在網(wǎng)上預(yù)約.該同學(xué)從第一天開始,

每天在規(guī)定的預(yù)約時(shí)間段開始預(yù)約，若預(yù)約成功，便停止預(yù)約；若連續(xù)預(yù)約三天都沒成功，則放棄預(yù)約.假

設(shè)該同學(xué)每天預(yù)約門票成功的概率均為0.7,

（1）求甲同學(xué)到第三天才預(yù)約成功的概率；

（2）記X為甲同學(xué)預(yù)約門票的天數(shù)，求X的分布列和期望E（X）.

題型七均值的性質(zhì)

例題1：（2324高二下.山東棗莊.期末）某品牌飲料正在進(jìn)行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，一盒5瓶裝的飲料中有2瓶有

獎(jiǎng)，消費(fèi)者從中隨機(jī)取出2瓶，記X為其中有獎(jiǎng)的瓶數(shù)，則E（5X+1）為（）

A.4B.5C.6D.7

例題2：（2425高二下?全國(guó)?課后作業(yè)）端午節(jié)是中國(guó)四大傳統(tǒng)節(jié)日之一，風(fēng)俗習(xí)慣形式多樣，內(nèi)容豐富多

彩.某居民小區(qū)為了讓業(yè)主度過愉快的端午節(jié)，業(yè)委會(huì)組織舉辦了一場(chǎng)現(xiàn)場(chǎng)抽獎(jiǎng)游戲，規(guī)則如下：袋中共

有10張質(zhì)地均勻的卡片，其中5張卡片圖案是粽子，另外5張卡片圖案是龍舟，業(yè)主從該袋子中不放回地隨

機(jī)抽取5張卡片，如果5張卡片圖案相同，則獲得100元的購(gòu)物卡；如果5張卡片中有4張圖案相同，則獲得

50元購(gòu)物卡；其他情況，則不獲得任何獎(jiǎng)勵(lì).設(shè)X是業(yè)主在一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)中獲得的購(gòu)物卡金額，則

E1X+2〉一.

例題3：（2024?四川南充?一模）某一隨機(jī)變量X的分布列如下表，且〃-根=0.2,則E1（3X+2）=.

X0123

P0.1m0.2n

鞏固訓(xùn)練

1.（2425高三上?云南楚雄?期末）已知隨機(jī)變量X的分布列為

X123

J_5

Pm

612

下列結(jié)論正確的是（）

50

A.m=—B.E（X）=-

12

E（X+2）q

C.D.E（2X）=9

2.（2324高二下?黑龍江齊齊哈爾?期末）袋中裝有10個(gè)大小相同的黑球和白球，已知從袋中任意摸出2個(gè)

7

球，至少得到一個(gè)白球的概率是J現(xiàn)從袋中任意摸出3個(gè)球，記得到白球的個(gè)數(shù)為X,則

E（2X-1）=.

3.（2024高二下?全國(guó)?專題練習(xí)）已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為

X101

j_]_

Pa

~26

設(shè)y=6x+L則y的數(shù)學(xué)期望E（y）=.

題型八方差的性質(zhì)

例題1：（2324高二下?黑龍江牡丹江?階段練習(xí)）已知隨機(jī)變量x滿足E（2X+3）=7,D（2X+3）=16,則下

列選項(xiàng)正確的是（）

713

A.…產(chǎn)即萬B.E（X）=2,￡＞（X）=4

7

C.E（X）=2,￡＞（X）=8D.E（X）=/,D（X）=8

例題2：（多選）（2324高二下.新疆?期中）已知E（X）=3,D（2X—1）=8,貝ij（）

A.E（2X-1）=5B.E（2X-1）=6

C.￡＞（X）=2D.D（X）=4

例題3：（多選）（2324高二下.廣東廣州?期末）設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表，若離散型隨機(jī)變量

y滿足y=2x-1.則下列結(jié)論正確的是（）

X0i23

Pq0.20.10.2

A.E（X）=1.2B.￡"）=1

C.D（X）=1.4D.D（y）=28

鞏固訓(xùn)練

1.（2324高二下.福建福州?期中）隨機(jī)變量X的分布列如下，且E（X）=：,則嗚X卜（）

X012

P0.2PiPi

A.0.64B.0.32C.0.16D.0.08

2.（2324高二下?安徽安慶?期末）已知兩個(gè)離散型隨機(jī)變量〃，滿足〃=3&+1,其中J的分布列如下:

