2025年北京高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：幾何法解決立體幾何問(wèn)題（講義）解析版

專題11幾何法解決立體幾何問(wèn)題

目錄

01考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航............................................................1

02知識(shí)導(dǎo)圖思維引航............................................................3

03知識(shí)梳理方法技巧............................................................4

04真題研析?精準(zhǔn)預(yù)測(cè)............................................................7

05核心精講題型突破...........................................................19

題型一：線線平行'線面平行及面面平行19

題型二：線線垂直、線面垂直及面面垂直31

題型三：線線角與線面角的求算42

題型四：簡(jiǎn)單二面角的求算54

重難點(diǎn)突破：線線距、點(diǎn)面距及體積的求算67

0

—視?一標(biāo)導(dǎo)航

有關(guān)幾何法解決立體幾何的北京高考試題，立體幾何總體難度有所提升，但仍然以基礎(chǔ)性題目為主，注重

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考查數(shù)學(xué)文化，社會(huì)生活實(shí)踐中的數(shù)學(xué)問(wèn)題,解答題以常見(jiàn)兒何體為載體，重點(diǎn)考查空間中點(diǎn)，線、面的位置關(guān)

系的判斷與論證，以及空間角的求法，從能力上更加注重對(duì)空間想象，邏輯思維和運(yùn)算求解能力的考查，題目多

為中檔的綜合性問(wèn)題，立體幾何的題目考查形式多樣，且難度不定，需要學(xué)生在平時(shí)下功夫，加強(qiáng)對(duì)中低檔題

目的訓(xùn)練，打好基礎(chǔ),在平時(shí)訓(xùn)練中注意提高空間想象、邏輯推理和運(yùn)算求解能力。

考點(diǎn)要求目標(biāo)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析

2024年北京卷第8題4分

2023年北京卷第9題4分

2022年北京卷第9題4分

2021年北京卷第4題4分

2024年北京卷第14題5分

熟練掌握線線、線

2019年北京理科卷第11題5分

面及面面垂直與預(yù)測(cè)2025年高考，立

2024年北京卷第17題14分

平行的幾何求算體幾何主要以線面、線線、

幾何法解決立體幾何2023年北京卷第16題13分

公式；線線、線面面面位置關(guān)系及夾角求

2022年北京卷第17題14分

及面面夾角的幾算，充分利用好幾何法.

2021年北京卷第17題14分

何求算技巧

2020年北京卷第16題13分

2019年北京卷理科第16題13分

2018年北京卷理科第16題13分

2017年北京卷理科第16題13分

2016年北京卷理科第17題14分

2015年北京卷理科第17題14分

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1.處理異面直線所成角

技巧總結(jié)

常規(guī)方法：

第一步：將所求直線中的一條用刻度尺進(jìn)行平移然后與另一條直線銜接出現(xiàn)三角形

第二步：將三角形畫到草稿紙上并利用空間圖求出各邊的長(zhǎng)

第三步：利用余弦定理求出待求角

第四步：檢查若求出的角為銳角或直角則即為所求，若求出的角為鈍角則補(bǔ)角即為所求

（秒殺：）

四面體的任何一組對(duì)棱都是異面直線，因此以四面體為載體，把異面直線放在四面體對(duì)棱所在的位

置，利用四面體對(duì)棱夾角公式處理異面直線角度問(wèn)題

（結(jié)論：）在四面體1-BCD中,若ZC與所成的角為，

^AB-+CD^-（BC2+DA1}

四面體對(duì)棱夾角公式：cos0=---------------------------------

2AC-DB

ACDB2AC?DB

證明如下:cos(AC,DB

AC■~DB2AC-DB

因?yàn)?就.麗=就?麗+成.麗=就?（5+獲）+肩.匠+而）

^ACDA+ACAB+CABC+CACD=ACAB-ACBC+CA-CD-CADA

^AC-^4B-BC)+CA-[CD-DA)^^4B+BC\{AB-BC)+^D+DA)-{CD-DA)

——-2——>2(——>2——>2、——?2——.2(——>2——>|2

=AB-BC+CD-DA\=AB+CD-BC+DA

——?2——?2(——>2——?2\

_,__AB+CD-BC+DA|^AB-+CD^-(BC2

所以cos(就,DB\=-----------A一---------1

'/2ACDB2ACDB

2.處理線與面各種平行關(guān)系

技巧總結(jié)

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線面平行：壁》①必須將刻度尺與所證線重合，然后平移落在所證平面且留下痕跡

②眼神法：觀察采用哪一種技巧（五種方法）（記住六大圖像）

②法一：中位線型D

例1、如圖⑴，在底面為平行四邊形的四棱錐P-45CD中，點(diǎn)E是尸。的中點(diǎn).求證：必〃平面/EC.

