2025年高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)鞏固卷：分布列及三大分布（五大考點(diǎn)）原卷版+解析

考點(diǎn)鞏固卷24分布列及三大分布(五大考點(diǎn))

朦店量覆霓

匿焉4弦巧及考克制代

考點(diǎn)01:分布列均值和方差的性質(zhì)

1.某城市采用搖號(hào)買車的方式，有20萬人搖號(hào)，每個(gè)月?lián)u上的人退出搖號(hào)，沒有搖上的人繼續(xù)進(jìn)入下月

搖號(hào)，每個(gè)月都有人補(bǔ)充進(jìn)搖號(hào)隊(duì)伍，每個(gè)季度第一個(gè)月?lián)u上的概率為去1，第二個(gè)月為小1第三個(gè)月為1:，

109o

則平均每個(gè)人搖上需要的時(shí)間為()個(gè)月.

A.7B.8C.9D.10

2.有甲、乙兩個(gè)不透明的袋子，甲袋子里有1個(gè)白球，乙袋子里有5個(gè)白球和5個(gè)黑球，現(xiàn)從乙袋子里隨

機(jī)取出左WIOKeN*)個(gè)球放入甲袋子里，再從甲袋子里隨機(jī)取出一個(gè)球，記取到的白球的個(gè)數(shù)為X,

貝U當(dāng)4(144410水eN*)變大時(shí)()

A.E(X)變小B.E(X)先變小再變大

C.E(X)變大D.E(X)先變大再變小

3.克拉麗絲有一枚不對(duì)稱的硬幣.每次擲出后正面向上的概率為。(。<。<1),她擲了上次硬幣，最終有10

次正面向上.但她沒有留意自己一共擲了多少次硬幣.設(shè)隨機(jī)變量X表示每擲N次硬幣中正面向上的次數(shù)，現(xiàn)

以使P(X=10)最大的N值估計(jì)N的取值并計(jì)算E(X).(若有多個(gè)N使P(X=10)最大,則取其中的最小N值).

下列說法正確的是()

A.E(X)>10B.E(X)<10

C.E(X)=10D,E(X)與10的大小無法確定

4.下列說法中，正確命題的個(gè)數(shù)為()

①已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布若E(3X+1)=6,則“=5.

②對(duì)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量x,V,其線性回歸方程為9=Q3x-m,若樣本點(diǎn)的中心為(租,2.8),則實(shí)數(shù)

機(jī)的值是-4.

③以模型,=。64去擬合一組數(shù)據(jù)時(shí)，為了求出回歸方程，設(shè)z=lny,求得線性回歸方程為z=0.3x+4,則

c、上的值分別是e“和Q3.

④若樣本數(shù)據(jù)再，%,后，…，/的方差為2,則數(shù)據(jù):2±-1,2%-1,-,2%-1的方差為16

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

5.下列命題中，不正確的是（）

A.若隨機(jī)變量X~《5,鼻，則D（X）=；

B.若隨機(jī)變量X~N（5,〃），且P（3WXW5）=Q3,則P（X27）=0.2

]]8

C.若x>0,xy=l,貝|J丁+丁+——的最小值為4

2x2yx+y

D.兩個(gè)隨機(jī)變量的相關(guān)系數(shù)「越大，兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)

6.下列命題錯(cuò)誤的是（）

A.兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于1

B.設(shè)之即7,p）,若磯<）=30,。⑶=20,則”=90

C.線性回歸直線y=bx+a一定經(jīng)過樣本點(diǎn)的中心（x,y）

D.一個(gè)袋子中有100個(gè)大小相同的球，其中有40個(gè)黃球、60個(gè)白球，從中不放回地隨機(jī)摸出20個(gè)球

作為樣本，用隨機(jī)變量X表示樣本中黃球的個(gè)數(shù)，則X服從二項(xiàng)分布，且E（x）=8

7.若隨機(jī)變量X的可能取值為L(zhǎng)2,3,4,且尸（X=Q=/l左（左=1,2,3,4）,則O（X）=（）

A.1B.2C.3D.4

8.設(shè)。，6,c是不全相等的實(shí)數(shù)，隨機(jī)變量J取值為。，6,c的概率都是:，隨機(jī)變量〃取值為零手，

b+2023cc+2023。4右相片必.曰1.、

方『，的概率也都是屋n則iI（）

A.E?<E[〃],。團(tuán)<。同B.E[^E[TJ],。?>以〃]

C.E?<E㈤，D[^]=D[TJ]D.E[^]=E[n],D[^]=D[n]

9.某人在〃次射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù)為X,XB（n,p）,其中〃eN*,擊中奇數(shù)次為事件A,

則（）

A.若〃=10,p=0.8,則尸（X=/:）取最大值時(shí)左=9

B.當(dāng)時(shí)，D（X）取得最小值

C.當(dāng)0<p<；時(shí)，P(A)隨著"的增大而增大

D.當(dāng);<p<l時(shí)，P(A)隨著，的增大而減小

10.下列說法不正確的是()

A.一組數(shù)據(jù)1,4,14,6,13,10,17,19的25%分位數(shù)為5

B.一組數(shù)據(jù)加，3,2,5,7的中位數(shù)為3,則根的取值范圍是(-8,引

C.若隨機(jī)變量X~2(4,；),則方差。(3X+1)=4

D.若隨機(jī)變量X~N(LL),且尸(0<X<1)=04,則尸(X>2)=0.1

考點(diǎn)02：超幾何分布

11.一箱蘋果共有12個(gè)蘋果，其中有〃(2<〃<7)個(gè)是爛果，從這箱蘋果中隨機(jī)抽取3個(gè).恰有2個(gè)爛果的

概率為U，貝卜2=()

