第二章《長(zhǎng)方體（一）》知識(shí)歸納與題型突破-2024-2025學(xué)年北師大版五年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)

第二章長(zhǎng)方體（一）知識(shí)歸納與題型突破

01思維導(dǎo)圖

02知識(shí)速記

一、長(zhǎng)方體、正方體的特征及拼組

1.長(zhǎng)方體有8個(gè)頂點(diǎn),6個(gè)面，每個(gè)面都是長(zhǎng)方形（特殊情況下有2個(gè)相對(duì)的面是正方形）；

相對(duì)的面面積相等；有12條棱，可以分為3組，分別叫長(zhǎng)、寬、高。相對(duì)的棱長(zhǎng)度相等。

2.正方體有8個(gè)頂點(diǎn)，6個(gè)面，每個(gè)面都相同，都是正方形；有12條棱，每條棱的長(zhǎng)度

都相等。

3.正方體可以看成是長(zhǎng)、寬、高都相等的特殊長(zhǎng)方體。

二、長(zhǎng)方體、正方體的展開與折疊

1.正方體的展開圖是由6個(gè)完全相同的正方形組成的組合圖形，有11種；相對(duì)的面完全

隔開，正方形的邊長(zhǎng)是正方體的棱長(zhǎng)。

2.長(zhǎng)方體的展開圖可按上下、前后、左右對(duì)應(yīng)的面進(jìn)行組合、折疊成原來(lái)的形狀。

三、長(zhǎng)方體表面積的意義和計(jì)算方法

1.長(zhǎng)方體和正方體6個(gè)面的面積之和就是他們的表面積。

2.長(zhǎng)方體的表面積計(jì)算方法=長(zhǎng)又寬X2+長(zhǎng)義高X2+高X寬X2

=（長(zhǎng)X寬+長(zhǎng)義高+高X寬）X2

3.正方體的表面積=棱長(zhǎng)X棱長(zhǎng)義6

四'正方體組合體露在外面的面積計(jì)算方法

1.計(jì)算堆放在墻角的正方體搭成的組合體露在外面的面積時(shí)，要先數(shù)出露在外面的面的總

個(gè)數(shù)，再用一個(gè)面的面積乘面的總個(gè)數(shù)。

2.數(shù)堆放在一起的正方體搭成的組合體露在外面的面的個(gè)數(shù)時(shí)，要先觀察正方體的擺放特

點(diǎn)，再?gòu)闹姓衣对谕饷娴拿娴膫€(gè)數(shù)與正方體的個(gè)數(shù)之間存在的規(guī)律。

03題型歸納

題型一長(zhǎng)方體、正方體的特征及拼組

例1.（2024秋?東?？h期中）媽媽的生日快到了，瑩瑩精心選了一個(gè)小禮物表達(dá)自己對(duì)媽媽

的感激之情，并用一個(gè)長(zhǎng)20cm、寬18cm、高6cm的長(zhǎng)方體禮盒裝起來(lái)?，F(xiàn)在她需要一根彩

帶捆扎禮盒（打結(jié)處的彩帶長(zhǎng)12cm）,一共需要彩帶多少厘米？

【分析】彩帶的總長(zhǎng)包括2條長(zhǎng)、2條寬、4條高及打結(jié)處的長(zhǎng)度，據(jù)此解答。

【解答】解：20X2+18X2+6X4+12

=40+36+24+12

=112（厘米）

答：一共需要彩帶112厘米。

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了長(zhǎng)方體棱長(zhǎng)總和計(jì)算方法的應(yīng)用。

鞏固訓(xùn)練

1.（2024秋?鹽都區(qū)期中）如圖，有一個(gè)長(zhǎng)6分米、寬4分米、高都是3分米的長(zhǎng)方體硬紙

箱，如果用繩子將箱子橫著捆兩道，長(zhǎng)著捆一道，打結(jié)處共用20厘米。一共要用繩子多長(zhǎng)？

【分析】根據(jù)長(zhǎng)方體的特征，相對(duì)的棱的長(zhǎng)度相等，由圖形可知：所需繩子的長(zhǎng)度等于2條長(zhǎng)

+4條寬+6條高+打結(jié)用的20厘米，據(jù)此解答。

【解答】解：20厘米=2分米

6X2+4X4+3X6+2

=12+16+18+2

=48（分米）

答：一共用繩子48分米。

【點(diǎn)評(píng)】此題考查的目的是理解掌握長(zhǎng)方體的特征，以及棱長(zhǎng)和的計(jì)算方法，關(guān)鍵是弄清如何

捆扎的。

2.（2024春?博白縣期末）請(qǐng)把“正方體”和“長(zhǎng)方體”分別填入如圖韋恩圖中的相應(yīng)括號(hào)

