2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)難點(diǎn)專(zhuān)練：一次函數(shù)反比例函數(shù)實(shí)際應(yīng)用、面積、存在性、最值（6大熱考題型）原卷版

難點(diǎn)05一次函數(shù)反比例函數(shù)實(shí)際應(yīng)用'面積'存在性'最值

（6大熱考題型）

題型一：方案選擇問(wèn)題

題型二：費(fèi)用最少、利潤(rùn)最大問(wèn)題

題型三：反比例函數(shù)面積問(wèn)題

題型四：特殊三角形存在性問(wèn)題

題型五：特殊四邊形存在性問(wèn)題

題型六：最值問(wèn)題

施型突tsH.精淮理分

題型一：方案選擇問(wèn)題

「輻T后T場(chǎng)T*................................|

求最值的本質(zhì)為求最優(yōu)方案，解法有兩種：

ii

i①可將所有求得的方案的值計(jì)算出來(lái)，再進(jìn)行比較；

ii

i②直接利用所求值與其變量之間滿(mǎn)足的一次函數(shù)關(guān)系式求解，由一次函數(shù)的增減性可直接確定最優(yōu)方案及

ii

最值；若為分段函數(shù)，則應(yīng)分類(lèi)討論，先計(jì)算出每個(gè)分段函數(shù)的取值，再進(jìn)行比較.

II

【提示】一次函數(shù)本身并沒(méi)有最值，但在實(shí)際問(wèn)題中，自變量的取值往往有一定的限制，其圖象為射線(xiàn)或

線(xiàn)段.涉及最值問(wèn)題的一般思路：確定函數(shù)表達(dá)式一確定函數(shù)增減性f根據(jù)自變量的取值范圍確定最值.

ii

【中考母題學(xué)方法】

【典例1】（電話(huà)計(jì)費(fèi)）（2023?四川?中考真題）某移動(dòng)公司推出A,8兩種電話(huà)計(jì)費(fèi)方式.

計(jì)費(fèi)方式月使用費(fèi)/元主叫限定時(shí)間/min主叫超時(shí)費(fèi)/（元/min）被叫

A782000.25免費(fèi)

B1085000.19免費(fèi)

⑴設(shè)一個(gè)月內(nèi)用移動(dòng)電話(huà)主叫時(shí)間為fmin,根據(jù)上表，分別寫(xiě)出在不同時(shí)間范圍內(nèi)，方式A,方式B的計(jì)

費(fèi)金額關(guān)于f的函數(shù)解析式；

（2）若你預(yù)計(jì)每月主叫時(shí)間為350min,你將選擇A,2哪種計(jì)費(fèi)方式，并說(shuō)明理由；

⑶請(qǐng)你根據(jù)月主叫時(shí)間r的不同范圍，直接寫(xiě)出最省錢(qián)的計(jì)費(fèi)方式.

【變式1-11（租車(chē)問(wèn)題）（2023?內(nèi)蒙古呼和浩特?中考真題）學(xué)校通過(guò)勞動(dòng)教育促進(jìn)學(xué)生樹(shù)德、增智、強(qiáng)體、

育美全面發(fā)展，計(jì)劃組織八年級(jí)學(xué)生到"開(kāi)心”農(nóng)場(chǎng)開(kāi)展勞動(dòng)實(shí)踐活動(dòng).到達(dá)農(nóng)場(chǎng)后分組進(jìn)行勞動(dòng)，若每位老

師帶38名學(xué)生，則還剩6名學(xué)生沒(méi)老師帶；若每位老師帶40名學(xué)生，則有一位老師少帶6名學(xué)生.勞動(dòng)

實(shí)踐結(jié)束后，學(xué)校在租車(chē)總費(fèi)用2300元的限額內(nèi)，租用汽車(chē)送師生返校，每輛車(chē)上至少要有1名老師.現(xiàn)

有甲、乙兩種大型客車(chē)，它們的載客量和租金如下表所示

甲型客車(chē)乙型客車(chē)

載客量/（人/輛）4530

租金/（元/輛）400280

⑴參加本次實(shí)踐活動(dòng)的老師和學(xué)生各有多少名？

⑵租車(chē)返校時(shí)，既要保證所有師生都有車(chē)坐，又要保證每輛車(chē)上至少有1名老師，則共需租車(chē)輛;

⑶學(xué)校共有幾種租車(chē)方案？最少租車(chē)費(fèi)用是多少？

【變式1-2］（購(gòu)買(mǎi)方案）（2024?河南周口?三模）某家用電器廠(chǎng)生產(chǎn)一種電飯煲和一種電熱水壺，電飯煲每

個(gè)定價(jià)200元，電熱水壺每個(gè)定價(jià)60元.廠(chǎng)方在開(kāi)展促銷(xiāo)活動(dòng)期間，向客戶(hù)提供以下兩種優(yōu)惠方案：

方案一：每買(mǎi)一個(gè)電飯煲就贈(zèng)送一個(gè)電熱水壺；

方案二：電飯煲和電熱水壺都按定價(jià)的80%付款.

某廚具店計(jì)劃購(gòu)進(jìn)80個(gè)電飯煲和x個(gè)電熱水壺（x>80）.設(shè)選擇方案一需付款八元,選擇方案二需付款乂元.

⑴分別寫(xiě)出X，%關(guān)于尤的函數(shù)表達(dá)式.

