第十四章 整式的乘法與因式分解（知識(shí)歸納+題型突破）（原卷版）

第十四章整式的乘法與因式分解（知識(shí)歸納+題型突破）1.理解并掌握同底數(shù)冪的乘法．2.理解并掌握乘法公式的基本運(yùn)算．3.理解并掌握因式分解．一、同底數(shù)冪的乘法性質(zhì)(其中都是正整數(shù)).即同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.要點(diǎn)詮釋：（1）同底數(shù)冪是指底數(shù)相同的冪，底數(shù)可以是任意的實(shí)數(shù)，也可以是單項(xiàng)式、多項(xiàng)式.（2）三個(gè)或三個(gè)以上同底數(shù)冪相乘時(shí)，也具有這一性質(zhì)，即（都是正整數(shù)）.（3）逆用公式：把一個(gè)冪分解成兩個(gè)或多個(gè)同底數(shù)冪的積，其中它們的底數(shù)與原來(lái)的底數(shù)相同，它們的指數(shù)之和等于原來(lái)的冪的指數(shù)。即（都是正整數(shù)）.二、冪的乘方法則(其中都是正整數(shù)).即冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.要點(diǎn)詮釋：（1）公式的推廣：(，均為正整數(shù))（2）逆用公式：，根據(jù)題目的需要常常逆用冪的乘方運(yùn)算能將某些冪變形，從而解決問(wèn)題.三、積的乘方法則(其中是正整數(shù)).即積的乘方，等于把積的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘.要點(diǎn)詮釋：（1）公式的推廣：(為正整數(shù)).（2）逆用公式：逆用公式適當(dāng)?shù)淖冃慰珊?jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程，尤其是遇到底數(shù)互為倒數(shù)時(shí)，計(jì)算更簡(jiǎn)便.如：注意事項(xiàng)（1）底數(shù)可以是任意實(shí)數(shù)，也可以是單項(xiàng)式、多項(xiàng)式.（2）同底數(shù)冪的乘法時(shí)，只有當(dāng)?shù)讛?shù)相同時(shí),指數(shù)才可以相加.指數(shù)為1，計(jì)算時(shí)不要遺漏.（3）冪的乘方運(yùn)算時(shí)，指數(shù)相乘，而同底數(shù)冪的乘法中是指數(shù)相加.（4）積的乘方運(yùn)算時(shí)須注意，積的乘方要將每一個(gè)因式(特別是系數(shù))都要分別乘方.（5）靈活地雙向應(yīng)用運(yùn)算性質(zhì)，使運(yùn)算更加方便、簡(jiǎn)潔.（6）帶有負(fù)號(hào)的冪的運(yùn)算，要養(yǎng)成先化簡(jiǎn)符號(hào)的習(xí)慣.四、單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)，相同字母分別相乘，對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它們的指數(shù)作為積的一個(gè)因式.要點(diǎn)詮釋：（1）單項(xiàng)式的乘法法則的實(shí)質(zhì)是乘法的交換律和同底數(shù)冪的乘法法則的綜合應(yīng)用.（2）單項(xiàng)式的乘法方法步驟：積的系數(shù)等于各系數(shù)的積，是把各單項(xiàng)式的系數(shù)交換到一起進(jìn)行有理數(shù)的乘法計(jì)算，先確定符號(hào)，再計(jì)算絕對(duì)值；相同字母相乘，是同底數(shù)冪的乘法，按照“底數(shù)不變，指數(shù)相加”進(jìn)行計(jì)算；只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，要連同它的指數(shù)寫在積里作為積的一個(gè)因式.（3）運(yùn)算的結(jié)果仍為單項(xiàng)式，也是由系數(shù)、字母、字母的指數(shù)這三部分組成.（4）三個(gè)或三個(gè)以上的單項(xiàng)式相乘同樣適用以上法則.五、單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的運(yùn)算法則單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加.即.要點(diǎn)詮釋：（1）單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的計(jì)算方法，實(shí)質(zhì)是利用乘法的分配律將其轉(zhuǎn)化為多個(gè)單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的問(wèn)題.（2）單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘積仍是一個(gè)多項(xiàng)式，項(xiàng)數(shù)與原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同.（3）計(jì)算的過(guò)程中要注意符號(hào)問(wèn)題，多項(xiàng)式中的每一項(xiàng)包括它前面的符號(hào)，同時(shí)還要注意單項(xiàng)式的符號(hào).（4）對(duì)混合運(yùn)算，應(yīng)注意運(yùn)算順序，最后有同類項(xiàng)時(shí)，必須合并，從而得到最簡(jiǎn)的結(jié)果.六、多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的運(yùn)算法則多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加.即.要點(diǎn)詮釋：多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，仍得多項(xiàng)式.