2025高考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)三角函數(shù)與正余弦定理壓軸題9題型含答案

2025高考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)三角函數(shù)與正余弦定理

壓軸題9題型匯總含答案

三宙展裁呂正余移定理人枯敗九大殿型匯總

壓軸題解讀

本專題考查類型主要涉及點為三角函數(shù)與解三角形。其中包含了,三角函數(shù)的圖像與性

命題預(yù)測質(zhì)，三角函數(shù)的新定義，三角函數(shù)與數(shù)列等的結(jié)合問題，解三角形相關(guān)問題等。

預(yù)計2024年后命題會繼續(xù)在上述幾個方面進行。

題型01三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)題型06實際應(yīng)用中的正余弦定理問題

題型02三角函數(shù)新定義問題題型07實際應(yīng)用中的三角函數(shù)問題

高頻考法題型03基本不等式的運用題型08立體幾何與三角函數(shù)結(jié)合問題

題型04三角函數(shù)與數(shù)列結(jié)合問題題型09三角函數(shù)中的零點問題

題型05正余弦定理新考點問題

高分必搶

?題型01三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

O0OO

在三角函數(shù)/（。）=Asin（0，+p）圖象與性質(zhì)中，。對整個圖象性質(zhì)影響最大，因為?？筛淖兒瘮?shù)的單調(diào)區(qū)

間,極值個數(shù)和零點個數(shù)，求解。的取值范圍是經(jīng)?？疾斓膬?nèi)容,綜合性較強，除掌握三角函數(shù)圖象和性質(zhì),

還要準(zhǔn)確發(fā)掘題干中的隱含條件,找到切入點，數(shù)形結(jié)合求出相關(guān)性質(zhì),如最小正周期，零點個數(shù)，極值點個

數(shù)等,此部分題目還常常和導(dǎo)函數(shù)，去絕對值等相結(jié)合考查綜合能力.

（題國1）（多選）（23-24高三下?浙江?開學(xué)考試）函數(shù)/3）=285（02+8（0>0,加<堂）相鄰兩個最高

點之間的距離為兀，（得,0）為/Q）的對稱中心,將函數(shù)/（，）的圖象向左平移者后得到函數(shù)y=gQ）的圖

象，則（）

A.g（c）在（0,著）上存在極值點

B.方程gQ）=Ux-卷）所有根的和為當(dāng)

C.若gQ+m）為偶函數(shù),則正數(shù)m的最小值為者

D.若g（會）在傳，引上無零點,則正數(shù)4的取值范圍為（0看］U［5,與］

題目0已知/(2)=Asin(3c+0)(A>0,0>0,一^<(p<-^的部分圖象如下

圖，點P（g,jo）（幽）#0）是圖象上一點，貝！1（

???

A.函數(shù)在上單調(diào)遞增

B.函數(shù)/（,）的圖象向左平移。個單位長度，所得圖象關(guān)于沙軸對稱

O

C.若/（"）=V5cosQ,則sin2a=±，

tan（2g—￡）

D.若點P（g,%）（gW0）處的切線經(jīng)過坐標(biāo)原點，則一——"=2

［題目］3）（多沏（2024?浙江寧波?二O已知函數(shù)/（c）=sin（。/+0）（。>0）,（）

A.若"=2"=半則/⑸是最小正周期為兀的偶函數(shù)

B.若s=2,g為/（2）的一個零點，則■必為/（2）的一個極大值點

C.若0=-'=1是/（⑼的一條對稱軸，則3的最小值為年

D.若0=—在［o嘲上單調(diào)，則3的最大值為今

遮目可（2024?江蘇泰州?模擬預(yù)期設(shè)函數(shù)/（c）=2sin（0L*1（0>0）在［兀,22上至少有兩個不

同零點，則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.9+°°）B.島mU島+8）

C.［祟，3］U噂,+句D.2,+00）

［題目可（多選）（2024?江蘇揚州?模擬頊師設(shè)函數(shù)/（2）=V3sina）o;cos02；—/cos20工,a>>0,則下列結(jié)

論正確的是（）

A.V。e（0,1）,/（切在［-pj］上單調(diào)遞增

B.若3=1且I/O）一/（工2）|=2,則旦一詞min=n

C.若1/（初=1在［0,兀］上有且僅有2個不同的解，則。的取值范圍為［W）

D.存在se（0,1）,使得的圖象向左平移？個單位長度后得到的函數(shù)為奇函數(shù)

0

?題型02三篇函數(shù)新定義向摩

（題目|1］（多選）（23-24高三下?浙江?開學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系中，如果將函數(shù)沙=/（切的圖象繞坐

標(biāo)原點逆時針旋轉(zhuǎn)a（OVaW會,a為弧度）后，所得曲線仍然是某個函數(shù)的圖象，則稱/（，）為％旋轉(zhuǎn)函

數(shù)”，則（）

A.VaC（0,5）,函數(shù)夕=/都為％旋轉(zhuǎn)函數(shù)”

B.若函數(shù)/（,）=sin‘,a；e[0,7t]為“a旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，則aC（0,1]