分析：

如圖⑴

⑤法二：構(gòu)造平行四邊形）

例2、如圖⑵，平行四邊形48CD和梯形區(qū)叩。所在平面相交，BE//CF,求證：4E〃平面QCF.

分析：過(guò)點(diǎn)E作EG〃Z。交RC于G,DG就是平面ZEG。

與平面。CR的交線，那么只要證明ZE〃￡>G即可。

例3、如圖⑶，在四棱錐O-48CD中，底面48CD為菱形,M為。4的中點(diǎn)，N為5c的中點(diǎn)，證明:

直線W〃平面OCD

分析:：取08中點(diǎn)E,連接ME,NE,只需證平面"EN〃平面0CD。

方法四：利用平行線分線段成比例定理的逆定理證線線平行。

例4、已知公共邊為的兩個(gè)全等的矩形切和力婀不在同一平面內(nèi)，P,0分別是對(duì)角線力￡,劭上的

點(diǎn)，且/々刃（如圖）.求證：戶?！ㄆ矫骓灒?/p>

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例5.如圖⑸，已知三棱錐尸—45C,Z'、B'、。是APBC,APC4,AZ為8的重心.（1）求證：A'B'//

面/8C；

如圖⑹

3.處理線與面各種垂直關(guān)系

技巧總結(jié)

證明垂直：線線垂直=線面垂直=面面垂直

（必記結(jié)論：）①特殊的平行四邊形n邊長(zhǎng)之比1:2,夾角為60°,則對(duì)角線與邊垂直

②特殊的直角梯形n邊長(zhǎng)之比1：1：2,對(duì)角線與腰垂直

③等腰三角形三線合一，三線與底垂直

④直徑所對(duì)的圓周角為直角

⑤菱形和正方形：對(duì)角線互相垂直

⑥特殊的矩形：邊長(zhǎng)之比1:2或1：也有明顯的直角關(guān)系

4快速處理線面角問(wèn)題

技巧總結(jié)

結(jié)論：sina=:{dn點(diǎn)面距離（d往往用等體積法計(jì)算），/n線自身長(zhǎng)度}

5.快速處理二面角的平面角問(wèn)題

技巧總結(jié)

（結(jié)論：,意二面角的平面角a滿足cosa=如（.M—AB—Nncosa=包絲）

Sb_ABS^NAB

注意：N為原圖上的點(diǎn)，而分子—?jiǎng)t是N點(diǎn)在面的投影點(diǎn)

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1.（2024?北京?高考真題）如圖，在四棱錐尸-4BCD中，底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，PA=PB=4,

PC=PD=2V2,該棱錐的高為（）.

C.V2D.V3

【答案】D

【詳解】如圖，底面/BCD為正方形,

當(dāng)相鄰的棱長(zhǎng)相等時(shí)，不妨設(shè)P/=P8=/8=4,PC=PD=20,

分別取CO的中點(diǎn)E,F,連接PE,PF,EF,

則尸￡_1/及￡尸_148,且PEcEF=E,PE,EFu平面PE尸,

可知平面尸跖，且48u平面48cD,

所以平面PEF1平面ABCD,

過(guò)尸作E尸的垂線，垂足為O,即尸。_LEF,

由平面PE尸Cl平面48CD=￡F,POu平面尸，

所以尸。工平面ABCD,

由題意可得：PE=2y[3,PF=2,EF=4,則尸E?+尸尸2=昉2,即尸石工尸尸，

11PF.PFr-

則一PE?尸尸=—PO-EF,可得尸O=----------=。3,

22EF

所以四棱錐的高為g.

當(dāng)相對(duì)的棱長(zhǎng)相等時(shí)，不妨設(shè)尸/=PC=4,PB=PD=2V2>

因?yàn)锽D=4亞=PB+PD，此時(shí)不能形成三角形尸3。，與題意不符，這樣情況不存在.