在合并同類項(xiàng)之前，積的項(xiàng)數(shù)應(yīng)該等于兩個(gè)多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)之積.多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的最后結(jié)果需化簡(jiǎn)，有同類項(xiàng)的要合并.特殊的二項(xiàng)式相乘：.七、平方差公式平方差公式：兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差.要點(diǎn)詮釋：在這里，既可以是具體數(shù)字，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.抓住公式的幾個(gè)變形形式利于理解公式.但是關(guān)鍵仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同項(xiàng)，又有“相反項(xiàng)”，而結(jié)果是“相同項(xiàng)”的平方減去“相反項(xiàng)”的平方.常見(jiàn)的變式有以下類型：（1）位置變化：如利用加法交換律可以轉(zhuǎn)化為公式的標(biāo)準(zhǔn)型（2）系數(shù)變化：如（3）指數(shù)變化：如（4）符號(hào)變化：如（5）增項(xiàng)變化：如（6）增因式變化：如八、完全平方公式完全平方公式：兩數(shù)和(差)的平方等于這兩數(shù)的平方和加上（減去）這兩數(shù)乘積的兩倍.要點(diǎn)詮釋：公式特點(diǎn)：左邊是兩數(shù)的和（或差）的平方，右邊是二次三項(xiàng)式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍.以下是常見(jiàn)的變形：九、添括號(hào)法則添括號(hào)時(shí)，如果括號(hào)前面是正號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都不變符號(hào)；如果括號(hào)前面是負(fù)號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都改變符號(hào).要點(diǎn)詮釋：添括號(hào)與去括號(hào)是互逆的，符號(hào)的變化也是一致的，可以用去括號(hào)法則檢查添括號(hào)是否正確.十、補(bǔ)充公式；；；.十一、因式分解把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式積的形式，叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式.要點(diǎn)詮釋：（1）因式分解只針對(duì)多項(xiàng)式，而不是針對(duì)單項(xiàng)式，是對(duì)這個(gè)多項(xiàng)式的整體，而不是部分，因式分解的結(jié)果只能是整式的積的形式.（2）要把一個(gè)多項(xiàng)式分解到每一個(gè)因式不能再分解為止.（3）因式分解和整式乘法是互逆的運(yùn)算，二者不能混淆.因式分解是一種恒等變形，而整式乘法是一種運(yùn)算.十二、公因式多項(xiàng)式的各項(xiàng)中都含有相同的因式，那么這個(gè)相同的因式就叫做公因式.要點(diǎn)詮釋：（1）公因式必須是每一項(xiàng)中都含有的因式.（2）公因式可以是一個(gè)數(shù)，也可以是一個(gè)字母，還可以是一個(gè)多項(xiàng)式.（3）公因式的確定分為數(shù)字系數(shù)和字母兩部分：①公因式的系數(shù)是各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù).②字母是各項(xiàng)中相同的字母，指數(shù)取各字母指數(shù)最低的.十三、提公因式法把多項(xiàng)式分解成兩個(gè)因式的乘積的形式，其中一個(gè)因式是各項(xiàng)的公因式，另一個(gè)因式是，即，而正好是除以所得的商，這種因式分解的方法叫提公因式法．要點(diǎn)詮釋：（1）提公因式法分解因式實(shí)際上是逆用乘法分配律，即.（2）用提公因式法分解因式的關(guān)鍵是準(zhǔn)確找出多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式.（3）當(dāng)多項(xiàng)式第一項(xiàng)的系數(shù)是負(fù)數(shù)時(shí)，通常先提出“—”號(hào)，使括號(hào)內(nèi)的第一項(xiàng)的系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)，同時(shí)多項(xiàng)式的各項(xiàng)都要變號(hào).（4）用提公因式法分解因式時(shí)，若多項(xiàng)式的某項(xiàng)與公因式相等或它們的和為零，則提取公因式后，該項(xiàng)變?yōu)椋骸埃?”或“－1”，不要把該項(xiàng)漏掉，或認(rèn)為是0而出現(xiàn)錯(cuò)誤.十四、公式法——平方差公式兩個(gè)數(shù)的平方差等于這兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，即：要點(diǎn)詮釋：（1）逆用乘法公式將特殊的多項(xiàng)式分解因式.（2）平方差公式的特點(diǎn)：左邊是兩個(gè)數(shù)（整式）的平方，且符號(hào)相反，右邊是兩個(gè)數(shù)（整式）的和與這兩個(gè)數(shù)（整式）的差的積.（3）套用公式時(shí)要注意字母a和b的廣泛意義，a、b可以是字母，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.十五、公式法——完全平方公式兩個(gè)數(shù)的平方和加上（減去）這兩個(gè)數(shù)的積的2倍，等于這兩個(gè)數(shù)的和（差）的平方．