C.若函數(shù)g⑸=ax--為號旋轉(zhuǎn)函數(shù)"，則a=1

D.當(dāng)mW—2e?或？1時，函數(shù)%（2）=mxex+l不是“于旋轉(zhuǎn)函數(shù)”

題目2〕（2021?襦堡漳州?三模）“墨卡托投影”是由荷蘭地圖學(xué)家墨卡托在1569年擬定，假設(shè)地球被圍

在一個中空圓柱里,其基準(zhǔn)緯線與圓柱相切接觸，假想地球中心有一盞燈,把球面上的圖形投影到圓柱體

上，再把圓柱體展開，這就是一幅“墨卡托投影”繪制出的地圖.在地圖上保持方向和角度的正確是“墨卡托

投影”的優(yōu)點，因此，“墨卡托投影”地圖常用作航海圖和航空圖.通過地面上任意兩點和地球中心作一平

面,平面與地球表面相交看到的圓周就是大圓，兩點之間的大圓劣弧線是兩點在地面上的最短距離.沿著這

段大圓劣弧線航行時的航線稱為“大圓航線”.“大圓航線”轉(zhuǎn)繪到“墨卡托投影”地圖上為一條曲線.如圖，

Pi（BJi）,Pg[?）為地球上的兩點中B為點P的正緯度或負緯度，乙為點P的正經(jīng)度或負經(jīng)

度，B,3,〃，乙2的符號確定規(guī)則如下：0，〃＞0，當(dāng)烏與呂同在北半球或同在南半球時，星＞0，否

則比＜0；當(dāng)E與R同在東經(jīng)區(qū)或同在西經(jīng)區(qū)時，，＞0,否則，＜0），記△￡=，一〃，S=其中。

為地球中心，已知有下面等式：cosS=sinBfsinB2+cosB1-cosB2-cosAL.某游輪擬從杭州（北緯30°,東經(jīng)

120。）沿著大圓航線航行至舊金山（北緯38。,西經(jīng)122。），則大圓航程約為（）（大圓圓心角1度所對應(yīng)的弧

長約為60nmile）參考數(shù)據(jù)：sin38°—V3cos38°sin28°七—0.025,sin38°+V3cos38°sin28o?1.256,sin0.72°

0.0125,cos51.1°^0.628.

A.43nmileB.2334nmileC.3066nmileD.5443nmile

[題目T]（2024?浙江?二W古人把正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)、余切函數(shù)、正割函數(shù)、余割函數(shù)、正矢

函數(shù)、余矢函數(shù)這八種三角函數(shù)的函數(shù)線合稱為八線.其中余切函數(shù)co驍正割函數(shù)sec。=

tan，

—J■，余割函數(shù)CSC，=一二，正矢函數(shù)“ersin。=1—cos。,余矢函數(shù)”ercos。=1—sin。.如圖角。始邊

cosesm〃

為2軸的非負半軸,其終邊與單位圓交點P,A、B分別是單位圓與力軸和y軸正半軸的交點,過點P作

PM垂直，軸，作PN垂直y軸，垂足分別為N,過點A作2軸的垂線，過點B作y軸的垂線分別交G的

終邊于T、S,其中人同、己3、83、人歸為有向線段,下列表示正確的是（）

???

A.versinff=AMB.esc。=PSC.coW=BSD.seed=NB

蜃目0（23-24高三上?湖南常檐?階段練習(xí)）已知函數(shù)/㈤和汽）的定義域分別為。和2,若對任意

的XQE2都恰有n個不同的實數(shù)劣1,42,%…劣九eA，使得g（⑷=/（3（其中i=1,2,3,…n,nEN*）,則稱

g㈤為了⑵的-重覆蓋函數(shù)”.⑴若函數(shù)g㈤=^（。<”<4兄）是/（,）=|^,（°<”<4兀）的、重

覆蓋函數(shù)”，則九=；⑵若g（c）=+33）c+l,為/㈤=]og]Wzl的“2重覆蓋函

X

------[log2a;,x>l22+1

數(shù)”，記實數(shù)a的最大值為則sin[（M+1）兀]=.

、題目回（2023?北京?模擬預(yù)測）已知集合_?=｛（，,?/）I（①―cosf）2+（g—411。）2=4,04個《兀｝.由集合_?

中所有的點組成的圖形如圖中陰影部分所示，中間白色部分形如美麗的“水滴”.給出下列結(jié)論：

①白色“水滴”區(qū)域（含邊界）任意兩點間距離的最大值為1+3；

②在陰影部分任取一點則M到坐標(biāo)軸的距離小于等于3；

③陰影部分的面積為8兀；

④陰影部分的內(nèi)外邊界曲線長為8兀.

其中正確的有.

?題型03基本不等式的運用

利用基本不等式求最值時,要注意其必須滿足的三個條件：

（1）"一正二定三相等""一正"就是各項必須為正數(shù)；

（2）"二定"就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值,則必須把構(gòu)成積的

因式的和轉(zhuǎn)化成定值；

（3）"三相等"是利用基本不等式求最值時,必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求

的最值,這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.