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故選：D.

2.（2023?北京?高考真題）坡屋頂是我國(guó)傳統(tǒng)建筑造型之一，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)元素.安裝燈帶可以勾勒出

建筑輪廓，展現(xiàn)造型之美.如圖，某坡屋頂可視為一個(gè)五面體，其中兩個(gè)面是全等的等腰梯形，兩個(gè)面是

全等的等腰三角形.若N3=25m,BC=NO=10m,且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面與平面

的夾角的正切值均為理，則該五面體的所有棱長(zhǎng)之和為（）

C.117mD.125m

【答案】C

【詳解】如圖，過(guò)E做平面/3C。，垂足為O,過(guò)E分別做EGLBC,EM1AB,垂足分別為G,M,

連接OG,（W,

由題意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面與底面夾角分別為NEMO和/EGO,

所以tanNEMO=tanZEGO=平.

因?yàn)椤闛_L平面4BCD,BCu平面N3CD,所以EO_L3C,

因?yàn)椤闓J_8C,EO,EGu平面EOG,EOcEG=E,

所以平面EOG,因?yàn)镺Gu平面EOG,所以BC_LOG,.

同理：OMVBM,又BM1BG,故四邊形（W3G是矩形，

所以由BC=10得（W=5,所以EO=Ji1，所以O(shè)G=5,

所以在直角三角形EOG中，EG=y/EO2+OG-=+52=V39

在直角三角形EBG中，BG=OM=5,EB=4EG1+BG1=J（V39）2+52=8,

又因?yàn)樗?/8-5-5=25-5-5=15,

所有棱長(zhǎng)之和為2x25+2x10+15+4x8=117m.

故選：C

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3.（2022?北京?高考真題）已知正三棱錐尸-4BC的六條棱長(zhǎng)均為6,S是“3C及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合.設(shè)

集合？=則7表示的區(qū)域的面積為（）

37r

A.—B.兀C.2"D.3%

4

【答案】B

【詳解】

設(shè)頂點(diǎn)尸在底面上的投影為O,連接80,則。為三角形/8C的中心,

且50=2x6x3=2右，故尸。=：36-12=2屈.

32

因?yàn)槭?5,故。。=1,

故S的軌跡為以。為圓心，1為半徑的圓，

,V3

而三角形/3C內(nèi)切圓的圓心為。，半徑為一彳義北,J

-376—-

故S的軌跡圓在三角形內(nèi)部，故其面積為萬(wàn)

故選：B

4.（2021?北京?高考真題）某四面體的三視圖如圖所示，該四面體的表面積為（）

1

H-1―>1H-1―H

正（主）視圖側(cè)（左）視圖

俯視圖

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A.-+—B.3+V3C.-+V3D.3+—

2222

【答案】A

【詳解】根據(jù)三視圖可得如圖所示的幾何體-正三棱錐O-45C,

其側(cè)面為等腰直角三角形，底面等邊三角形，

由三視圖可得該正三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為1,

故其表面積為3x,xlxl+^^x（6）=3+6,

24',2

5.（2021?北京?高考真題）某一時(shí)間段內(nèi)，從天空降落到地面上的雨水，未經(jīng)蒸發(fā)、滲漏、流失而在水平面

上積聚的深度，稱為這個(gè)時(shí)段的降雨量（單位：mm）.24h降雨量的等級(jí)劃分如下：

|<-200mm->]

等級(jí)24h降雨量（精確到0.1）

..........

小雨0.1?9.9

中雨10.0?24.9

大雨25.0?49.9

10/75

暴雨50.0?99.9

............

在綜合實(shí)踐活動(dòng)中，某小組自制了一個(gè)底面直徑為200mm,高為300mm的圓錐形雨量器.若一次降雨過(guò)程

中，該雨量器收集的24h的雨水高度是150mm（如圖所示），則這24h降雨量的等級(jí)是

A.小雨B.中雨C.大雨D.暴雨

【答案】B

【分析】計(jì)算出圓錐體積，除以圓面的面積即可得降雨量，即可得解.

【詳解】由題意，一個(gè)半徑為一=100（mm）的圓面內(nèi)的降雨充滿一個(gè)底面半徑為等x郎=50（mm）,高

為的圓錐，

1,

—7x5()2x150

所以積水厚度4屬于中雨.

