河南省新鄉(xiāng)市2025屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）

高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部?jī)?nèi)容.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.（）A B.C. D.2.（）A.16 B. C.32 D.3.曲線的長(zhǎng)度為（）A B. C. D.4.已知，都是非零向量，定義新運(yùn)算，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.曲率是用于描述曲線在某一點(diǎn)處彎曲程度的量，對(duì)于平面曲線，其曲率（是的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)），曲率半徑是曲率的倒數(shù)，其表示與曲線在某點(diǎn)處具有相同彎曲程度圓的半徑.已知質(zhì)點(diǎn)以恒定速率沿曲率半徑為的曲線作曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，向心加速度的大小為.若該質(zhì)點(diǎn)以恒定速率沿形狀滿足的光滑軌道運(yùn)動(dòng)，則其在點(diǎn)處的向心加速度的大小為（）A. B. C. D.6.若為雙曲線：上異于，的動(dòng)點(diǎn)，且直線與的斜率之積為5，則的漸近線方程為（）A. B. C. D.7.已知隨機(jī)變量，，則的最大值為（）A.9 B. C. D.8.設(shè)是關(guān)于的方程的一個(gè)實(shí)根，其中為常數(shù)，則（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.將函數(shù)圖象上每個(gè)點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，則（）A. B.的最小正周期為C.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 D.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱10.已知為曲線：上一點(diǎn)，，，，點(diǎn)到直線：，：，：的距離分別為，，，則（）A.存在無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)，使得B.存無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)，使得C.存在無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)，使得D.僅存在一個(gè)點(diǎn)，使得且11.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，，則（）A. B.是增函數(shù)C. D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若分別為奇函數(shù)、偶函數(shù)，，且，則______.13.已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列的公差為，且是等差數(shù)列，則______.14.一個(gè)整數(shù)的各位數(shù)字之和記為，例如.用0，1，4，6，7，8組成的無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)按照從小到大的順序排列為，則______，的平均數(shù)為______.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.《九章算術(shù)·商功》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑.如圖，在四面體中，平面，，且，，.（1）證明：四面體為鱉臑；（2）若直線平面，求直線與所成角的余弦值.16.如圖，點(diǎn)，，，，均在直線上，且，質(zhì)點(diǎn)與質(zhì)點(diǎn)均從點(diǎn)出發(fā)，兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)每次都只能向左或向右移動(dòng)1個(gè)單位長(zhǎng)度，兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)每次移動(dòng)時(shí)向左移動(dòng)的概率均為，每個(gè)質(zhì)點(diǎn)均移動(dòng)2次.已知每個(gè)質(zhì)點(diǎn)移動(dòng)2次后到達(dá)的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的積分如下表所示，設(shè)隨機(jī)變量為兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)各自移動(dòng)2次后到達(dá)的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的積分之和.

積分0100200（1）求質(zhì)點(diǎn)移動(dòng)2次后到達(dá)的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的積分為0的概率；（2）求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.17.的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且.（1）求；（2）若，，求內(nèi)切圓的半徑；（3）若為的垂心，且點(diǎn)在內(nèi)，直線與交于點(diǎn)，且，求的最大值.18.已知函數(shù).（1）若在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求的取值范圍；（2）若，證明：，；（3）若在上有兩個(gè)極值點(diǎn)，求取值范圍.19.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，是橢圓：的左焦點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，的最大值是最小值的3倍.（1）求橢圓的離心率；（2）若點(diǎn)不與橢圓的頂點(diǎn)重合，過作的切線，與軸交于點(diǎn)，求；（3）已知，是上兩個(gè)不同的點(diǎn)，過分別作直線，與相切，與的交點(diǎn)為，若，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.（附：橢圓以點(diǎn)為切點(diǎn)的切線方程為）