題目Q（2024?浙江臺州?二櫛在△ABC中，角A,B,。所對的邊分別為a,b,c.若acosC?=2ccMos力，則

與的最大值為（）

a

A.V3B.yC?苧D.3

;題目0（2023?廣東深圳?二O足球是一項很受歡迎的體育運動.如圖，某標(biāo)準(zhǔn)足球場的5底線寬AB=

72碼,球門寬HF=8碼，球門位于底線的正中位置.在比賽過程中，攻方球員帶球運動時,往往需要找到一

點P,使得/EPF最大，這時候點P就是最佳射門位置.當(dāng)攻方球員甲位于邊線上的點。處（OA=AB,

，AB）時，根據(jù)場上形勢判斷，有瓦A、加兩條進攻線路可供選擇.若選擇線路,則甲帶球

碼時，APO到達最佳射門位置;若選擇線路加，則甲帶球碼時,到達最佳射門位置.

■[3]（2023?江西南曷?模擬超測）剪紙，又叫刻紙，是一種鏤空藝術(shù)，是中國漢族最古老的民間藝術(shù)之

一.如圖,紙片為一圓形，直徑4B=20cm,需要剪去四邊形CEG。,可以經(jīng)過對折、沿。C,EC裁剪、展開

就可以得到.

已知點。在圓上且AC=10cm,/ECD=30°.要使得鏤空的四邊形CEQ。面積最小，4D的長應(yīng)為

cm.

題目⑷（2023?全國?模擬預(yù)測）如圖所示，面積為兀的扇形。UW中，分別在2，夕軸上，點P在弧

上（點P與點”，^^不重合），分別在點P,N作扇形O7W所在圓的切線。也交于點Q，其中"與力軸交

于點R,則WQ+IQRI的最小值為（）

A.4B.2V3C.V6D.2?M

題目5）（2023?全國?模擬預(yù)言力在△ABC中，乙民4。=看，。為邊BC上一點，滿足AD=3且AB

—BD?47=0,則ZVIBC面積的最小值為

?題型04三甭的數(shù)與數(shù)列結(jié)合向IK

題目U?孑江忘州?二灌）已知數(shù)列｛飆｝滿足a產(chǎn)4，*1=

（1）求&2。24（只需寫出數(shù)值，不需要證明）；

⑵若數(shù)列｛aj的通項可以表示成即=]—，^sin（37i+w）（o<3<3,0G[—py]）的形式，求s,R.

題目可（2024?廣東?二O已知正項數(shù)列｛冊｝,也｝，滿足%產(chǎn)*'+1=49（其中c>0）.

（1）若Qi之仇,且的+濟。2c,證明：數(shù)列｛。九一b九｝和｛an-\-bn—2c｝均為等比數(shù)列；

（2）若Q1>仇,?+6產(chǎn)2c,以an,bn,c為三角形三邊長構(gòu)造序列（其中AnBn=c,BnCn=an,AnCn=bn

），記“出?外接圓的面積為S九,證明：Sn>5c?；

O

⑶在⑵的條件下證明:數(shù)列｛SJ是遞減數(shù)列.

題目§（2024?天津?一模）/Q）=血sin（rr+3）—a+,wC（（）,￡■）,已知人2）的圖象在（0J（0））處的

切線與，軸平行或重合.

（1）求W的值；

（2）若對Vc>0,/（c）<0恒成立，求a的取值范圍；

157,

（3）利用如表數(shù)據(jù)證明：>>in懸<106.

k=lJ'4

78兀78兀79兀79兀

-314ww■

e盤eee

1.0100.9902.1820.4582.2040.454

題目⑷（23-24高三下?江西?開學(xué)考試）同余定理是數(shù)論中的重要內(nèi)容.同余的定義為:設(shè)a,bCZ,小

GN+且nz>l.若—b）,則稱a與b關(guān)于模7n同余，記作a三b（modnz）為整除符號）.

⑴解同余方程：力之+2力三0（mod3）（力GZ）；

（2）設(shè)（1）中方程的所有正根構(gòu)成數(shù)列｛Q/,其中的〈電<。3<…

①若bn=an+1—an（nENJ,數(shù)列｛bj的前幾項和為S”求S4048；

E

②若Cn=tana2n+3-tana2n+i（^N+）,求數(shù)列｛&｝的前n項和Tn.

7

題目回（2023?山西?模擬溫測）已知定義在（—爭+oo）上的函數(shù)/Q）=Q—k）sin,.

⑴若曲線沙=/3）在點傳J傳））處的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為2,求％的值；

（2）將/Q）的所有極值點按照從小到大的順序排列構(gòu)成數(shù)列{4},若成等差數(shù)歹！J，求上的值.

?題型05正余弦定理新考點問題

（題目］1］（23?24方三下?江蘇蘇州?階段練習(xí)）已知在△ABC與△ABC中，=4。,A與A在直線口。

的同側(cè)，AB+AC=4B+AC,直線47與直線AB交于O.

（1）若AB=2,AC=1,求sinA的取值范圍；

（2）證明：。4＞。4

（2024?河北?二O若△AB。內(nèi)一點P滿足/PAB=NPBC=APCA=依則稱點P為△AB。

的布洛卡點，e為△ABC的布洛卡角.如圖，已知AABC中，BC=a,AC=b,AB=C，點P為的布洛卡

點，0為△AB。的布洛卡角.

