高中數(shù)學(xué)第二章點(diǎn)直線平面之間的位置關(guān)系章末總結(jié)

章末總結(jié)1/45網(wǎng)絡(luò)建構(gòu)2/45知識(shí)辨析判斷以下說法是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中填“√”或“×”)1.假如一條直線過平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn),那么這條直線與這個(gè)平面有且只有一個(gè)交點(diǎn).(

)√2.假如兩個(gè)平面有一個(gè)交點(diǎn),則這兩個(gè)平面有一條過這個(gè)點(diǎn)公共直線.(

)3.假如兩個(gè)平面平行,則這兩個(gè)平面沒有交點(diǎn).(

)4.若一條直線上有兩個(gè)點(diǎn)在某一平面內(nèi),則這條直線上有沒有數(shù)個(gè)點(diǎn)在這個(gè)平面內(nèi).(

)5.平行于同一條直線兩個(gè)平面平行.(

)6.一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)三條直線,則這條直線垂直于這個(gè)平面.(

)√√√××3/457.兩個(gè)相交平面組成圖形叫做二面角.(

)8.垂直于同一條直線兩個(gè)平面平行.(

)9.垂直于同一個(gè)平面兩條直線平行.(

)10.過一點(diǎn)垂直于一個(gè)平面直線有且只有一條.(

)×√√√4/45題型探究真題體驗(yàn)5/45題型探究·素養(yǎng)提升題型一平面基本性質(zhì)應(yīng)用【典例1】在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是CC1和AA1中點(diǎn),畫出平面BED1F與平面ABCD交線,并說明理由.6/45解:在平面AA1D1D內(nèi),延長(zhǎng)D1F,因?yàn)镈1F與DA不平行,所以D1F與DA必相交于一點(diǎn),設(shè)為P,則P∈FD1,P∈DA.又因?yàn)镈1F?平面BED1F,DA?平面ABCD,所以P∈平面BED1F,P∈平面ABCD,所以P為平面BED1F與平面ABCD公共點(diǎn).又B為平面ABCD與平面BED1F公共點(diǎn),所以連接PB(如圖),PB即為平面BED1F與平面ABCD交線.7/45規(guī)律方法證實(shí)三線共點(diǎn)慣用方法是先證實(shí)兩條直線共面且相交于一點(diǎn);然后證實(shí)這個(gè)點(diǎn)在兩個(gè)平面內(nèi),于是該點(diǎn)在這兩個(gè)平面交線上,從而得到三線共點(diǎn).也能夠證實(shí)直線a、b相交于一點(diǎn)A,直線b與c相交于一點(diǎn)B,再證實(shí)A、B是同一點(diǎn),從而得到a、b、c三線共點(diǎn).8/45即時(shí)訓(xùn)練1-1:已知正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為C1D1,B1C1中點(diǎn),AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q,求證:(1)D,B,F,E四點(diǎn)共面;證實(shí):(1)因?yàn)镋,F分別為C1D1,B1C1中點(diǎn),所以EF是△B1C1D1中位線,所以EF∥D1B1,因?yàn)锳BCD-A1B1C1D1是正方體,所以BB1∥DD1,BB1=DD1,所以BB1D1D是平行四邊形,所以DB∥D1B1,所以EF∥DB,所以D,B,F,E共面.9/45(2)若A1C∩平面DBFE=R,則P,Q,R三點(diǎn)共線.證實(shí):(2)因?yàn)锳C∩BD=P,A1C1∩EF=Q,所以PQ是平面AA1C1C和平面DBFE交線,因?yàn)锳1C交平面DBFE于R點(diǎn),所以R是平面AA1C1C和平面DBFE一個(gè)公共點(diǎn),因?yàn)閮上嘟黄矫嫒抗颤c(diǎn)都在這兩平面交線上,所以P,Q,R三點(diǎn)共線.10/45題型二空間線面位置關(guān)系證實(shí)【典例2】

