2025年天津高考數(shù)學(xué)大題突破練：三角函數(shù)與解三角形（解析版）

大題01三角函數(shù)與解三角形

》明考情-笈方向后?

三角函數(shù)與解三角形是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容。高考主要考查三角函數(shù)的圖象及應(yīng)用、三角函數(shù)的性質(zhì)

及應(yīng)用、三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，有時(shí)也與三角恒等變換、平面向量、不等式等綜合考查,多以選

擇題和填空題的形式出現(xiàn)，難度中等。

解三角形是高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，主要考查正弦定理、余弦定理和三角形面積公式的應(yīng)用，有時(shí)也與三

角恒等變換、立體幾何等進(jìn)行綜合命題，加強(qiáng)解三角形與其他章節(jié)知識的綜合訓(xùn)練以及解三角形在生活、

生產(chǎn)實(shí)踐中的應(yīng)用，題型既有選擇題、填空題，也有解答題，難度屬于中低檔。

?研大題-梃能力4

三角函數(shù)的概念，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系.誘導(dǎo)公式

3的取值范圍

三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)三角函數(shù)圖象與解析式

三角函數(shù)圖象的變換

三角恒等變換

正弦定理.余弦定理的應(yīng)用

周區(qū)與面積問題

最值問題

題型一三角函數(shù)概念、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式

sin(7i-a)cos(7t+a)cosf+?

已知/(0)=

COSsin(-6z)

⑴化簡了（。）;

(2)若[=-丁，求〃0的值；

(3)若"為第三象限角，且cos[\J=T，求/[+[的值.

【解析】

sina(-cosa)sina

(1)由題意可得/(c)==一cosa

(-sina)(-sina)

20K

(2)右。=-亍

(20K°(兀)7i1

則/(&)==-cos--------1-871=-cos—+71=cos—=—

I3)u)32

3一3

(3)因?yàn)閏os所以sina=_g

5

4

又。為第三象限角，所以cosa二_J]_sin2a二一

5

所以cr+—j=-cos[a+—\=sinofsin--cosacos—=--%--+x—=

I3jI3j33525210

喏此類題型考察恒等變形，涉及到三角恒等變形的公式比較多。正切的和差公式,

同角的平方關(guān)系，誘導(dǎo)公式，還要考慮角的范圍問題。

求三角函數(shù)值的問題，可依循三種途徑：

1.先化簡再求值：將式子化成能夠利用題設(shè)已知條件的最簡形式；

2.從已知條件出發(fā)：選擇合適的三角公式進(jìn)行變換，推出要求式的值;

3.將已知條件與求值式同時(shí)化簡再求值。

cos一6卜11(6-芋)+sin(兀-6)+cosg+6

1.已知函數(shù)

5cos(兀+。)tan(兀+6)

⑴化簡了(。)；

(2)若/(夕)=sing,求tan。+sin6cos。的值.

【解析】

1371-Ainp-y

cos+sin（7i-0）+cos[m+e

⑴/⑻=——

5cos（兀+6）tan（7i+6）

71

cos671+--^jsin0---2TI+sin（兀-6）+cos[；+e

22

5（-costan

cosI--0Isin0-—兀1+sin6—sin6

22

-5sin6

sin^（-cos^）1

——--------^=-cos6>

-5sin65

（2）由（1）知/（。）=geos。=sin。,

八sin。1

貝Utan0=------=—,

cos。5

sinSeos。tan。5

貝UsinOcos。=

sin2^+cos2^tan2^+l26'

故tan。+sinOcos。=—H----=§-

526130

2.已知sine+cos9=：,?！辏?,兀）.