(1)若b=c,且滿足求/ABC的大小.

PA

(2)若△48。為銳角三角形.

(i)證明：=一=---------+----------+----------

'7tan。tanZBACtan/ABCtanZACB

(ii)若PB平分/ABC,證明：〃=ac.

題目0（2024?湖南部M?模擬fit測）對于定義在。上的函數(shù)/Q）,若存在距離為d的兩條平行直線

=kx+仇和l2：y=kx+戾，使得對任意的力E。都有kx+仇&/（6）Wfcr+⑦，則稱函數(shù)/（力）（/GD）有一個

寬度為d的通道，Zi與。分別叫做函數(shù)/3）的通道下界與通道上界.

（1）若/（,）=「，請寫出滿足題意的一組/（2）通道寬度不超過3的通道下界與通道上界的直線方程；

e+1

（2）若g（力）=%+sin/+cos6,證明：g（%）存在寬度為2的通道；

（3）探究”,）=旦些土&逃6[l,+oo）是否存在寬度為淬的通道？并說明理由.

x2

題目@（2024?云南北明?一模）早期天文學(xué)家常采用“三角法”測量行星的軌道半徑.假設(shè)一種理想狀

態(tài):地球E和某小行星M繞太陽S在同一平面上的運動軌道均為圓,三個星體的位置如圖所示.地球在

及位置時，測出乙5及河=冬;行星用■繞太陽運動一周回到原來位置,地球運動到了用位置，測出ASE.M

=亨，/@5虱=等.若地球的軌道半徑為R,則下列選項中與行星加?的軌道半徑最接近的是（參考數(shù)據(jù)：

73^1.7）（）

A.2.17?B.2.27?C.2.37?D.2.472

題目回（2024?上海旅匯?二如圖所示，已知△ABC滿足BC=8,AC=34B,P為△48。所在平面

內(nèi)一點.定義點集D={P|AP=3AAB+^-AC,A672}.若存在點P0ED,使得對任意Pe。，滿足\AP\

>\A^\恒成立，則|云月|的最大值為.

?題型06實際應(yīng)用中的正余弦定理問題

畫1H（2024?內(nèi)米古"港粒?一模）小明在春節(jié)期間，預(yù)約了正月初五上午去美術(shù)館欣賞油畫，其中有

一幅畫吸引了眾多游客駐足觀賞，為保證觀賞時可以有最大視角，警衛(wèi)處的同志需要將警戒線控制在距墻

多遠處最合適呢？（單位:米，精確到小數(shù)點后兩位）已知該畫掛在墻上，其上沿在觀賞者眼睛平視的上方3

米處，其下沿在觀賞者眼睛平視的上方1米處.（）

A.1.73B.1.41C.2.24D.2.45

題目團（2022?陜西?O圭表（如圖甲）是我國古代一種通過測量正午日影長度來推定節(jié)氣的天文儀

器，它包括一根直立的標(biāo)竿（稱為“表”）和一把呈南北方向水平固定擺放的與標(biāo)竿垂直的長尺（稱為

“圭”）.當(dāng)正午太陽照射在表上時，日影便會投影在圭面上，圭面上日影長度最長的那一天定為冬至，日影

長度最短的那一天定為夏至.圖乙是一個根據(jù)北京的地理位置設(shè)計的圭表的示意圖，已知北京冬至正午太

陽高度角大約（即/ABC）為30°,夏至正午太陽高度角（即ZADC）大約為75°,圭面上冬至線與夏至線之

間的距離（即的長）為a,則表高（即力。的長）為（）

B.~~CLD.

444

〔題目〕1〕（多選）（2024?全國?模器III測）通過研究宋代李誡所著的《營造法式》等古建資料,可以得到中國

宋代建筑的屋頂蘊含著豐富的數(shù)學(xué)元素,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美，并且符合兩個特點:一、從檐口到屋脊的曲

線為屋面曲線，左、右屋面曲線對稱，可用圓弧擬合屋面曲線，且圓弧所對的圓心角為30°±2°；二、從檐口到

坡屋面高度半徑

屋脊的垂直距離為坡屋面高度半徑，水平距離為半坡寬度,且=0.57土0.3.如圖為某宋

半坡寬度

代建筑模型的結(jié)構(gòu)圖，其中A為屋脊，3,。為檐口，且所對的圓心角夕=。，力。所在圓的半徑為4,

0

四也L732,則（）

A.AC的長為■兀

O

B.AC=2V6^—ypl

C.若AB與AC所在兩圓的圓心距為4g,則此建筑的屋頂不符合宋代建筑屋頂?shù)奶攸c

D.若AB與AC所在兩圓的圓心距為4,要想此建筑的屋頂符合宋代建筑屋頂?shù)奶攸c，可將圓心角0縮小

題目0（2023?湖北丈漢-模擬預(yù)測）剪紙又叫刻紙，是一種鏤空藝術(shù)，是中華漢族最古老的民間藝術(shù)之

一，如圖，一圓形紙片沿直徑AB對折，使圓上兩點C、G重合,D,E為直徑AB上兩點,且NECD=45°,

對折后沿直線DC,EC級剪,展開得到四邊形CECQ,若AC=^AB,則當(dāng)四邊形CECQ的面積最小時,

DE_

~AC~-------

題目可（2024?重慶?模擬溫測）如圖,某班級學(xué)生用皮尺和測角儀（測角儀的高度為L7zn）測量重慶瞰

勝樓的高度，測角儀底部A和瞰勝樓樓底。在同一水平線上,從測角儀頂點。處測得樓頂河的仰角，

/-MCE=16.5°（點E在線段MO上）.他沿線段AO向樓前進100m到達B點,此時從測角儀頂點D處測

得樓頂M的仰角AMDE=48.5°,樓尖7WN的視角^MDN=3.5°（N是樓尖底部,在線段MO上）.