即，.形如，的式子叫做完全平方式.要點(diǎn)詮釋：（1）逆用乘法公式將特殊的三項(xiàng)式分解因式；（2）完全平方公式的特點(diǎn)：左邊是二次三項(xiàng)式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍.右邊是兩數(shù)的和（或差）的平方.（3）完全平方公式有兩個(gè)，二者不能互相代替，注意二者的使用條件.（4）套用公式時(shí)要注意字母a和b的廣泛意義，a、b可以是字母，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.【考點(diǎn)一同底數(shù)冪相乘】例題：（2023春·陜西西安·七年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）計(jì)算的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·陜西榆林·七年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算的結(jié)果是(

)A． B． C． D．2．（2023·上?！て吣昙?jí)假期作業(yè)）計(jì)算下列各式，結(jié)果用冪的形式表示．(1)；(2)；(3)．【考點(diǎn)二同底數(shù)乘法的逆用】例題：（2023春·江西吉安·七年級(jí)統(tǒng)考期中）若，則．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·廣東佛山·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知，，則．2．（2023春·廣東深圳·七年級(jí)?？计谀┮阎?，，則的值為．【考點(diǎn)三冪的乘方運(yùn)算】例題：（2023春·浙江紹興·七年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·河北唐山·七年級(jí)統(tǒng)考期中）計(jì)算：．2．（2023春·江蘇南京·七年級(jí)南京市百家湖中學(xué)?？茧A段練習(xí)）計(jì)算的結(jié)果是．3．（2023春·七年級(jí)單元測(cè)試）化簡(jiǎn)：（1）；（2）．【考點(diǎn)四冪的乘方的逆用】例題：（2023春·安徽六安·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如果，則．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·廣東茂名·七年級(jí)統(tǒng)考期中）若，，則．2．（2023春·廣東佛山·七年級(jí)校聯(lián)考期中）已知，則．【考點(diǎn)五積的乘方運(yùn)算】例題：（2023春·重慶南岸·七年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算：．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·廣東深圳·七年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算：．2．（2022春·七年級(jí)單元測(cè)試）計(jì)算：．【考點(diǎn)六積的乘方的逆用】例題：（2023春·江蘇揚(yáng)州·七年級(jí)?？计谀┯?jì)算的結(jié)果是．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·江西撫州·七年級(jí)南城縣第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）計(jì)算：．2．（2023春·山東濟(jì)南·七年級(jí)校考階段練習(xí)）若，，則代數(shù)式的值是．【考點(diǎn)七同底數(shù)冪的除法】例題：（2023·天津河?xùn)|·統(tǒng)考二模）計(jì)算的結(jié)果是.【變式訓(xùn)練】1．（2023·陜西漢中·統(tǒng)考二模）計(jì)算：．2．（2023春·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算：（1）；（2）；（3）．【考點(diǎn)八同底數(shù)冪除法的逆用】例題：（2023春·四川成都·七年級(jí)成都實(shí)外?？计谥校┤?，，則的值是．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·江蘇南京·七年級(jí)統(tǒng)考期末）若，，則．2．（2023春·江西吉安·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，，，則．【考點(diǎn)九計(jì)算單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式】例題：（2023·上?！て吣昙?jí)假期作業(yè)）計(jì)算：．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·陜西寶雞·七年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算的結(jié)果是（

）A． B． C． D．2．（2023春·湖南益陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算：．【考點(diǎn)十利用單項(xiàng)式乘法求字母或代數(shù)式的值】例題：（2023春·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）已知單項(xiàng)式與的積為，那么、的值為（