A.3B.4C.5D.6

12.2024年“與輝同行”直播間開播，董宇輝領(lǐng)銜7位主播從“心”出發(fā)，其中男性5人，女性3人，現(xiàn)需排

班晚8：00黃金檔，隨機(jī)抽取兩人，則男生人數(shù)的期望為()

3354

A.—B.—C.—D.一

5443

13.某商場(chǎng)推出一種抽獎(jiǎng)活動(dòng)：盒子中裝有有獎(jiǎng)券和無獎(jiǎng)券共10張券，客戶從中任意抽取2張，若至少抽

中1張有獎(jiǎng)券，則該客戶中獎(jiǎng)，否則不中獎(jiǎng).客戶甲每天都參加1次抽獎(jiǎng)活動(dòng)，一個(gè)月(30天)下來，發(fā)現(xiàn)

自己共中獎(jiǎng)11次，根據(jù)這個(gè)結(jié)果，估計(jì)盒子中的有獎(jiǎng)券有()

A.1張B.2張C.3張D.4張

14.袋中有6個(gè)大小相同的黑球，編號(hào)為1,2,345,6,還有4個(gè)同樣大小的白球，編號(hào)為7,8,9,10,現(xiàn)從中任

取4個(gè)球，則下列結(jié)論中正確的是()

①取出的最大號(hào)碼X服從超幾何分布；

②取出的黑球個(gè)數(shù)Y服從超幾何分布；

③取出2個(gè)白球的概率為L(zhǎng)；

④若取出一個(gè)黑球記2分，取出一個(gè)白球記1分，則總得分最大的概率為」

14

A.①②B.②④C.③④D.①③④

15.下列說法正確的為()

A.某高中為了解在校學(xué)生對(duì)參加某項(xiàng)社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)的意向，擬采用分層抽樣的方法從該校三個(gè)年級(jí)的

學(xué)生中抽取一個(gè)容量為60的樣本.已知該校高一、高二、高三年級(jí)學(xué)生數(shù)之比為5:4:3,則應(yīng)從高三年

級(jí)中抽取14名學(xué)生

B.10件產(chǎn)品中有8件正品，2件次品，若從這10件產(chǎn)品中任取2件，則恰好取到1件次品的概率為g

C.若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（2,〃），P（X<5）=0.86,則尸（XW-1）=（M4

D.設(shè)某校男生體重'（單位：kg）與身高x（單位：cm）具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)

（4,）1=1,2,,n）,用最小二乘法建立的回歸方程為5=Q85x-82,若該校某男生的身高為170cm,

則可斷定其體重為62.5kg

16.在一次“概率”相關(guān)的研究性活動(dòng)中，老師在每個(gè)箱子中裝了4個(gè)小球，其中3個(gè)是白球，1個(gè)是黑球,

用兩種方法讓同學(xué)們來摸球.方法一：在20箱中各任意摸出一個(gè)小球；方法二：在10箱中各任意摸出兩個(gè)

小球.將方法一、二至少能摸出一個(gè)黑球的概率分別記為Pi和2,則（）

A.pt=p2B.>p2

C.px<p2D.以上三種情況都有可能

17.2021年1月18日，國家統(tǒng)計(jì)局公布我國2020年GDP總量首次突破100萬億元，這是我國經(jīng)濟(jì)里程碑

式的新飛躍.尤其第三產(chǎn)業(yè)增長(zhǎng)幅度較大，現(xiàn)抽取6個(gè)企業(yè)，調(diào)查其第三產(chǎn)業(yè)產(chǎn)值增長(zhǎng)量分別為0.4,0.6,

1.2,1.2,1,8,2.0（單位：十萬元），若增長(zhǎng)量超過1.5（十萬元）可評(píng)為優(yōu)秀企業(yè)，現(xiàn)從6個(gè)企業(yè)中隨機(jī)抽取兩

個(gè)，則恰好有一個(gè)優(yōu)秀企業(yè)的概率為（）

,2八3r8

A.—B.-C.—D.—

551515

18.《易?系辭上》有“河出圖，洛出書”之說，河圖、洛書是中華文化，陰陽術(shù)數(shù)之源，其中河圖排列結(jié)構(gòu)

是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如圖，白圈為陽數(shù)，黑點(diǎn)為陰數(shù).若從

這10個(gè)數(shù)中任取3個(gè)數(shù)，則這3個(gè)數(shù)中至少有2個(gè)陽數(shù)的概率為（）

o-o-o-o~o~o~o

19.紋樣是中國傳統(tǒng)文化的重要組成部分，它既代表著中華民族的悠久歷史、社會(huì)的發(fā)展進(jìn)步，也是世界

文化藝術(shù)寶庫中的巨大財(cái)富.小楠從小就對(duì)紋樣藝術(shù)有濃厚的興趣.收集了如下9枚紋樣徽章，其中4枚

鳳紋徽章，5枚龍紋徽章.小楠從9枚徽章中任取3枚，則其中至少有一枚鳳紋徽章的概率為().