⑴求sin。-cos。的值;

71

cos|—+0Isin（-71-0）

2sin（兀-6）/、

⑵已知〃e）=sg+l"）先化簡/⑻再求直

971

sin（2Ksin-----6

2

【解析】

（1）解法一:因?yàn)橄Α辏?,兀），貝!Jsin6>0,

sin0+cos3=—

因?yàn)閟ine+cos6=：,聯(lián)立sin2e+cos2e=l,得<5

sin26+cos26=1

sin6〉0

?

sm，n=一4

57

解得,所以sin8-cose=—.

cos0=——5

5

解法二：因?yàn)閟ine+cos6=」，，￡（0,兀），所以（sine+cos。）？=J_

525

1?4

所以l+2sin9cos9=w,即2sin^cos0=-—<0,

49

因?yàn)椋╯in。-cos6）9=l-2sin^cos^=—,

7

因?yàn)??！辏?,兀），貝Ijsin?！?。，所以cosdvO,sin0-cos0>O,所以sin6—cos8=《.

cos，+"g叫sing。）

（2）解法一：因?yàn)椤?。?

sin（2K-0）sin匕-“sin（2兀+0）+cos（-0）

_—sinOxsinesin。_si"sin。

一sinOxcos。sin3+cos0cos。sin0+cos0

sin6=一4

由⑴得5所以/（夕）=一^y=_：_4=_：

cos<9=——

[55-5

cosI—+0|sin（-7T-0）./八\

（2J'7sin（71-0）

解法二:〃0）=

sin（2兀叫si喧一“sg+6）+cos（叫

一sinOxsin。sin。tan。

=tan-

一sin6xcos6sin夕+cos6tan9+l

sin0+cos0=—

5.八4八3匚匚”，Csin。4

由<,,解得sin6==,cos0=一一,所以tan<9=------=一一,

.八八755cos03

_4

4一耳二16

所以/⑻=

3

題型二：三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)

已知函數(shù)/（尤）=J^sin[2x+：J,xeR

⑴求〃x）的最小正周期及/㈤的值;

（2）為了得到〃x）的圖像，需將正弦函數(shù)y=sinx的圖像進(jìn)行怎樣的變換？（寫出一種即可）

⑶求在[0,可上的單調(diào)遞減區(qū)間.

【解析】（1）最小正周期7=]=兀，/（TT）=V2sin^271+^=1；

（2）y=sin尤的圖象向左平移/單位得到函數(shù)y=sin,+j,

y=sin[x+：）的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原理的g（縱坐標(biāo)不變），得至Uy=sin12x+：

函數(shù)y=sin12x+1J的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長到原來的四倍，得至I」/(x)=0sin12x+：J,xeR.

(3)XG[0,7I],

…c71F7197l

貝IJ2X+1七F,

當(dāng)色V2x+工V型時(shí)，

242

?！?，5兀

—<x<—,

88

JTSJT

所以函數(shù)/(x)在[0,可上的單調(diào)遞減區(qū)間是石,丁.

OO

利用圖像解題:通過繪制或想象三角函數(shù)的圖像，可以幫助理解其性質(zhì)并解決相關(guān)問題例如，通過正弦函數(shù)

的圖像可以直觀地看出其在不同區(qū)間的增減性，從而解決與單調(diào)性相關(guān)的問題。

特殊值法:在解決某些問題時(shí)，可以通過代入特殊值來簡化計(jì)算。例如，求正弦函數(shù)在特定區(qū)間的最值時(shí)，

可以代入?yún)^(qū)間端點(diǎn)的值進(jìn)行計(jì)算。

平移和伸縮變換了解函數(shù)圖像的平移和伸縮變換規(guī)則，可以幫助解決與圖像變換相關(guān)的問題。例如，將正

弦函數(shù)的圖像向左平移方個(gè)單位長度，會得到余弦函數(shù)的圖像

1.函數(shù)/(x)=2cos](x+,(0<e<|^

的部分圖象如圖所示.

(i)求e及圖中七的值；

(2)求/(x)在區(qū)間[-1,2]上的值域.

【解析】解：(1)因?yàn)?(X)的圖象過點(diǎn)(0,6)，所以cos夕=#.

