專題08 概率與統(tǒng)計(jì)新定義問題（教師版）

高考數(shù)學(xué)高考數(shù)學(xué)勤思篤學(xué)勤思篤學(xué)勤思篤學(xué)勤思篤學(xué)專題08概率與統(tǒng)計(jì)新定義問題解概率與統(tǒng)計(jì)下的新定義題，就是要細(xì)讀定義關(guān)鍵詞，理解本質(zhì)特征，適時(shí)轉(zhuǎn)化為“熟悉”問題．總之，解決此類問題，取決于已有知識(shí)、技能、數(shù)學(xué)思想的掌握和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累，還需要不斷的實(shí)踐和反思，不然就談不上“自然”的、完整的解題．題型一排列組合新定義【例1】對(duì)于各數(shù)互不相等的正數(shù)數(shù)組（是不小于2的正整數(shù)），如果在時(shí)有，則稱與是該數(shù)組的一個(gè)“逆序”，一個(gè)數(shù)組中所有“逆序”的個(gè)數(shù)稱為此數(shù)組的“逆序數(shù)”．例如，數(shù)組中有逆序“2，1”，“4，3”，“4，1”，“3，1”，其“逆序數(shù)”等于4．若各數(shù)互不相等的正數(shù)數(shù)組的“逆序數(shù)”是2，則的“逆序數(shù)”是（

）A．13 B．24 C．15 D．25【答案】A【解析】在各數(shù)互不相等的正數(shù)數(shù)組（是不小于2的正整數(shù)）中任取2個(gè)數(shù)，這2個(gè)數(shù)要么“順序”（當(dāng)時(shí)有），要么“逆序”，因此“順序數(shù)”與“逆序數(shù)”的和為，各數(shù)互不相等的正數(shù)數(shù)組的“逆序數(shù)”是2，則其“順序數(shù)”為，顯然數(shù)組的“逆序數(shù)”等于數(shù)組的“順序數(shù)”，所以的“逆序數(shù)”是13.故選：A【跟蹤訓(xùn)練】由0和1組成的序列稱為0－1序列，序列中數(shù)的個(gè)數(shù)稱為這個(gè)序列的長度，如01011是一個(gè)長度為5的0－1序列，在長度為8的0－1序列中，所有1互不相鄰的序列個(gè)數(shù)為（

）A．20 B．54 C．55 D．280【答案】B【解析】當(dāng)長度為8的0－1序列中，若有一個(gè)1，則有種；當(dāng)長度為8的0－1序列中，若有兩個(gè)1，則有種；當(dāng)長度為8的0－1序列中，若有三個(gè)1，則有種；當(dāng)長度為8的0－1序列中，若有四個(gè)1，則有種；當(dāng)長度為8的0－1序列中，若有超過四個(gè)1，一定不滿足題意；所以共有種.故選：B題型二二項(xiàng)式定理新定義【例2】產(chǎn)品抽樣檢查中經(jīng)常遇到一類實(shí)際問題，假定在件產(chǎn)品中有件不合格品，在產(chǎn)品中隨機(jī)抽件做檢查，發(fā)現(xiàn)件不合格品的概率為，其中是與中的較小者，在不大于合格品數(shù)（即）時(shí)取0，否則取與合格品數(shù)之差，即根據(jù)以上定義及分布列性質(zhì)，請(qǐng)計(jì)算當(dāng)時(shí)，；若，請(qǐng)計(jì)算.（兩空均用組合數(shù)表示）【答案】(或)【解析】當(dāng)時(shí)，,因?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，因?yàn)?所以,所以.【跟蹤訓(xùn)練】中國南北朝時(shí)期的著作《孫子算經(jīng)》中，對(duì)同余除法有較深的研究．設(shè)，，為整數(shù)，若和同時(shí)除以所得的余數(shù)相同，則稱和對(duì)模同余，記為．若，，則的值可以是（

）A．2021 B．2022 C．2023 D．2024【答案】C【解析】，所以除以的余數(shù)為，選項(xiàng)中除以余數(shù)為的數(shù)只有.故選：C.題型三概率新定義【例3】條件概率與條件期望是現(xiàn)代概率體系中的重要概念.近年來，隨著人們對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的不斷觀察和研究，條件概率和條件期望已經(jīng)被廣泛的利用到日常生產(chǎn)生活中.定義：設(shè)X，Y是離散型隨機(jī)變量，則X在給定事件條件下的期望為，其中為X的所有可能取值集合，表示事件“”與事件“”都發(fā)生的概率．