123

J_

pab

6

其中。，6為非負(fù)數(shù).若=D（^）=|,貝ij（）

i2

A.a=-B.b=-C.E（〃）=5D.O（〃）=5

3.（多選）（2324高二下.安徽合肥.期末）設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為:

X0i234

Pq0.40.10.20.2

若離散型隨機(jī)變量y滿足y=2x+i,則（）

A.q=0.1B.D（X）=L8

c.E(Y)=2D,r?(r)=3.6

題型九二項(xiàng)分布

例題1：(2425高二上?河南南陽?期末)甲、乙兩人進(jìn)行射擊比賽，每場(chǎng)比賽中，甲、乙各射擊一次，甲、

乙每次至少射中8環(huán).根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料可知，甲擊中8環(huán)、9環(huán)、10環(huán)的概率分別為0.7,0.2,0.1,乙擊中8

環(huán)、9環(huán)、10環(huán)的概率分別為0.6,0.2,0.2,且甲、乙兩人射擊相互獨(dú)立.

(1)在一場(chǎng)比賽中，求甲擊中的環(huán)數(shù)多于乙擊中的環(huán)數(shù)的概率；

(2)若獨(dú)立進(jìn)行三場(chǎng)比賽，用X表示這三場(chǎng)比賽中甲擊中的環(huán)數(shù)多于乙擊中的環(huán)數(shù)的場(chǎng)數(shù)，求X的分布列與

數(shù)學(xué)期望.

例題2：(2425高三上?山東淄博?期末)某地為弘揚(yáng)我國(guó)傳統(tǒng)文化，舉辦知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，每位參賽者從以下

兩種方式中選擇一種參賽：

①活動(dòng)共設(shè)有3個(gè)問題，能正確回答問題者才能進(jìn)入下一個(gè)問題，否則即被淘汰，3個(gè)問題都回答正確即

獲得“智慧星”稱號(hào)；

②活動(dòng)需參賽者回答5個(gè)問題，至少正確回答4個(gè)即能獲得“智慧星”稱號(hào)；甲乙兩人參加此次競(jìng)賽活動(dòng)，

321

甲選擇第一種方式，他能正確回答第一、二、三個(gè)問題的概率分別為乙選擇第二種方式，他能正

確回答每一個(gè)問題的概率均為;.兩種方式下各個(gè)問題能否正確回答均互不影響，兩人彼此之間也互不影

響.

(1)求甲沒有獲得“智慧星”稱號(hào)的概率；

(2)求乙獲得“智慧星”稱號(hào)的概率.

⑶記事件”="乙正確回答問題的個(gè)數(shù)比甲正確回答問題的個(gè)數(shù)多3個(gè)“，求事件M發(fā)生的概率.

例題3：(2425高二上?江西南昌?期末)南昌瓷板畫：融合了中國(guó)傳統(tǒng)繪畫、陶瓷彩繪和西方攝影術(shù)的精髓，

從繪畫到燒制流程復(fù)雜，精品率非常低，在制作過程會(huì)出現(xiàn)常規(guī)品和精品兩種情況.

(1)某新匠人一天能制作兩件作品，制作第一件作品精品率為第二件作品在第一件是精品的前提下的精

品率為:，第二件作品在第一件是常規(guī)品的前提下的精品率為,，求該新匠人第二件作品是精品的概率；

o9

（2）某老匠人水平穩(wěn)定且一天能制作三件作品，每一件瓷板畫作品的精品率為:，若常規(guī)品每件盈利100元,

O

精品每件盈利300元；求該老匠人一天盈利的分布列和期望.

鞏固訓(xùn)練

1.（2025?甘肅白銀?模擬預(yù)測(cè)）已知X?3（”,0.8）,記K=P（X=k）,%=0,l,2,,n,若巴是唯一的最大值，

則E（2X+1）的值為.