20.一個(gè)班級(jí)共有30名學(xué)生，其中有10名女生，現(xiàn)從中任選三人代表班級(jí)參加學(xué)校開展的某項(xiàng)活動(dòng)，假

設(shè)選出的3名代表中的女生人數(shù)為變量X,男生的人數(shù)為變量匕則P(x=2)+P(y=2)等于

ARG：+c；。

A，-7^3-7^3

C30C30

CC-+C；?C；oD(Gi+Co),(G,o+Co)

GoCjg

考點(diǎn)03:二項(xiàng)分布及二項(xiàng)分布的概率最大問題

21.在概率論中，全概率公式指的是：設(shè)o為樣本空間，若事件A，4,…，4兩兩互斥，4口4口一口4=。，

則對(duì)任意的事件3=。，有尸(3)=尸(A)尸(3|A)+尸(4)尸(3|&)++P(An)P｛B\An).若甲盒中有2個(gè)白

球、2個(gè)紅球、1個(gè)黑球，乙盒中有％個(gè)白球(xeN)、3個(gè)紅球、2個(gè)黑球，現(xiàn)從甲盒中隨機(jī)取出一個(gè)球放

入乙盒，再從乙盒中隨機(jī)取出一個(gè)球，若從甲盒中取出的球和從乙盒中取出的球顏色相同的概率大于等于盤,

則x的最大值為.

22.近年來，我國外賣業(yè)發(fā)展迅猛，外賣小哥穿梭在城市的大街小巷成為一道亮麗的風(fēng)景線.某外賣小哥

每天來往于4個(gè)外賣店(外賣店的編號(hào)分別為1,2,3,4),約定：每天他首先從1號(hào)外賣店取單，叫做第1次

取單，之后，他等可能的前往其余3個(gè)外賣店中的任何一個(gè)店取單叫做第2次取單，依此類推.假設(shè)從第2

次取單開始，他每次都是從上次取單的店之外的3個(gè)外賣店取單，設(shè)事件A*=｛第左次取單恰好是從1號(hào)店

取單｝，P(4)是事件&發(fā)生的概率，顯然尸(4)=1，/4)=。，則網(wǎng)4)=

23.馬爾科夫鏈?zhǔn)歉怕式y(tǒng)計(jì)中的一個(gè)重要模型，也是機(jī)器學(xué)習(xí)和人工智能的基石，為狀態(tài)空間中經(jīng)過從一

個(gè)狀態(tài)到另一個(gè)狀態(tài)的轉(zhuǎn)換的隨機(jī)過程，該過程要求具備“無記憶”的性質(zhì)：下一狀態(tài)的概率分布只能由當(dāng)前

狀態(tài)決定，在時(shí)間序列中它前面的事件均與之無關(guān).甲口袋中各裝有1個(gè)黑球和2個(gè)白球，乙口袋中裝有2

個(gè)黑球和1個(gè)白球，現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一個(gè)球交換放入另一口袋，重復(fù)進(jìn)行〃（〃eN*）次這樣的

操作，記口袋甲中黑球的個(gè)數(shù)為X",恰有1個(gè)黑球的概率為以，則B的值是；X"的數(shù)學(xué)期望E（X“）

是.

24.甲、乙、丙三個(gè)人去做相互傳球訓(xùn)練，訓(xùn)練規(guī)則是確定一人第一次將球傳出，每次傳球時(shí)，傳球者都

等可能地將球傳給另外兩個(gè)人中的任何一人，每次必須將球傳出.如果第一次由甲將球傳出，設(shè)〃次傳球后

球在甲手中的概率為匕，則鳥=;P“=.

25.如圖是一塊高爾頓板的示意圖，在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯(cuò)開的圓柱形小木釘，小木

釘之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ?，前面擋有一塊玻璃.將小球從頂端放入，小球下落的過程中，每次碰到

小木釘后都等可能地向左或向右落下，后落入底部的格子中.記格子從左到右的編號(hào)分別為04,2,3,.10,

用X表示小球最后落入格子的號(hào)碼，若P（X=k）WP（X=k。）,貝性。=.

26.為銘記歷史、緬懷先烈，增強(qiáng)愛國主義情懷，某學(xué)校開展共青團(tuán)知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng).在最后一輪晉級(jí)比賽

中，甲、乙、丙三名同學(xué)回答一道有關(guān)團(tuán)史的問題，每個(gè)人回答正確與否互不影響.已知甲回答正確的概

111

率為；，甲、丙兩人都回答正確的概率是三，乙、丙兩人都回答正確的概率是丁.若規(guī)定三名同學(xué)都回答這

個(gè)問題，則甲、乙、丙三名同學(xué)中至少有1人回答正確的概率為;若規(guī)定三名同學(xué)搶答這個(gè)問題，已

知甲、乙、丙搶到答題機(jī)會(huì)的概率分別為《，L則這個(gè)問題回答正確的概率為.

263

27.已知一道解答題有兩小問，每小問5分，共10分.現(xiàn)每十個(gè)人中有六人能夠做出第一問，但在第一問做

不出的情況下，第二問做出的概率為0.1；第一問做出的情況下，第二問做不出的概率為06用頻率估計(jì)概

率，則此題得滿分的概率是;得0分的概率是.

28.甲和乙兩個(gè)箱子中各裝有5個(gè)大小相同的小球，其中甲箱中有3個(gè)紅球、2個(gè)白球，乙箱中有4個(gè)紅球、

1個(gè)白球，從甲箱中隨機(jī)抽出2個(gè)球，在已知至少抽到一個(gè)紅球的條件下，則2個(gè)球都是紅球的概率

為;擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，如果點(diǎn)數(shù)小于等于4,從甲箱子中隨機(jī)抽出1個(gè)球；如果點(diǎn)數(shù)大

于等于5,從乙箱子中隨機(jī)抽出1個(gè)球，若抽到的是紅球，則它是來自乙箱的概率是.

