廣東省汕尾市2025屆高三下學期一模數(shù)學試題 含解析

汕尾市學年度普通高中畢業(yè)班綜合測試（一）數(shù)學本試題共4頁，考試時間分鐘，滿分分注意事項：答題前，考生先將自己的信息填寫清楚、準確，將條形碼準確粘貼在條形碼粘貼處.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效.帶、刮紙刀考試結(jié)束后，請將本試題及答題卡交回.85分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】求得集合，利用交集的意義可求解.【詳解】，，則.故選：D.2.已知，則（）A.2B.C.4D.【答案】C【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法法則求得復(fù)數(shù)，可求得.【詳解】因為，第1頁/共20頁所以，則.故選：C.3.已知向量，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)平面向量的坐標運算求得向量的坐標，利用向量共線的條件的坐標表示得到方程，求解可得.【詳解】因，，故，又，故得故選：A.4.小王數(shù)學期末考試考了表揚和受媽媽表揚獨立，則小王被表揚的概率為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】相互獨立事件的概率，采用乘法公式，正面分類復(fù)雜，求對立事件（小王不被表揚）的概率可得解.【詳解】記小王受到爸爸表揚為事件，小王受到媽媽表揚為事件，小王受到表揚為事件，小王同學受爸爸表揚和受媽媽表揚相互獨立，則.故選：C.5.已知數(shù)列的前項和為，滿足，則下列判斷正確的是（）A.數(shù)列為等差數(shù)列B.C.數(shù)列存在最大值D.數(shù)列存在最大值【答案】D第2頁/共20頁【解析】【分析】利用，可求通項公式判斷AB；由可知單調(diào)性判斷CD.【詳解】由可知，當時，，因為，所以，故數(shù)列是從第二項開始的等差數(shù)列，故A錯誤.將的通項公式可得，故B錯誤.由知，數(shù)列為遞增數(shù)列，不存在最大值，故C錯誤.由知，數(shù)列為遞減數(shù)列，故存在最大值，故D正確.故選：D.6.已知是銳角，，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由聯(lián)立可得.【詳解】由得，由得，化簡得，得故選：B.7.已知直線是雙曲線的一條漸近線，是坐標原點，是的焦第3頁/共20頁點，過點作垂直于直線交于點的面積是，則的方程為（）AB.C.D.【答案】B【解析】【分析】由題意可得，求解可得雙曲線方程.【詳解】由題意知，解得，則雙曲線方程為.故選：B.8.已知正三棱錐的底面是邊長為的正三角形，高為2，則該三棱錐的外接球的體積為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】通過球心在三棱錐內(nèi)、外兩種情況，結(jié)合勾股定理求得半徑即可求解.【詳解】如圖，若球心在三棱錐內(nèi)，設(shè)為底面的外接圓的圓心.球的半徑為，則.第4頁/共20頁因，所以，解得..若球心在三棱錐外，則，同理由解得，此時，不符合題意.故選：A.36分在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列函數(shù)中是奇函數(shù)且是周期函數(shù)的是（）A.B.C.D.【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域及奇偶性的定義和周期函數(shù)的定義即可判斷.【詳解】若，定義域為，則是奇函數(shù)，是周期函數(shù)，故A正確；若，則，故不是奇函數(shù)，故B錯誤；若，定義域為，則，故不是奇函數(shù)，故C錯誤；若，定義域為，則是奇函數(shù)，是周期函數(shù)，故D正確.第5頁/共20頁故選：AD.10.如圖，在棱長為的正方體中，點滿足，則下列說法正確的是（）A.若，則平面B.若，則點的軌跡長度為C.若，則存在，使D.