（2）當(dāng)x=200時(shí).

①請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明該廚具店選擇上面哪種方案更省錢(qián).

②若兩種優(yōu)惠方案可以同時(shí)使用（使用方案一優(yōu)惠過(guò)的商品不能再使用方案二優(yōu)惠，使用方案二優(yōu)惠過(guò)的

商品不能再使用方案一優(yōu)惠），請(qǐng)你設(shè)計(jì)出更省錢(qián)的購(gòu)買(mǎi)方案，并計(jì)算出該方案所需費(fèi)用.

【中考模擬即學(xué)即練】

1.（2024?河南周口?三模）春和75景明，草長(zhǎng)鶯飛的四月和五月，全家最適合周末去附近的公園里踏青或爬

山，并且進(jìn)行野餐，某便民商店計(jì)劃在春天踏春之際購(gòu)進(jìn)A,8兩種不同型號(hào)的野餐墊共100個(gè)，已知購(gòu)進(jìn)

A型號(hào)的野餐墊2個(gè)和B型號(hào)的野餐墊3個(gè)需要740元，購(gòu)進(jìn)A型號(hào)的野餐墊3個(gè)和3型號(hào)的野餐墊2個(gè)需要

710元.

⑴求該商店購(gòu)進(jìn)每個(gè)A型號(hào)和B型號(hào)的野餐墊的價(jià)格；

⑵該商店在調(diào)查后根據(jù)實(shí)際需求，現(xiàn)在決定購(gòu)進(jìn)A型號(hào)的野餐墊不超過(guò)8型號(hào)野餐墊數(shù)量的g,為使購(gòu)進(jìn)

野餐墊的總費(fèi)用最低，應(yīng)購(gòu)進(jìn)型A號(hào)野餐墊和8型號(hào)的野餐墊各多少個(gè)?購(gòu)進(jìn)野餐墊的總費(fèi)用最低為多少元?

2.（2024?山西忻州?三模）"傳承紅色基因，麋續(xù)紅色血脈某中學(xué)八年級(jí)510名師生一起乘坐客車(chē)去參觀(guān)

八路軍太行紀(jì)念館，下面是王老師和小強(qiáng)、小國(guó)同學(xué)有關(guān)租車(chē)問(wèn)題的對(duì)話(huà).

王老師："客運(yùn)公司有A,B兩種型號(hào)的客車(chē)可供租用，A型客車(chē)每輛租金1000元，2型客車(chē)每輛租金800

元.”

小強(qiáng)："七年級(jí)540人，租用6輛A型客車(chē)和4輛B型客車(chē)恰好坐滿(mǎn).”

小國(guó)："九年級(jí)525人，租用5輛A型客車(chē)和5輛8型客車(chē)恰好坐滿(mǎn).”

根據(jù)以上對(duì)話(huà)，解答下列問(wèn)題:

⑴分別求每輛A型客車(chē)和B型客車(chē)坐滿(mǎn)后的載客人數(shù)；

⑵因司機(jī)緊缺，客運(yùn)公司只能給八年級(jí)師生安排10輛客車(chē)，要使八年級(jí)每位師生都有座位，八年級(jí)應(yīng)租用

A,8兩種客車(chē)各多少輛才能使租金最少？

3.（2024?山東青島?模擬預(yù)測(cè)）自2022年新課程標(biāo)準(zhǔn)頒布以來(lái)，某校高度重視新課標(biāo)的學(xué)習(xí)和落實(shí)，開(kāi)展

了信息技術(shù)與教學(xué)深度融合的"精準(zhǔn)化教學(xué)該校計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)48兩種型號(hào)的教學(xué)設(shè)備，已知A型設(shè)備價(jià)格

比8型設(shè)備價(jià)格每臺(tái)高10%,用20000元購(gòu)買(mǎi)8型設(shè)備的數(shù)量比用33000元購(gòu)買(mǎi)A型設(shè)備的數(shù)量少5臺(tái).

⑴求A,8型設(shè)備每臺(tái)的價(jià)格分別是多少元.

（2）該校計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)兩種設(shè)備共60臺(tái)，要求A型設(shè)備的數(shù)量不少于B型設(shè)備數(shù)量的；.設(shè)購(gòu)買(mǎi)。臺(tái)A型設(shè)備，

購(gòu)買(mǎi)總費(fèi)用為。元，求。關(guān)于。的函數(shù)表達(dá)式，并設(shè)計(jì)出購(gòu)買(mǎi)總費(fèi)用最低的購(gòu)買(mǎi)方案.

4.（2024?湖南長(zhǎng)沙?模擬預(yù)測(cè)）為響應(yīng)國(guó)家關(guān)于推動(dòng)各級(jí)各類(lèi)生產(chǎn)設(shè)備、服務(wù)設(shè)備更新和技術(shù)改造的號(hào)召,

某公司計(jì)劃將辦公電腦全部更新為國(guó)產(chǎn)某品牌，市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，A品牌的電腦單價(jià)比5品牌電腦的單價(jià)少

1000元，通過(guò)預(yù)算得知，用30萬(wàn)元購(gòu)買(mǎi)A品牌電腦比購(gòu)買(mǎi)8品牌電腦多10臺(tái).

