貴州省貴陽市一中2025年高三下第四次模擬考試數(shù)學試題

貴州省貴陽市一中2025年高三下第四次模擬考試數(shù)學試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．是定義在上的增函數(shù)，且滿足：的導(dǎo)函數(shù)存在，且，則下列不等式成立的是（）A． B．C． D．2．已知，，，若，則正數(shù)可以為（）A．4 B．23 C．8 D．173．已知為一條直線，為兩個不同的平面，則下列說法正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則4．設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，，則（）A．21 B．22 C．11 D．125．設(shè)，是方程的兩個不等實數(shù)根，記（）.下列兩個命題（）①數(shù)列的任意一項都是正整數(shù)；②數(shù)列存在某一項是5的倍數(shù).A．①正確，②錯誤 B．①錯誤，②正確C．①②都正確 D．①②都錯誤6．展開項中的常數(shù)項為A．1 B．11 C．-19 D．517．在中，為邊上的中點，且，則（）A． B． C． D．8．對于任意，函數(shù)滿足，且當時，函數(shù).若，則大小關(guān)系是（）A． B． C． D．9．若兩個非零向量、滿足，且，則與夾角的余弦值為（）A． B． C． D．10．函數(shù)的圖象如圖所示，為了得到的圖象，可將的圖象（）A．向右平移個單位 B．向右平移個單位C．向左平移個單位 D．向左平移個單位11．如圖是一個幾何體的三視圖,則該幾何體的體積為()A． B． C． D．12．已知非零向量、，若且，則向量在向量方向上的投影為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，，分別為內(nèi)角，，的對邊，，，，則的面積為__________.14．若函數(shù)滿足：①是偶函數(shù)；②的圖象關(guān)于點對稱.則同時滿足①②的，的一組值可以分別是__________.15．已知直線被圓截得的弦長為2，則的值為__16．四邊形中，，，，，則的最小值是______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在極坐標系中，曲線的極坐標方程為，直線的極坐標方程為，設(shè)與交于、兩點，中點為，的垂直平分線交于、.以為坐標原點，極軸為軸的正半軸建立直角坐標系.（1）求的直角坐標方程與點的直角坐標；（2）求證：.18．（12分）在△ABC中，角所對的邊分別為向量，向量，且.（1）求角的大?。唬?）求的最大值.19．（12分）如圖，在中，，的角平分線與交于點，.（Ⅰ）求；（Ⅱ）求的面積.20．（12分）如圖，直三棱柱中，底面為等腰直角三角形，，，，分別為，的中點，為棱上一點，若平面.（1）求線段的長；（2）求二面角的余弦值.21．（12分）設(shè)函數(shù)，直線與函數(shù)圖象相鄰兩交點的距離為.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）在中，角所對的邊分別是，若點是函數(shù)圖象的一個對稱中心，且，求面積的最大值.22．（10分）在中，為邊上一點，，.（1）求；（2）若，，求.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．D【解析】

根據(jù)是定義在上的增函數(shù)及有意義可得，構(gòu)建新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可得為上的增函數(shù)，從而可得正確的選項.【詳解】因為是定義在上的增函數(shù)，故.又有意義，故，故，所以.令，則，故在上為增函數(shù)，所以即，整理得到.故選：D.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，一般地，數(shù)的大小比較，可根據(jù)數(shù)的特點和題設(shè)中給出的原函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系構(gòu)建新函數(shù)，本題屬于中檔題.2．C【解析】

首先根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出的取值范圍，再代入驗證即可；【詳解】解：∵，∴當時，滿足，∴實數(shù)可以為8.故選：C【點睛】本題考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.3．D【解析】A.若，則或，故A錯誤；B.若，則或故B錯誤；C.若，則或，或與相交；D.若，則，正確.故選D.4．A【解析】

由題意知成等差數(shù)列，結(jié)合等差中項，列出方程，即可求出的值.【詳解】解：由為等差數(shù)列，可知也成等差數(shù)列，所以，即，解得.故選:A.【點睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，考查了等差中項.對于等差數(shù)列，一般用首項和公差將已知量表示出來，繼而求出首項和公差.但是這種基本量法計算量相對比較大，如果能結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)，可使得計算量大大減少.5．A【解析】