29.某單位為了提高員工身體素質(zhì)，開展雙人投籃比寒，現(xiàn)甲、乙兩人為一組參加比賽，每次由其中一人投

籃，規(guī)則如下：若投中，則此人繼續(xù)投籃，若未投中，則換為對(duì)方投籃，無論之前投籃的情況如何，甲每

次投籃的命中率均為;，乙每次投籃的命中率均為《.由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、

乙的概率各為"第2次投籃的人是甲的概率為；已知在第2次投籃的人是乙的情況下，第1次投

籃的人是甲的概率為.

30.學(xué)習(xí)小組為了研究手機(jī)對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)的影響，對(duì)本學(xué)校學(xué)生手機(jī)使用情況統(tǒng)計(jì)分析有以下結(jié)果：若學(xué)生

前一天沒有玩手機(jī)，則接下來一天也不玩手機(jī)的概率為0.7,若學(xué)生前一天玩手機(jī)，接下來一天也玩手機(jī)的

概率為0.8.已知一個(gè)學(xué)生第一天沒玩手機(jī)，根據(jù)這個(gè)統(tǒng)計(jì)結(jié)果計(jì)算，那么他第二天玩手機(jī)的概率為,

第三天不玩手機(jī)的概率為.

考點(diǎn)04:正態(tài)分布?？碱}型

31.若隨機(jī)變量X~N3b2）,且尸（X"）=P（XVl）=0.4,則尸仁4乂<4卜.

32.正態(tài)分布N（l,4）在區(qū)間（-3,-1）和（3,5）上取值的概率為《，P2,則二者的大小關(guān)系為.

33.某生產(chǎn)線正常生產(chǎn)下生產(chǎn)的產(chǎn)品A的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)X近似服從正態(tài)分布N（5,〃），若

P（X<a）=P（X>\+2a）,則實(shí)數(shù)。的值為.

34.李明記錄了自己50次坐公交車所花的時(shí)間為X（單位：分鐘），經(jīng)數(shù)據(jù)分析發(fā)現(xiàn)X服從正態(tài)分布，平

均時(shí)間為36分鐘，方差為36,則P（30WXW48）=.

P（〃-5VXW〃+5）=O.6827,P（4-25WX?〃+25）=O.9545

35.某次數(shù)學(xué)練習(xí)中，學(xué)生成績(jī)X服從正態(tài)分布N（115,b2）,若尸（105VXV125）=；,則從參加這次考試的

學(xué)生中任意選取3名學(xué)生，至少有2名學(xué)生的成績(jī)高于125的概率是.

1(X-1)2

36.隨機(jī)變量X的概率分布密度函數(shù)/（x）=11中(xeR),其圖象如圖所示,設(shè)尸(XN2)=0.15,

CTA/2TI

則圖中陰影部分的面積為

37.某市統(tǒng)計(jì)高中生身體素質(zhì)狀況，規(guī)定身體素質(zhì)指標(biāo)值在［60,口)內(nèi)就認(rèn)為身體素質(zhì)合格，在［60,84］內(nèi)

就認(rèn)為身體素質(zhì)良好，在［84,+?)內(nèi)就認(rèn)為身體素質(zhì)優(yōu)秀，現(xiàn)從全市隨機(jī)抽取100名高中生的身體素質(zhì)指標(biāo)

100100

值*=1,2,3,...,100),經(jīng)計(jì)算=7200,士才=100x(722+36).若該市高中生的身體素質(zhì)指標(biāo)值服從正

Z=1Z=1

態(tài)分布則估計(jì)該市高中生身體素質(zhì)良好的概率為.(用百分?jǐn)?shù)作答，精確到Q1%)

參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布貝"(〃-bMX"+bh0.6827,

P("-2cr<X<］LI+2b)?0.9545,P(/z—3cr<X<//+3b)?0.9973.

38.已知某種零件的尺寸(單位：mm)在［83.8,86.2］內(nèi)的為合格品.某企業(yè)生產(chǎn)的該種零件的尺寸X服從

正態(tài)分布N(85,(T2),且尸(X<83.8)=0.1,則估計(jì)該企業(yè)生產(chǎn)的2000個(gè)零件中合格品的個(gè)數(shù)為.

39.某企業(yè)生產(chǎn)一種零部件，其質(zhì)量指標(biāo)介于(49.6,50.4)的為優(yōu)品.技術(shù)改造前，該企業(yè)生產(chǎn)的該種零部件

質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布N(50,0.16)；技術(shù)改造后，該企業(yè)生產(chǎn)的同種零部件質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布

N(50,0.04).那么，該企業(yè)生產(chǎn)的這種零部件技術(shù)改造后的優(yōu)品率與技術(shù)改造前的優(yōu)品率之差為.(若

X~N(M，〃)，則尸(|Xcr)=0.6827,尸(|X-4|<2b)=0.9545,尸(|X—〃|<3cr)=0.9973)

40.小明所在的公司上午9：00上班，小明上班通常選擇自駕、公交或地鐵這三種方式.若小明選擇自駕，

則從家里到達(dá)公司所用的時(shí)間(單位：分鐘)服從正態(tài)分布2(38,25)；若小明選擇地鐵，則從家里到達(dá)公司所

用的時(shí)間(單位：分鐘)服從正態(tài)分布N?(45,9)；若小明選擇公交，則從家里到達(dá)公司所用的時(shí)間(單位：分鐘)

服從正態(tài)分布2(36,16).若小明上午8：12從家里出發(fā)，則選擇_____上班遲到的可能性最小.(填“自駕”“公

交”或“地鐵”)

參考數(shù)據(jù)：若則尸(〃一卜68.3%,尸(〃—2bWXW〃+2cr)y95.4%,

P^JU-3CT<X<ju+3o■卜99.7%

考點(diǎn)05:獨(dú)立事件的乘法公式

41.目前不少網(wǎng)絡(luò)媒體都引入了虛擬主播，某視頻平臺(tái)引入虛擬主播A,在第1天的直播中有超過100萬

次的觀看.