⑴求樓高MO和樓尖山W；

（2）若測角儀底在線段4。上的F處時，測角儀頂G測得樓尖2WN的視角最大,求此時測角儀底到樓底的距

離FO.

參考數(shù)據(jù)：sml6.5°s[48.5°一六,tanl6tan48.5°。,“40x35—37.4,

sin325277

12

?題型07實際應(yīng)用中的三篇函數(shù)問題

數(shù)形結(jié)合的重點是“以形助數(shù)"，在解題時要注意培養(yǎng)這種思想意識，做到心中有圖，見數(shù)想圖,以開拓自己的

思維.使用數(shù)形結(jié)合法的前提是題目中的條件有明確的幾何意義,解題時要準(zhǔn)確把握條件、結(jié)論與幾何圖形

的對應(yīng)關(guān)系，準(zhǔn)確利用幾何圖形中的相關(guān)結(jié)論求解.

［題目|1］（2023?湖北?模擬fit冽）現(xiàn)代建筑物的設(shè)計中通常會運用各種曲線、曲面，將美感發(fā)揮到極致.如

圖所示是位于深圳的田園觀光塔，它的主體呈螺旋形，高15.6機,結(jié)合旋轉(zhuǎn)樓梯的設(shè)計，體現(xiàn)了建筑中的數(shù)

學(xué)之美.某游客從樓梯底端出發(fā)一直走到頂部.現(xiàn)把該游客的運動軌跡投影到塔的軸截面,得到曲線方程

為y=Asin（a）x+p）（4>0,0>0）（力，y的單位：m）.該游客根據(jù)觀察發(fā)現(xiàn)整個運動過程中,相位的變化量

為牛兀，則。約為（）

A.0.55B.0.65C.0.75D.0.85

W0（多選）（2024?福建?模擬預(yù)測）小竹以某速度沿正北方向勻速行進.某時刻時，其北偏西30°方

向上有一距其6米的灑水樁恰好面朝正東方向.已知灑水樁會向面朝方向噴灑長為米,可視為筆直線

段的水柱，且其沿東-北-西-南-東的方向每3秒勻速旋轉(zhuǎn)一周循環(huán)轉(zhuǎn)動.若小竹不希望被水柱淋濕

且不改變行進方向和速度，則他行進的速度可以是（）

A.lm/sB.1.2m/sC.2m/sD.8m/s

題耳區(qū)（2024?廣東佛山?一近年,我國短板農(nóng)機裝備取得突破，科技和裝備支撐穩(wěn)步增強，現(xiàn)代農(nóng)業(yè)

建設(shè)扎實推進.農(nóng)用機械中常見有控制設(shè)備周期性開閉的裝置.如圖所示，單位圓。繞圓心做逆時針勻速

圓周運動，角速度大小為2兀rad/s,圓上兩點A,B始終滿足ZAOB=冬，隨著圓。的旋轉(zhuǎn)，A,8兩點的位

置關(guān)系呈現(xiàn)周期性變化.現(xiàn)定義：力，B兩點的豎直距離為A,B兩點相對于水平面的高度差的絕對值.假

設(shè)運動開始時刻，即t=0秒時，點4位于圓心正下方:則力=秒時，A,B兩點的豎直距離第一次

為0；4，B兩點的豎直距離關(guān)于時間t的函數(shù)解析式為〃力）=

~7777777777777777777777777777777

水平面

???

題目4j（2023?上海金山?一模）網(wǎng)絡(luò)購物行業(yè)日益發(fā)達，各銷售平臺通常會配備送貨上門服務(wù).小金正

在配送客戶購買的電冰箱，并獲得了客戶所在小區(qū)門戶以及建筑轉(zhuǎn)角處的平面設(shè)計示意圖.

（1）為避免冰箱內(nèi)部制冷液逆流,要求運送過程中發(fā)生傾斜時，外包裝的底面與地面的傾斜角a不能超過

與，且底面至少有兩個頂點與地面接觸.外包裝看作長方體，如圖1所示，記長方體的縱截面為矩形

ABCD,AD^0.8m,AB=2.4巾，而客戶家門高度為2.3米,其他過道高度足夠.若以傾斜角&的方

式進客戶家門，小金能否將冰箱運送入客戶家中？計算并說明理由.