利用韋達定理可得,,結(jié)合可推出,再計算出,,從而推出①正確;再利用遞推公式依次計算數(shù)列中的各項,以此判斷②的正誤.【詳解】因為,是方程的兩個不等實數(shù)根,所以,,因為,所以,即當時,數(shù)列中的任一項都等于其前兩項之和,又,,所以,,,以此類推,即可知數(shù)列的任意一項都是正整數(shù),故①正確;若數(shù)列存在某一項是5的倍數(shù),則此項個位數(shù)字應(yīng)當為0或5,由,,依次計算可知,數(shù)列中各項的個位數(shù)字以1,3,4,7,1,8,9,7,6,3,9,2為周期,故數(shù)列中不存在個位數(shù)字為0或5的項,故②錯誤;故選:A.【點睛】本題主要考查數(shù)列遞推公式的推導(dǎo),考查數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用,考查學生的綜合分析以及計算能力.6．B【解析】

展開式中的每一項是由每個括號中各出一項組成的，所以可分成三種情況.【詳解】展開式中的項為常數(shù)項，有3種情況：（1）5個括號都出1，即；（2）兩個括號出，兩個括號出，一個括號出1，即；（3）一個括號出，一個括號出，三個括號出1，即；所以展開項中的常數(shù)項為，故選B.【點睛】本題考查二項式定理知識的生成過程，考查定理的本質(zhì)，即展開式中每一項是由每個括號各出一項相乘組合而成的.7．A【解析】

由為邊上的中點，表示出，然后用向量模的計算公式求模.【詳解】解：為邊上的中點，，故選：A【點睛】在三角形中，考查中點向量公式和向量模的求法，是基礎(chǔ)題.8．A【解析】

由已知可得的單調(diào)性，再由可得對稱性，可求出在單調(diào)性，即可求出結(jié)論.【詳解】對于任意，函數(shù)滿足，因為函數(shù)關(guān)于點對稱，當時，是單調(diào)增函數(shù)，所以在定義域上是單調(diào)增函數(shù).因為，所以，.故選:A.【點睛】本題考查利用函數(shù)性質(zhì)比較函數(shù)值的大小，解題的關(guān)鍵要掌握函數(shù)對稱性的代數(shù)形式，屬于中檔題..9．A【解析】

設(shè)平面向量與的夾角為，由已知條件得出，在等式兩邊平方，利用平面向量數(shù)量積的運算律可求得的值，即為所求.【詳解】設(shè)平面向量與的夾角為，，可得，在等式兩邊平方得，化簡得.故選：A.【點睛】本題考查利用平面向量的模求夾角的余弦值，考查平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中等題.10．C【解析】

根據(jù)正弦型函數(shù)的圖象得到，結(jié)合圖像變換知識得到答案.【詳解】由圖象知：，∴.又時函數(shù)值最大，所以.又，∴，從而，，只需將的圖象向左平移個單位即可得到的圖象，故選C.【點睛】已知函數(shù)的圖象求解析式(1).(2)由函數(shù)的周期求(3)利用“五點法”中相對應(yīng)的特殊點求，一般用最高點或最低點求．11．A【解析】

根據(jù)三視圖可得幾何體為直三棱柱，根據(jù)三視圖中的數(shù)據(jù)直接利用公式可求體積.【詳解】由三視圖可知幾何體為直三棱柱，直觀圖如圖所示：其中，底面為直角三角形，，，高為.∴該幾何體的體積為故選：A.【點睛】本題考查三視圖及棱柱的體積，屬于基礎(chǔ)題.12．D【解析】

設(shè)非零向量與的夾角為，在等式兩邊平方，求出的值，進而可求得向量在向量方向上的投影為，即可得解.【詳解】，由得，整理得，，解得，因此，向量在向量方向上的投影為.故選：D.【點睛】本題考查向量投影的計算，同時也考查利用向量的模計算向量的夾角，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

