全國卷Ⅰ2024年高考數(shù)學壓軸卷理含解析

PAGEPAGE14（全國卷Ⅰ）2024年高考數(shù)學壓軸卷理（含解析）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合，，則（）A．B． C． D．2．已知是實數(shù)，是純虛數(shù)，則等于（）A． B． C． D．13．“”是“函數(shù)在區(qū)間內單調遞增”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件4．已知雙曲線的右焦點到漸近線的距離等于實軸長，則此雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．5．若，則（）A． B． C． D．6．已知平面對量，，滿意，，，則（）A．2 B．3 C．4 D．6S＝S＋eq\o(\s\up4(i＋1),\s\do4(i))eq\f(S＝S＋eq\o(\s\up4(i＋1),\s\do4(i))eq\f(1,x)dx起先否i＜m？結束是i＝1，S＝0i＝i＋1輸出S8．據統(tǒng)計，連續(xù)熬夜48小時誘發(fā)心臟病的概率為，連續(xù)熬夜72小時誘發(fā)心臟病的概率為，現(xiàn)有一人已連續(xù)熬夜48小時未誘發(fā)心臟病，則他還能接著連續(xù)熬夜24小時不誘發(fā)心臟病的概率為（）A． B． C． D．9．已知一幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．10．將的圖像向左平移個單位，再向下平移1個單位，得到函數(shù)的圖像，則下列關于函數(shù)的說法錯誤的是（）A．函數(shù)的最小正周期是B．函數(shù)的一條對稱軸是C．函數(shù)的一個零點是D．函數(shù)在區(qū)間上單調遞減11．焦點為的拋物線的準線與軸交于點，點在拋物線上，則當取得最大值時，直線的方程為（）A．或 B．C．或 D．12．定義在上的函數(shù)滿意，且當時，，，對，使得，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B．C． D．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13．已知若則14．在的綻開式中，各項系數(shù)之和為256，則項的系數(shù)是__________．15.知變量，滿意條件，則目標函數(shù)的最大值為16．如圖，在中，，點在線段上，且，，則的面積的最大值為__________．三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（本小題滿分12分）已知公差不為零的等差數(shù)列和等比數(shù)列滿意：，，且，，成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）令，求數(shù)列的前項和．（本小題滿分12分）某市實行“中學生詩詞大賽”，分初賽和復賽兩個階段進行，規(guī)定：初賽成果大于90分的具有復賽資格，某校有800名學生參與了初賽，全部學生的成果均在區(qū)間內，其頻率分布直方圖如圖．（1）求獲得復賽資格的人數(shù)；（2）從初賽得分在區(qū)間的參賽者中，利用分層抽樣的方法隨機抽取7人參與學校座談溝通，那么從得分在區(qū)間與各抽取多少人？（3）從（2）抽取的7人中，選出3人參與全市座談溝通，設表示得分在區(qū)間中參與全市座談溝通的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學期望．19．（本小題滿分12分）如圖，底面是邊長為3的正方形，平面，，，與平面所成角為．（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值．（本小題滿分12分）過拋物線的焦點的直線與拋物線在第一象限的交點為，與拋物線準線的交點為，點在拋物線準線上的射影為，若，的面積為．（1）求拋物線的標準方程；（2）過焦點的直線與拋物線交于，兩點，拋物線在，點處的切線分別為，，且與相交于點，與軸交于點，求證：．（本小題滿分12分）設函數(shù)．（1）探究函數(shù)的單調性；（2）若時，恒有，試求的取值范圍；請考生在22、23兩題中任選一題作答，假如多做，則按所做的第一題記分．22.(本小題滿分10分）【選修4-4：坐標系與參數(shù)方程】在直角坐標系中，圓的一般方程為．在以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸的極坐標系中，直線的極坐標方程為．（1）寫出圓的參數(shù)方程和直線的直角坐標方程；（2）設直線與軸和軸的交點分別為，，為圓上的隨意一點，求的取值范圍．23．（本小題滿分10分）【選修4-5：不等式選講】設函數(shù)．（1）設的解集為，求集合；（2）已知為（1）中集合中的最大整數(shù)，且（其中，，為正實數(shù)），求證：．2024全國卷Ⅰ高考壓軸卷數(shù)學理科答案解析一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．【答案】B【解析】集合，，則，故選B．2．【答案】D【解析】是純虛數(shù)，，則要求實部為0，即．故選D．3．【答案】C．