(1)已知小李第1天觀看了虛擬主播A的直播，若小李前一天觀看了虛擬主播A的直播，則當(dāng)天觀看虛擬主

13

播A的直播的概率為:，若前一天沒有觀看虛擬主播A的直播，則當(dāng)天觀看虛擬主播A的直播的概率為：，

求小李第2天與第3天至少有一天觀看虛擬主播A的直播的概率;

2

(2)若未來10天內(nèi)虛擬主播A的直播每天有超過100萬次觀看的概率均為§,記這10天中每天有超過100

萬次觀看的天數(shù)為X.

①判斷左為何值時(shí)，P(X=M最大；

②記y=(T『，求石").

42.甲、乙兩名圍棋學(xué)員進(jìn)行圍棋比賽，規(guī)定每局比賽勝者得1分，負(fù)者得。分，平局雙方均得。分，比

賽一直進(jìn)行到一方比另一方多兩分為止，多得兩分的一方贏得比賽.已知每局比賽中，甲獲勝的概率為

乙獲勝的概率為尸，兩人平局的概率為/(￡+分+7=1,&>0,4>0,720),且每局比賽結(jié)果相互獨(dú)立.

221

(1)^?=-,求進(jìn)行4局比賽后甲學(xué)員贏得比賽的概率；

⑵當(dāng)7=0時(shí)，

(i)若比賽最多進(jìn)行5局，求比賽結(jié)束時(shí)比賽局?jǐn)?shù)X的分布列及期望E(X)的最大值；

(ii)若比賽不限制局?jǐn)?shù)，求“甲學(xué)員贏得比賽”的概率(用火月表示).

43.某箱中有M%+l)MwN*)個(gè)除顏色之外均相同的球，上己知.箱中1個(gè)球?yàn)榘浊颍溆酁楹谇?現(xiàn)在該箱

中進(jìn)行一取球?qū)嶒?yàn):每次從箱中等可能地取出一個(gè)球，若取出白球或取球上(％+1)次后結(jié)束實(shí)驗(yàn)，否則進(jìn)行相

應(yīng)操作進(jìn)行下一次取球.設(shè)實(shí)驗(yàn)結(jié)束時(shí)的取球次數(shù)為X.

⑴若取出黑球后放回箱中，求X的數(shù)學(xué)期望E(X);

(2)若取出黑球后替換為白球放回箱中，求尸(X=7〃)的最大值鼻，并證明:心心我.

44.希望中學(xué)高三(8)班擬舉辦為期兩天的氣排球比賽，晏老師從體育室拿了4個(gè)排球放入球車中提供使

用，4個(gè)排球中有2個(gè)新球與2個(gè)舊球，比賽當(dāng)天從球車中隨機(jī)取出2個(gè)球進(jìn)行比賽，賽完后新球變成舊球

放回球車.設(shè)第1天與第2天賽完后球車中舊球數(shù)量分別為X和K

⑴求K的分布列與數(shù)學(xué)期望E(Y).

⑵求P(y=3|X=3)與P(X=3|y=3).

45.小李參加一種紅包接龍游戲：他在紅包里塞了24元，然后發(fā)給朋友A,如果A猜中，A將獲得紅包里

的所有金額；如果A未猜中，A將當(dāng)前的紅包轉(zhuǎn)發(fā)給朋友B,如果B猜中，A、B平分紅包里的金額；如果

8未猜中，8將當(dāng)前的紅包轉(zhuǎn)發(fā)給朋友C,如果C猜中，A、8和C平分紅包里的金額；如果C未猜中，紅

包里的錢將退回小李的賬戶，設(shè)A、B、C猜中的概率分別為:，且A、B、C是否猜中互不影響.

(1)求A恰好獲得8元的概率;

(2)設(shè)A獲得的金額為X元，求X的分布列及X的數(shù)學(xué)期望.

46.小林有五張卡片，他等概率的在每張卡片上寫下1,2,3,4,5中的某個(gè)數(shù)字.

(1)求五張卡片上的數(shù)字都不相同的概率；

(2)證明：這五張卡片上最大的數(shù)字最可能是5.

47.甲、乙兩人進(jìn)行足球射門訓(xùn)練，設(shè)有I、II兩個(gè)射門區(qū)，約定如下：每人隨機(jī)選擇I區(qū)內(nèi)射門或H區(qū)內(nèi)

射門，在I區(qū)內(nèi)射門，進(jìn)球得1分，不進(jìn)球得。分；在H區(qū)內(nèi)射門，進(jìn)球得3分，不進(jìn)球得。分.已知甲每

21

次在I區(qū)內(nèi)射門進(jìn)球的概率均為每次在n區(qū)內(nèi)射門進(jìn)球的概率均為§；乙每次在I區(qū)內(nèi)射門進(jìn)球的概率

均為g,每次在II區(qū)內(nèi)射門進(jìn)球的概率均為且甲、乙兩人射門進(jìn)球與否互不影響(甲、乙各完成一次

射門為一次射門訓(xùn)練).

