第08講 二次根式的乘除（知識(shí)解讀+題型精講+隨堂檢測(cè)）（原卷版）

第08講二次根式乘除知識(shí)點(diǎn)1：二次根式的乘法法則二次根式的乘法法則：（二次根式相乘，把被開(kāi)方數(shù)相乘，根指數(shù)不變）2.二次根式的乘法法則的推廣，即當(dāng)二次根式前面有系數(shù)時(shí)，可類比單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的法則進(jìn)行計(jì)算，即將系數(shù)之積作為系數(shù)，被開(kāi)方數(shù)之積作為被開(kāi)方數(shù)。3.二次根式的乘法法則的逆用（二次根式的乘法法則的逆用實(shí)為積的算數(shù)平方根的性質(zhì)）4.二次根式的乘法法則的逆用的推廣知識(shí)點(diǎn)2：二次根式的除法法則1.二次根式的除法法則（二次根式相除，把被開(kāi)方數(shù)相除，根指數(shù)不變）2.二次根式的除法法則的推廣注意：a≥0，b＞0時(shí)，a≥0，b＞0時(shí)，才有意義；如果被開(kāi)方數(shù)時(shí)帶分?jǐn)?shù)，應(yīng)先化成假分?jǐn)?shù)知識(shí)點(diǎn)3：最簡(jiǎn)二次根式最簡(jiǎn)二次根式的概念被開(kāi)方數(shù)不含分母被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)方開(kāi)得盡得因數(shù)或因式化簡(jiǎn)二次根式的一般方法方法舉例將被開(kāi)方數(shù)中能開(kāi)得盡得因數(shù)或因式進(jìn)行開(kāi)方化去根號(hào)下的分母若被開(kāi)方數(shù)中含有帶分?jǐn)?shù)，先將被開(kāi)方數(shù)化成假分?jǐn)?shù)若被開(kāi)方數(shù)中含有小數(shù)，先將小數(shù)化成分?jǐn)?shù)若被開(kāi)方數(shù)時(shí)分式，先將分式分母化成能轉(zhuǎn)化為平方的形式，再進(jìn)行開(kāi)方運(yùn)算(a＞0，b＞0，c＞0）被開(kāi)方數(shù)時(shí)多項(xiàng)式的要先因式分解（x≥0，y≥0）3.分母有理化分母有理化：當(dāng)分母含有根式時(shí)，依據(jù)分式的基本性質(zhì)化去分母中的根號(hào)。方法：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，將分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根號(hào)?！绢}型一：求字母的取值范圍】【典例1】（2023春?單縣期末）能使等式＝成立的條件是（）A．x＞0 B．x≥3 C．x≥0 D．x＞3【變式1-1】（2023春?淄博期末）若成立，則x的取值范圍是（）A．x≥2 B．x≤3 C．2≤x≤3 D．2＜x＜3【變式1-2】（2023春?興縣期中）若成立，則（）A．x＜6 B．0≤x≤6 C．x≥0 D．0≤x＜6【變式1-3】（2022秋?寧德期末）若，則（）A．x≥6 B．x≥0 C．0≤x≤6 D．x為一切實(shí)數(shù)【題型二：二次根式乘除的運(yùn)算】【典例2】（2023春?密云區(qū)期末）計(jì)算：2．【變式2-1】（2022秋?東平縣校級(jí)期末）【變式2-2】（2022春?湟中區(qū)校級(jí)月考）3×2．【變式2-3】（2022秋?蓮湖區(qū)期中）計(jì)算：2×÷．【變式2-4】（2022春?寧武縣期末）計(jì)算：（1）；（2）．【題型三：二次根式符號(hào)的化簡(jiǎn)】【典例5】（2022秋?嘉定區(qū)校級(jí)月考）計(jì)算：?+．【變式5-1】（2022秋?浦東新區(qū)期中）計(jì)算：?（﹣）÷（a＞0）【變式5-2】（2022秋?虹口區(qū)校級(jí)月考）化簡(jiǎn)：?÷．【變式5-3】（2022秋?虹口區(qū)校級(jí)期中）計(jì)算：3?÷（﹣）．【題型四：最簡(jiǎn)二次根式的判斷】【典例4】（2023春?東莞市期中）下列二次根式是最簡(jiǎn)二次根式的是（）A． B． C． D．【變式4-1】（2023春?正陽(yáng)縣期末）下列二次根式中，是最簡(jiǎn)二次根式的是（）A． B． C． D．【變式4-2】（2023春?金安區(qū)校級(jí)期末）若是最簡(jiǎn)二次根式，則a的值可能是（）A．﹣2 B．2 C． D．【題型五：化簡(jiǎn)最簡(jiǎn)二次根式】【典例5】（2023春?岱岳區(qū)期末）化簡(jiǎn)＝．