專題11 尺規(guī)作圖與幾何證明-5年（2020-2024）中考1年模擬數(shù)學(xué)分項(xiàng)匯編（河南專用）

PAGE1專題11尺規(guī)作圖與幾何證明（解析版）1.（2024·河南·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，是斜邊上的中線，交的延長線于點(diǎn)E．

（1）請用無刻度的直尺和圓規(guī)作，使，且射線交于點(diǎn)F（保留作圖痕跡，不寫作法）．（2）證明（1）中得到的四邊形是菱形【答案】（1）見解析（2）見解析【小問1詳解】解：如圖，

；【小問2詳解】證明：∵，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∵在中，是斜邊上的中線，∴，∴平行四邊形是菱形．2．（2023·河南·統(tǒng)考中考真題）如圖，中，點(diǎn)D在邊上，且．（1）請用無刻度的直尺和圓規(guī)作出的平分線（保留作圖痕跡，不寫作法）．（2）若（1）中所作的角平分線與邊交于點(diǎn)E，連接．求證：．【答案】（1）見解析（2）見解析【小問1詳解】解：如圖所示，即為所求，【小問2詳解】證明：∵平分，∴，∵，，∴，∴．3.（2022·河南·統(tǒng)考中考真題）如圖，反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，點(diǎn)在點(diǎn)的下方，平分，交軸于點(diǎn)．（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式．（2）請用無刻度的直尺和圓規(guī)作出線段的垂直平分線．（要求：不寫作法，保留作圖痕跡，使用2B鉛筆作圖）（3）線段與（2）中所作的垂直平分線相交于點(diǎn)，連接．求證：．【答案】（1）（2）圖見解析部分（3）證明見解析【小問1詳解】解：∵反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，∴當(dāng)時(shí)，，∴，∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為：；【小問2詳解】如圖，直線即為所作；【小問3詳解】證明：如圖，∵直線是線段的垂直平分線，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴．4.（2021·河南·統(tǒng)考中考真題）下面是某數(shù)學(xué)興趣小組探究用不同方法作一個(gè)角的平分線的討論片段，請仔細(xì)閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù)．小明：如圖1，(1)分別在射線OA，OB上截取OC=OD，OE=OF(點(diǎn)C，E不重合)；(2)分別作線段CE，DF的垂直平分線l1，l2，交點(diǎn)為P，垂足分別為點(diǎn)G，H；(3)作射線OP，射線即為∠AOB的平分線．

簡述理由如下：

由作圖知，∠PGO=∠PHO=90°，OG=OH，OP=OP，所以Rt△PGO≌Rt△PHO，則∠POG=∠POH，即射線OP是∠AOB的平分線．

小軍：我認(rèn)為小明的作圖方法很有創(chuàng)意，但是太麻煩了，可以改進(jìn)如下，如圖2，(1)分別在射線OA，OB上截取OC=OD，OE=OF(點(diǎn)C，E不重合)；(2)連接DE，CF，交點(diǎn)為P；(3)作射線OP.射線OP即為∠AOB的平分線．任務(wù)：

(1)小明得出Rt△PGO≌Rt△PHO的依據(jù)是______(填序號)．

①SSS②SAS③AAS④ASA⑤HL

(2)小軍作圖得到的射線0P是∠AOB的平分線嗎？請判斷并說明理由．

(3)如圖3，已知∠AOB=60°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在射線OA，OB上，且OE=OF=3+1.點(diǎn)C，D分別為射線OA，OB上的動點(diǎn)，且OC=OD，連接DE，CF，交點(diǎn)為P，當(dāng)∠CPE=30°時(shí)，直接寫出線段OC的長．【答案】（1）⑤，（2）見詳解；（3）2或2+3【解析】解：(1)如圖1，由作圖得，OC=OD，OE=OF，PG垂直平分CE，PH垂直平分DF，