(1)在一次射門訓(xùn)練中，求甲、乙都得0分的概率；

(2)若3次射門訓(xùn)練中，X表示甲、乙得分相等的射門訓(xùn)練次數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

48.陽春三月，油菜花進(jìn)入最佳觀賞期，長(zhǎng)沙縣江背鎮(zhèn)、望城光明村彭家老屋、瀏陽達(dá)滸油菜花田、岳麓

區(qū)含泰社區(qū)油菜花田都免費(fèi)向市民、游客開放，長(zhǎng)沙某三所高級(jí)中學(xué)A,B,C組織學(xué)生去這四個(gè)景區(qū)春游，

已知A,8兩所學(xué)校去每個(gè)景區(qū)春游的可能性都相同，C學(xué)校去岳麓區(qū)含泰社區(qū)春游的可能性為:，去其它

三個(gè)景區(qū)春游的可能性相同.

(1)求望城光明村彭家老屋迎來三所學(xué)校春游的概率；

(2)長(zhǎng)沙縣江背鎮(zhèn)迎來學(xué)校所數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望.

49.某校甲、乙兩個(gè)數(shù)學(xué)興趣班要進(jìn)行擴(kuò)招，經(jīng)過數(shù)學(xué)興趣班的海報(bào)宣傳，共有4名數(shù)學(xué)愛好者a,b,c,

d報(bào)名參加(字母編號(hào)的排列是按照?qǐng)?bào)名的先后順序而定).現(xiàn)通過一個(gè)小游戲進(jìn)行分班，規(guī)則如下：在一

個(gè)不透明的箱子中放有紅球和黑球各2個(gè)，紅球和黑球除顏色不同之外，其余大小、形狀完全相同，按報(bào)

名先后順序，先由第一名數(shù)學(xué)愛好者從箱子中不放回地摸出1個(gè)小球，再另取完全相同的紅球和黑球各1

個(gè)放入箱子中；接著由下一名數(shù)學(xué)愛好者從箱子中不放回地摸出1個(gè)小球后，再放入完全相同的紅球和黑

球各1個(gè)，如此重復(fù)，直至4名數(shù)學(xué)愛好者均摸球完畢.數(shù)學(xué)愛好者若摸出紅球，則被分至甲班，否則被

分至乙班.

(1)求°,6,c三名數(shù)學(xué)愛好者均被分至同一個(gè)興趣班的概率；

(2)記甲、乙兩個(gè)興趣班最終擴(kuò)招的人數(shù)分別為e,力記X=|e-/,求E(X).

50.學(xué)校團(tuán)委和工會(huì)聯(lián)合組織教職員工進(jìn)行益智健身活動(dòng)比賽.經(jīng)多輪比賽后，由教師甲、乙作為代表進(jìn)行決

賽.決賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目勝者得10分，負(fù)者得-5分，沒有平局.三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分高的

獲得冠軍.已知教師甲在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為040.6,0.6,各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立.甲、乙獲得冠

軍的概率分別記為P”P2.

(1)求甲教師總得分為0分的概率；

⑵判斷甲、乙獲得冠軍的實(shí)力是否有明顯差別(若加「0|,小2加；因+0.1，則認(rèn)為甲、乙獲得冠軍的實(shí)力

有明顯差別，否則認(rèn)為沒有明顯差別.

考點(diǎn)鞏固卷24分布列及三大分布(五大考點(diǎn))

室考堂登亮

匕切焉顯技巧4考點(diǎn)例體

考點(diǎn)01:分布列均值和方差的性質(zhì)

離散型隨機(jī)變量的均值與方差

1.均值

若離散型隨機(jī)變量x的分布列為

X玉%xiXn

pPlPlPiPn

稱E(X)=%n+x2P°++人口++%P“=1為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機(jī)變量取

值的平均水平.

2.均值的性質(zhì)

(1)E(C)=C為常數(shù)).

(2)若y=+其中a,6為常數(shù)，則/也是隨機(jī)變量，且E(aX+6)=aE(X)+Z?.

(3)E(Xj+X2)=E(Xt)+E(X2).

(4)如果XrX?相互獨(dú)立，則石(區(qū)以2)=口用).石儂2).

3.方差

若離散型隨機(jī)變量X的分布列為

X王x2%Xn

pPlPiPiPn

則稱￡>(X)=f(x,-E(X))2p,為隨機(jī)變量x的方差，并稱其算術(shù)平方根向處為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差?

1=1

4.方差的性質(zhì)

(1)^Y=aX+b,其中a,6為常數(shù)，則Y也是隨機(jī)變量，S.D(aX+b)=a2D(X).

(2)方差公式的變形：D(X)=E(X2)-[E(X)]2.

1.某城市采用搖號(hào)買車的方式，有20萬人搖號(hào)，每個(gè)月?lián)u上的人退出搖號(hào)，沒有搖上的人繼續(xù)進(jìn)入下月

一111

搖號(hào)，每個(gè)月都有人補(bǔ)充進(jìn)搖號(hào)隊(duì)伍，每個(gè)季度第一個(gè)月?lián)u上的概率為;7,第二個(gè)月為入，第三個(gè)月為：，

109o

則平均每個(gè)人搖上需要的時(shí)間為（）個(gè)月.

A.7B.8C.9D.10

【答案】C

【分析】表示每個(gè)人搖上需要的時(shí)間及其對(duì)應(yīng)概率后，借助期望公式與錯(cuò)位相減法計(jì)算即可得.