根據(jù)題意，利用余弦定理求得，再運用三角形的面積公式即可求得結(jié)果.【詳解】解：由于，，，∵，∴，，由余弦定理得，解得，∴的面積.故答案為：.【點睛】本題考查余弦定理的應(yīng)用和三角形的面積公式，考查計算能力.14．，【解析】

根據(jù)是偶函數(shù)和的圖象關(guān)于點對稱，即可求出滿足條件的和.【詳解】由是偶函數(shù)及，可取，則，由的圖象關(guān)于點對稱，得，，即，，可取.故，的一組值可以分別是，.故答案為：，.【點睛】本題主要考查了正弦型三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.15．1【解析】

根據(jù)弦長為半徑的兩倍，得直線經(jīng)過圓心，將圓心坐標代入直線方程可解得．【詳解】解：圓的圓心為（1，1），半徑，

因為直線被圓截得的弦長為2，

所以直線經(jīng)過圓心（1，1），

，解得．故答案為：1．【點睛】本題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題．16．【解析】

在中利用正弦定理得出，進而可知，當時，取最小值，進而計算出結(jié)果.【詳解】，如圖，在中，由正弦定理可得，即，故當時，取到最小值為.故答案為：.【點睛】本題考查解三角形，同時也考查了常見的三角函數(shù)值，考查邏輯推理能力與計算能力，屬于中檔題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1），；（2）見解析.【解析】

（1）將曲線的極坐標方程變形為，再由可將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程，將直線的方程與曲線的方程聯(lián)立，求出點、的坐標，即可得出線段的中點的坐標；（2）求得，寫出直線的參數(shù)方程，將直線的參數(shù)方程與曲線的普通方程聯(lián)立，利用韋達定理求得的值，進而可得出結(jié)論.【詳解】（1）曲線的極坐標方程可化為，即，將代入曲線的方程得，所以，曲線的直角坐標方程為.將直線的極坐標方程化為普通方程得，聯(lián)立，得或，則點、，因此，線段的中點為；（2）由（1）得，，易知的垂直平分線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），代入的普通方程得，，因此，.【點睛】本題考查曲線的極坐標方程與普通方程之間的轉(zhuǎn)化，同時也考查了直線參數(shù)幾何意義的應(yīng)用，涉及韋達定理的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中等題.18．（1）（2）2【解析】

（1）轉(zhuǎn)化條件得，進而可得，即可得解；（2）由化簡可得，由結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】（1），，由正弦定理得，即，又，，又，，，由可得.（2）由（1）可得，，，，，，的最大值為2.【點睛】本題考查了平面向量平行、正弦定理以及三角恒等變換的應(yīng)用，考查了三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.19．（Ⅰ）;（Ⅱ）.【解析】試題分析：（Ⅰ）在中，由余弦定理得，由正弦定理得，可得解；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，進而得，在中，由正弦定理得，所以的面積即可得解.試題解析：（Ⅰ）在中，由余弦定理得，所以，由正弦定理得，所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知.在中，.在中，由正弦定理得，所以.所以的面積.20．（1）（2）【解析】

（1）先證得，設(shè)與交于點，在中解直角三角形求得，由此求得的值.（2）建立空間直角坐標系，利用平面和平面的法向量，計算出二面角的余弦值.【詳解】（1）由題意，，設(shè)與交于點，在中，可求得，則，可求得，則（2）以為原點，方向為軸，方向為軸，方向為軸，建立空間直角坐標系.，，，，，易得平面的法向量為.，，易得平面的法向量為.設(shè)二面角為，由圖可知為銳角，所以.即二面角的余弦值為.【點睛】本小題主要考查根據(jù)線面垂直求邊長，考查二面角的求法，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.21．（Ⅰ）3；（Ⅱ）.【解析】

(Ⅰ)函數(shù)，利用和差公式和倍角公式，化簡即可求得；(Ⅱ)由(Ⅰ)知函數(shù)，根據(jù)點是函數(shù)圖象的一個對稱中心，代入可得，利用余弦定理、基本不等式的性質(zhì)即可得出.【詳解】(Ⅰ)的最大值為最小正周期為(Ⅱ)由題意及