在三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)棱與底面垂直,∠BAC=90°,AB=AA1,點(diǎn)M,N分別為A1B和B1C1中點(diǎn).(1)證實(shí):A1M⊥平面MAC;11/45(2)證實(shí):MN∥平面A1ACC1.證實(shí):(2)連接AB1,AC1,由題意知,點(diǎn)M,N分別為AB1和B1C1中點(diǎn),所以MN∥AC1.又MN?平面A1ACC1,AC1?平面A1ACC1,所以MN∥平面A1ACC1.12/45方法技巧空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面之間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化主要有:(1)平行關(guān)系轉(zhuǎn)化.13/45(3)平行與垂直轉(zhuǎn)化.14/45即時(shí)訓(xùn)練2-1:(·北京卷)如圖,在四棱錐P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,AB∥DC,DC⊥AC,(1)求證:DC⊥平面PAC;(1)證實(shí):因?yàn)镻C⊥平面ABCD,所以PC⊥DC.又因?yàn)镈C⊥AC,所以DC⊥平面PAC.15/45(2)證實(shí):因?yàn)锳B∥DC,DC⊥AC,所以AB⊥AC.因?yàn)镻C⊥平面ABCD,所以PC⊥AB.所以AB⊥平面PAC.所以平面PAB⊥平面PAC.(2)求證:平面PAB⊥平面PAC;16/45(3)設(shè)點(diǎn)E為AB中點(diǎn),在棱PB上是否存在點(diǎn)F,使得PA∥平面CEF?說明理由.17/45題型三空間位置關(guān)系證實(shí)與空間角計(jì)算【典例3】如圖,三角形PDC所在平面與長(zhǎng)方形ABCD所在平面垂直,PD=PC=4,AB=6,點(diǎn)E是CD邊中點(diǎn),點(diǎn)F,G分別在線段AB,BC上.(1)證實(shí):PE⊥FG;(1)證實(shí):因?yàn)镻D=PC,點(diǎn)E為DC中點(diǎn),所以PE⊥DC.又因?yàn)槠矫鍼DC⊥平面ABCD,平面PDC∩平面ABCD=DC,所以PE⊥平面ABCD.又FG?平面ABCD,所以PE⊥FG.18/45(2)求二面角P-AD-C正切值.19/45規(guī)律方法求角度問題時(shí),不論哪種情況最終都?xì)w結(jié)到兩條相交直線所成角問題上,求角度解題步驟是:(1)找出這個(gè)角;(2)證該角符合題意;(3)結(jié)構(gòu)出含這個(gè)角三角形,解這個(gè)三角形,求出角.空間角包含以下三類:①兩條異面直線所成角,找兩條異面直線所成角,關(guān)鍵是選取適當(dāng)點(diǎn)引兩條異面直線平行線,這兩條相交直線所成銳角或直角即為兩條異面直線所成角.②求直線與平面所成角關(guān)鍵是確定斜線在平面內(nèi)射影.③求二面角關(guān)鍵是作出二面角平面角,而作二面角平面角時(shí),首先要確定二面角棱,然后結(jié)合題設(shè)結(jié)構(gòu)二面角平面角.20/45即時(shí)訓(xùn)練3-1:(·河北唐山期中)如圖,三棱柱ABC-A1B1C1底面ABC是等腰直角三角形,AB=AC=1,側(cè)棱AA1⊥底面ABC,且AA1=2,E是BC中點(diǎn).21/45(1)求異面直線AE與A1C所成角余弦值;22/45(2)求直線A1C與平面BCC1B1所成角正切值.23/45題型四空間幾何體中位置關(guān)系證實(shí)與體積計(jì)算【典例4】(·北京卷)如圖,在三棱錐P-ABC中,PA⊥AB,PA⊥BC,AB⊥BC,PA=AB=BC=2,D為線段AC中點(diǎn),E為線段PC上一點(diǎn).(1)求證:PA⊥BD;(1)證實(shí):因?yàn)镻A⊥AB,PA⊥BC,所以PA⊥平面ABC,又因?yàn)锽D?平面ABC,所以PA⊥BD.24/45(2)求證:平面BDE⊥平面PAC;(2)證實(shí):因?yàn)锳B=BC,D為AC中點(diǎn),所以BD⊥AC.由(1)知,PA⊥BD,所以BD⊥平面PAC.所以平面BDE⊥平面PAC.25/45(3)當(dāng)PA∥平面BDE時(shí),求三棱錐E-BCD體積.26/45規(guī)律方法(1)求空間幾何體體積關(guān)鍵是確定幾何體高,若幾何體高輕易求出,可直接代入體積公式計(jì)算,不然可用以下方法進(jìn)行轉(zhuǎn)化:①等體積轉(zhuǎn)化法:對(duì)于三棱錐因?yàn)槿魏我粋€(gè)面都可作為底面,所以在求三棱錐體積時(shí),可將其轉(zhuǎn)化為底面積和高都易求形式求解.②補(bǔ)體法:將幾何體補(bǔ)成易求體積幾何體,再依據(jù)它們體積關(guān)系求解.③分割法:將幾何體分割為易求體積幾部分,分別求解再求和.(2)相關(guān)平面圖形翻折成空間圖形問題,應(yīng)注意翻折前后各元素(直線、線段、角)相對(duì)位置(平行、垂直)和數(shù)量改變,搞清楚哪些發(fā)生了改變、哪些不變.27/45即時(shí)訓(xùn)練4-1:(·陜西延安期末)如圖,四邊形ABCD是正方形,O是正方形中心,PO⊥底面ABCD,E是PC中點(diǎn).PO=,AB=2.(1)求棱錐P-ABCD體積;28/45(2)求證:平面PAC⊥平面BDE.(2)證實(shí):因?yàn)镻O⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,所以PO⊥BD,因?yàn)锳BCD是正方形,所以AC⊥BD,因?yàn)镻O∩AC=O,所以BD⊥平面PAC,因?yàn)锽D?平面BDE,所以平面PAC⊥平面BDE.29/45題型五易錯(cuò)辨析——推理過程不嚴(yán)謹(jǐn)造成錯(cuò)誤【典例5】如圖,已知E,F分別是正方體ABCD-A1B1C1D1棱AA1,CC1上點(diǎn),且AE=C1F.求證:四邊形EBFD1是平行四邊形.錯(cuò)解:因?yàn)槠矫鍭1ADD1∥平面B1BCC1,D1E=平面A1ADD1∩平面BFD1E,BF=平面B1BCC1∩平面BFD1E,所以D1E∥FB.同理可得D1F∥EB.所以四邊形EBFD1是平行四邊形.糾錯(cuò):錯(cuò)解中盲目地認(rèn)為E,B,F,D1四點(diǎn)共面,由已知條件并不能說明這四點(diǎn)共面,同時(shí)條件AE=C1F也沒有用到.30/4531/451.(·全國(guó)Ⅰ卷,文6)如圖,在以下四個(gè)正方體中,A,B為正方體兩個(gè)頂點(diǎn),M,N,Q為所在棱中點(diǎn),則在這四個(gè)正方體中,直線AB與平面MNQ不平行是(