又因?yàn)?<°<1,所以9=^.

因?yàn)閏os1三％0+弓]=走，所以匹/o+工=2左乃+工或2%。+工=2左乃一工，keZ,

(3612366366

所以％=6%或%=-1+6左，左wZ.

T—_=6

又因?yàn)?(%)的最小正周期為工一，結(jié)合/(%)的圖象可知0</<6,所以X°=5.

~3

(JT兀\

(2)由(1)可知/"(無)=2cos|二x+二

因?yàn)閤e[-l,2],所以一g鱷—J

6366

所以一走聚！bos1匹x+&[1,則，

2136)

即/⑺在[-1,2]上的值域?yàn)閇-右,2]

2.已知函數(shù)/(x)=2sin公rsina)x+^\+cos2cox[(o>0)的最小正周期為兀.

⑴求。的值及函數(shù)“X)圖像的對稱中心;

7T7L

⑵設(shè)gGhNsiiw+cosxJ-sinxcos^,若看€0,-,3x26--,0，使得求實(shí)數(shù)6的取值范

圍.

【解析】(1)〃x)=2sissin"+升cos2M>0),

/(x)=sin2s+Vasinscoscox+cos2s,

；731

/(x)=_(l_2sin20x)+——x2sin(yxcoscox+cos2(^x+—,

22

f(x]=-cos2^x+^-sin2^x+—,

v7222

/(x)=sinf2cox+^1

+2,

7IT

:周期T=—=兀，

2G

71

"(x)=sin|2x+-|+1,

6

令Zx+二=E,(左￡Z),解得％=eZ),

6122

*,?函數(shù)〃X)圖像的對稱中心[-強(qiáng)+半，])(kez).

(2)g(x)=Z?(sinx+cosx)-sinxcosx,

(sinx+cosx)2-1

g(x)=/?(sinx+cosx)-

2

令/=sinx+cosx=J^sin[x+：；/在0,：上單調(diào)遞增,

??S(t)=--+bt+-,

令一^+2E<2x+-^<^+2far,(kGZ),解得一]+左兀Wx<6+E,(ZeZ)

???函數(shù)/(%)在區(qū)間-go上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在區(qū)間-J。上的最大值為"0)=1,

OJ[_O

0,：,3X2e-：0,使得8包卜/卜)，

.-.g(l)=/7</(O)=l,

當(dāng)6W1時(shí)，g0=-，+6+g的圖象的對稱軸為f=641,函數(shù)g⑺在re[l,忘]時(shí)單調(diào)遞減，所以

且⑺而二8⑴”符合題意，

：.b<l.

題型三解三角形

尊行I、

在VABC中，角A,5,C所對的邊分別為〃，伍c,且滿足acosC+(c+2Z?)cosA=0

(1)求角A的大小；

(2)若VA5C中線AD的長為3,求VABC面積的最大值.

【解析】

(1)因?yàn)镼COSC+(C+2Z?)COSA=0,

由正弦定理得sinAcosC+(sinC+2sinB)cosA=0,

所以sinAcosC+sinCcosA=-2sinBcosA,

所以sin(A+C)=sinB=-2sinBcosA,

又因?yàn)?￡(0,兀)，所以sin5w0,所以cosA=-;，

又因?yàn)锳?0㈤，所以A=?；

（2）因?yàn)锳D為中線，所以A。=;（A2?+AC）,

所以I而『=；（|AB|2+|AC|2+2AB-AC）,

fff^36=b2+c2—bc>2bc-bc=bc,即bcW36（當(dāng)且僅當(dāng)Z>=c=6時(shí)等號成立），

所以SAMC=（6csinAW96（當(dāng)且僅當(dāng)b=c=6時(shí)等號成立）,

經(jīng)檢驗(yàn)：當(dāng)b=c=6時(shí)，符合題意；即的最大值為9G.