—-----------：----=12.5(mm)'

7TX10Q2''

故選：B.

6.（2020?北京?高考真題）某三棱柱的底面為正三角形，其三視圖如圖所示，該三棱柱的表面積為（）.

正（主）視圖側(cè)（左）視圖

俯視圖

A.6+GB.6+2A/3C.12+6D.12+2右

【答案】D

【詳解】由題意可得，三棱柱的上下底面為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，側(cè)面為三個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形，

貝1|其表面積為：5=3x（2x2）+2xQx2x2xsin60°^=12+2V3.

故選：D.

7.（2024?北京?高考真題）漢代劉歆設(shè)計(jì)的“銅嘉量”是焦、合、升、斗、斛五量合一的標(biāo)準(zhǔn)量器，其中升量

器、斗量器、斛量器的形狀均可視為圓柱.若升、斗、斛量器的容積成公比為10的等比數(shù)列，底面直徑依次

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為65mm,325mm,325mm,且斛量器的高為230mm,則斗量器的高為mm,升量器的高為mm.

【答案】2357.5/學(xué)

【分析】根據(jù)體積為公比為10的等比數(shù)列可得關(guān)于高度的方程組，求出其解后可得前兩個(gè)圓柱的高度.

【詳解】設(shè)升量器的高為％,斗量器的高為電(單位都是mm),則=10,

故%2=23mm,4=mm.

故答案為：23mm，塵■mm.

2

8.(2024?北京?高考真題)如圖，在四棱錐尸-/BCD中，BC//AD,AB=BC=1,40=3,點(diǎn)E在4D上,

且尸E1/。，PE=DE=2.

(1)若下為線段PE中點(diǎn)，求證：8尸〃平面PCO.

(2)若AB1平面PAD,求平面PAB與平面PCD夾角的余弦值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析⑵雪

【詳解】(1)取PD的中點(diǎn)為S,接即,SC,則M//ED,即=!即=1,

2

而ED〃BC,ED=2BC,故SFHBC,SF=BC,故四邊形必BC為平行四邊形,

敬BFHSC,而B(niǎo)Fa平面尸CD,SCu平面尸C。，

所以8尸〃平面尸CD

(2)

12/75

Z/

B，

因?yàn)椤?=2,故/￡=1,^AE//BC,AE=BC,

故四邊形/EC3為平行四邊形，故CE//AB,所以CE,平面尸/D,

而PE,￡Du平面尸40,故CELPE,CELED,而尸E_LEZ）,

故建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則/（0,-1,0）,3（1,-1,0）,41,0,0,。（0,2,0）,尸（0,0,2）,

貝1J西=（0,—1,一2）,而=（1,一1,一2）,卮=（1,0,-2,PD=（0,2,—2

設(shè)平面P4B的法向量為而=（x）,z）,

m-PA=0f—v-2z=0,、

則由_可得一、八，取法=0,-2,1,

m-PB=Q[x-y-2z=0

設(shè)平面尸CD的法向量為力=（區(qū)瓦c）,

n-PC=0a-2b=0

則由《可得取元=（2,1,1）,

n-PD=Q2b-2c=0

—1V30

故COS而，亢=

75x76^0~

故平面PAB與平面PCD夾角的余弦值為叵

30

9.（2023?北京?高考真題）如圖，在三棱錐尸-/8C中，尸/_1_平面48C,PA=AB=BC=l,PC=43.

⑴求證：3C工平面B42；

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7T

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）§

【詳解】（1）因?yàn)槠矫鍺BC.BCu平面4BC,

所以P/L8C,同理尸

所以APAB為直角三角形，

又因?yàn)镻B=JPA、AB2=◎，BC=1,PC=M，

所以尸32+比2=%2,則APBC為直角三角形，故BCLPB,

又因?yàn)?C1E4,PA^PB=P,

所以5C/平面尸48.

10.（2022?北京?高考真題）如圖,在三棱柱48。-4月。中,側(cè)面3。68］為正方形,平面8或;內(nèi)，平面ABB4,

AB=BC=2,M,N分別為44，NC的中點(diǎn).

