專題01 集合新定義問題（學生版）

高考數學高考數學勤思篤學勤思篤學勤思篤學勤思篤學專題01集合新定義問題以集合為背景的創(chuàng)新問題是考試創(chuàng)新題型的一個熱點，此類問題多以“問題”為核心，以“探究”為途徑，以“發(fā)現”為目的，這類試題只是以集合為依托，常在創(chuàng)新集合定義、運算、性質等方面命題，考查考生理解問題、解決創(chuàng)新問題的能力．題型一與集合定義有關的創(chuàng)新問題【例1】若對任意，均有，就稱集合是伙伴關系集合．設集合，則的所有非空子集中，具有伙伴關系的集合的個數為（

）A．15 B．16 C．32 D．128【解題技法】與集合新定義有關的創(chuàng)新問題是通過重新定義相應的集合，對集合的知識加以深入地創(chuàng)新，結合原有集合的相關知識和相應數學知識，來解決新定義的集合創(chuàng)新問題，遇到新定義問題，應耐心讀題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質；按新定義的要求，“照章辦事”逐步分析、驗證、運算，使問題得以解決．【跟蹤訓練】若對任意，，則稱A為“影子關系”集合，下列集合為“影子關系”集合的是（

）A． B．C． D．題型二與集合運算有關的創(chuàng)新問題【例2】如圖所示的Venn圖中，、是非空集合，定義集合為陰影部分表示的集合．若，，則（

）A． B．C． D．【解題技法】與集合運算有關的創(chuàng)新問題是按照一定的數學規(guī)則和要求給出新的集合運算規(guī)則，并按照此集合運算規(guī)則和要求結合相關知識進行邏輯推理和計算等，從而達到解決問題的目的．【跟蹤訓練】（2024·廣東珠海高一期末）對于的兩個非空子集，定義運算，則（

）A．B．C．若，則D．表示一個正方形區(qū)域題型三與集合性質有關的創(chuàng)新問題【例3】設P是一個數集，且至少含有兩個數．若對于任意，都有，且若，則，則稱P是一個數域．例如，有理數集Q是數域．下列命題正確的是（

）A．數域必含有0，1兩個數B．整數集是數域C．若有理數集，則數集M一定是數域D．數域中有無限多個元素【解題技法】與集合性質有關的問題是利用創(chuàng)新集合中給定的定義與性質來處理問題，通過創(chuàng)新性質，結合相應的數學知識來解決有關的集合性質的問題．【跟蹤訓練】在整數集Z中，被5除所得余數為k的所有整數組成一個“類”，記為[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0,1,2,3,4.給出如下三個結論：①2023∈[3]；②－3∈[3]；③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]．其中，正確結論的序號是________．題型四與數列交匯的創(chuàng)新問題【例3】（2023·北京·高考真題）已知數列的項數均為m，且的前n項和分別為，并規(guī)定．對于，定義，其中，表示數集M中最大的數.(1)若，求的值；(2)若，且，求；(3)證明：存在，滿足使得．【解題技法】若新定義與數列有關，可得利用數列的遞推關系式，結合數列的相關知識進行求解，多通過構造的分法轉化為等差、等比數列問題求解，求解過程靈活運用數列的性質，準確應用相關的數列知識.【跟蹤訓練】（2024·北京·高考真題）設集合．對于給定有窮數列，及序列，，定義變換：將數列的第項加1，得到數列；將數列的第列加，得到數列…；重復上述操作，得到數列，記為．(1)給定數列和序列，寫出；(2)是否存在序列，使得為，若存在，寫出一個符合條件的；若不存在，請說明理由；(3)若數列的各項均為正整數，且為偶數，證明：“存在序列，使得為常數列”的充要條件為“”．1．定義兩集合的差集：且，已知集合，，則的子集個數是（

）個．A．2 B．4 C．8 D．162．德國數學家康托爾在其著作《集合論》中給出正交集合的定義：若集合A和B是全集U的子集，且無公共元素，則稱集合互為正交集合，規(guī)定空集是任何集合的正交集合．若全集，則集合A關于集合U的正交集合B的個數為（

）A．8 B．16 C．32 D．643．如圖所示，，是非空集合，定義集合為陰影部分表示的集合．若，，，，則為（

）A． B．C．或 D．或4．已知集合（），若集合，且對任意的，存在使得，其中，，則稱集合A為集合M的基底.下列集合中能作為集合的基底的是（

）A． B． C． D．5．（多選）群論，是代數學的分支學科，在抽象代數中．有重要地位，且群論的研究方法也對抽象代數的其他分支有重要影響，例如一般一元五次及以上的方程沒有根式解就可以用群論知識證明．群的概念則是群論中最基本的概念之一，其定義如下：設G是一個非空集合，“．”是G上的一個代數運算，如果該運算滿足以下條件：①對所有的a、，有；②、b、，有；③，使得，有，e稱為單位元；④，，使，稱a與b互為逆元．則稱G關于“·”構成一個群．則下列說法正確的有（

）A．關于數的乘法構成群B．自然數集N關于數的加法構成群C．實數集R關于數的乘法構成群D．關于數的加法構成群6．設是整數集的一個非空子集，對于，若且，則是的一個“孤立元”，給定，由的3個元素構成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有個．7.（2022·北京·高考真題）已知為有窮整數數列．給定正整數m，若對任意的，在Q中存在，使得，則稱Q為連續(xù)可表數列．(1)判斷是否為連續(xù)可表數列？是否為連續(xù)可表數列？說明理由；(2)若為連續(xù)可表數列，求證：k的最小值為4；(3)若為連續(xù)可表數列，且，求證：．8．已知S是全體復數集的一個非空子集，如果，總有，則稱S是數環(huán)．設是數環(huán)，如果①內含有一個非零復數；②且，有，則稱是數域．由定義知有理數集是數域．(1)求元素個數最小的數環(huán)；(2)證明：記，證明：是數域；(3)若是數域，判斷是否是數域，請說明理由．9．已知數列，記集合.(1)若數列為，寫出集合；(2)若，是否存在，使得？若存在，求出一組符合條件的；若不存在，說明理由；(3)若，把集合中的元素從小到大排列，得到的新數列為，若，求的最大值．10．設正整數，，，這里.若，且，則稱具有性質.(1)當時，若具有性質，且，，，令，寫出的所有可能值；(2)若具有性質：①求證：；②求的值.11．設，若非空集合同時滿足以下4個條件，則稱是“無和劃分”:①；②；③，且中的最小元素大于中的最小元素；④，必有.(1)若，判斷是否是“無和劃分”，并說明理由.(2)已知是“無和劃分”（）.①證明:對于任意，都有；②若存在，使得，記,證明：中的所有奇數都屬于.12．設集合，如果對于的每一個含有個元素的子集P，P中必有4個元素的和等于，稱正整數為集合的一個“相關數”.(1)當時，判斷5和6是否為集合的“相關數”，說明理由；(2)若為集合的“相