）A．， B．，C．， D．，【變式訓(xùn)練】1．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）若，則的值分別為（）A．3，2 B．2，3 C．3，3 D．2，22．（2023春·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）若單項(xiàng)式和3xy的積為，則ab的值為（）A．30 B．20 C．﹣15 D．15【考點(diǎn)十一計(jì)算單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式】例題：（2023春·廣東河源·七年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算：．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·廣東佛山·七年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算：．2．（2023春·廣西貴港·七年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算：【考點(diǎn)十二利用單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式求字母的值】例題：（2023春·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）已知中不含x的二次項(xiàng)，則．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）若的結(jié)果中不含項(xiàng)，則．2．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）若恒成立，則．【考點(diǎn)十三單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的應(yīng)用】例題：（2023春·貴州六盤水·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，大小兩個(gè)正方形邊長(zhǎng)分別為、．

(1)用含、的代數(shù)式陰影部分的面積；(2)若，求陰影部分面積．【變式訓(xùn)練】1．（2023·上海·七年級(jí)假期作業(yè)）王老師家買了一套新房，其結(jié)構(gòu)如圖所示（單位：）．他打算將臥室鋪上木地板，其他地方鋪地磚．(1)木地板和地磚分別需要多少平方米？(2)如果地磚的價(jià)格為每平方米x元，木地板的價(jià)格為每平方米元，那么王老師需要花多少錢？2．（2023秋·河北唐山·七年級(jí)唐山市第十二中學(xué)校考期末）如圖，將邊長(zhǎng)為的小正方形和邊長(zhǎng)為的大正方形放在同一平面上．(1)用、表示陰影部分的面積______．（寫最簡(jiǎn)結(jié)果）(2)計(jì)算當(dāng)，時(shí)，陰影部分面積．(3)試著說(shuō)明：白色部分面積與的大小無(wú)關(guān)．【考點(diǎn)十四計(jì)算多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式】例題：（2023秋·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算：．【變式訓(xùn)練】1．（2023·上?！て吣昙?jí)假期作業(yè)）計(jì)算：(1)；(2)；(3)．2．（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）計(jì)算下列各式：(1)；(2)；(3)；(4)．【考點(diǎn)十五(x+p)(x+q)型多項(xiàng)式乘法】例題：（2023春·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算：(1)(2)(3)(4)【變式訓(xùn)練】1．（2023春·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）探索題：(1)計(jì)算：＝，＝，＝；(2)發(fā)現(xiàn)：＝；并證明你的發(fā)現(xiàn)．2．（2023春·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）在運(yùn)算中，我們?nèi)绻芸偨Y(jié)規(guī)律，并加以歸納，得出數(shù)學(xué)公式，一定會(huì)提高解題的速度．在解答下列問(wèn)題中，請(qǐng)?zhí)骄科渲械囊?guī)律．(1)計(jì)算后填空：_________；_________；_________；(2)歸納猜想后填空：____________(3)運(yùn)用（2）中得到的結(jié)論，直接寫出計(jì)算結(jié)果：______．【考點(diǎn)十六多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式——化簡(jiǎn)求值】例題：（2023春·浙江金華·七年級(jí)統(tǒng)考期末）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·湖南益陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．2．（2023·吉林松原·統(tǒng)考二模）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中，．【類型十七利用乘法公式進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算】例題：（2023春·廣西北?！て吣昙?jí)統(tǒng)考期中）用簡(jiǎn)便方法計(jì)算：(1)(2)【變式訓(xùn)練】1．（2023春·北京海淀·七年級(jí)校考期末）用簡(jiǎn)便方法計(jì)算：．2．（2023春·江蘇常州·七年級(jí)統(tǒng)考期中）用簡(jiǎn)便方法計(jì)算：(1)(2)