⑴試求A,8兩種品牌電腦的單價(jià)分別是多少元；

⑵該公司計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)A,3兩種品牌的電腦一共40臺(tái)，且購(gòu)買(mǎi)8品牌電腦的數(shù)量不少于A品牌電腦的，，試

求出該公司費(fèi)用最少的購(gòu)買(mǎi)方案.

題型二：費(fèi)用最少'利潤(rùn)最大問(wèn)題

【中考母題學(xué)方法】

【典例2］（一次函數(shù)與二元一次方程組結(jié)合）（2024?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?中考真題）某超市從某水果種植基地

購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種優(yōu)質(zhì)水果，經(jīng)調(diào)查，這兩種水果的進(jìn)價(jià)和售價(jià)如表所示:

水果種類(lèi)進(jìn)價(jià)（元/千克）售價(jià)（元/千克）

甲a22

乙b25

該超市購(gòu)進(jìn)甲種水果18千克和乙種水果6千克需366元：購(gòu)進(jìn)甲種水果30千克和乙種水果15千克需705

兀.

⑴求的值；

（2）該超市決定每天購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種水果共150千克進(jìn)行銷(xiāo)售，其中甲種水果的數(shù)量不少于50千克，且不大

于120千克.實(shí)際銷(xiāo)售時(shí)，若甲種水果超過(guò)80千克，則超過(guò)部分按每千克降價(jià)5元銷(xiāo)售.求超市當(dāng)天銷(xiāo)售

完這兩種水果獲得的利潤(rùn)》（元）與購(gòu)進(jìn)甲種水果的數(shù)量x（千克）之間的函數(shù)關(guān)系式（寫(xiě)出自變量尤的取

值范圍），并求出在獲得最大利潤(rùn)時(shí)，超市的進(jìn)貨方案以及最大利潤(rùn).

【變式2-1］（一次函數(shù)與二元一次方程組、不等式綜合）（2024?四川達(dá)州?中考真題）為拓寬銷(xiāo)售渠道，助

力鄉(xiāng)村振興，某鄉(xiāng)鎮(zhèn)幫助農(nóng)戶(hù)將A、8兩個(gè)品種的柑橘加工包裝成禮盒再出售.已知每件A品種柑橘禮盒比

6品種柑橘禮盒的售價(jià)少20元.且出售25件A品種柑橘禮盒和15件5品種柑橘禮盒的總價(jià)共3500元.

⑴求A、8兩種柑橘禮盒每件的售價(jià)分別為多少元？

（2）已知加工A、8兩種柑橘禮盒每件的成本分別為50元、60元、該鄉(xiāng)鎮(zhèn)計(jì)劃在某農(nóng)產(chǎn)品展銷(xiāo)活動(dòng)中售出A、

8兩種柑橘禮盒共1000盒，且A品種柑橘禮盒售出的數(shù)量不超過(guò)8品種柑橘禮盒數(shù)量的1.5倍.總成本不超

過(guò)54050元.要使農(nóng)戶(hù)收益最大，該鄉(xiāng)鎮(zhèn)應(yīng)怎樣安排A、8兩種柑橘禮盒的銷(xiāo)售方案，并求出農(nóng)戶(hù)在這次農(nóng)

產(chǎn)品展銷(xiāo)活動(dòng)中的最大收益為多少元？

【變式2-2］（一次函數(shù)與分式方程結(jié)合）（2024?四川眉山?中考真題）眉山是"三蘇"故里，文化底蘊(yùn)深厚.近

年來(lái)眉山市旅游產(chǎn)業(yè)蓬勃發(fā)展，促進(jìn)了文創(chuàng)產(chǎn)品的銷(xiāo)售，某商店用960元購(gòu)進(jìn)的A款文創(chuàng)產(chǎn)品和用780元購(gòu)

進(jìn)的8款文創(chuàng)產(chǎn)品數(shù)量相同.每件A款文創(chuàng)產(chǎn)品進(jìn)價(jià)比B款文創(chuàng)產(chǎn)品進(jìn)價(jià)多15元.

⑴求A,8兩款文創(chuàng)產(chǎn)品每件的進(jìn)價(jià)各是多少元？

（2）已知A,8文創(chuàng)產(chǎn)品每件售價(jià)為100元，3款文創(chuàng)產(chǎn)品每件售價(jià)為80元，根據(jù)市場(chǎng)需求，商店計(jì)劃再用不

超過(guò)7400元的總費(fèi)用購(gòu)進(jìn)這兩款文創(chuàng)產(chǎn)品共100件進(jìn)行銷(xiāo)售，問(wèn)：怎樣進(jìn)貨才能使銷(xiāo)售完后獲得的利潤(rùn)最大,

最大利潤(rùn)是多少元？

【變式2-3］（一次函數(shù)與分式方程、不等式結(jié)合）（2024?內(nèi)蒙古赤峰?中考真題）一段高速公路需要修復(fù)，

現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)參與施工，已知乙隊(duì)平均每天修復(fù)公路比甲隊(duì)平均每天修復(fù)公路多3千米，且甲隊(duì)

單獨(dú)修復(fù)60千米公路所需要的時(shí)間與乙隊(duì)單獨(dú)修復(fù)90千米公路所需要的時(shí)間相等.