某射擊手進(jìn)行射擊訓(xùn)練，每次射擊擊中目標(biāo)的概率均為p（），射擊進(jìn)行到擊中目標(biāo)兩次時(shí)停止.設(shè)表示第一次擊中目標(biāo)時(shí)的射擊次數(shù)，表示第二次擊中目標(biāo)時(shí)的射擊次數(shù)．(1)求，；(2)求，．【解】（1）由題設(shè)，，.（2）由題設(shè)，；同（1），，，所以.【跟蹤訓(xùn)練】混管病毒檢測是應(yīng)對(duì)單管病毒檢測效率低下的問題，出現(xiàn)的一個(gè)創(chuàng)新病毒檢測策略，混管檢測結(jié)果為陰性，則參與該混管檢測的所有人均為陰性，混管檢測結(jié)果為陽性，則參與該混管檢測的人中至少有一人為陽性．假設(shè)一組樣本有N個(gè)人，每個(gè)人患病毒的概率相互獨(dú)立且均為．目前，我們采用K人混管病毒檢測，定義成本函數(shù)，這里X指該組樣本N個(gè)人中患病毒的人數(shù)．(1)證明：；(2)若，．證明：某混管檢測結(jié)果為陽性，則參與該混管檢測的人中大概率恰有一人為陽性．【解】（1）由題意可得滿足二項(xiàng)分布，由知，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；（2）記（混管中恰有1例陽性|混管檢測結(jié)果為陽性），（混管中恰有i例陽性）=，，令，，則，當(dāng)時(shí)，，為單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，為單調(diào)遞增，所以，且，，所以當(dāng)，即，兩邊取自然對(duì)數(shù)可得，所以當(dāng)，時(shí)，所以，則．故某混管檢測結(jié)果為陽性，則參與該混管檢測的人中大概率恰有一人為陽性.題型四統(tǒng)計(jì)方法新定義【例4】為了精準(zhǔn)地找到目標(biāo)人群，更好地銷售新能源汽車，某4S店對(duì)近期購車的男性與女性各100位進(jìn)行問卷調(diào)查，并作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得到如下列聯(lián)表：購買新能源汽車（人數(shù)）購買傳統(tǒng)燃油車（人數(shù)）男性女性(1)當(dāng)時(shí)，將樣本中購買傳統(tǒng)燃油車的購車者按性別采用分層抽樣的方法抽取6人，再從這6人中隨機(jī)抽取3人調(diào)查購買傳統(tǒng)燃油車的原因，記這3人中女性的人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；(2)定義，其中為列聯(lián)表中第i行第j列的實(shí)際數(shù)據(jù)，為列聯(lián)表中第i行與第j列的總頻率之積再乘以列聯(lián)表的總頻數(shù)得到的理論頻數(shù).基于小概率值的檢驗(yàn)規(guī)則：首先提出零假設(shè)（變量X，Y相互獨(dú)立〉，然后計(jì)算的值，當(dāng)時(shí)，我們推斷不成立，即認(rèn)為X和Y不獨(dú)立，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過；否則，我們沒有充分證據(jù)推斷不成立，可以認(rèn)為X和Y獨(dú)立.根據(jù)的計(jì)算公式，求解下面問題：（i）當(dāng)時(shí)，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，請(qǐng)分析性別與是否喜愛購買新能源汽車有關(guān)；（ⅱ）當(dāng)時(shí)，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，若認(rèn)為性別與是否喜愛購買新能源汽車有關(guān)，則至少有多少名男性喜愛購買新能源汽車?附：0.10.0250.0052.7065.0247.879【解】（1）當(dāng)m=0時(shí)，用分層抽樣的方法抽取購買傳統(tǒng)燃油車的6人中，男性有2人，女性有4人.由題意可知，X的可能取值為1，2，3.X的分布列如下表X123.（2）（i）零假設(shè)為：性別與是否購買新能源汽車獨(dú)立，即性別與是否購買新能源汽車無關(guān)聯(lián).當(dāng)m=0時(shí)，，，∴根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為性別與是否購買新能源汽車有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過0.005.