2.（2425高三下?湖南長(zhǎng)沙?階段練習(xí)）某單位在“全民健身日”舉行了一場(chǎng)趣味運(yùn)動(dòng)會(huì)，其中一個(gè)項(xiàng)目為投

籃游戲.游戲的規(guī)則如下:每局游戲需投籃3次，若投中的次數(shù)多于未投中的次數(shù)，該局得3分，否則得1分.

已知甲投籃的命中率為且每次投籃的結(jié)果相互獨(dú)立.

（1）求甲在一局游戲中投籃命中次數(shù)X的分布列與期望；

⑵若參與者連續(xù)玩2n（neN*）局投籃游戲獲得的分?jǐn)?shù)的平均值大于2,即可獲得一份大獎(jiǎng).現(xiàn)有〃=3和"=4

兩種選擇，要想獲獎(jiǎng)概率最大，甲應(yīng)該如何選擇?請(qǐng)說明理由.

3.（2425高三上?陜西西安?期末）蛇年來臨之際，某商場(chǎng)計(jì)劃安排新春抽獎(jiǎng)活動(dòng)，方案如下：1號(hào)不透明

的盒子中裝有標(biāo)有“吉”“安”“和”字樣的小球，2號(hào)不透明的盒子中裝有標(biāo)有“祥”“康”“順”字樣的小球，顧客

先從1號(hào)不透明的盒子中取出1個(gè)小球，再?gòu)?號(hào)不透明的盒子取出1個(gè)小球，若這2個(gè)球上的字組成“吉

祥，，“安康”“和順，，中的一個(gè)詞語，則這位顧客中獎(jiǎng)，反之沒有中獎(jiǎng)，每位顧客只能進(jìn)行一輪抽獎(jiǎng).已知顧客

從不透明的盒子取出標(biāo)有“吉”“安”“和”“祥”“康”“順”字樣小球的概率均為g,且顧客取出小球的結(jié)果相互獨(dú)

立.

(1)求顧客中獎(jiǎng)的概率；

(2)若小明一家三口參加這個(gè)抽獎(jiǎng)活動(dòng)，求小明全家中獎(jiǎng)次數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望.

題型十超幾何分布

例題1：(2425高三上?江蘇?期末)某新能源汽車公司對(duì)其銷售的A,8兩款汽車向消費(fèi)者進(jìn)行滿意度調(diào)查，

從購(gòu)買這兩款汽車消費(fèi)者中各隨機(jī)抽取10名進(jìn)行評(píng)分調(diào)查(滿分100分)，評(píng)分結(jié)果如下：

數(shù)據(jù)I(A型車＞67,81,73,80,81,77,86,85,90,90；

數(shù)據(jù)n(2型車):61,76,81,67,72,87,86,95,93,90.

(1)求數(shù)據(jù)I的25百分位數(shù)；

(2)該公司規(guī)定評(píng)分在75分以下的為不滿意，從上述不滿意的消費(fèi)者中隨機(jī)抽取3人溝通不滿意的原因及改

進(jìn)建議，設(shè)被抽到的3人中購(gòu)買2型車的消費(fèi)者人數(shù)為X,求X的概率分布及數(shù)學(xué)期望.

例題2：(2425高三上?江蘇南京?期中)某人工智能研究實(shí)驗(yàn)室開發(fā)出一款全新聊天機(jī)器人，它能夠通過學(xué)

習(xí)和理解人類的語言來進(jìn)行對(duì)話.聊天機(jī)器人的開發(fā)主要采用RLHF(人類反饋強(qiáng)化學(xué)習(xí))技術(shù)，在測(cè)試它

時(shí)，如果輸入的問題沒有語法錯(cuò)誤，則它的回答被采納的概率為80%,當(dāng)出現(xiàn)語法錯(cuò)誤時(shí)，它的回答被采

納的概率為40%.