里，以正確表示它們的關(guān)系。

【分析】長(zhǎng)方體和正方體都有6個(gè)面，12條棱，8個(gè)頂點(diǎn)，當(dāng)長(zhǎng)方體的12條棱全部相等時(shí)，

就是正方體，正方體是特殊的長(zhǎng)方體。

【解答】解：如圖:

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了長(zhǎng)方體和正方體的特征。

3.（2023?金安區(qū)）有一個(gè)立方體，每個(gè)面上分別寫著數(shù)字1、2、3、4、5、6,有三個(gè)人從

不同角度觀察的結(jié)果如圖所示，那么這個(gè)立方體1的對(duì)面是,3的對(duì)面是,

圖2：正面為3,上面為2,右面為1；

圖3：正面為4,上面為5,右面為3；

由圖1和圖2可以確定1的對(duì)面是5,由圖1和圖3可以確定4的對(duì)面是2,由此解答.

【解答】解：根據(jù)題意可知：1的對(duì)面不能是6、4和2、3,所以1對(duì)5；

4的對(duì)面不能是1、6和3、5,所以4對(duì)2；

剩下的是3對(duì)6；

故答案為：5,6,2.

【點(diǎn)評(píng)】注意正方體的空間圖形，從相對(duì)面入手，分析及解答問(wèn)題.

題型二長(zhǎng)方體、正方體的展開與折疊

例2.（2024春?濱江區(qū)校級(jí)期中）如圖是一個(gè)長(zhǎng)方體紙盒的展開圖。（單位：厘米）這個(gè)長(zhǎng)

【分析】根據(jù)圖上的信息可知長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為（21-5）厘米，寬為10厘米，高為5厘米，根據(jù)

長(zhǎng)方體的表面積=（長(zhǎng)X寬+長(zhǎng)X高+寬X高）X2,代入數(shù)值即可求出這個(gè)長(zhǎng)方體紙盒的表面

積。

【解答】解：21-5=16（厘米）

（16X10+16X5+10X5）X2

=（160+80+50）X2

=290X2

=580（平方厘米）

答：這個(gè)長(zhǎng)方體紙盒的表面積是580平方厘米。

【點(diǎn)評(píng)】本題考查長(zhǎng)方體表面積的計(jì)算及應(yīng)用。理解題意，找出數(shù)量關(guān)系，列式計(jì)算即可。

鞏固訓(xùn)練

1.（2024春?未央?yún)^(qū)期中）如圖中每個(gè)方格的邊長(zhǎng)都是1厘米，請(qǐng)按要求回答下面各題。

(1)如圖中是一個(gè)不完整的長(zhǎng)方體展開圖，請(qǐng)?jiān)诤线m的位置把缺少的面添上。

(2)觀察并想象，與★相對(duì)的面的面積是平方厘米。

【分析】(1)根據(jù)長(zhǎng)方體的展開圖畫出缺少的一個(gè)面即可；

(2)和★相對(duì)的面的面積即是含有★這個(gè)面的面積，根據(jù)“長(zhǎng)方形的面積公式=長(zhǎng)乂寬”即

可求解。

答：與★相對(duì)的面的面積是2平方厘米。

故答案為：2。

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了長(zhǎng)方體的展開圖的應(yīng)用。

2.(2024?西城區(qū))如圖是一個(gè)正方體紙盒，將它的上半部分涂上顏色。

(1)如果正方體紙盒的棱長(zhǎng)為4dm,那么涂色部分的面積是多少平方分米?

(2)請(qǐng)?jiān)谌鐖D的展開圖中把涂色部分補(bǔ)充完整。

【分析】(1)讀題可知：涂色部分的面積正好占原來(lái)正方體表面積的一半，據(jù)此作答即可。

(2)看圖發(fā)現(xiàn)：展開圖中整個(gè)正方形涂滿顏色的面對(duì)應(yīng)的是正方體的上底面，除了與它相對(duì)

的下底面(展開圖中最左端的正方形)不用涂色以外，其中“相鄰”的面都要各涂一半。

【解答】解：(1)4X4X64-2

=16X64-2

=964-2

=48（平方分米）

答：涂色部分的面積是48平方分米。

（2）如圖。

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)主要包括兩個(gè)：一是關(guān)于正方體的表面積的計(jì)算問(wèn)題，二是關(guān)于正

方體表面展開圖的認(rèn)識(shí)與應(yīng)用問(wèn)題。

3.（2024?西城區(qū)）圖是正方體的展開圖。在圖中標(biāo)上數(shù)，再把它還原成正方體，相交于同一

頂點(diǎn)的三個(gè)面上的數(shù)的和最大是。

【分析】“1—4—1”型正方體的展開圖，“1”和“4”是相對(duì)面，“3”和“2”是相對(duì)面，“5”