（ⅱ）由題意可知，整理得，，所以的最大值為4，又，至少有76名男性購買新能源汽車.【跟蹤訓(xùn)練】在學(xué)業(yè)測試中，客觀題難度的計(jì)算公式為，其中為第i題的難度，為答對(duì)該題的人數(shù)，N為參加測試的總?cè)藬?shù).現(xiàn)對(duì)某校高三年級(jí)240名學(xué)生進(jìn)行一次測試，共5道客觀題.測試前根據(jù)對(duì)學(xué)生的了解，預(yù)估了每道題的難度，如下表所示：題號(hào)12345考前預(yù)估難度0.90.80.70.60.4測試后，隨機(jī)抽取了20名學(xué)生的答題數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下題號(hào)12345實(shí)測答對(duì)人數(shù)161614148(1)根據(jù)題中數(shù)據(jù)，估計(jì)這240名學(xué)生中第5題的實(shí)測答對(duì)人數(shù)；(2)定義統(tǒng)計(jì)量,其中為第i題的實(shí)測難度，為第i題的預(yù)估難度(i=1，2，…，n).規(guī)定：若，則稱該次測試的難度預(yù)估合理，否則為不合理.試據(jù)此判斷本次測試的難度預(yù)估是否合理.【解】（1）因?yàn)榈?題的實(shí)測難度為所以估計(jì)這240名學(xué)生中第5題的實(shí)測答對(duì)人數(shù)為（人）.（2）根據(jù)題干中數(shù)據(jù)可得：，故，.故本次測試的難度所估合理.1．第14屆國際數(shù)學(xué)教育大會(huì)在上海華東師范大學(xué)舉行，如圖是本次大會(huì)的會(huì)標(biāo)，會(huì)標(biāo)中“ICME-14”的下方展示的是八卦中的四卦3、7、4、4，這是中國古代八進(jìn)制計(jì)數(shù)符號(hào)，換算成現(xiàn)代十進(jìn)制是，正是會(huì)議計(jì)劃召開的年份，那么八進(jìn)制數(shù)換算成十進(jìn)制數(shù)，則換算后這個(gè)數(shù)的末位數(shù)字是（

）A．1 B．3 C．5 D．7【答案】C【解析】由進(jìn)位制的換算方法可知，八進(jìn)制換算成十進(jìn)制得：，因?yàn)槭?0的倍數(shù)，所以，換算后這個(gè)數(shù)的末位數(shù)字即為的末尾數(shù)字，由可得，末尾數(shù)字為5.故選：C2．在明代珠算發(fā)明之前，我們的先祖從春秋開始多是用算籌為工具來記數(shù)、列式和計(jì)算的．算籌實(shí)際上是一根根相同長度的小木棍，如圖是利用算籌表示數(shù)1～9的一種方法，例如：47可以表示為“”，已知用算籌表示一個(gè)不含“0”且沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)共有504種等可能的結(jié)果，則這個(gè)數(shù)至少要用8根小木棍的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】至少要用8根小木棍的對(duì)立事件為用5根，6根，7根這三種情況．用5根小木棍為1，2，6這一種情況，組成三位數(shù)包括6個(gè)樣本點(diǎn)，用6根有1，2，3；1，2，7；1，6，3；1，6，7這四種情況，每種情況包含6個(gè)樣本點(diǎn)，共24個(gè)樣本點(diǎn)用7根有1，2，4；1，2，8；1，6，4；1，6，8；1，3，7；2，6，7；2，6，3這七種情況，每種情況包含6個(gè)樣本點(diǎn)，共42個(gè)樣本點(diǎn)又表示一個(gè)不含“0”且沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有504種情況故至少要用8根小木棍的概率為1－，故選：D．3．英國數(shù)學(xué)家貝葉斯在概率論研究方面成就顯著，根據(jù)貝葉斯統(tǒng)計(jì)理論，隨機(jī)事件A，B存在如下關(guān)系：.若某地區(qū)一種疾病的患病率是0.05，現(xiàn)有一種試劑可以檢驗(yàn)被檢者是否患病.已知該試劑的準(zhǔn)確率為95%，即在被檢驗(yàn)者患病的前提下用該試劑檢測，有95%的可能呈現(xiàn)陽性；該試劑的誤報(bào)率為0.5%，即在被檢驗(yàn)者未患病的情況下用該試劑檢測，有0.5%的可能會(huì)誤報(bào)陽性.