若，則存在，使平面【答案】ABD【解析】C選項可做反解驗證，以垂直為條件運算；D選項為探究，可假設(shè)存在，以線面垂直為條件求解驗證判別.【詳解】對于A，若，則，則點在線段上，如上圖.因平面平面,且平面平面,平面平面,故因平面，平面,故平面，同理可證平面，第6頁/共20頁因平面，平面,且,故有平面平面，又因為平面，所以平面，故A正確；對于B，若，則（為的中點）如上圖.又因為，所以.故點的軌跡長度為，故B正確；對于C，若，則，所以，所以點在線段上（如上圖）.假設(shè)，則，即，化簡得，該方程無解，所以不存在，故C錯誤；第7頁/共20頁對于D，如上圖，設(shè)為的中點，當時，則，即，建立如圖所示的空間直角坐標系.則,.所以.假設(shè)平面，則即解得.故D正確.故選:.已知函數(shù)有兩個極值點，則（）A.或B.C.存在實數(shù)，使得D.【答案】BD【解析】AB化為對勾函數(shù)或二次函數(shù)，利用對勾函數(shù)和二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)快速的求解；C選項，解法1：先利用整體代入法，消，再利用單調(diào)性證明；解法2：利用為極小值點，通過證明；D選項，利用消元，轉(zhuǎn)化為，利用單調(diào)性證明；第8頁/共20頁【詳解】易知，令，則.令，則.設(shè)，由對勾函數(shù)的圖象可知：當時，與的圖象有兩個交點，因為，故不成立，故A錯誤；設(shè)，則①，設(shè)為①式的兩根，則，即②，③.由③式可知，所以，則，故B正確；解法1：由②式可知，令，則，則在上單調(diào)遞減，所以，故，所以不存實數(shù)使得，故C錯誤；解法2：，，，可得為區(qū)間的極小值點，則必有，故C錯誤；由③式可知，所以，要證，僅需證明成立.第9頁/共20頁令，則.則在上單調(diào)遞增，所以，故，故D正確.故選：BD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分.12.在的展開式中，所有項的系數(shù)和為__________.【答案】【解析】【分析】令，可得所有項的系數(shù)和.【詳解】令，可得所有項的系數(shù)和為.故答案為：.13.已知函數(shù)，則的最小值是__________.【答案】【解析】【分析】分別求出函數(shù)在各段上的最小值，再比較即可求出．【詳解】當時，單調(diào)遞減，所以.當時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)增，所以.綜上所述，的最小值是.故答案為：.14.直線與橢圓交于兩點線的斜率是直線斜率的2倍時，__________.【答案】第10頁/共20頁【解析】【分析】直曲聯(lián)立，可得方程兩根的和與積，點坐標已知，表達與的斜率之積，可得定值，要求參數(shù)的范圍，需要構(gòu)建兩根和與積之間的等量關(guān)系，與的斜率乘積代換即可實現(xiàn).【詳解】設(shè)，由可知.由知，，解得.，①，②.又，，即，化簡得，將①②代入上式可得，解得或，滿足.當時，直線經(jīng)過橢圓右頂點，不合題意，舍去.綜上所述.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在①；②這兩個條件中任選一個，補充在下面的橫線上，并解答.記的內(nèi)角所對的邊分別是，已知__________.（1）求.（2）設(shè)為，求的面積.【答案】（1）第11頁/共20頁（2）.【解析】1若選擇條件②，等式右側(cè)據(jù)正弦定理邊化角，交叉相乘做恒等變換可得解；小問2定理求兩邊的乘積即可.【小問1詳解】選擇條件①：.由正弦定理得，所以.由余弦定理，得.因為，所以.選擇條件②：因為，所以，即.由正弦定理得，即.因為，所以，所以.因為，所以，所以.因為，所以.【小問2詳解】連接，因為點是內(nèi)心，所以.因為，所以，第12頁/共20頁所以，所以.由余弦定理得，即，解得，所以.16.如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，平面，平面平面.（1）證明：平面.（2）若為的中點，求到平面的距離.【答案】（1）證明見解析（2）.