C

（1）求證：〃平面BCC圈;

【答案】（1）見(jiàn)解析

【詳解】（1）取48的中點(diǎn)為K,連接MK,NK,

由三棱柱ABC-AXBXC1可得四邊形為平行四邊形,

而B(niǎo)\M=MAVBK=KA,則MKHBB},

而“KcZ平面，Bqu平面8CC圈，故MK〃平面8。。圈，

而CN=N4,BK=KA,則NK//3C,同理可得“〃平面8CC四，

而NKCMK=K,NK,MKu平面MKN,

故平面"KN〃平面3。。圈，而血Wu平面MKN,故〃平面8CC4，

11.（2021?北京?高考真題）如圖：在正方體N3CD-4B|GA中，￡為4。中點(diǎn)，B?與平面CDE交于點(diǎn)廠.

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J*-----------------VR

（1）求證：尸為3￡的中點(diǎn)；

⑵點(diǎn)M是棱4月上一點(diǎn)，且二面角/-FC-E的余弦值為好，求黨的值.

344

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；

【詳解】⑴如圖所示，取3c的中點(diǎn)/，連結(jié)DE,EF,,F，C,

由于N5CD-4用GA為正方體，耳尸為中點(diǎn)，故EFPCD,

從而C,。四點(diǎn)共面，即平面CDE即平面CDEF,

據(jù)此可得：直線3c交平面CDE于點(diǎn)尸，

當(dāng)直線與平面相交時(shí)只有唯一的交點(diǎn)，故點(diǎn)尸與點(diǎn)尸重合，

即點(diǎn)尸為4G中點(diǎn).

4^---------------------，

12.（2020?北京?高考真題）如圖，在正方體43co中，￡為的中點(diǎn).

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（II）求直線441與平面/。也所成角的正弦值.

7

【答案】（I）證明見(jiàn)解析；（II）f.

【詳解】（I）［方法一］:幾何法

在正方體ABCD-44GA中，ABIIA.B,且48=44,ABJ/CR且幽=QD

且/B=G2,所以，四邊形N3G2為平行四邊形，則BG//Z2,

???BGa平面4D|E,平面4C\E,〃平面4D］E；

（II）［方法一］:幾何法

延長(zhǎng)CG到下，使得C］F=BE,連接E尸，交3G于G,

又：QF//BE,：.四邊形BEFQ為平行四邊形，；.BCJIEF,

又：BCJ/AD,,：.//E尸，所以平面40或即平面401也，

連接口G,作垂足為“,連接制,

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?;FC]±平面44G2,DXGu平面44G2,FCA±DXG,

又FCQGH=G,直線RG±平面QFH,

又：直線Dfiu平面DfiF,.??平面RGF1平面CXFH,

：.。在平面DfiF中的射影在直線FH上,；.直線FH為直線FC,在平面DfiF中的射影，ZCAFH為直線FCX

與平面QG尸所成的角，

根據(jù)直線尸G〃直線幺4,可知/GW為直線與平面/"G所成的角.

2x12

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,則CG=CF=1,D\G=E：.C\H=/飛

；?FH=

sin/GFH=V~=

FH3

即直線M與平面gE所成角的正弦值為|.

接續(xù)⑴的向量方法，求得平面平面/QE的法向量1=(2,1,-2),

__?——n-AA,42

xvM=(0,0,2),.-.cos<",M>=一”=一7

直線74與平面ADXE所成角的正弦值為|.

［方法三］:幾何法+體積法

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如圖，設(shè)3c的中點(diǎn)為R延長(zhǎng)4片,/乙。/，易證三線交于一點(diǎn)尸.

因?yàn)?4〃441,斯〃/0,

所以直線與平面/。也所成的角，即直線用E與平面尸跖所成的角.

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,在！尸所中，易得PE=PF=0,EFf,

3

可得SJEF=~?

1311

由G棱啊-際=嚏棱觸-“R，得§*5?B[H=—X—xlxlx2,

整理得用"=§.

所以sin/B[EH=*=；.

42J

所以直線么4與平面NQE所成角的正弦值為;.

[方法四]:純體積法

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)4到平面AED,的距離為h,

在△/￡1〃中，AE=E,AD[=2?,D\E=3,

口爐+括—皿2_9+5—8逐

cosZ-AEDX=

2DXE-AE_2x3x石-5

所以sinZAEDX=，易得工股=3.

,114

=

由VE-AARAx-AEDi，得J邑皿4?4耳二-S“EDjh'解得〃=§，

h2

設(shè)直線與平面/ER所成的角為。，所以sinOn7yuw.