1.最值問題:這類問題通常涉及求三角形的最大或最小面積、周長等。解決方法包括使用正弦定理和余弦定

理，結(jié)合均值不等式、二倍角公式等數(shù)學(xué)工具進(jìn)行求解。例如，題目中給出角度和邊的關(guān)系，可以通過正

弦定理將邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，再利用均值不等式求解

2.恒等變換:這類問題需要利用三角恒等式進(jìn)行變換和化簡。例如，利用三角恒等式展開待求式，求解sinA

和cosA的值，再利用正弦定理求解。此外，還可以通過二倍角公式展開，得到所需的結(jié)果。

3.圖形問題:這類問題通常涉及根據(jù)給定的圖形條件求解邊的長度或角度。解決方法包括使用正弦定理和余

弦定理。例如，已知兩邊及其夾角，可以直接使用余弦定理求第三邊的長度;已知角度和一邊，可以使用正

弦定理求另一邊的長度。

僮鹿*?

1.在VABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,向量用=（“,一2Z?）,元=（2sinB,白cosA）,且而_1_元.

⑴求角4

（2）若VABC的面積為名，求。的最小值.

【解析】

（1）m±?>2asinB-2y/3bcosA=0,

又結(jié)合正弦定理可得：sinAsin8-6sin8cosA=0,

sinB=/=0,sinA-A/3COSA=0,tanA=>/3,

?.1Ae（0,7t）,A=j.

（2）由（1）可知A=1,SAABC=hcsmA=43,

-bcsin—=^-bc=A/3,/.be=4,

234

a2=b2+c2—2Z?ccosA=b2+c2—be>2bc-bc=bc=4（當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2時(shí)取等），

:.a>2,即4的最小值為2.

2.已知在VABC中，A,5,C的對邊分別為。也。，滿足2ccos2m+0-2a）cosC=c.

（1）若亞.就=6,求VA3C的面積；

（2）已知向量流=3,百），萬=（百,cosA）,且沆//為，求sin（5-A）的值.

【答案】（1）3百

⑶24-773

50

【分析】（1）利用二倍角公式和正弦定理對等式化簡得到C角，由向量的數(shù)量積公式求得必，再由三角形

面積公式求得結(jié)果；

（2）利用向量平行建立等式求得A的正弦值，利用和差角公式即可求得sin（B-A）的值.

【詳解】（1）,/2ccos2+（Z?-2a）cosC=c,

.e.2cos2——1]=（2G—b）cosC*,

/.ccosB=（2a-Z?）cosC,

/.sinCcosB=（2sinA-sinB）cosC,

/.sinCcosB+sinBcosC=sinA=2sinAcosC,

A￡（0,兀），sinAw0.

,c°sC=LC/

23

,/AC-BC=abcosC=6，.'.ab=12.

?a-S^ABC=—^bsinC-3』.

（2）?沅=（5,6）,萬=（6,COSA）,且比〃為，.?.SCOSA-AX石=0,

.3..4An2兀

/.cosA=—,sinA=一,?.?A+/?=——,

553

sin（5-A）=sinf^--2Aj,

=sin-cos2A-cos—sin2A=A/3COS2A+sinAcosA-

332

=-9G-1-1-2--V3=-2-4-7-0-.

2525250

3.在VABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且+-cos?A-sinAsinC.

⑴求角B；

(2)若NABC的角平分線交AC于點(diǎn)。，a=3,c=4,求BD；

(3)若VABC的外接圓的半徑為6求2c-。的取值范圍.

【解析】

(1)因?yàn)閏os2C+sin2B=2-cos2A-sinAsinC)

可得sin?B=h—cos2A)+(l-cos?C)-sinAsinC=sin。A+sin2C—sinAsinC,

由正弦定理得〃則8sB二

lac2

jr

且0<3<兀，所以8=

(2)由題意可知：/ABD=NCBD=—,

則,acsinZABC=—xcxBDxsmZABD+—xaxBDxsmZCBD,

222

BP—x3x4x=—x4xBDx—+—x3xBDx—,可得BD=.