現(xiàn)隨機(jī)抽取該地區(qū)的一個(gè)被檢驗(yàn)者，已知檢驗(yàn)結(jié)果呈現(xiàn)陽性，則此人患病的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)檢驗(yàn)結(jié)果呈現(xiàn)陽性為事件，此人患病為事件，，，則.故選：C4．定義；各位數(shù)字之和為9的四位數(shù)叫“好運(yùn)數(shù)”，比如1008，2205，則所有“好運(yùn)數(shù)”的個(gè)數(shù)為（

）A．165 B．162 C．156 D．144【答案】A【解析】因?yàn)楦魑粩?shù)字之和為9的四位數(shù)叫好運(yùn)數(shù)，所以按首位數(shù)字分別計(jì)算：當(dāng)首位數(shù)字為9，則剩余三個(gè)數(shù)字分別為0，0，0，共有1個(gè)好運(yùn)數(shù)；當(dāng)首位數(shù)字為8，則剩余三個(gè)數(shù)字分別為1，0，0，共有3個(gè)好運(yùn)數(shù)；當(dāng)首位數(shù)字為7，則剩余三個(gè)數(shù)字分別為1，1，0或2，0，0，共有個(gè)好運(yùn)數(shù)；當(dāng)首位數(shù)字為6，則剩余三個(gè)數(shù)字分別為3，0，0或2，1，0或1，1，1，共有個(gè)好運(yùn)數(shù)；當(dāng)首位數(shù)字為5，則剩余三個(gè)數(shù)字分別為4，0，0或3，1，0或2，2，0或2，1，1，共有個(gè)好運(yùn)數(shù)；當(dāng)首位數(shù)字為4，則剩余三個(gè)數(shù)字分別為5，0，0或4，1，0或3，2，0或3，1，1或2，2，1，共有個(gè)好運(yùn)數(shù)；當(dāng)首位數(shù)字為3，則剩余三個(gè)數(shù)字分別為6，0，0或5，1，0或4，2，0或4，1，1或3，3，0或3，2，1或2，2，2，共有個(gè)好運(yùn)數(shù)；當(dāng)首位數(shù)字為2，則剩余三個(gè)數(shù)字分別為7，0，0或6，1，0或5，2，0或5，1，1或4，3，0或4，2，1或3，3，1或3，2，2，共有個(gè)好運(yùn)數(shù)；當(dāng)首位數(shù)字為1，則剩余三個(gè)數(shù)字分別為8，0，0或7，1，0或6，2，0或6，1，1或5，3，0或5，2，1或4，4，0或4，3，1或4，2，2或3，3，2，共有個(gè)好運(yùn)數(shù)；所以共有個(gè)好運(yùn)數(shù).故選：A.5．（多選）電子計(jì)算機(jī)是二十世紀(jì)最偉大的發(fā)明之一，當(dāng)之無愧地被認(rèn)為是迄今為止科學(xué)和技術(shù)所創(chuàng)造的最具影響力的現(xiàn)代工具，被廣泛地應(yīng)用于人們的工作和生活之中，計(jì)算機(jī)在進(jìn)行數(shù)的計(jì)算和處理加工時(shí)，內(nèi)部使用的是二進(jìn)制計(jì)數(shù)制，簡稱二進(jìn)制.一個(gè)十進(jìn)制數(shù)n（n∈N*）可以表示為二進(jìn)制數(shù)（a0a1a2…ak）2，即，其中a0=1，ai∈{0，1}，i=0，1，2，…k，k∈N*，用f（n）表示十進(jìn)制數(shù)n的二進(jìn)制表示1的個(gè)數(shù)，則（

）A．f（7）=2B．f（7）=3C．對(duì)于任意r∈N*，D．對(duì)于任意r∈N*，【答案】BC【解析】因?yàn)?，所以，所以，A錯(cuò)誤，B正確；設(shè)，則使得的有個(gè)，故，C正確，D錯(cuò)誤.故選：BC6．（多選）在次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)（即伯努利試驗(yàn)）中，每次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率為，則事件發(fā)生的次數(shù)服從二項(xiàng)分布，事實(shí)上，在無限次伯努利試驗(yàn)中，另一個(gè)隨機(jī)變量的應(yīng)用也很廣泛，即事件首次發(fā)生時(shí)試驗(yàn)進(jìn)行的次數(shù)，我們稱從“幾何分布”，經(jīng)過計(jì)算，由此推廣在無限次伯努利試驗(yàn)中，試驗(yàn)進(jìn)行到事件和都發(fā)生后停止，此時(shí)所進(jìn)行的試驗(yàn)次數(shù)記為，則，，那么下列說法正確的是（