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垓,p、靖過(guò)?顫gy空砧

題型一：線線平行、線面平行及面面平行

【典例1-1】如圖，在斜三棱柱”C-4用。中，4B=BC,點(diǎn)”為NC的中點(diǎn).

Bi

(1)求證：BtCII平面45M；

(2)若平面//eq，平面4BC,求證：BMLAC,.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析

【詳解】(1)連接/4交//于點(diǎn)N,連接

因?yàn)?8月4為平行四邊形，所以N為N片的中點(diǎn)

在A48C中，為中位線，所以MNHB?,

又3[C<z平面AtBM,MNu平面AXBM,

所以2。〃平面48M.

(2)在A43c中，AB=BC,點(diǎn)〃■為/C的中點(diǎn)，所以WL/C,

因?yàn)槠矫?月。。J■平面48C,平面44CGn平面48C=/C,BMu底面48C,

所以3M_L平面和iGC,又NC|u平面44Q1C,所以

【典例1-2】如圖，在三棱柱48C-481cl中，底面N8C,底面/8C為等邊三角形，E,F分別為BB^AC

19/75

⑴求證：3尸〃平面4EC；

(2)求證：平面AXEC1平面NCG4.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析.

如圖：取4c的中點(diǎn)連結(jié)HE,由于E,尸分別為33i，/C的中點(diǎn).

所以族而所以有HF〃BB「

又因?yàn)镠F=LT14=-BB.=BE,

22

所以四邊形加E是平行四邊形，

故HEUBF,又因?yàn)锽Fa平面&EC,HEu平面&EC,

所以斯〃平面4EC；

(2)底面N8C為等邊三角形，瓦尸分別為84，ZC的中點(diǎn).可得8尸

又因?yàn)?2,底面/BC,AFu底面/8C,所以斯，

又因?yàn)?/i/c=4,44/cu平面/CG4，

所以3尸1.平面4CG4,又因?yàn)镠E//5F,

20/75

所以成，平面/CG4,又因?yàn)镠Eu平面4￡C,

所以平面4EC,平面/CG4.

(1)線線平行

設(shè)直線44的方向向量分別是，石，則要證明/"4，只需證明3/區(qū)，即,=/(LeR).

(2)線面平行

線面平行的判定方法一般有三種：

①設(shè)直線/的方向向量是3,平面c的向量是力，則要證明/〃a,只需證明■力，即心力=0.

②根據(jù)線面平行的判定定理：要證明一條直線和一個(gè)平面平行，可以在平面內(nèi)找一個(gè)向量與己知直線

的方向向量是共線向量.

③根據(jù)共面向量定理可知，要證明一條直線和一個(gè)平面平行，只要證明這條直線的方向向量能夠用平

面內(nèi)兩個(gè)不共線向量線性表示即可.

(3)面面平行

①由面面平行的判定定理，要證明面面平行，只要轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的線面平行、線線平行即可.

【變式1-1］如圖，在四棱錐尸-48CD中，底面ABC。是菱形，點(diǎn)E,尸分別為48，PD的中點(diǎn).ND48=60。,

平面PDE_1_平面48cD,PD=AD=2.

(1)求證：直線月尸〃平面尸CE；

(2)再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為己知，在線段PE上是否存在點(diǎn)M,使得DM,平面

ABF?若存在，求出P等M的值;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.條件①：PE=CE；條件②：cosNPEZ)=叵

PE7

【答案】(1)證明見(jiàn)解析⑵存在，催PM=：2

PE5

【詳解】(1)

21/75

p

c

/lw

AEB

取尸C的中點(diǎn)為G,連接EG,FG,

易得FGHCD,MFO=-CD,

2

又底面A8CZ＞是菱形，AE=^AB,

所以FG//4E,FG=AE,

即四邊形NEG尸為平行四邊形，

所以/尸〃EG,

又EGu平面尸CE,4尸0平面尸CE,

所以4尸〃平面尸CE；

(2)

連接斯，

由（1）得4石=L4。=1,且/。/8=60。,

2

AAED=90°,DE=M，

即48_LDE,

又平面尸DE_L平面48CD,且平面尸DEPl平面48cD=DE,N8u平面4BCD,

.-.ABlnPDE,AB上PD，

又?.?48u平面48月，

則平面PDE1平面ABF,

V平面PDEA平面ABF=EF,

22/75

，在平面尸DE內(nèi)，過(guò)點(diǎn)。作。于點(diǎn)N,且與PE相交于點(diǎn)