【變式5-1】（2022秋?阜寧縣期末）化簡(jiǎn)＝．【變式5-2】（2023春??？悼h期中）化簡(jiǎn)：＝．【題型六：已知最簡(jiǎn)二次根式求參數(shù)】【典例6】（2023春?文登區(qū)期末）若與最簡(jiǎn)二次根式是同類二次根式，則a的值為．【變式6-1】（2023春?同江市期中）若最簡(jiǎn)二次根式與最簡(jiǎn)二次根式相等，則m+n＝．【變式6-2】（2023春?虞城縣期末）寫出一個(gè)正整數(shù)n，使是最簡(jiǎn)二次根式，則n可以是．【題型七：分母有理化】【典例7】（2023春?老河口市期中）化簡(jiǎn)：＝．【變式7-1】（2022春?沂水縣期中）計(jì)算的結(jié)果是．【變式7-2】（2022春?靈寶市校級(jí)月考）計(jì)算：+＝．【變式7-3】（2022秋?杏花嶺區(qū)期中）4﹣的倒數(shù)是．【變式7-4】（2021秋?覃塘區(qū)期末）計(jì)算：＝．【題型八：比較二次根式的大小】【典例8】比較大?。海咀兪?】（2022秋?裕華區(qū)期末）若a＝3﹣，b＝，則ab（用“＜”，“＞”或“＝”填空）．【題型九：分母有理化的應(yīng)用】【典例9】（2023春?惠城區(qū)校級(jí)期中）數(shù)學(xué)老師讓同學(xué)們根據(jù)二次根式的相關(guān)內(nèi)容編寫一道題，以下是數(shù)學(xué)老師選出的兩道題和她自己編寫的一道題．先閱讀，再回答問(wèn)題．（1）小青編的題．觀察下列等式：；；直接寫出以下算式的結(jié)果：＝；（2）小明編的題，由二次根式的乘法可知：，，再根據(jù)平方根的定義可得，，，直接寫出以下算式的結(jié)果：＝；（3）數(shù)學(xué)老師編的題，根據(jù)你的發(fā)現(xiàn)，完成以下計(jì)算：．【變式9-1】（2023春?百色期末）觀察下列一組式的變形過(guò)程，然后回答問(wèn)題：例1：﹣1，例2：＝，，，…（1）＝，＝；（2）請(qǐng)你用含n（n為正整數(shù)）的關(guān)系式表示上述各式子的變形規(guī)律；（3）利用上面的結(jié)論，求下列式子的值．．【變式9-2】（2023春?雙柏縣期中）閱讀下面問(wèn)題：＝＝﹣1；＝＝﹣；＝＝﹣2．（1）求的值；（2）計(jì)算：+++…++．【變式9-3】（2022春?諸城市校級(jí)期中）先閱讀下面兩段材料，然后解答問(wèn)題：材料一：在進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)與運(yùn)算時(shí)，我們有時(shí)會(huì)碰上如，，，一樣的式子，分母中含有根號(hào)，其實(shí)我們還可以將其進(jìn)一步化簡(jiǎn)：；；．以上這種化簡(jiǎn)的過(guò)程叫分母有理化．解答問(wèn)題：（1）化簡(jiǎn)：＝；＝；＝；（2）利用上面所提供的解法，請(qǐng)化簡(jiǎn)：．材料二：形如的化簡(jiǎn)，只要我們找到兩個(gè)正數(shù)a，b，使a+b＝m，ab＝n，使得，，那么便有：例如：化簡(jiǎn)解：首先把化為，這里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即：，所以．解答問(wèn)題：（3）填空：＝，＝；（4）化簡(jiǎn)：（請(qǐng)寫出化簡(jiǎn)過(guò)程）．1．（2023春?孝感期末）＝（）A． B．2 C．﹣2 D．42．（2023春?大連期末）下列計(jì)算正確的是（）A．＝﹣3 B．÷＝2 C．＝2 D．＝103．（2022秋?鼓樓區(qū)校級(jí)期末）已知1＜p＜2，化簡(jiǎn)+（）2＝（）A．1 B．3 C．3﹣2p D．1﹣2p4．（2022春?八公山區(qū)期末）如果，那么（）A．x≥0 B．x≥6 C．0≤x≤6 D．x為一切實(shí)數(shù)5．（2021春?涼山州期末）把a(bǔ)根號(hào)外的因式移入根號(hào)內(nèi)的結(jié)果是（）A． B． C． D．6．（2021春?宜城市期末）等式?＝成立的條件是（）A．x＞1 B．x＜﹣1 C．x≥1 D．x≤﹣17．（2023春?鶴山市期末）成立的條件是．8．（2023春?東麗區(qū)期中）計(jì)算：（）2＝，＝，＝．9．（2022?市南區(qū)一模）計(jì)算÷3×的結(jié)果是．10．（2023春?乾安縣期末）計(jì)算：×+．11．（2023春?桐柏縣期中）計(jì)算：．12．（2022春?黃岡期中）已知等式＝成立，化簡(jiǎn)|x﹣6|+的值．13．（2021秋?鄆城縣期中）計(jì)算：①（+）×；