【詳解】設(shè)X表示搖上需要的時(shí)間，則X可能取1、2、3、L、〃、L,

1O11

則尸(X=1)=—,尸(X=2)=—x—=—

1710'710910

98717

p(X=3)=—x-x-=—,尸(X=4)=——X—X—X——=--------

v7109810v)109810100

7

P(X=5)=UN,

1098109WO

P(X=3k+l)=P(X=3k+l)=P(X=3k+3)=I，（左￡N）,

L

i7

故磯X)F(1+2+3)+礪x(4+5+6)+

+x，x(3/+1+3/+2+3/+3)+.—

2

（左+）：

-6x—+15x—x—+24x—x++96x

10101010￡

23

7171?

則，磯X)=6x—x，+15x—x+24x——1x+

10v7101010A10

k+1

+(9左+6)xjx+

2

故：（）X±X2X±X77

EX=g+9+9++9x—x+

101010101010

32121f7Y-12721f7產(chǎn)

=—H------------x——+..=-----------x——+

51010UoJ1010UoJ

10[2721f7Y-1

即E(x)=——x-----------x——

311010UOj

當(dāng)k時(shí)，E(X)f9,故平均每個(gè)人搖上需要的時(shí)間為9個(gè)月.

故選：C.

2.有甲、乙兩個(gè)不透明的袋子，甲袋子里有1個(gè)白球，乙袋子里有5個(gè)白球和5個(gè)黑球，現(xiàn)從乙袋子里隨

機(jī)取出左(14左W10#eN*)個(gè)球放入甲袋子里，再從甲袋子里隨機(jī)取出一個(gè)球，記取到的白球的個(gè)數(shù)為X,

則當(dāng)變大時(shí)()

A.E(X)變小B.E(X)先變小再變大

C.E(X)變大D.E(X)先變大再變小

【答案】A

【分析】運(yùn)用超幾何分布與兩點(diǎn)分布，求解離散隨機(jī)變量的期望，然后判斷選項(xiàng).

【詳解】由題意可知，從乙盒子里隨機(jī)取出個(gè)球，其中白球的個(gè)數(shù)X服從超幾何分布,

則E(X)=Z>^=g.故從甲盒子里隨機(jī)取一球，相當(dāng)于從含有弓+1)個(gè)白球的(％+1)個(gè)球中取一球，取到白

球的個(gè)數(shù)為X,

&1

易知隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，故p(Y1)一5二、I，

k+122k+2

所以E(X)=P(X=1)=：+不二，隨著左的增加，E(X)減小.

22Z+2

故選：A

3.克拉麗絲有一枚不對(duì)稱的硬幣.每次擲出后正面向上的概率為。她擲了上次硬幣，最終有10

次正面向上.但她沒有留意自己一共擲了多少次硬幣.設(shè)隨機(jī)變量X表示每擲N次硬幣中正面向上的次數(shù)，現(xiàn)

以使P(X=10)最大的N值估計(jì)N的取值并計(jì)算E(X).(若有多個(gè)N使尸(X=10)最大，則取其中的最小N

值).下列說法正確的是()

A.E(X)>10B.E(X)<10

C.￡(X)=10D.E(X)與10的大小無法確定

【答案】B

【分析】由題可知X服從二項(xiàng)分布B(N,p),尸(XulOXCtpRl-p)”。，結(jié)合

10N10N9

p(1-p)~'°>C^+1p(1-p)~,計(jì)算得又Nel+和E(X)=即,E(X)<10,故得E(X)<10.

【詳解】由題，X服從二項(xiàng)分布B(N,p),則尸(*=10)=，0|°(1-「)短。，

P(X=10)最大即為滿足-p)N~10>C，pi°(l-P產(chǎn)9的最小N,

C昵。1N-910

即為Nlo--------------->1^N>——1

4-(1產(chǎn)91-pN+lp

又Ns、,故一-1為整數(shù)時(shí)，N=—-1,——1不為整數(shù)時(shí)N為大于一-1的最小整數(shù)，

PPPP

而E(X)=Np,E(X)<10oN<W,當(dāng)W-l為整數(shù)時(shí)顯然成立，

PP

當(dāng)”-1不為整數(shù)時(shí)大于3-1的最小整數(shù)為電的整數(shù)部分，其小于電，

pppp

故E(X)<10,

答選：B.

4.下列說法中，正確命題的個(gè)數(shù)為()

①已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布21[J,若E(3X+1)=6,則〃=5.

②對(duì)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量x,y,其線性回歸方程為9=Q3x-加，若樣本點(diǎn)的中心為(〃?,2.8),則實(shí)數(shù)

m的值是T.

③以模型〉=。6及去擬合一組數(shù)據(jù)時(shí)，為了求出回歸方程，設(shè)z=lny,求得線性回歸方程為z=0.3x+4,則

。、上的值分別是不和。3

④若樣本數(shù)據(jù)占，0，稅的方差為2,則數(shù)據(jù):2%-1,2x2-1,-,2/-1的方差為16

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

【答案】D

【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布的期望公式及期望的性質(zhì)判斷①；根據(jù)回歸直線方程必過樣本中心點(diǎn)，判斷②；將

兩邊取對(duì)數(shù)，即可判斷③；根據(jù)方差的性質(zhì)判斷④.