⑴求甲、乙兩隊(duì)平均每天修復(fù)公路分別是多少千米；

（2）為了保證交通安全，兩隊(duì)不能同時(shí)施工，要求甲隊(duì)的工作時(shí)間不少于乙隊(duì)工作時(shí)間的2倍，那么15天的

工期，兩隊(duì)最多能修復(fù)公路多少千米？

【中考模擬即學(xué)即練】

1.（2024?四川德陽(yáng)?中考真題）羅江糯米咸鵝蛋是德陽(yáng)市非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一，至今有200多年歷史，采用

羅江當(dāng)?shù)亓窒吗B(yǎng)殖的鵝產(chǎn)的散養(yǎng)鵝蛋，經(jīng)過(guò)傳統(tǒng)秘方加以糯米、青豆等食材以16道工序手工制作而成.為

了迎接端午節(jié)，進(jìn)一步提升糯米咸鵝蛋的銷(xiāo)量，德陽(yáng)某超市將購(gòu)進(jìn)的糯米咸鵝蛋和肉粽進(jìn)行組合銷(xiāo)售，有A、

B兩種組合方式，其中A組合有4枚糯米咸鵝蛋和6個(gè)肉粽，8組合有6枚糯米咸鵝蛋和10個(gè)肉粽.A、B

兩種組合的進(jìn)價(jià)和售價(jià)如下表：

價(jià)格AB

進(jìn)價(jià)（元/件）94146

售價(jià)（元/件）120188

（1）求每枚糯米咸鵝蛋和每個(gè)肉粽的進(jìn)價(jià)分別為多少？

⑵根據(jù)市場(chǎng)需求，超市準(zhǔn)備的8種組合數(shù)量是A種組合數(shù)量的3倍少5件，且兩種組合的總件數(shù)不超過(guò)95

件，假設(shè)準(zhǔn)備的兩種組合全部售出，為使利潤(rùn)最大，該超市應(yīng)準(zhǔn)備多少件A種組合？最大利潤(rùn)為多少？

2.（2024?四川廣安?中考真題）某小區(qū)物管中心計(jì)劃采購(gòu)A,8兩種花卉用于美化環(huán)境.已知購(gòu)買(mǎi)2株A種

花卉和3株B種花卉共需要21元；購(gòu)買(mǎi)4株A種花卉和5株5種花卉共需要37元.

⑴求A,8兩種花卉的單價(jià).

（2）該物管中心計(jì)劃采購(gòu)A,8兩種花卉共計(jì)10000株，其中采購(gòu)A種花卉的株數(shù)不超過(guò)B種花卉株數(shù)的4

倍，當(dāng)A,3兩種花卉分別采購(gòu)多少株時(shí)，總費(fèi)用最少？并求出最少總費(fèi)用.

3.（2024?云南?中考真題）A、8兩種型號(hào)的吉祥物具有吉祥如意、平安幸福的美好寓意，深受大家喜歡.

某超市銷(xiāo)售A、5兩種型號(hào)的吉祥物，有關(guān)信息見(jiàn)下表：

成本（單位：元/個(gè)）銷(xiāo)售價(jià)格（單位：元/個(gè)）

A型號(hào)35a

5型號(hào)42b

若顧客在該超市購(gòu)買(mǎi)8個(gè)A種型號(hào)吉祥物和7個(gè)8種型號(hào)吉祥物，則一共需要670元；購(gòu)買(mǎi)4個(gè)A種型號(hào)

吉祥物和5個(gè)8種型號(hào)吉祥物，則一共需要410元.

⑴求6的值；

（2）若某公司計(jì)劃從該超市購(gòu)買(mǎi)A、8兩種型號(hào)的吉祥物共90個(gè)，且購(gòu)買(mǎi)A種型號(hào)吉祥物的數(shù)量x（單位：

個(gè)）不少于2種型號(hào)吉祥物數(shù)量的三，又不超過(guò)5種型號(hào)吉祥物數(shù)量的2倍.設(shè)該超市銷(xiāo)售這90個(gè)吉祥物

獲得的總利潤(rùn)為y元，求）的最大值.

注：該超市銷(xiāo)售每個(gè)吉祥物獲得的利潤(rùn)等于每個(gè)吉祥物的銷(xiāo)售價(jià)格與每個(gè)吉祥物的成本的差.

4.（2024?黑龍江綏化?中考真題）為了響應(yīng)國(guó)家提倡的"節(jié)能環(huán)保"號(hào)召，某共享電動(dòng)車(chē)公司準(zhǔn)備投入資金購(gòu)

買(mǎi)A、5兩種電動(dòng)車(chē).若購(gòu)買(mǎi)A種電動(dòng)車(chē)25輛、3種電動(dòng)車(chē)80輛，需投入資金30.5萬(wàn)元；若購(gòu)買(mǎi)A種電動(dòng)

車(chē)60輛、B種電動(dòng)車(chē)120輛，需投入資金48萬(wàn)元.已知這兩種電動(dòng)車(chē)的單價(jià)不變.