和“6”是相對(duì)面，相交于同一頂點(diǎn)的三個(gè)面是相鄰面，并且三個(gè)面不在同一行，據(jù)此解答。

【解答】解：中間一行相鄰的兩個(gè)面最大的兩個(gè)數(shù)是“3”和“4”，另外一個(gè)面最大是“6”。

3+4+6=13

所以，相交于同一頂點(diǎn)的三個(gè)面上的數(shù)的和最大是13。

故答案為：13。

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正方體的展開圖，理解三個(gè)相鄰的面不在同一行是解答題目的關(guān)鍵。

題型三長(zhǎng)方體表面積的意義和計(jì)算方法

例3.（2023秋?南京期末）已知②號(hào)正方體的棱長(zhǎng)是①號(hào)的2倍。王師傅給①號(hào)正方體的表

面刷油漆，正好用了1罐。錢師傅準(zhǔn)備給②號(hào)正方體的表面刷油漆，錢師傅說(shuō)“那我準(zhǔn)備

這樣的2罐油漆就夠了?！卞X師傅說(shuō)對(duì)了嗎？為什么？（可以寫一寫，算一算）

同同

【分析】根據(jù)“正方體表面積=六個(gè)正方形面積之和”分別求出①號(hào)和②號(hào)正方體的表面積,

用②號(hào)正方體的表面積除以①號(hào)正方體的表面積即是②號(hào)正方體刷油漆需要的罐數(shù)。

【解答】解：錢師傅說(shuō)得不對(duì)。

假設(shè)①號(hào)正方體的棱長(zhǎng)是1,則②號(hào)正方體的棱長(zhǎng)是2。

①號(hào)正方體的表面積是：1X1X6=6

②號(hào)正方體的表面積是：2X2X6=24

244-6=4（罐）

即王師傅給①號(hào)正方體的表面刷油漆，正好用了1罐。錢師傅準(zhǔn)備給②號(hào)正方體的表面刷油漆,

錢師傅需要4罐。

答：錢師傅說(shuō)得不對(duì)，因?yàn)樗枰?罐。

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方體表面積計(jì)算的應(yīng)用。

鞏固訓(xùn)練

1.（2024秋?洪澤區(qū)期中）求如圖的表面積。

【分析】根據(jù)正方體的表面積=棱長(zhǎng)X棱長(zhǎng)X6,把數(shù)據(jù)代入公式解答。

【解答】解：0.5X0.5X6

=0.25X6

=1.5（平方分米）

答：這個(gè)正方體的表面積是1.5平方分米。

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查正方體表面積公式的靈活運(yùn)用，關(guān)鍵是熟記公式。

2.（2024春?大冶市期末）如圖，將一個(gè)長(zhǎng)方體分割成兩個(gè)小長(zhǎng)方體，分別按A、B、C三種

方式進(jìn)行分割后，表面積分別增加了12平方厘米、24平方厘米、16平方厘米。原來(lái)這個(gè)

長(zhǎng)方體的表面積是多少平方厘米？

S3S

ABC

【分析】通過(guò)觀察圖形可知，用三種不同的方式把這個(gè)長(zhǎng)方體分割成兩個(gè)小長(zhǎng)方體，每切割一

次就增加兩個(gè)切面的面積；從左往右，圖A是平行于左右面切，增加2個(gè)寬X高的面積；圖B

是平行于前后面切，增加2個(gè)長(zhǎng)X高的面積；圖C是平行于上下面切，增加2個(gè)長(zhǎng)X寬的面積；

根據(jù)長(zhǎng)方體的表面積=長(zhǎng)X寬X2+長(zhǎng)X高X2+寬X高X2,三種方式切割增加的表面積之和就

是原來(lái)長(zhǎng)方體的表面積。

【解答】解：12+24+16

=36+16

=52(平方厘米)

答：原來(lái)這個(gè)長(zhǎng)方形的表面積是52平方厘米。

【點(diǎn)評(píng)】明確立體圖形切割時(shí)，增加的表面積是哪些面的面積。

3.(2024秋?淮安月考)一種長(zhǎng)方體的廣告燈箱，框架由鋁合金條制成，各個(gè)面由燈箱布圍

成。制作一個(gè)這樣的廣告燈箱：

(1)至少需要鋁合金條多少米？

(2)需要燈箱布多少平方米？

f米

0.8米\界

【分析】(1)根據(jù)長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)總和=(長(zhǎng)+寬+高)X4,把數(shù)據(jù)代入公式解答。