【解析】【分析】(1)利用面面垂直的性質(zhì),在平面中,作,證明平面,再利用線面垂直證明；(2)求到平面的距離,首先需證明平面,轉(zhuǎn)化為點到平面的距離,再利用建系法或者等體積法求解；【小問1詳解】證明：如圖,在平面內(nèi)作,交于點.因為平面平面,平面平面平面,所以平面,則.因為平面,所以,因為平面,所以平面.【小問2詳解】解：如圖，連接交于點,連接.易知為的中位線,所以.第13頁/共20頁因為平面平面,所以平面,所以到平面的距離,即為點到平面的距離.由（1）知平面,所以.因為,所以.又因為平面,所以兩兩垂直.因為,所以.為坐標原點,所在直線分別為軸建立空間直角坐標系.則,所以,.設(shè)平面的法向量為,則即取,則,所以平面的一個法向量為.則點到平面的距離,即到平面的距離為平面,所以,因為平面,所以,所以是直角三角形.所以,因為是斜邊的中點,所以.第14頁/共20頁則.設(shè)點到平面的距離為,則,解得到平面的距離為.17.如圖，在平面直角坐標系中，已知橢圓的左、右、上、下頂點分別為.設(shè)為上并且位于第一象限的兩點，滿足.（1）若交軸于，且，求橢圓的離心率.（2）在（1）的條件下，為的中點，直線交于點（其中在軸上方）.證明：.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】1）先應(yīng)用平行得出角的值，再結(jié)合計算得出離心率；（2）先設(shè)點，結(jié)合得出，最后由點在橢圓上計算得證.【小問1詳解】因為，所以.所以，則，第15頁/共20頁則，解得，則.【小問2詳解】由（1）知，.設(shè)點，因，所以存在，使，則.因為是的中點，所以.又因為三點共線，所以存在，使.令，則，則由點在橢圓上得，整理得，.因為點在橢圓上，所以，整理得.所以.【點睛】關(guān)鍵點點睛：證明的關(guān)鍵點是應(yīng)用點在橢圓上得出計算化簡求值.18.購買盲盒成為當下年輕人的潮流之一?其最吸引人的地方是因為盒子上沒有標注物品具體信息，買家只有打開才會知道自己買到了什么.某商店推出種款式不同的盲盒，購買規(guī)則及概率如下：每次購買一個，且買到任意一種款式的盲盒是等可能的.小劉特別喜歡種款式中的一種.（1）若種款式的盲盒各有一個.（i）求小劉第二次才抽到特別喜歡的款式的概率.（ii）設(shè)小劉抽到特別喜歡的款式所需次數(shù)為，求的數(shù)學期望.第16頁/共20頁（2.商店為了滿足客戶的需求，引進了保底機制：在抽取前指定一個款式，若前次未抽出指定款式，則第次必定抽出指定款式.設(shè)為小劉抽到某指定款式所需的次數(shù)，求的數(shù)學期望（參考數(shù)據(jù)：，結(jié)果保留整數(shù)）.【答案】（1i）ii）（2）【解析】1iii）由題知的可能取值為，利用古典概率公式求出相應(yīng)取值對應(yīng)的概率，即可求出分布列，再利用期望的計算公式，即可求解；（2）根據(jù)條件，求出的分布列，進而求出，再利用錯位相減法，即可求解.【小問1詳解】（i）設(shè)小劉第次抽到特別喜歡的款式為事件.則小劉第二次才抽到特別喜歡的款式的概率為.（也可以用）（ii）的可能取值為，則，所以的分布列為121920則.【小問2詳解】記的可能取值為.因為前9次（包含第9次）沒有保底，則，其中，第17頁/共20頁，所以的分布列為12910則.記，則，兩式相減，得，所以.【點睛】關(guān)鍵點點晴，本題的關(guān)鍵在于第（2）問，求得后，利用錯位相減法求解.19.把一列函數(shù)按一定次序排列稱為函數(shù)列，記為.例如：函數(shù)列可以記為.記為的導函數(shù).（1）若.證明：為等差數(shù)列.（2）已知定義在上的函數(shù)列滿足，且對任意的，都有.（i）設(shè)，證明：充要條件是.（ii）取定正數(shù)，使數(shù)列是首項和公比均為的等比數(shù)列，證明：.【答案】（1）證明見解析；（2iii）證明見解析【解析】1）求導得，利用等差數(shù)列的定義判斷即可；（2在時，i明充分性與必要性即可.（ii）由題意可得，只需證，構(gòu)造函數(shù)，第18頁/共20頁求導利用單調(diào)性可得，求解即可.【小問1詳解】由題知，所以