(1)在某次測(cè)試中輸入了8個(gè)問題，聊天機(jī)器人的回答有5個(gè)被采納，現(xiàn)從這8個(gè)問題中抽取4個(gè)，以X表

示抽取的問題中回答被采納的問題個(gè)數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（2）設(shè)輸入的問題出現(xiàn)語法錯(cuò)誤的概率為0,若聊天機(jī)器人的回答被采納的概率為70%,求p的值.

例題3：（2425高三上?北京?階段練習(xí)）某市A,8兩所中學(xué)的學(xué)生組隊(duì)參加信息聯(lián)賽，A中學(xué)推薦了3名

男生、2名女生.6中學(xué)推薦了3名男生、4名女生.兩校所推薦的學(xué)生一起參加集訓(xùn).由于集訓(xùn)后隊(duì)員水平相

當(dāng)，從參加集訓(xùn)的男生中隨機(jī)抽取3人、女生中隨機(jī)抽取3人組成代表隊(duì)參賽.

（1）求A中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊(duì)的概率；

（2）設(shè)X表示A中學(xué)參賽的男生人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

⑶已知3名男生的比賽成績(jī)分別為76,80,84,3名女生的比賽成績(jī)分別為77,a（aeN*）,81,若3名

男生的比賽成績(jī)的方差大于3名女生的比賽成績(jī)的方差，寫出。的取值范圍（不要求過程）.

鞏固訓(xùn)練

1.（多選）（2024高三.全國(guó)?專題練習(xí)）某工廠進(jìn)行產(chǎn)品質(zhì)量抽測(cè)，兩位員工隨機(jī)從生產(chǎn)線上各抽取數(shù)量

相同的一批產(chǎn)品，已知在兩人抽取的一批產(chǎn)品中均有5件次品，員工A從這一批產(chǎn)品中有放回地隨機(jī)抽取3

件產(chǎn)品，員工B從這一批產(chǎn)品中無放回地隨機(jī)抽取3件產(chǎn)品.設(shè)員工A抽取到的3件產(chǎn)品中次品數(shù)量為X,

員工2抽取到的3件產(chǎn)品中次品數(shù)量為匕k=Q,1,2,3.則下列判斷正確的是（）

A.隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B.隨機(jī)變量y服從超幾何分布

C.P（X=k）<P（Y=k）D.E（X）=E（y）

2.（2425高三上?江蘇揚(yáng)州?期末）已知給定兩個(gè)集合A={l,2,3,4},3={a,6,c},從兩個(gè)集合中各隨機(jī)取出

兩個(gè)元素合并成一個(gè)集合C.

（1）若AC3={1},求集合C中恰有三個(gè)元素的概率；

（2）若A3={1,3},設(shè)集合C中元素的個(gè)數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列與期望.

3.（2425高二上?江西南昌?期末）袋中裝有12個(gè)大小相同的球，其中紅球2個(gè)，黃球3個(gè)，白球7個(gè)，從

中隨機(jī)取出3個(gè)球.

⑴求取出的3個(gè)球中有2個(gè)白球的概率；

（2）設(shè)X表示取到的紅球個(gè)數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

題型十一正態(tài)分布

例題1：（2425高二上?吉林?期末）某學(xué)校高二年級(jí)數(shù)學(xué)聯(lián)考成績(jī)XN（80,625）,如果規(guī)定大于或等于105

分為數(shù)學(xué)成績(jī)“良好”，那么在參加考試的學(xué)生中隨機(jī)選擇一名，他的數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)椤傲己谩钡母怕适牵ǎ?/p>

（提示：若貝!|P（〃-b<X<〃+b）=0.6827,P（〃—2b<X<〃+2cr）=0.9545,

尸(〃—3b<Xv〃+3b)=0.9973)=0,9973)

A.0.0455B.0.15865C.0.3173D.0.34135

例題2：(多選)(2425高三上?安徽?期末)已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布Nj,4)。>。)，則下列結(jié)論正

確的是()

A,若P(〃<X<〃+cr)=7〃，貝I]P(X>〃-b)="z+g

B.P(/J-3cr<X<〃+2cr)=尸(〃-2a<X</J+3<r)

C.若〃=%則P(X>-b)=P(X<2b)

D.2P(X>〃-2cr)>尸(X>〃-3cr)+P(X>〃-cr