（2）由于客戶選擇以舊換新服務(wù)，小金需要將客戶長方體形狀的舊冰箱進行回收.為了省力，小金選擇將冰

箱水平推運（冰箱背面水平放置于帶滾輪的平板車上，平板車長寬均小于冰箱背面）.推運過程中遇到一處

直角過道，如圖2所示，過道寬為1.8米.記此冰箱水平截面為矩形EFGH,1.2m.設(shè)2PHG=B，

當(dāng)冰箱被卡住時（即點N、G分別在射線PR、PQ上，點。在線段EF上），嘗試用￡表示冰箱高度EF的

長,并求出EF的最小值,最后請幫助小金得出結(jié)論：按此種方式推運的舊冰箱，其高度的最大值是多少？

（結(jié)果精確到0.1m）

題目回（多匐（2023?山西?模擬預(yù)測）如圖，扇形493是某社區(qū)的一塊空地平面圖，點P在弧AB上

（異于45兩點），PC,OAPDLQB,垂足分別為C,D,/AOB=普，/人。。=&,人。=20米.該社區(qū)物

業(yè)公司計劃將四邊形OCPD區(qū)域作為兒童娛樂設(shè)施建筑用地,其余的地方種植花卉，則下列結(jié)論正確的

是（）

A.當(dāng)a=告時，兒童娛樂設(shè)施建筑用地的面積為50V3+100平方米

B.當(dāng)。=3時,種植花卉區(qū)域的面積為3普-100盜平方米

63

C.兒童娛樂設(shè)施建筑用地面積的最大值為50（76+V2）平方米

D.種植花卉區(qū)域的面積可能是馬普-50平方米

?題型08立體幾何與三甭函數(shù)結(jié)合問題

［題目“1）（多選）（2024?淅江會華?模極H測）已知邊長為，的等邊△ABC的三個頂點到平面a的距離分別

為1,2,3,且△ABC的重心G到平面a的距離恰有兩個可能值，則Z的取值可以為（）

A.2V3B.2V5C.5D.6

］題目@（2024?重慶?三模）如圖，已知圓柱的斜截面是一個橢圓,該橢圓的長軸為圓柱的軸截面對角

線,短軸長等于圓柱的底面直徑.將圓柱側(cè)面沿母線展開，則橢圓曲線在展開圖中恰好為一個周期的正

弦曲線.若該段正弦曲線是函數(shù)V=v^sin02（0>O）圖象的一部分，且其對應(yīng)的橢圓曲線的離心率為空,

則。的值為（）

cA~~——18

?、

?■

A—B.1C.V3D.2

2

題目區(qū)（2024?北京豐臺?二W”用一個不垂直于圓錐的軸的平面截圓錐,當(dāng)圓錐的軸與截面所成的角

不同時，可以得到不同的截口曲線”.利用這個原理，小明在家里用兩個射燈（射出的光錐視為圓錐）在墻

上投影出兩個相同的橢圓（圖1）,光錐的一條母線恰好與墻面垂直.圖2是一個射燈投影的直觀圖，圓錐

P。的軸截面APB是等邊三角形，橢圓Q所在平面為則橢圓Q的離心率為（）

?M

D,畢

o

趣目⑷（2024?廣東湛江?一財富匯大廈坐落在廣東省湛江市經(jīng)濟技術(shù)開發(fā)區(qū),是湛江經(jīng)濟技術(shù)開發(fā)

區(qū)的標(biāo)志性建筑，同時也是已建成的粵西第一高樓.為測量財富匯大廈的高度，小張選取了大廈的一個最高

點A,點A在大廈底部的射影為點O,兩個測量基點B、C與。在同一水平面上,他測得BC=102V7米，

120°,在點B處測得點力的仰角為。（tan。=2）,在點。處測得點A的仰角為45°,則財富匯大廈

的高度04=米.

BC

題目回（2024?貴州建義?一模）某冰淇淋門面店將上半部是半球（半球的半徑為3）,下半部是倒立的圓

錐（圓錐的高為6）的冰淇淋模型放到楣窗內(nèi)展覽,托盤是邊長為12的等邊三角形ABC金屬片沿三邊中點

的連線向上折疊成直二面角而成,則半球面上的最高點到平面DEF的距離為.

?題型09三篇的數(shù)中的零點問題

[題目.]1）（2023?天津?二O設(shè)函數(shù)/（。）=Isin^l,g（c）=e-T.當(dāng)①e[-2023,2025]時，于（x）與g3的

圖象所有交點的橫坐標(biāo)之和為（）

A.4051B.4049C.2025D.2023

題目可（2023?甘肅蘭州?模擬演測）已知函數(shù)/（宏）=（力—Q）Q—b）+（比一b）（宏一c）+（rc—c）（a?—a）,

其中a=sinBb=sin：cos；,c=sin（cos：）,則以下判斷正確的是（）

64414'