2222227

(3)由正弦定理可得」｝=3=20，

smCsmA

則c=2A/3sinC,a=2GsinA=2A/3sin(C+B)=sinC+3cosC,

可得2c-〃=4\/3sinC-^\/3sinC+3cosCj=3AsinC-3cosc=6sinC,

又因?yàn)镃e(0,g[,貝l]C-71

——G

6

可得sin[c-Sje5,11,gp2c—ae.(—3,6),

所以2c-a的取值范圍為(-3,6).

、刷大題-拿高分八

旬na,

1.(2025?四川?二模)記銳角VABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a,b,c,已知asin8=始".

1+tanB

(1)求sinA的值.

(2)若力=拒，求〃邊上的高的取值范圍.

【解析】

(1)因?yàn)椤╯in3=ctanB,所以癡nB+〃sinBtanB=ctanB,

1+tanB

c.八.八sinBsinB

所以asinB+asmB----=c----,

cosBcosB

又因?yàn)閟inB>0,所以如os_B+asinB=c,

應(yīng)用正弦定理得sinAcosB+sinAsinB=sinC=sin(A+5),

所以sinAcosB+sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB，

因?yàn)閟inB>0,所以sinA=cosA,

所以tanA=l,Ae(O,7i),所以A=:,sinA=g.

(2)因?yàn)镃是銳角VA5c的內(nèi)角，又因?yàn)锳=?,所以得出f<C<5，

442

所以sinCe

設(shè)〃邊上的高為"S=—bcsinA=—ah,

22

h縣

九二:2，=演=半=小皿?！?1,四).

aasinA)

2.(2025?上海?模擬預(yù)測)已知。>0,/(%)=sins:+24cos2學(xué).

⑴若函數(shù)，=/(%)的最小正周期為兀，求⑷的值；

(2)當(dāng)°=1時(shí)，設(shè)。目0,2兀］.若函數(shù)y=和y=〃x+a)在［0,可上有相同的最大值，求。的取值范圍.

【解析】

(1)f(x)=sinGX+2石cos2=sincox+2y/3?1+①*

=sincox+\[3cos69x+^3=2sin^69x+y^+^,

因?yàn)棰?gt;0且函數(shù)〃x)的最小正周期為兀，故加g=2.

(2)當(dāng)6y=1時(shí)，/(x)—2sin^x+—j+^3.

若光￡[0,兀]時(shí)，j<X+y<^,

當(dāng)%+g=g時(shí)，函數(shù)y=/(x)取得最大值，即〃41ax=2sing+指=2+君.

而函數(shù)y=〃x+a)與y=/(x)存在相同的最大值，

故當(dāng)尤+a+g=：+2E億eZ）時(shí)，函數(shù)y=〃x+a）在［0,句內(nèi)取得最大值,

JT

因此可得x=—+2kn-ae[0,7i],

6

jrIT

①當(dāng)左=。時(shí)，可得￡—〃￡[。,兀],貝IJ有兀(，解得蚊0,-；

6---a<7i6

6

0<a<2n

13兀八

-----a>0

6r~

②當(dāng)左=1時(shí)，可得孚-。?0,兀],則有1371V,解得ae￥，2兀

6-----a<7t6

6

0<a<27i

當(dāng)左22時(shí)，x=—+2kit-?>—+4TC-2TU>,止匕時(shí)，x=—+2kn-?[0,K],

6666

7TTT11TT17T

當(dāng)上0—1時(shí)，x=—F2E—a<—2兀=----,止匕時(shí)，x,=—\-2ATI—CLTO,7il.

6666

jr77r

綜上所述，。的取值范圍為0,-u—,2；1.

_oJ[_o_

3(2024?河南?模擬預(yù)測).已知函數(shù)/(尤)=sin3xcos3x-石sin23x+?.