⑴求A、8兩種電動(dòng)車(chē)的單價(jià)分別是多少元？

（2）為適應(yīng)共享電動(dòng)車(chē)出行市場(chǎng)需求，該公司計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)A、3兩種電動(dòng)車(chē)200輛，其中A種電動(dòng)車(chē)的數(shù)量不多

于8種電動(dòng)車(chē)數(shù)量的一半.當(dāng)購(gòu)買(mǎi)A種電動(dòng)車(chē)多少輛時(shí)，所需的總費(fèi)用最少，最少費(fèi)用是多少元？

⑶該公司將購(gòu)買(mǎi)的A、5兩種電動(dòng)車(chē)投放到出行市場(chǎng)后，發(fā)現(xiàn)消費(fèi)者支付費(fèi)用y元與騎行時(shí)間xmin之間的

對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖.其中A種電動(dòng)車(chē)支付費(fèi)用對(duì)應(yīng)的函數(shù)為％；8種電動(dòng)車(chē)支付費(fèi)用是lOmin之內(nèi)，起步價(jià)6元，

對(duì)應(yīng)的函數(shù)為上.請(qǐng)根據(jù)函數(shù)圖象信息解決下列問(wèn)題.

①小劉每天早上需要騎行A種電動(dòng)車(chē)或8種電動(dòng)車(chē)去公司上班.已知兩種電動(dòng)車(chē)的平均行駛速度均為3

00m/min（每次騎行均按平均速度行駛，其它因素忽略不計(jì)），小劉家到公司的距離為8km,那么小劉選

擇種電動(dòng)車(chē)更省錢(qián)（填寫(xiě)A或B）.

②直接寫(xiě)出兩種電動(dòng)車(chē)支付費(fèi)用相差4元時(shí)，x的值

5.（2024?黑龍江大興安嶺地?中考真題）為了增強(qiáng)學(xué)生的體質(zhì)，某學(xué)校倡導(dǎo)學(xué)生在大課間開(kāi)展踢德子活動(dòng)，

需購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種品牌毯子.已知購(gòu)買(mǎi)甲種品牌毯子10個(gè)和乙種品牌毯子5個(gè)共需200元；購(gòu)買(mǎi)甲種品牌

穆子15個(gè)和乙種品牌毯子10個(gè)共需325元.

⑴購(gòu)買(mǎi)一個(gè)甲種品牌毯子和一個(gè)乙種品牌毯子各需要多少元？

⑵若購(gòu)買(mǎi)甲乙兩種品牌犍子共花費(fèi)1000元，甲種品牌保子數(shù)量不低于乙種品牌健子數(shù)量的5倍且不超過(guò)乙

種品牌毯子數(shù)量的16倍，則有幾種購(gòu)買(mǎi)方案？

⑶若商家每售出一個(gè)甲種品牌毯子利潤(rùn)是5元，每售出一個(gè)乙種品牌犍子利潤(rùn)是4元，在（2）的條件下，

學(xué)校如何購(gòu)買(mǎi)毯子商家獲得利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？

6.（2024?四川廣元?中考真題）近年來(lái)，中國(guó)傳統(tǒng)服飾備受大家的青睞，走上國(guó)際時(shí)裝周舞臺(tái)，大放異彩.某

服裝店直接從工廠(chǎng)購(gòu)進(jìn)長(zhǎng)、短兩款傳統(tǒng)服飾進(jìn)行銷(xiāo)售，進(jìn)貨價(jià)和銷(xiāo)售價(jià)如下表：

價(jià)格/類(lèi)別短款長(zhǎng)款

進(jìn)貨價(jià)（元/件）8090

銷(xiāo)售價(jià)（元/件）100120

（1）該服裝店第一次用4300元購(gòu)進(jìn)長(zhǎng)、短兩款服裝共50件，求兩款服裝分別購(gòu)進(jìn)的件數(shù)；

（2）第一次購(gòu)進(jìn)的兩款服裝售完后，該服裝店計(jì)劃再次購(gòu)進(jìn)長(zhǎng)、短兩款服裝共200件（進(jìn)貨價(jià)和銷(xiāo)售價(jià)都不

變），且第二次進(jìn)貨總價(jià)不高于16800元.服裝店這次應(yīng)如何設(shè)計(jì)進(jìn)貨方案，才能獲得最大銷(xiāo)售利潤(rùn)，最大

銷(xiāo)售利潤(rùn)是多少？

7.（2024,江蘇宿遷?中考真題）某商店購(gòu)進(jìn)A、8兩種紀(jì)念品，已知紀(jì)念品A的單價(jià)比紀(jì)念品8的單價(jià)高10

元.用600元購(gòu)進(jìn)紀(jì)念品A的數(shù)量和用400元購(gòu)進(jìn)紀(jì)念品B的數(shù)量相同.

⑴求紀(jì)念品4B的單價(jià)分別是多少元？

⑵商店計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)紀(jì)念品A、B共400件，且紀(jì)念品A的數(shù)量不少于紀(jì)念品8數(shù)量的2倍，若總費(fèi)用不超過(guò)

11000元，如何購(gòu)買(mǎi)這兩種紀(jì)念品使總費(fèi)用最少？

8.（2024?江蘇南通?中考真題）某快遞企業(yè)為提高工作效率，擬購(gòu)買(mǎi)A、8兩種型號(hào)智能機(jī)器人進(jìn)行快遞分

揀.