則滿足平面尸，

若選①，由PE=CE,可知ACDE三△尸

又4BLDE,即。_LDE,

：.NPDE=90°,

平面PDE如圖所示，可知DF=1,則/D尸E=60。，

ZPDM=30°,

又sinADPE=cosAPED,sinNDPE==^~,

77

Sfj

貝Ij/ww中，sinZPMD=sin(ZZ)P￡+ZPDM)=sinZDPEcosZPDM+cosZDPEsinZPDM=

PMPD

又由正弦定理

sinZPDMsinZPMD

即意

②由cos/PEZ)=^—

7

PE°+DE°-PA

在VPEZ)中,由余弦定理得cosAPED=

2PEDE

P+3—4121際/日/-

R即n——7=——=——，解得尸￡=中,

2y/3PE7

...PE1=DE2+PD2，即"DE=90°，

下同選①.

【變式1-2］如圖，四棱錐尸-/5CD中，側(cè)面尸/。為等邊三角形，AB=BC=-AD,ZBAD=ZABC=90°.

2

23/75

p

(1)若E為棱P。的中點(diǎn)，求證：直線CE//平面P48；

(2)若平面平面/BCD,點(diǎn)M在棱尸C上，且二面角河-48-。的大小為45。求直線與底面

A8CD所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)理

【詳解】(1)

取尸區(qū)中點(diǎn)尸，連結(jié)EF,BF,

因?yàn)镋為尸D的中點(diǎn)，所以￡尸//40,EF=-AD,

2

由ABAD=NABC=90°,得BC//AD,

又BC==4D,所以EF=BC,EF//BC,

2

則四邊形BCE尸為平行四邊形，有CE//8/，

又BFu平面尸CE<Z平面P43,故CEV/平面P43；

(2)

24/75

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，初，血的方向分別為x軸，了軸正方向，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系/-xyz,

則/（0,0,0）,5（1,0,0）,c（l,l,o）,尸（0,1,6）,

CF=（-1,0,73）,方=（1,0,0）,前=（0,1,0）,

設(shè)函:=2函0W2W1）,

貝!）就=死+屈=瑟+幾屈=（0,1,0）+；1（_1,0,6）=（_；1,1,6；1）,

設(shè)平面M43的一個(gè)法向量為成=（x,y,z）,

m-AB=0即［x々=x0+y+&z=0

則—

布,BM=。

取z=l,則y=-百幾，x=0,所以加=.

易知底面A8CD的一個(gè)法向量為訪=（0,0,1）,

由于二面角的大小為45。,

解得八g或」*舍去），則溝J

設(shè)直線BM與底面ABCD所成的角為。,

25/75

所以直線與底面/2C。所成角的正弦值為叵.

7

命題預(yù)測(cè)

1.如圖，在幾何體"3CDEF中，底面48C。是邊長(zhǎng)為2的正方形，DEABCD,DE//BF,且

DE=2BF=2.

(1)求證：平面8CF〃平面NDE；

(2)求二面角。-4E-尸的余弦值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)g

【詳解】(1)由已知四邊形A8CD為正方形可知3C〃4D,

又?：BFIIDE,

且2C,5Fu平面BCF,AD,DEu平面4DE,BCC\BF=B,

平面BCFH平面ADE；

由已知四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，

則DALDC,

又DE1ABCD,

二以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,方向分別為x軸，》軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

26/75

則/（2,0,0）,0（0,0,0）,￡（0,0,2）,尸（2,2,1）,

即衣=（-2,0,2）,麗=（2,2,-1）,

設(shè)平面AEF的法向量萬(wàn)=（x/,z）,

AE?n=-2x+2z=0

貝1

JE—F-n_=2x+2y-z=0,

令x=2,得力=（2,-1,2）,

又平面NOE的一個(gè)法向量而=（0,1,0）,

一一n-m-11

cos。,冽=［一?=---=——,

\n\-\m\3x13，

???二面角D-4E-尸為銳二面角，

二面角D-4E-尸的余弦值為g.