⑴求的單調(diào)遞增區(qū)間；

⑵若“0=1,求cos［段-12a）的值.

【解析】

Jin65右.乙71

(1—2sin23%)="sin6x+cos6x=sin6XH■一

22I3

+2fai<6x+—<—+2far(A:GZ),+—<x<—+—(A:eZ),

232363363

5兀kTl71kTl

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為一---1---,---1---(^eZ).

363363

sin16a+三

（2）由于所以=1,

所以6a+]=2E+W(%￡Z),gp?=y+^(^eZ),所以12a=4E+?左￡Z),

貝Ucos[^-12a4兀1

=cosy-4fal=cos——=

32

3兀

4-（2024?上海嘉定一模）已知/（尤）=2cos（s+i）,其中

7TTT

⑴若。=2,求函數(shù)y寸⑺”匚刀的值域;

⑵若/（：）=o,且函數(shù)y=f（x）在內(nèi)有極小值，但無極大值，求0的值.

【解析】

/r、、1/—?t.r/、c/c3兀、?兀兀r/曰3jL7T5兀r

(1)當(dāng)0=2時(shí)，f(x)=2cos(2xH----),由%￡1r—,一],倚2XH------G[r—,—],

444444

則-"cos(2x+瑪4變，-2</(x)<72,

42

所以函數(shù)片?。庇抑械闹涤蚴牵?2,同

(2)由/(二)=0,得工。+生=工+析,左eN*,解得。=-1+4匕keN*,

4442

、”兀兀ri工八n,,(69+3)713兀(4刃+9)兀

當(dāng)一<工<一時(shí)，而外>0,貝I」1----—<^x+—<---------—

434412

2〃兀<儂；"兀<(2n+1)TT

JT7T

又函數(shù)了（%）在（于］）內(nèi)有極小值，無極大值，貝人,neZ,

(2〃+l)7i<(4：；9)兀工①幾+2)兀

8〃一3工。<8〃+1

解得L3215,HRZ,

于是8〃-3<6n+—<8n+1<6nH或

44

I44

3IS1111527

6n+—<8n—3<6n-\<8H+1,HGZ,解得——<n<一或一<n<——,nGZ,

448888

3

當(dāng)〃=0時(shí)，一<G<1,又④=一1+4左，左EN*,無解;

4

27

當(dāng)力=1時(shí)，——<69<9,又切=一1+4左，攵￡N*,則左=2,0=7；

4

當(dāng)〃=2時(shí)，—，又G=—1+4左/EN*,則左=4,G=15；

4

87

當(dāng)〃=3時(shí)，—,又切=一1+4左，左wN*,無解，

4

所以。的值是7或15.

5.(2024.山西?模擬預(yù)測)已知函數(shù)"X)=Asin(?x+^)(A>0,。>0,0W。<兀)的部分圖象如圖所示.

(1)求函數(shù)/(x)的解析式及其對稱軸方程；

⑵由函數(shù)/⑺的圖象經(jīng)過怎樣的平移變換能得到函數(shù)g(尤)=sin1x+胃的圖象？當(dāng)xeog時(shí)，求g(x)

的值域.

【解析】

(1)由圖象與A>0知，A=l,設(shè)“X)的最小正周期為T,

I7TIT27r

則77=彳-0=二，又。＞。，則？=2兀=一，解得。=1,

422a)

則/(x)=sin(x+°),又的圖象經(jīng)過點(diǎn)gj,故得sin\+0|=l,

TTIT

則一+0=—+2E,左cZ,故(p=2kn,keZ,又。＜0＜兀，得夕=0,

7T

所以f(x)=sinx,故其對稱軸方程為x=-+kn,keZ.

(2)將函數(shù)〃x)=sinx的圖象向左平移各個(gè)單位

0

可得g(無)=sin尤+￡j的圖象,

7T兀兀，2兀

當(dāng)xe0.-時(shí),—＜x+—＜——,

663

1

所以六sin(x+《VI,即g(x)的值域?yàn)?