A.函數(shù)/（力）有兩個零點g,力2（/1</2）,且（61一匕）（劣1一。）〈0,（/2—匕）（劣2—。）>0

B.函數(shù)/（/）有兩個零點/1，/2（力1<力2），且（力1一Q）（力l匕）〈。，（g—Q）（g—b）>0

C.函數(shù)/（力）有兩個零點/1，C2（力1V力2），且（/1一匕）（61一。）V0,（/2—Q）（力2—b）V0

D.函數(shù)/（力）只有一個零點g,且（力（）—Q）（g—6）>0,（g—b）Qo—c）V0

微目3）（2024?全國?模擬預(yù)鑫I）已知函數(shù)/（力）=asin7rc+bcos兀力（b>0）的圖象關(guān)于點（",0）對稱，若

6

I/（?1）-/（?2）l=l/（?3）-/（?4）l=|/（3）一/（76）］=4b（0VCiVa；2V噩3〈竊Vg〈麴），則匯◎的最小值為

i=l

題目回（2023?四川建寧?模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（0=/一，函數(shù)9（8）=$也（232+0）（。>0）的兩相鄰

對稱中心之間的距離為1,且c=■為函數(shù)9=g（c）的一個極大值點.若方程/（t）=g（c）在2￡

［-n-l,n+3］（neZ）上的所有根之和等于2024,則滿足條件中整數(shù)九的值構(gòu)成的集合為

題目回（2024?湖前岳相?三模）已知△ABC的三個角AB,。的對邊分別為a,b,c且c=2b,點。在邊

BC上，AD是/氏4。的角平分線，設(shè)4D=%AC（其中k為正實數(shù)）.

（1）求實數(shù)k的取值范圍；

（2）設(shè)函數(shù)/（①）=-^~~ax3――bx2+cx—4

①當(dāng)后=罕時,求函數(shù)人,）的極小值；

O

②設(shè)而是/3）的最大零點,試比較3與1的大小.

?M

壓軸題預(yù)測

、題目⑤（2024?全國?模擬覆測）石雕、木雕、磚雕被稱為建筑三雕.源遠流長的磚雕，由東周瓦當(dāng)、漢代

畫像磚等發(fā)展而來,明清時代進入巔峰,形成北京、天津、山西、徽州、廣東、臨夏以及蘇派磚雕七大主要流

派.蘇派磚雕被稱為“南方之秀”，是南方地區(qū)磚雕藝術(shù)的典型代表，被廣泛運用到墻壁、門窗、檐廊、欄檻

等建筑中.圖（1）是一個梅花磚雕，其正面是一個扇環(huán)如圖（2）,磚雕厚度為6cm,AD=80cm,

CD=3AB,CD所對的圓心角為直角，則該梅花磚雕的表面積為（單位：cn?）（）

圖⑵

B.4807r+960C.68807U+960D.3680兀+960

1題目⑶（2024?河南?模擬覆測）對于函數(shù)/⑺，當(dāng)，>0時，/（2）>/'（切.銳角△ABC中，角48,。的

對邊分別為a,b,c,且6cosC+ccosB>acosC+ccosA，設(shè)，產(chǎn)華，電=粵喀，g=&，則（）

bsmBB

A"g）、/（灰）、/（土3）R/（土1）,/（電）/C（g）

e1e2e3e1e2e3

cfM）_/（電）>/（g）D/（◎）_/（◎）二/（詞

'e"-6"e%'e"-e'2e*

題目⑥（2023?寧夏石嘴山?三模）/（,）=Asin（3c+0）,（A>O,3>O,O<0<兀）的部分圖象如圖中實線

所示，圖中圓。與/（土）的圖象交于M,N兩點，且朋■在沙軸上，則下說法正確的是（）

A.若圓。的半徑為萼，則/（,）=孕sin（2c+告）；

B.函數(shù)/（工）在（I"）上單調(diào)遞減；

c.函數(shù)/3）的圖象向左平移■個單位后關(guān)于工=年對稱；

D.函數(shù)/Q）的最小正周期是斗兀.

題目回（22-23高三上?上?；?期中）在信息時代,信號處理是非常關(guān)鍵的技術(shù)，而信號處理背后的

“功臣”就是正弦型函數(shù).函數(shù)/3）=天包呼二產(chǎn)的圖象可以近似的模擬某種信號的波形，則下列判

M22—1?M

斷中不正確的是（）

A.函數(shù)/（,）為周期函數(shù)，且兀為其一個周期B,函數(shù)/（2）的圖象關(guān)于點（2兀,0）對稱

C.函數(shù)/（2）的圖象關(guān)于直線2二號對稱D,函數(shù)/（2）的導(dǎo)函數(shù)/（①）的最大值為4.

（題目|10]（多選）（2024?全國?模擬預(yù)測）在單位圓。：/+才=1上任取一點P⑶y），圓。與多軸正半軸的

交點是A,設(shè)將04繞原點O旋轉(zhuǎn)到OP所成的角為。，記,，u關(guān)于占的表達式分別為c=/（&）,y=g⑹,

則下列說法中正確的是（）

A”=/（。）是偶函數(shù)，y=g（0）是奇函數(shù)

B.他+g⑹>1對于夕C[0,■恒成立

C.設(shè)h[d）=/⑻+g⑹，若拉（加（3>0）在。C[0,初上有且僅有3個極值點，則?W3V號

D.函數(shù)t=2/（。）+g（2。）的最大值為苧

?M

王龜￡救鳥正命載曼覆41ML九之4L型匯惠

壓軸題解讀

本專題考查類型主要涉及點為三角函數(shù)與解三角形。其中包含了,三角函數(shù)的圖像與性

命題預(yù)測質(zhì)，三角函數(shù)的新定義，三角函數(shù)與數(shù)列等的結(jié)合問題，解三角形相關(guān)問題等。

預(yù)計2024年后命題會繼續(xù)在上述幾個方面進行。

題型01三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)題型06實際應(yīng)用中的正余弦定理問題