【解析】當時，在區(qū)間上單調遞增；當時，結合函數(shù)的圖像知函數(shù)在上單調遞增，如圖1-7(a)所示；當時，結合函數(shù)的圖像知函數(shù)在上先增后減再增，不符合條件，如圖1-7(b)所示.所以要使函數(shù)在上單調遞增，只需，即“”是“函數(shù)在區(qū)間內單調遞增”的充要條件.故選C.4．【答案】C【解析】由題意可設雙曲線的右焦點，漸進線的方程為，可得，可得，可得離心率，故選C．5．【答案】D【解析】因為，所以由指數(shù)函數(shù)的單調性可得，因為，所以可解除選項，；，時，可解除選項，由指數(shù)函數(shù)的性質可推斷正確，故選D．6．【答案】B【解析】由題意可得：，且：，即，，，由平面對量模的計算公式可得：．故選B．S＝S＋S＝S＋eq\o(\s\up4(i＋1),\s\do4(i))eq\f(1,x)dx起先否i＜m？結束是i＝1，S＝0i＝i＋1輸出S【解析】第一次循環(huán)，其次次循環(huán)，第三次循環(huán)，第四次循環(huán)，……推理可得m=2024，故選B．8．【答案】A【解析】設事務A為發(fā)病，事務B為發(fā)病，由題意可知：，，則，，由條件概率公式可得：．故選A．9．【答案】C【解析】視察三視圖可知，幾何體是一個圓錐的與三棱錐的組合體，其中圓錐的底面半徑為，高為．三棱錐的底面是兩直角邊分別為，的直角三角形，高為．則幾何體的體積．故本題答案選C．10．【答案】D【解析】由題意可知：，圖像向左平移個單位，再向下平移1個單位的函數(shù)解析式為：．則函數(shù)的最小正周期為，A選項說法正確；當時，，函數(shù)的一條對稱軸是，B選項說法正確；當時，，函數(shù)的一個零點是，C選項說法正確；若，則，函數(shù)在區(qū)間上不單調，D選項說法錯誤；故選D．11．【答案】A【解析】過作與準線垂直，垂足為，則，則當取得最大值時，必需取得最大值，此時直線與拋物線相切，可設切線方程為與聯(lián)立，消去得，所以，得．則直線方程為或．故本題答案選A．12．【答案】D【解析】因為在上單調遞減，在上單調遞增，所以在上的值域是，在上的值域是，所以函數(shù)在上的值域是，因為，所以，所以在上的值域是，當時，為增函數(shù)，在上的值域為，所以，解得；當時，為減函數(shù)，在上的值域為，所以，解得，當時，為常函數(shù)，值域為，不符合題意，綜上，的范圍是，故選D．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13．【答案】【解析】解析：因為的定義域為R,關于原點對稱，故則14．【答案】7【解析】令可得各項系數(shù)和：，據此可得：，綻開式的通項公式為：，令可得：，令可得：，不是整數(shù)解，據此可得：項的系數(shù)是．15.【答案】【解析】作出，表示的可行域，如圖變形目標函數(shù)，，其中為向量與的夾角，由圖可知，時有最小值，在直線上時，有最大值，即，，目標函數(shù)的最大值為，故選C．16．【答案】【解析】由可得：，則．由可知：，則，由同角三角函數(shù)基本關系可知：．設，，，在中由余弦定理可得：，在中由余弦定理可得：，由于，故，即：，整理可得：．①在中，由余弦定理可知：，則：，代入①式整理計算可得：，由均值不等式的結論可得：，故，當且僅當，時等號成立，據此可知面積的最大值為：．三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（本小題滿分12分）【答案】（1），；（2）．【解析】（1）設的公差為，則由已知得，即，解之得：或（舍），所以；因為，所以的公比，所以．（2）由（1）可知，所以，，所以，所以．18.（本小題滿分12分）【答案】（1）520人；（2）5人，2人；（3）．【解析】（1）由題意知之間的頻率為：，，獲得參賽資格的人數(shù)為人．（2）在區(qū)間與，，在區(qū)間的參賽者中，利用分層抽樣的方法隨機抽取7人，分在區(qū)間與各抽取5人，2人．結果是5人，2人．（3）的可能取值為0，1，2，則：；；；故的分布列為：012．19．（本小題滿分12分）【答案】（1）見解析（2）（1）證明：∵平面，平面，∴，又∵底面是正方形，∴．∵，∴平面．（2）解：∵，，兩兩垂直，∴建立如圖所示的空間直角坐標系，∵與平面所成角為，即，∴，由，可知，，．則，，，，，∴，．設平面的一個法向量為，則即令，則．∵平面，∴為平面的一個法向量，∴，∴．∵二面角為銳角，∴二面角的余弦值為．20.（本小題滿分12分）【答案】（1）；（2）證明見解析．【解析】（1）因為，所以到準線的距離即為三角形的中位線的長，所以，依據拋物線的定義，所以，，，解得，所以拋物線的標準方程為．（2）易知直線的斜率存在，設直線，設，聯(lián)立消去得，得，，，設，，，，，得點坐標，由，得，，，所以，即．21.（本小題滿分12分）【答案】（1）增函數(shù)；（2）；（3）見解析．【解析】（1）函數(shù)的定義域為．由，知是實數(shù)集上的增函數(shù)．（2）令，則，令，則．（i）當時，，從而是上的減函數(shù)，留意到，則時，，所以，進而是QUOTE[0,+∞)上的減函數(shù)，留意到，則時，時，即．（ii）當時，在上，總有，從而知，當時，；（iii）當時，，同理可知，綜上，所求的取值范圍是．請考生在22、23兩題中任選一題作答，假如多做，則按所做的第一題記分．22