2

6.(2024?四川瀘州.一模)設(shè)VA5c的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,6,c,且4=卑±您￡

ab+c

(1)求A；

(2)若2從+cz的最大值為6+2若,求。的值.

【解析】

（1）由題設(shè)及正弦邊角關(guān)系，有空_cosB+cosC

smAsinB+sinC

所以sin5cosA+sinCcosA=sinAcos_B+sinAcosC,

整理得sinBcosA-sinAcosB=sinAcosC-sinCcosA,即sin(B-A)=sin(A-C),

顯然5—A+A—C=5—。=兀不合題設(shè)，則A=A—C,

所以A=；,而A+3+C=TI,可得A=g.

abc-72asinB2〃sinC

(2)由嬴1=揄=碇'可倚=—

所以2bl+c2-4a?(2sin2B+sin2C)2a2(3-2cos2B-cos2C)

+C-3-3

4兀

由⑴知：B+C=—,則序2_2a-[3-2cos2B-cos(y-2B)]

3ZDrC-

3

2

_2a-(3+—sin2B--cos2B)=2a[l+^-sm(2B

33

二3

由0<3〈年，則〈兀，又2^+C2的最大值為6+24，

所以2a2(1+'=6+2?？傻谩?公(負(fù)值舍)，

綜上，a=A/3.

7.（2024?新疆?模擬預(yù)測）在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為。也c,且滿足2Qsin5+2csinA=6b+Sc.

(1)求角A的大小；

⑵若cosA>0,求二h4-的r取值范圍.

a

【解析】

(1)因?yàn)?〃sinB+2csinA=A+百c,由正弦定理邊化角得:

2sinAsinB+2sinCsinA=A/3sinB+6sinC,

因式分解得：(2sinA-百)(sin5+sinC)=0,

因?yàn)槊馛?0,兀），所以sin5+sinC>0,

貝2sinA-百=0，解得sinA=，

2

又因?yàn)锳e（O,兀），所以A=1或A=g；

TT

(2)因?yàn)閏osA>0,所以A=§,

b+c_sinB+sinC_2^3

由正弦定理邊化角可得:

asinA3

5sinB+731'2可#3),1

——cosB+—sinBcosB+—sinB=2—cosB+——6si?n8小=2sinB+

31223122J(22

因?yàn)樗訠+3百g),即2sin,+"e(l,2],

故等的取值范圍是0,2].

8.(2024?廣東東莞?模擬預(yù)測)在銳角VABC中，角A,3,C所對的邊分別為。，b,c,已知向量

m=(cosA,cosB),n=(?,2c-b),且沅〃為.

(1)求角A的大?。?/p>

(2)若。=2,求VA5C周長的取值范圍.

【解析】

(1)由比〃萬，得(2。一/?)以)$24=。855,由正弦定理，得(2sinC-sinB)cosA=sinAcos5,

即2sinCcosA=sinAcosB+cosAsinB=sin(A+5)=sinC,

兀1

而Ce(0;),sinCwO,貝1JcosA=—,

22

又AE%),A=j.

_^_=_^=2=延4出4出

(2)由正弦定理得：sinBsinCy/33，貝U/?=-----sinB,c=------sinC,

~T

b+c=(sinB+sinC)=~~~[sinB+sin(y+B)]=~~~(~sinB+cosB)=4sin(B+《),

0<B<-

由銳角VASC,得,2，即3￡(),5+￡(),

2兀兀62633

因此sin(B+-)G(―,1],即4sin(B+—)e(2^3,4],a+b+c=2+b+cE：(2百+2,6]

626

所以VA5C周長的范圍為(2月+2,6

1(2024?北京?高考真題)在VABC中，內(nèi)角A,民C的對邊分別為a/,c,ZA為鈍角，a=7,sinZBu±bcosB.