2.如圖，已知三棱柱-中，4c與交于點(diǎn)Q。為3c邊上一點(diǎn)，A為&C中點(diǎn)，且48//平

面40cl.求證:

⑴48//O。；

（2）平面AlBDlII平面ADCX.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析.（2）證明見(jiàn)解析.

【詳解】（1）由題意，因?yàn)?8〃平面/DC，

且4臺(tái)u平面43c

又因?yàn)槠矫鍭DC,c平面ABC=OD,

所以由線面平行的性質(zhì)得48//。。.

（2）由（1）可知48//。。，

27/75

又因?yàn)椤｜c(diǎn)為4c的中點(diǎn)，

所以。為3c的中點(diǎn)，即

因?yàn)椤鯙锽G的中點(diǎn)，即,

又因?yàn)锽C"B\Ci，BC=B、q,

所以BD=Dg,BD//D?,

所以四邊形BDCR為平行四邊形，

所以8D"/Z)G,

又因?yàn)镈C】u平面ADC,,3。<z平面ADQ,

所以80//平面

又48//平面/￡>G，4BcBD[=B,4JBu平面4ADl,B。1U平面4a5],

所以平面48A〃平面/OG.

3.如圖，四邊形NBCZ)是菱形，OE_L平面ABC。，AFIIDE,DE=3AF.

(1)求證：平面以尸//平面CDE；

(2)求證：平面E/C_L平面仍。；

(3)設(shè)點(diǎn)M是線段8。上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試確定點(diǎn)M的位置，使得/M//平面BEF,并證明你的結(jié)論.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(3)8W=gBD,證明見(jiàn)解析

【詳解】(1)因?yàn)?尸〃DE,AF^CDE,DEu面COE,

所以4F//平面CDE,

同理，48//平面。。石，

又AFcAB=A,AF,u面BAF,

所以平面切尸//平面CDE.

(2)因?yàn)樗倪呅?5CZ)是菱形，所以

28/75

?.?Z)E_L平面/BCD,ACu平面/BCD,

:.ACLDE,

■：BDC\DE=D,平面Eg。，

/C_L平面￡2。，

???/Cu平面E4C,

所以平面EAC1平面EBD.

(3)當(dāng)2M時(shí)，/M//平面理由如下:

3

炸MNUED,則"N平行且等于;AD,

VAFIIDE,DE=3AF,二4尸平行且等于ACV,

???4WF是平行四邊形，

AMIIFN,

???仁平面BEF,FNu平面BEE,

：.AM//平面BEF.

4.如圖，在正方體/BCD-44GA中，E為。2的中點(diǎn)，下為的中點(diǎn).

(2)求證：平面/EC//平面BFR.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析

【詳解】(1)連接8。交/C于點(diǎn)O,則。為2。的中點(diǎn),

29/75

因?yàn)镋為。2的中點(diǎn)，則30//OE,平面NEC,OEu平面/EC,

因此，BDXII平面AEC.

(2)因?yàn)閏q//。。且CG=。。，￡為。。的中點(diǎn)，尸為CG的中點(diǎn)，

所以CP//。/,CF=DlE,所以，四邊形CED尸為平行四邊形，

所以2尸//CE,Z平面/EC,CEu平面/EC,

所以2尸//平面/EC,又BD]〃平面ZEC,BDQDF=1,

因此，平面/EC〃平面跳肛.

題型二：線線垂直、線面垂直及面面垂直

【典例2-1】已知等腰直角三角形A8C,如圖(1),AB=AC=2,AD為斜邊上的高.以4D為折痕將三角

形折起，使得/8DC為直角，E為BC中點(diǎn).如圖(2).

圖(1)圖⑵

(1)求證：平面_L平面ADC；

(2)求直線AE與平面BDC所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)逅

3

【詳解】(1)在圖(1)中，因折起后，ADLDB.ADLDC,

因。5口。。=。，則4OJL平面BDC,

30/75

又4Du平面4D2,故平面4RD_L平面5DC.

（2）由（1）已得，40_1平面8。。，連接DE,則?！昙碞E在平面3OC上的射影,

故即直線/E與平面ADC所成角.

在圖（1）中，AD=-BC^-x242=y/2,

22

在圖（2）中，BD=DC,NBDC=RtN,貝l]OE==，x2=1,

22

V2_V6

在RL/DE中,AE=+]2_欄,故sin4ED二

?3=T

即直線/E與平面BOC所成角