相關(guān)信息如下：

信息一

A型機(jī)器人臺(tái)數(shù)B型機(jī)器人臺(tái)數(shù)總費(fèi)用（單位：萬(wàn)元）

13260

32360

信息二

A型機(jī)器人每臺(tái)每天可

分揀快遞22萬(wàn)件；

B型機(jī)器人每天每天可

分揀快遞18萬(wàn)件。

⑴求A、B兩種型號(hào)智能機(jī)器人的單價(jià)；

（2）現(xiàn)該企業(yè)準(zhǔn)備用不超過(guò)700萬(wàn)元購(gòu)買(mǎi)A、B兩種型號(hào)智能機(jī)器人共10臺(tái).則該企業(yè)選擇哪種購(gòu)買(mǎi)方案,

能使每天分揀快遞的件數(shù)最多？

題型三：反比例函數(shù)面積問(wèn)題

值TATiiT承

【類(lèi)型一：三角形面積與卜的關(guān)系】

【中考母題學(xué)方法】

【典例3】（2024?江蘇宿遷?中考真題）如圖，點(diǎn)A在雙曲線(xiàn)％=-（尤>0）上，連接A。并延長(zhǎng)，交雙曲線(xiàn)

X

k

%=「（x<0）于點(diǎn)8,點(diǎn)C為x軸上一點(diǎn)，S.AO=AC,連接8C,若VA3C的面積是6,則k的值為（）

-4.x

A.2B.3C.4D.5

【變式3-1]（2024?廣西賀州?三模）如圖，在直角坐標(biāo)系中，OA與x軸相切于點(diǎn)8,CB為?A的直徑，點(diǎn)

C在函數(shù)y=3（x>o）的圖象上，。為y軸上一點(diǎn)，則AACD的面積為

【變式3-2]（2024?山東濱州?模擬預(yù)測(cè)）如圖，垂直于x軸的直線(xiàn)/分別交反比例函數(shù)％=+的圖象、%=三

的圖象于點(diǎn)A、B,若的面積為5,則尤-心=

k

【變式3-3］（2024?黑龍江齊齊哈爾?中考真題）如圖，反比例函數(shù)y=—（無(wú)＜0）的圖象經(jīng)過(guò)平行四邊形ABC。

x

的頂點(diǎn)A,OC在x軸上，若點(diǎn)3（-1,3）,S0ABe。=3,則實(shí)數(shù)上的值為.

【變式3-4］（2024?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A,8的坐標(biāo)分別為（5,0）,

（2,6）,過(guò)點(diǎn)8作3C〃x軸交y軸于點(diǎn)C,點(diǎn)。為線(xiàn)段上的一點(diǎn)，MBD=2AD.反比例函數(shù)＞=：（尤＞0）

的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)D交線(xiàn)段2C于點(diǎn)E,則四邊形ODBE的面積是—.

【變式3-5］（2024廣東廣州?中考真題）如圖，平面直角坐標(biāo)系》6中，矩形。45。的頂點(diǎn)2在函數(shù)〉=幺。＞0）

X

的圖象上，A。，。），C（0,2）.將線(xiàn)段A3沿x軸正方向平移得線(xiàn)段A0（點(diǎn)A平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A）,A笈交

函數(shù)y=3x＞o）的圖象于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)。作。石上y軸于點(diǎn)E,則下列結(jié)論：

X

①人=2；

②M）BD的面積等于四邊形ABDA!的面積；

③AE的最小值是垃；

@ZB'BD=ZBB'O.

其中正確的結(jié)論有.（填寫(xiě)所有正確結(jié)論的序號(hào)）

【中考模擬即學(xué)即練】

43

1.(2024?安徽安慶?三模)已知反比例y=((x>0)與y=-7(x20)的圖像如圖所示，8為x軸正半軸上一

43

動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)5作AC||y軸，分別交反比例函數(shù)y=—(x>0)與>的圖像于點(diǎn)A,C,點(diǎn)、D,E(點(diǎn)

XX

E在點(diǎn)。的上方)在,軸上，S.DE=AC,則四邊形ACDE的面積為()

A.6.5B.7C.7.5D.8

2.(2024?廣東深圳?模擬預(yù)測(cè))如圖，在直角坐標(biāo)系中，0A與無(wú)軸相切于點(diǎn)8,CB為0A的直徑，點(diǎn)C在

函數(shù)y='(x>0)的圖象上，。為y軸上一點(diǎn)，若AACD的面積為1,則左=_.

X

3.(2024?江蘇鹽城?模擬預(yù)測(cè))如圖，反比例函數(shù)y=?>0)在第三象限的圖象是y=￡(“<0)在第四

象限的圖象是4，點(diǎn)A、C在4上，過(guò)A點(diǎn)作AB〃x軸交乙于8點(diǎn)，過(guò)C點(diǎn)作軸于。點(diǎn)，點(diǎn)尸為x

軸上任意一點(diǎn)，連接AP、BP、CP、DP,若S,ABP=5,SLCDP=2,則"=

k

4.（2024?浙江寧波?模擬預(yù)測(cè)）如圖，過(guò)原點(diǎn)的線(xiàn)段的兩端點(diǎn)A,3分別在反比例函數(shù)y=—（左<0,%<0）

x

和y=-L（x>0）的圖象上，過(guò)點(diǎn)A作X軸的垂線(xiàn)，垂足為C.若ABOC的面積為1,則上的值為.

X

5.（2024,湖南長(zhǎng)沙?模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)A,8分別在函數(shù)y=?（a>0）圖像的兩支上（A在第一象限），連

結(jié)A3交x軸于點(diǎn)C.點(diǎn)。，E在函數(shù)y=—（6<0,x<0）圖像上，軸，8O〃y軸，連結(jié)DE,BE.若

X

AC=2BC,AABE的面積為12,四邊形ABDE的面積為15,則。-6的值為.