(2)根據(jù)長(zhǎng)方體的表面積=(長(zhǎng)X寬+長(zhǎng)X高+寬X高)X2,把數(shù)據(jù)代入公式解答。

【解答】解:(1)(0.8+1.5+1.2)X4

=3,5X4

=14(米)

答：至少需要鋁合金條14米。

(2)(0.8X1.5+0.8X1.2+1,5X1.2)X2

=(1.2+0.96+1.8)X2

=3.96X2

=7.92(平方米)

答：需要燈箱布7.92平方米。

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)總和公式、長(zhǎng)方體的表面積公式的靈活運(yùn)用，關(guān)鍵是熟記

公式。

題型四正方體組合體露在外面的面積計(jì)算方法

例4.(2023春?湖濱區(qū)期中)如圖，王樂在墻角處用棱長(zhǎng)為1cm厘米的小正方體搭建了一個(gè)

長(zhǎng)方體進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)了很多奧秘，你也是火眼金睛，試試吧：

(1)有三個(gè)面露在外面的小正方體有個(gè)；

(2)有兩個(gè)面露在外面的小正方體有個(gè)；

(3)只有一個(gè)面露在外面的小正方體有個(gè)，露在外面的面積是cm2,這

個(gè)長(zhǎng)方體的體積是cm'

///

【分析】(1)有三個(gè)面露在外面的小正方體在長(zhǎng)方體不靠墻面和地面的頂點(diǎn)處，如圖

(2)兩個(gè)面露在外面的小正方體，如圖

(3)只有一個(gè)面露在外面的小正方體，如圖;邊長(zhǎng)1cm的小正方形，面積是

1cm2,據(jù)此從前面、右面和上面數(shù)出露在外面的小正方形個(gè)數(shù)就是露在外面的面積；分別數(shù)出

長(zhǎng)'寬、高，根據(jù)長(zhǎng)方體體積=長(zhǎng)*寬X高，計(jì)算出體積即可。

【解答】解：(1)有三個(gè)面露在外面的小正方體有1個(gè)；

(2)有兩個(gè)面露在外面的小正方體有4個(gè)；

(3)1X1=1(平方厘米)

4+6+6

=10+6

=16（個(gè)）

16X1=16（平方厘米）

3X2X2

=6X2

=12（立方厘米）

答：只有一個(gè)面露在外面的小正方體有5個(gè)，露在外面的面積是16平方厘米，這個(gè)長(zhǎng)方體的

體積是12立方厘米。

故答案為：1;4；5,16,12o

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了立體圖形的拼組知識(shí)，關(guān)鍵是認(rèn)真觀察，掌握并靈活運(yùn)用長(zhǎng)方體表面積和

體積公式。

鞏固訓(xùn)練

1.（2023春?惠來(lái)縣期末）如圖所示，某藝術(shù)館要給墻角處的三個(gè)正方體木箱（大小一樣）

露在外面的面刷油漆，每平方米需要250克油漆，已知一個(gè)木箱的棱長(zhǎng)是20厘米，則一共

需要多少克油漆？

【分析】先數(shù)出露在的面的個(gè)數(shù)，從正面看有3個(gè)面露在外面，從上面看有2個(gè)面積露在外面，

從右邊看有2個(gè)面露在外面，一共有3+2+2個(gè)面露在外面；再根據(jù)正方形面積公式：面積=邊

長(zhǎng)X邊長(zhǎng)，代入數(shù)據(jù)，求出正方體一個(gè)面的面積，再乘露在外面面的個(gè)數(shù)，求出需要刷油漆的

面積，再乘250,即可求出需要油漆的數(shù)量。

【解答】解：3+2+2=7（個(gè)）

20厘米=0.2米

0.2X0,2X7X250

=0.28X250

=70（克）

答：一共需要70克油漆。

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正方體表面積公式的應(yīng)用。

2.（2023春?河源期中）將6個(gè)棱長(zhǎng)都是3厘米的正方體如下圖擺放，露在外面的面有幾個(gè)？

露在外面的面積是多少？

【分析】觀察圖形知道，從上面看到4個(gè)正方形面，從前面看到3個(gè)正方形面，從右面看到4

個(gè)正方形的面，所以露在外面的面一共是4+3+4=11（個(gè)），由此根據(jù)正方形的面積公式S=a

Xa,求出一個(gè)正方形的面積，再乘11即可。

【解答】解:4+3+4=11（個(gè)）

3X3X11

=9X11

=99（平方厘米）

答：露在外面的面有11個(gè)，露在外面的面積是99平方厘米。

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了運(yùn)用正方體的表