)真題體驗(yàn)·素養(yǎng)升級(jí)A32/45解析:如圖,O為正方形CDBE兩條對(duì)角線交點(diǎn),從而O為BC中點(diǎn),在△ACB中,OQ為中位線,所以O(shè)Q∥AB,OQ∩平面MNQ=Q,所以,AB與平面MNQ相交,而不是平行,故選A.33/452.(·全國(guó)Ⅲ卷,文10)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為棱CD中點(diǎn),則(

)(A)A1E⊥DC1 (B)A1E⊥BD(C)A1E⊥BC1 (D)A1E⊥ACC34/453.(·全國(guó)Ⅰ卷,文18)如圖,在四棱錐P-ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.(1)證實(shí):平面PAB⊥平面PAD;(1)證實(shí):由已知∠BAP=∠CDP=90°,得AB⊥AP,CD⊥PD.因?yàn)锳B∥CD,故AB⊥PD,從而AB⊥平面PAD.又AB?平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAD.35/45(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,且四棱錐P-ABCD體積為,求該四棱錐側(cè)面積.36/454.(·全國(guó)Ⅱ卷,文18)如圖,四棱錐P-ABCD中,側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=AD,∠BAD=∠ABC=90°.37/45(1)證實(shí):直線BC∥平面PAD;38/45(2)若△PCD面積為2,求四棱錐P-ABCD體積.39/455.(·全國(guó)Ⅲ卷,文19)如圖,四面體ABCD中,△ABC是正三角形,AD=CD.(1)證實(shí):AC⊥BD;40/45(2)已知△ACD是直角三角形,AB=BD.若E為棱BD上與D不重合點(diǎn),且AE⊥EC,求四面體ABCE與四面體ACDE體積比.41/456.(·山東卷,文18)由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱錐C1-B1CD1后得到幾何體如圖所表示.四邊形ABCD為正方形,O為AC與BD交點(diǎn),E為AD中點(diǎn),A1E⊥平面ABCD.42/45(1)證實(shí):A1O∥平面B1CD1;43/45(2)設(shè)M是OD中點(diǎn),證實(shí):平面A1EM⊥平面B