6.（2024?安徽合肥三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將直角AABO向右平移到ACDE位置，A的對(duì)應(yīng)

k

點(diǎn)是C,。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是E,函數(shù)了=一（4片0）的圖象經(jīng)過(guò)08與CE的交點(diǎn)/，連接AF并延長(zhǎng)交X軸于點(diǎn)G,

x

若的面積為3,則上的值是

7.（2024?安徽六安?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OCPZ）的邊OCOD分別在x軸、y軸上,

點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（3,4）,雙曲線(xiàn)y=q（x>0）分別與邊交于點(diǎn)AB,則陰影部分的面積是.

8.（2024?廣東深圳?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等邊VAO3和菱形O3CD的邊AO、OD都在x

軸上，反比例函數(shù)丫=8（4片0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C已知VABC的面積為4道，則k的值為.

9.（2024?遼寧?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，VABC的邊AC〃尤軸，邊BC〃y軸，且點(diǎn)

4（%,%）,現(xiàn)々,%）在反比例函數(shù)>=。（4為大于。的常數(shù)，x>0）的圖象上.若％=2%,ZiABC的面積是2,

10.（2024?湖南婁底?模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)C、E在坐標(biāo)軸上，矩形OCDE分別交某反比例函數(shù)于點(diǎn)尸、G,

4k

II.（2024?福建莆田?模擬預(yù)測(cè)）如圖，過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)與反比例函數(shù)y=2和>=*的圖象在第一象限內(nèi)分別

XX

交于點(diǎn)A,B.過(guò)點(diǎn)A作AC軸于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)8作BDLAC,交C4的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D若△AB。的面積

12.(2024?貴州黔東南?一模)如圖，平行四邊形QA5c中，S四邊形。詆=8,8(0,4),它的邊OC在x軸的負(fù)半

軸上，對(duì)角線(xiàn)08在，軸的正半軸上.反比例函數(shù)>=幺的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A.

⑴求反比例函數(shù)的表達(dá)式；

(2)過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)與反比例函數(shù)在第三象限的圖像相交于點(diǎn)。，連接BD,直接寫(xiě)出面積的取值范圍.

13.(2024?甘肅蘭州?模擬預(yù)測(cè))如圖，已知點(diǎn)A在正比例函數(shù)y=2元的圖象上，過(guò)點(diǎn)A作AB/x軸于點(diǎn)8,

k

以AB為邊作正方形ABCD,點(diǎn)。在反比例函數(shù)y=—的圖象上.

⑴當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2時(shí)，求反比例函數(shù)的表達(dá)式；

（2）若正方形ABC￡＞的面積為機(jī)，試用含優(yōu)的代數(shù)式表示人的值.

題型四：特殊三角形存在性問(wèn)題

【中考母題學(xué)方法】

【典例4】（2023?四川綿陽(yáng)?中考真題）如圖，過(guò)原點(diǎn)O的直線(xiàn)與反比例函數(shù)％=￡伏彳0）的圖象交于A（L2）,

5兩點(diǎn)，一次函數(shù)%=痛+方（〃/°）的圖象過(guò)點(diǎn)人與反比例函數(shù)交于另一點(diǎn)C（2,ri）.

⑴求反比例函數(shù)的解析式；當(dāng)％〉%時(shí)，根據(jù)圖象直接寫(xiě)出了的取值范圍；

（2）在y軸上是否存在點(diǎn)M,使得ACOM為等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)”的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【變式4-1］（2023?黑龍江牡丹江?中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，DABCD的頂點(diǎn)8,C在x軸上,

。在y軸上，OB,0C的長(zhǎng)是方程X?-6x+8=0的兩個(gè)根（O3＞OC）.請(qǐng)解答下列問(wèn)題:

⑴求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）若OD:OC=2:1,直線(xiàn)＞分另I］交x軸、y軸、AD于點(diǎn)E,F,M,且M是AD的中點(diǎn)，直線(xiàn)跖交

0c延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)M求tan/MVD的值；

⑶在（2）的條件下，點(diǎn)尸在y軸上，在直線(xiàn)所上是否存在點(diǎn)。，使△NPQ是腰長(zhǎng)為5的等腰三角形？若

存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出等腰三角形的個(gè)數(shù)和其中兩個(gè)點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【變式4-2］（2024?浙江?模擬預(yù)測(cè)）如圖，直線(xiàn)＞■尤+5與丁軸相交于點(diǎn)A,與無(wú)軸相交于點(diǎn)8,與反比

Q

例函數(shù)X=](x＞0)的圖象相交于尸、。兩點(diǎn).過(guò)點(diǎn)。作x軸的垂線(xiàn)，垂足為C,連接。。、。尸，并延長(zhǎng)0P,

與直線(xiàn)QC相交于點(diǎn)在第一象限找點(diǎn)N,使以BQ，N,/為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，反比例函

⑴求△尸。。的面積.