高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部?jī)?nèi)容.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法化簡(jiǎn)可得結(jié)果.【詳解】.故選：A.2（）A.16 B. C.32 D.【答案】A【解析】【分析】應(yīng)用指數(shù)冪運(yùn)算的性質(zhì)化簡(jiǎn)求值.【詳解】由.故選：A3.曲線的長(zhǎng)度為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】對(duì)式子進(jìn)行變形，明確其含義即可求解.【詳解】由，得，所以曲線是以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓弧，其中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，，故曲線的長(zhǎng)度為.4.已知，都是非零向量，定義新運(yùn)算，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】將提公因式化簡(jiǎn)，分別討論各個(gè)因式可得結(jié)果.【詳解】若，則，則或.當(dāng)時(shí)，未必成立；當(dāng)時(shí)，.故“”是“”的必要不充分條件.故選：B5.曲率是用于描述曲線在某一點(diǎn)處彎曲程度的量，對(duì)于平面曲線，其曲率（是的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)），曲率半徑是曲率的倒數(shù)，其表示與曲線在某點(diǎn)處具有相同彎曲程度圓的半徑.已知質(zhì)點(diǎn)以恒定速率沿曲率半徑為的曲線作曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，向心加速度的大小為.若該質(zhì)點(diǎn)以恒定速率沿形狀滿足的光滑軌道運(yùn)動(dòng)，則其在點(diǎn)處的向心加速度的大小為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用曲率的定義可求得，進(jìn)而得曲率半徑，利用向心加速度的定義計(jì)算可求向心加速度.【詳解】設(shè)，則，，所以，，則曲線在點(diǎn)處曲率，曲率半徑，故曲線在點(diǎn)處的向心加速度的大小為.故選：B.6.若為雙曲線：上異于，的動(dòng)點(diǎn)，且直線與的斜率之積為5，則的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)點(diǎn)在雙曲線上及斜率的兩點(diǎn)式可得，即可得漸近線方程.【詳解】設(shè)，則，即，則，則，故的漸近線方程為.故選：C7.已知隨機(jī)變量，，則的最大值為（）A.9 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用正態(tài)分布的對(duì)稱性得到，再用代換1法求最大值即可.【詳解】因?yàn)?，，所?由正態(tài)分布的對(duì)稱性，可得.因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，即最大值為.故選：D8.設(shè)是關(guān)于的方程的一個(gè)實(shí)根，其中為常數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)，利用二倍角的正切公式求出關(guān)于的表達(dá)式，再由結(jié)合二倍角的正切公式可得出關(guān)于的等式，化簡(jiǎn)后可得出的值.【詳解】設(shè)，則，，整理得，故.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.將函數(shù)圖象上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，則（）A. B.的最小正周期為C.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 D.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱【答案】ACD【解析】【分析】求出變換之后的解析式，依次代入選項(xiàng)判斷可得結(jié)果.【詳解】依題意可得，因?yàn)?，故A正確；，故B錯(cuò)誤；由，可知點(diǎn)為對(duì)稱中心，由，可知在處取最小值，故C，D均正確.故選：ACD10.已知為曲線：上一點(diǎn)，，，，點(diǎn)到直線：，：，：的距離分別為，，，則（）A.存在無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)，使得B.存在無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)，使得C.存在無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)，使得D.僅存在一個(gè)點(diǎn)，使得且【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)曲線方程得或，結(jié)合已知點(diǎn)坐標(biāo)和直線判斷各項(xiàng)的正誤.【詳解】由，得，得或.是拋物線的焦點(diǎn)，直線為拋物線的準(zhǔn)線，故曲線上不存在無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)，使得，是拋物線的焦點(diǎn)，直線為拋物線的準(zhǔn)線，故有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)，是拋物線的焦點(diǎn)，直線為拋物線的準(zhǔn)線，故有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)，聯(lián)立與，得，或，所以僅存在兩個(gè)點(diǎn)，使得且，所以A、D錯(cuò)誤，B，C正確.故選：BC11.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，，則（）A. B.是增函數(shù)C. D.【答案】ACD【解析】【分析】利用賦值法計(jì)算可判斷AB；由已知可得，進(jìn)而可得，可求判斷C；利用錯(cuò)位相減法可求得，判斷D.【詳解】令，則，解得，故A正確；令，，則，故B錯(cuò)誤；由，可得，令，，則，即，所以，故，則，故C正確；因?yàn)?，所以，兩式相減，可得，故，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若分別為奇函數(shù)、偶函數(shù)，，且，則______.【答案】4【解析】【分析】根據(jù)已知有，進(jìn)而求得，，再應(yīng)用奇偶性求目標(biāo)函數(shù)值.【詳解】依題意得，又，解得，，所以.故答案為：413.已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列的公差為，且是等差數(shù)列，則______.【答案】##0.5【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式可得，進(jìn)而結(jié)合等差數(shù)列的特點(diǎn)求解即可.詳解】由題意，，所以，因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，則的通項(xiàng)是一次函數(shù)型，則能整理成完全平方型，所以，化簡(jiǎn)得，所以，即.故答案為：.14.一個(gè)整數(shù)的各位數(shù)字之和記為，例如.用0，1，4，6，7，8組成的無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)按照從小到大的順序排列為，則______，的平均數(shù)為______.【答案】①.8761②.