【詳解】對(duì)于①：因?yàn)閄服從二項(xiàng)分布所以E(X)=f,

rj

所以E(3X+l)=3E(X)+l=3x§+l=6,解得〃=5,故①正確；

對(duì)于②：因?yàn)榫€性回歸直線必過樣本中心點(diǎn)，所以2.8=0.3m-加，可得加=T,故②正確;

對(duì)于③：由>=免辰兩邊取對(duì)數(shù)可得lny=lnc+版,

令z=lny,求得線性回歸方程為z=0.3x+4,所以左=0.3,lnc=4,則左=0.3,c=e4,故③正確;

對(duì)于④：若樣本數(shù)據(jù)否,尤2稔，，占。的方差為2,則數(shù)據(jù)2占-1,2%-1,,2/-1的方差為22x2=8,故④錯(cuò)

誤;

故正確的為①②③共3個(gè).

故選：D

5.下列命題中，不正確的是（）

A.若隨機(jī)變量則Z）（X）=；

B.若隨機(jī)變量X~N（5,〃），且p（34X<5）=0.3,貝UP（XN7）=0.2

][8

C.若x>0,xy=l,則丁+丁+----的最小值為4

2尤2yx+y

D.兩個(gè)隨機(jī)變量的相關(guān)系數(shù)「越大，兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)

【答案】D

【分析】對(duì)于A,由二項(xiàng)分布方差公式計(jì)算即可；對(duì)于B,由正態(tài)分布的對(duì)稱性計(jì)算即可；對(duì)于C,由基本

不等式計(jì)算即可；對(duì)于D,根據(jù)相關(guān)系數(shù)的意義即可判斷.

【詳解】對(duì)于A,隨機(jī)變量丫~8（5、），由二項(xiàng)分布方差公式得D（X）=77p（l-0）=5x；x；=:,故A正確；

對(duì)于B,隨機(jī)變量X~N（5,，）,尸（3VXW5）=O.3,由正態(tài)分布的對(duì)稱性得P（X27）=匕與氾=0.2,故B

正確；

對(duì)于C,由％>0,孫=1,貝！Jy>0,

所以丁+丁+丁=皆+丁+丁=5（x+y）+丁22b（x+y）x丁=4

2x2yx+y2x2yx+y2x+yv2x+y

[8x=2+yfi

當(dāng)且僅當(dāng)尸則取等號(hào)，故C正確;

y=2-6

對(duì)于D,線性相關(guān)系數(shù)〃的范圍在-1到1之間，有正有負(fù)，相關(guān)有正相關(guān)和負(fù)相關(guān),

相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值的大小越接近于1,兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)；

反之，線性相關(guān)性越弱，故D錯(cuò)誤.

故選：D.

6.下列命題錯(cuò)誤的是()

A.兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于1

B.設(shè)&~2(〃,初，若E(/=30,。?=20,貝緘=90

C.線性回歸直線y=bx+a一定經(jīng)過樣本點(diǎn)的中心(x,9)

D.一個(gè)袋子中有100個(gè)大小相同的球，其中有40個(gè)黃球、60個(gè)白球，從中不放回地隨機(jī)摸出20個(gè)球

作為樣本，用隨機(jī)變量X表示樣本中黃球的個(gè)數(shù)，則X服從二項(xiàng)分布，且E(x)=8

【答案】D

【分析】根據(jù)相關(guān)系數(shù)的表示意義、二項(xiàng)分布的有關(guān)性質(zhì)、線性回歸方程和超幾何分布的定義依次判斷選

項(xiàng)即可.

【詳解】A：兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于1,故A正確；

(np=30

B：由J3(〃成石?=30,。?=20,得〈尸解得〃=90,故B正確；

[np(l-p)=20

C：線性回歸直線y=+e一定經(jīng)過樣本點(diǎn)的中心",7),故C正確；

D：由于是不放回地隨機(jī)摸出20個(gè)球作為樣本，

所以由超幾何分布的定義知X服從超幾何分布，得E(X)=」號(hào)=8,故D錯(cuò)誤；

故選：D

7.若隨機(jī)變量X的可能取值為123,4,且尸(X=Q=〃："=1,2,3,4),則。(X)=()

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【分析】先根據(jù)概率之和等于1得到方程，求出力=：,計(jì)算出期望，進(jìn)而計(jì)算出方差.

【詳解】由題意得彳+24+34+4彳=1,解得2=

1934

故石(X)=lx—+2x—+3x—+4x—=3,

V710101010

D(X)=(l-3)2x—+(2-3)2x—+(3-3)2X—+(4-3)2x—=1.

v7v710v710v710v710

故選：A

8.設(shè)“，6,。是不全相等的實(shí)數(shù)，隨機(jī)變量J取值為b,c的概率都是:，隨機(jī)變量〃取值為巴端改，

b+2023cc+2023。立m必七pi/、

———?的概率也都17是qg,則nil()

202420243

A.E?＜磯司，。團(tuán)＜D歷］B.研同=同力，。團(tuán)團(tuán)

C.E團(tuán)〈磯可，。?=。［〃］D.明同=司川，D[^]=D[TI]

【答案】B

【分析】首先求出E?,設(shè)”;（。+人+C）,從而得到。團(tuán)，￡［引、。㈤，再利用作差法判斷。團(tuán)與。㈤

的大小關(guān)系，即可得解.

【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量J取值為。，b,。的概率都是:,

/.石團(tuán)=g(a+b+c),設(shè)f=g(〃+b+c),

貝I明=g[("/—)2+(c-)2]

11

“+b2+c2-6/+3Z2]；

33

a+2023b"2023cc+2023a的概率都是:，

隨機(jī)變量〃取值為

202420242024

.￡[〃卜