題型02三角函數(shù)新定義問題題型07實際應(yīng)用中的三角函數(shù)問題

高頻考法題型03基本不等式的運用題型08立體幾何與三角函數(shù)結(jié)合問題

題型04三角函數(shù)與數(shù)列結(jié)合問題題型09三角函數(shù)中的零點問題

題型05正余弦定理新考點問題

高分必搶

?題型01三篇函數(shù)的圖像與性質(zhì)

O0OO

在三角函數(shù)/（。）=Asin（0，+3）圖象與性質(zhì)中，。對整個圖象性質(zhì)影響最大，因為。可改變函數(shù)的單調(diào)區(qū)

間,極值個數(shù)和零點個數(shù)，求解。的取值范圍是經(jīng)?？疾斓膬?nèi)容,綜合性較強，除掌握三角函數(shù)圖象和性質(zhì),

還要準(zhǔn)確發(fā)掘題干中的隱含條件,找到切入點，數(shù)形結(jié)合求出相關(guān)性質(zhì),如最小正周期，零點個數(shù)，極值點個

數(shù)等,此部分題目還常常和導(dǎo)函數(shù)，去絕對值等相結(jié)合考查綜合能力.

（題目|1］（多選）（23-24高三下?浙江?開學(xué)考試）函數(shù)/⑸=2cos（g+>0,加<方）相鄰兩個最高

點之間的距離為兀，（得,0）為/Q）的對稱中心,將函數(shù)/（，）的圖象向左平移者后得到函數(shù)y=gQ）的圖

象，則（）

A.g（c）在（0,著）上存在極值點

B.方程gQ）=Ux-卷）所有根的和為當(dāng)

C.若gQ+m）為偶函數(shù),則正數(shù)m的最小值為者

D.若g（會）在傳，引上無零點,則正數(shù)4的取值范圍為（0看］U［5,與］

【答案】AC

（分析】根據(jù)給定條件，求出函數(shù)/Q）及gQ）的解析式,結(jié)合余弦函數(shù)的圖象、性質(zhì)逐項分析判斷得解.

【詳解】依題意，—=兀，解得。=2,由/（需）=0,得2X需+<p=kjt+GZ,

而Ipl〈1,則k=0,<―—器,f(x)=2cos(2①-，9(x)=2cos[2(rc=2cos2x

對于4當(dāng)ce（o,需）時，2c—/e（得著）,顯然當(dāng)專=0時,函數(shù)強）取得極大值,A正確;

,nGN個交點,

即方程gQ）=十（力一年）共有2n+1個根,所有根的和為271；1兀，不存在n使得2n+l兀=萼，B錯誤;

3o

對于C,函數(shù)g（x+m）=2cos（2%+2m—二）是偶函數(shù)，則2?n—亭=自兀,自6Z,

\61o

m=~^~+專'”住Z,因此當(dāng)ki=0時，正數(shù)館取得最小值者，。正確；

對于。，函數(shù)g^x）=28s.一手，當(dāng)/e信子）時，加一看e（孝—本:—關(guān)

由g（fO在（等5）上無零點,得（今一/苧■-y）-[k兀一亭k兀+GZ,

A>3fc-12k+專>3k—1

則，kez,解得生,kez,顯然,kez,

W-t<A：7r+fA<2k+2k+寺>0

即—"|〈七〈與次畛于是底{0,1,2},所以正數(shù)4的取值范圍為（0電U[2,畏U',明，D錯誤.

故選：AC

題目gj（2024?全國?模擬預(yù)測）已知/（2）=Asin（sc+w）（A＞O,。＞0,―1~VpV卷）的部分圖象如下

圖，點_?（四）,隊）（力0。。）是圖象上一點，貝！J（）

A.函數(shù)/（,）在[一字引上單調(diào)遞增

B.函數(shù)/（c）的圖象向左平移5個單位長度，所得圖象關(guān)于沙軸對稱

O

C.若/（N）=V^cosa,則sin2a=±q

tan（2x——）

D.若點P（g,%）（gW0）處的切線經(jīng)過坐標(biāo)原點，則一（?；?2

x0

【答案】。

【分析】根據(jù)函數(shù)圖象，求得/（。）=2sin（2a;—■，對于＞1項，只需判斷z=20—'對應(yīng)的函數(shù)沙=2sinz

在[—苧的單調(diào)性即可；對于B項，求出平移后的函數(shù)解析式,判斷奇偶性即得；對于C項，由/（受）=

V2cos＜z代入化簡得sina=2cosa,再對sin2a進行齊次化變換，代入即得；對于D項，設(shè)出切點，利用導(dǎo)數(shù)

寫出切線方程，代入原點坐標(biāo)，化簡即得.

【詳解】由圖象可知，/（c）的最大值為2,又人＞0,所以4=2.

設(shè)最小正周期為T,由圖象可知