7

⑴求2A；

(2)從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得VABC存在，求VABC的面積.

條件①：6=7；條件②：cosB=^|；條件③：csinA=|>/3.

142

注：如果選擇的條件不符合要求，第(2)問得。分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解

答計(jì)分.

【解析】

(1)由題意得2sin5cos5二——bcosB,因?yàn)锳為鈍角，

7

廠b_2_〃_7廠

貝Ijcos3w0,貝！］2sin5=//?,則sin8A/3sinAsinA,解得sinA=2，

7T2

因?yàn)锳為鈍角，則A=^.

(2)選擇①b=7,則sin8=走6=^x7=①，因?yàn)锳=§,則3為銳角，則2=9，

1414233

止匕時(shí)4+8=兀，不合題意，舍棄；

13

選擇②cosB=一，因?yàn)锽為三角形內(nèi)角，貝！Jsin5=

14

則代入2sin3=^b得2x地二走b,解得6=3,

7147

sinC=sin(A+B)=sin=sin——cosB+cos——sinB

33

V313f03百5y/3

2142；1414

加c1〃.「17a5?156

1

火J3ARC=—absmC=—x/x3x----=-----.

△Age22144

選擇③csinA=：百，則有ex立=36，解得c=5,

222

7

sinC,解得sinC=*叵

則由正弦定理得一三即B

smAsinC~T14

11

因?yàn)?。為三角形?nèi)角，貝iJcosC=

則sinB=sin(A+C)=sinf+C

=sin—cosC+cos—sinC

33

則Sm=Lcsin8」x7x5xM=M

△ABC22144

2.（2024?新課標(biāo)II卷?高考真題）記VABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知sinA+bcosA=2.

(1)求A.

(2)若a=2,后sinC=csin2B，求VABC的周長.

【解析】(1)方法一：常規(guī)方法(輔助角公式)

由sinA+石cosA=2可得^sinA+^^cosA=1,即sin(A+=)=1,

223

,..?..7T.7T4兀、...7171.71

由于Ae(0,兀)=>4+Z€(刀,丁)，故4+彳=彳，解得A=z

333326

方法二：常規(guī)方法(同角三角函數(shù)的基本關(guān)系)

由sinA+GeosA=2,又sin?A+cos2A=1,消去sinA得到：

2

4cosA—46cosA+3=0o(2cosA—退y=0,解得COsA=—,

2

又Ae(0,7T),故A=2

6

方法三：利用極值點(diǎn)求解

設(shè)fM=sin%+A/3COSX(0<%<7t),則/(x)=2sin[x+]](0<x<兀),

顯然x時(shí)，/(x)max=2,注意至lj/(A)=sinA+V^cosA=2=2sin(A+q),

63

/(X)max="A),在開區(qū)間(0,兀)上取到最大值，于是X=A必定是極值點(diǎn)，

BPA)=0=cosA-V3sinA,BPtanA=,

3

jr

又Ae(0,兀)，故A=?

o

方法四：利用向量數(shù)量積公式(柯西不等式)

設(shè)a=(l,7§),B=(sinA,cosA),由題意，ab=sinA+y/3cosA=2,

根據(jù)向量的數(shù)量積公式，無B=|7||5|COS@5）=2COSW，5）,

則2COSO,B=2ocos",5=1,此時(shí)。,5=0,即〃,B同向共線,

根據(jù)向量共線條件，LeosA=囪?sinAu>tan4=且，

3

又AE（0,兀），故A=?

方法五：利用萬能公式求解

設(shè)/=1211金，根據(jù)萬能公式，sinA+抬cosA=2=

21+冬產(chǎn)+若1。+〃:，

整理可得，〃一2(2-6"+(2-不羊=0=?一(2-6)-，

AL

解得tan/=f=2-有，根據(jù)二倍角公式,tanA=A=^-

I-/23

又Ae(0,7r),故A=f

(