【解析】【分析】應(yīng)用排列組合數(shù)求出無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個(gè)數(shù)，結(jié)合最大的四位數(shù)，即可得，先求出給定數(shù)字的出現(xiàn)次數(shù)，再應(yīng)用平均數(shù)的求法求平均數(shù).【詳解】用0，1，4，6，7，8組成的無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的總個(gè)數(shù)為，其中最大的四位數(shù)為8764，所以.四位數(shù)含0時(shí)，后三位選一位填0有種，再選一位填1（同理填4，6，7，8）有種，最后從余下的4個(gè)數(shù)字選2個(gè)填余下的兩位有種，所以1，4，6，7，8出現(xiàn)的次數(shù)均為次，四位數(shù)不含0時(shí)，四位選一位填1（同理填4，6，7，8）有種，從余下的4個(gè)數(shù)選3個(gè)填余下的三位有種，所以1，4，6，7，8出現(xiàn)的次數(shù)均為次，綜上，1，4，6，7，8出現(xiàn)的次數(shù)均為次，所以的平均數(shù)為.故答案為：8761，四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.《九章算術(shù)·商功》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑.如圖，在四面體中，平面，，且，，.（1）證明：四面體為鱉臑；（2）若直線平面，求直線與所成角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用線面垂直的性質(zhì)可證，，，進(jìn)而利用線線垂直證明平面，進(jìn)而可得，可得結(jié)論；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，的方向分別為，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的法向量與直線的方向向量，利用向量法可求得直線與所成角的余弦值.【小問1詳解】因?yàn)槠矫?，平面，平面，平面，所以，?又，且，平面，所以平面，又平面，則，所以四面體的四個(gè)面都為直角三角形，則四面體為鱉臑.【小問2詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，的方向分別為，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，，則，，.設(shè)平面的法向量為，則，令，得.由，得直線與所成角的余弦值為.16.如圖，點(diǎn)，，，，均在直線上，且，質(zhì)點(diǎn)與質(zhì)點(diǎn)均從點(diǎn)出發(fā)，兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)每次都只能向左或向右移動(dòng)1個(gè)單位長(zhǎng)度，兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)每次移動(dòng)時(shí)向左移動(dòng)的概率均為，每個(gè)質(zhì)點(diǎn)均移動(dòng)2次.已知每個(gè)質(zhì)點(diǎn)移動(dòng)2次后到達(dá)的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的積分如下表所示，設(shè)隨機(jī)變量為兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)各自移動(dòng)2次后到達(dá)的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的積分之和.

積分0100200（1）求質(zhì)點(diǎn)移動(dòng)2次后到達(dá)的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的積分為0的概率；（2）求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）（2）分布列見解析，200【解析】【分析】（1）根據(jù)互斥事件的概率加法公式求解即可；（2）首先分析出的所有可能取值為，，0，200，400，再按步驟寫出分布列，計(jì)算期望即可.【小問1詳解】設(shè)事件為“質(zhì)點(diǎn)移動(dòng)2次后到達(dá)的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的積分為0”，由題意可知點(diǎn)兩次移動(dòng)后在點(diǎn)，又起點(diǎn)為點(diǎn)，即的移動(dòng)一次向左一次向右，所以.【小問2詳解】的所有可能取值為，，0，200，400.，，，，，所以隨機(jī)變量的分布列為0200400.17.的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且.（1）求；（2）若，，求內(nèi)切圓的半徑；（3）若為的垂心，且點(diǎn)在內(nèi)，直線與交于點(diǎn)，且，求的最大值.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）根據(jù)已知及正弦邊角關(guān)系得，再由余弦定理求角的大?。唬?）由及面積公式得、，再由內(nèi)切圓半徑即可得；（3）設(shè)，，進(jìn)而得到、，最后有即可求最大值.【小問1詳解】因?yàn)?，所?由正弦定理得，所以，因?yàn)椋?【小問2詳解】由（1）知，代入數(shù)據(jù)得.因?yàn)榈拿娣e，所以內(nèi)切圓的半徑.【小問3詳解】如圖，設(shè)，，則，且.因?yàn)?，所?由正弦定理得，所以，所以，其中，故的最大值為.18.已知函數(shù).（1）若在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求的取值范圍；（2）若，證明：，；（3）若在上有兩個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】（1）（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）利用函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)大于或者等于零恒成立，求解分離參數(shù)求解即可（2）構(gòu)造函數(shù)，求兩次導(dǎo)，得到這個(gè)函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，從而得到，則在上單調(diào)遞增，得到，即當(dāng)時(shí)，，所以，不等式得證.（3）分情況討論，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，無(wú)極值點(diǎn).當(dāng)時(shí)，由（1）知在上單調(diào)遞增，無(wú)極值點(diǎn).當(dāng)時(shí)，令，求導(dǎo)，對(duì)極值點(diǎn)的大小進(jìn)行分析，再結(jié)合零點(diǎn)存在性定理取點(diǎn)證明有兩個(gè)極值點(diǎn)即可.【小問1詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以在上恒成立，即在上恒成立.設(shè)，則，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，則，