）A． B．，C．的最大值為 D．【答案】BCD【解析】對(duì)A項(xiàng)，因?yàn)?，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)B項(xiàng)，表示進(jìn)行了次，前次未發(fā)生，所以，故B正確；對(duì)C項(xiàng)，，令，，所以，解得或（舍）當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，所以，即的最大值為，故C正確；對(duì)D項(xiàng)，所以①用代換得：②由①②得，故D正確.故選：BCD.7．除數(shù)函數(shù)（divisorfunction）的函數(shù)值等于n的正因數(shù)的個(gè)數(shù)，例如，，．則．【答案】【解析】因?yàn)?，它的因?shù)形如，其中，所以不同的因數(shù)有個(gè)，即.8．我們稱元有序?qū)崝?shù)組為維向量，為該向量的范數(shù).已知維向量，其中，，記范數(shù)為奇數(shù)的的個(gè)數(shù)為，則.（用含的式子表示，）【答案】【解析】當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，范數(shù)為奇數(shù)，則的個(gè)數(shù)為奇數(shù)，即的個(gè)數(shù)為，根據(jù)乘法原理和加法原理得到，，，兩式相減得到；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，范數(shù)為奇數(shù)，則的個(gè)數(shù)為偶數(shù)，即的個(gè)數(shù)為，根據(jù)乘法原理和加法原理得到，，，兩式相加得到.綜上所述：.9．某區(qū)域中的物種擁有兩個(gè)亞種（分別記為種和種）.為了調(diào)查該區(qū)域中這兩個(gè)亞種的數(shù)目，某生物研究小組計(jì)劃在該區(qū)域中捕捉個(gè)物種，統(tǒng)計(jì)其中種的數(shù)目后，將捕獲的生物全部放回，作為一次試驗(yàn)結(jié)果.重復(fù)進(jìn)行這個(gè)試驗(yàn)共次，記第次試驗(yàn)中種的數(shù)目為隨機(jī)變量.設(shè)該區(qū)域中種的數(shù)目為，種的數(shù)目為，每一次試驗(yàn)均相互獨(dú)立.(1)求的分布列；(2)記隨機(jī)變量.已知，；（ⅰ）證明：，；（ⅱ）該小組完成所有試驗(yàn)后，得到的實(shí)際取值分別為.數(shù)據(jù)的平均值，方差.采用和分別代替和，給出，的估計(jì)值.【解】（1）依題意，均服從完全相同的超幾何分布，故的分布列為.（2）（?。┯深}可知，，故，（ⅱ）由（?。┛芍木迪扔?jì)算的方差所以依題意有解得，．所以可以估計(jì)，．10．品酒師需定期接受酒味鑒別功能測試，通常采用的測試方法如下：拿出（且）瓶外觀相同但品質(zhì)不同的酒讓品酒師品嘗，要求其按品質(zhì)優(yōu)劣為它們排序；經(jīng)過一段時(shí)間，等其記憶淡忘之后，再讓其品嘗這瓶酒，并重新按品質(zhì)優(yōu)劣為它們排序．這稱為一輪測試，根據(jù)一輪測試中的兩次排序的偏離程度的高低為其評(píng)分．現(xiàn)分別以，，，…，表示第一次排序時(shí)被排在，，，…，的種酒在第二次排序時(shí)的序號(hào)，并令，則是對(duì)兩次排序的偏離程度的一種描述．下面取研究，假設(shè)在品酒師僅憑隨機(jī)猜測來排序的條件下，，，，等可能地為，，，的各種排列，且各輪測試相互獨(dú)立．（1）直接寫出的可能取值，并求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）若某品酒師在相繼進(jìn)行的三輪測試中，都有，則認(rèn)為該品酒師有較好的酒味鑒別功能．求出現(xiàn)這種現(xiàn)象的概率，并據(jù)此解釋該測試方法的合理性．【解】（1）的可能取值為，，，，，，，，，所以的分布列為從而的數(shù)學(xué)期望．（2）記“在相繼進(jìn)行的三輪測試中都有”為事件，“在某輪測試中有”為事件，則，又各輪測試相互獨(dú)立，，因?yàn)楸硎緝H憑隨機(jī)猜測得到較低偏離程度的結(jié)果的概率，而，該可能性非常