(2)在反比例函數(shù)為=幺(尤＞0,左＞0)的圖象上找點(diǎn)。，使△PQD是直角三角形，求出符合要求的點(diǎn)。的坐

X

標(biāo).

k

⑶如圖2,在反比例函數(shù)%左〉。)的圖象上有一點(diǎn)E,EF_Lx軸于點(diǎn)尸，軸于點(diǎn)G,

Q

EF、EG分別交反比例函數(shù)％=2的圖象于凡/兩點(diǎn)，求AOm的面積.

x

【中考模擬即學(xué)即練】

1.（2024?吉林松原?模擬預(yù)測(cè)）如圖，一次函數(shù)y=-x+4與反比例函數(shù)y='（x>0）的圖象交于A、B兩點(diǎn),

X

與X軸交于點(diǎn)C,其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1,4）

⑴求反比例函數(shù)的解析式；

⑵若點(diǎn)P在x軸上，且AAPC是直角三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

1”

2.（2。24四川成都?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直如「丁與反比例函數(shù)y：的圖象交

于點(diǎn)A,5（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），已知點(diǎn)A的縱坐標(biāo)是1.

⑴求反比例函數(shù)的表達(dá)式；

（2）如圖，將直線(xiàn)心》=-gx向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后得到新的直線(xiàn)3點(diǎn)M在直線(xiàn)4上，設(shè)點(diǎn)”的橫坐標(biāo)

為《0。<4）.連接A",BM.

①求AABM的面積；

②當(dāng)△鋤〃是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo).

3.（2024?湖南?模擬預(yù)測(cè)）如圖，反比例函數(shù)％=三圖象與正比例函數(shù)%=依圖象相交于點(diǎn)A（-1,2）與點(diǎn)8.

⑴試求反比例函數(shù)％='與正比例函數(shù)%=總的函數(shù)表達(dá)式及點(diǎn)B的坐標(biāo).

X

vn

(2)請(qǐng)直接寫(xiě)出一＞心的解集.

X

⑶現(xiàn)把%=質(zhì)的圖象繞。點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到了%=依.試問(wèn)在%=皈函數(shù)圖象上是否存在一動(dòng)點(diǎn)E,

使A①是以BE為底邊的等腰三角形？如果有，請(qǐng)求出這個(gè)點(diǎn)E的坐標(biāo)；如果沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由.

題型五：特殊四邊形存在性問(wèn)題

【中考母題學(xué)方法】

【典例5】(2023,四川瀘州,中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線(xiàn)/:y=Ax+2與無(wú)，》軸分別相

交于點(diǎn)A,B,與反比例函數(shù)y=:(x＞0)的圖象相交于點(diǎn)C,已知。4=1,點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為2.

⑴求3”?的值；

(2)平行于＞軸的動(dòng)直線(xiàn)與/和反比例函數(shù)的圖象分別交于點(diǎn)E,若以8,D,E,。為頂點(diǎn)的四邊形為平

行四邊形，求點(diǎn)。的坐標(biāo).

【變式5】(2023?甘肅蘭州?中考真題)在平面直角坐標(biāo)系中，給出如下定義：P為圖形M上任意一點(diǎn)，如

果點(diǎn)尸到直線(xiàn)EF的距離等于圖形”上任意兩點(diǎn)距離的最大值時(shí)，那么點(diǎn)尸稱(chēng)為直線(xiàn)EF的"伴隨點(diǎn)”.

例如：如圖1,已知點(diǎn)A(L2),8(3,2),P(2,2)在線(xiàn)段A3上，則點(diǎn)尸是直線(xiàn)防：》軸的"伴隨點(diǎn)”.

直線(xiàn)所的“伴隨點(diǎn)”時(shí)，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

⑵如圖3,x軸上方有一等邊三角形ABC軸，頂點(diǎn)A在，軸上且在BC上方，OC=5點(diǎn)、尸是VABC

上一點(diǎn)，且點(diǎn)尸是直線(xiàn)跖：x軸的"伴隨點(diǎn)”.當(dāng)點(diǎn)P到x軸的距離最小時(shí)，求等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)；

⑶如圖4,以4(1,0),3(2,0),C(2,l)為頂點(diǎn)的正方形ABC。上始終存在點(diǎn)p,使得點(diǎn)p是直線(xiàn)所：y=-x+b

的“伴隨點(diǎn)”.請(qǐng)直接寫(xiě)出b的取值范圍.

【中考模擬即學(xué)即練】

1.（2024?廣東廣州?一模）如圖，四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)A在y軸上，點(diǎn)B在x軸上，且OA=4,OB=2,

⑴求點(diǎn)C的坐標(biāo)和反比例函數(shù)的解析式；

（2）若點(diǎn)N為直線(xiàn)上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)。重合），在＞軸上是否存在點(diǎn)使以點(diǎn)A、M、C、N為頂

點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

2

2.（2023,廣東廣州,中考真題）已知點(diǎn)尸（加,〃）在函數(shù)＞=-最（尤＜0）的圖象上.

（1）若租=-2,求"的值；

⑵拋物線(xiàn)丁=（%-m）（尤-〃）與X軸交于兩點(diǎn)N（M在N的左邊），與y軸交于點(diǎn)G,記拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為E.

①〃2為何值時(shí)，點(diǎn)E到達(dá)最高處；

②設(shè)AGMN的外接圓圓心為C,OC與y軸的另一個(gè)交點(diǎn)為凡當(dāng)加+〃20時(shí)，是否存在四邊形FGEC為平

行四邊形？若存在，求此時(shí)頂點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.