∴∠PGO=∠PHO=90°，

∵OE?OC=OF?OD，

∴CE=DF，

∵CG=12CE，DH=12DF，

∴CG=DH，

∴OC+DG=OD+DH，

∴OG=OH，

∵OP=OP，

∴Rt△PGO≌Rt△PHO(HL)，

故答案為：⑤．

(2)射線OP是∠AOB的平分線，理由如下：

如圖2，∵OC=OD，∠DOE=∠COF，OE=OF，

∴△DOE≌△COF(SAS)，

∴∠PEC=∠PFD，

∵∠CPE=∠CPF，CE=DF，

∴△CPE≌△DPF(AAS)，

∴PE=PF，

∵OE=OF，∠PEO=∠PFO，PE=PF，

∴△OPE≌△OPF(SAS)，

∴∠POE=∠POF，即∠POA=∠POB，

∴OP是∠AOB的平分線．

(3)如圖3，OC<OE，連接OP，作PM⊥OA，則∠PMO=∠PME=90°，

由(2)得，OP平分∠AOB，∠PEC=∠PFD，

∴∠PEC+30°=∠PFD+30°，

∵∠AOB=60°，

∴∠POE=∠POF=12∠AOB=30°，

∵∠CPE=30°，

∴∠OCP=∠PEC+∠CPE=∠PEC+30°，∠OPC=∠PFD+∠POF=∠PFD+30°，

∴∠OCP=∠OPC=12(180°?∠POE)=12×(180°?30°)=75°，

∴OC=OP，∠OPE=75°+30°=105°，

∴∠OPM=90°?30°=60°，

∴∠MPE=105°?60°=45°，

∴∠MEP=90°?45°=45°，

∴MP=ME，

設(shè)MP=ME=m，則OM=MP?tan60°=3m，

由OE=3+1，得m+3m=3+1，解得m=1，

∴MP=ME=1，

∴OP=2MP=2，

∴OC=OP=2；

如圖4，OC>OE，連接OP，作PM⊥OA，則∠PMO=∠PMC=90°，

同理可得，∠POE=∠POF=12∠AOB=30°，∠OEP=∠OPE=75°，∠OPM=60°一、單選題1．（2024·河南新鄉(xiāng)·二模）如圖，在中，，按如下步驟作圖，①以點(diǎn)為圓心，小于的長為半徑作弧交，于點(diǎn)，；②分別以點(diǎn)，為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)，作射線，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，已知，，則的長為（

）A． B．3 C． D．【答案】B【詳解】解：∵，，，∴，由作圖知平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，故選：．2．（2024·信陽·三模）如圖，在的兩邊上分別截取、，使；再分別以點(diǎn)為圓心、長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)，連接．若，四邊形的面積為，則的長為（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：根據(jù)作圖方法，可得，∵，∴，∴四邊形是菱形．∵，四邊形的面積為，∴，解得（cm）．故選：．3．（2024·河南安陽·一模）如圖，在矩形中，以點(diǎn)為圓心，的長為半徑畫弧，交于點(diǎn)E，再分別以點(diǎn)C，E為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，作射線交于點(diǎn)．若，，則的長為（

）A．5 B． C． D．【答案】B【詳解】解：如圖，連接，根據(jù)作圖過程可知：是的平分線，，在和中，，，，在中，，，，，在中，，，，，解得：．故選：B．4．（2024·周口·二模）如圖，直線，直線分別交，于點(diǎn)，，以點(diǎn)為圓心，長為半徑畫弧，若在弧上存在點(diǎn)使，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：如圖所示，，由作法得：，，，，，，，故選：A．5．（2024·河南·三模）尺規(guī)作圖，要求：Ⅰ、過直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線；、作線段的垂直平分線；、過直線上一點(diǎn)作這條直線的垂線；、作角平分線．如圖是按上述要求排亂順序的尺規(guī)作圖，則正確的配對是（

）A．圖--，圖--，圖--Ⅰ，圖-- B．圖--，圖--，圖--，圖--ⅠC．圖--，圖--，圖--，圖--Ⅰ D．圖--，圖--Ⅰ，圖--，圖--【答案】D【詳解】解：圖是作角平分線，對應(yīng)Ⅳ圖2是過直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線，對應(yīng)Ⅰ，圖3是作線段的垂直平分線，對應(yīng)Ⅱ，圖4是過直線上一點(diǎn)作這條直線的垂線，對應(yīng)Ⅲ，故選：D．6．（2024·河南周口·三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)以原點(diǎn)O為圓心，以長為半徑畫弧，交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)B，連接；分別以點(diǎn)A，B為圓心，以長為半徑畫弧，兩弧在第二象限交于點(diǎn)C，連接；現(xiàn)將線段繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，則第91次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：如圖：過點(diǎn)A作軸∵點(diǎn)∴在，∴∵已知點(diǎn)以原點(diǎn)O為圓心，以長為半徑畫弧，交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)B，連接；分別以點(diǎn)A，B為圓心，以長為半徑畫弧，兩弧在第二象限交于點(diǎn)C，∴是的垂直平分線，是等邊三角形∴即∴即∵現(xiàn)將線段繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，∴則第91次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，到位置，過點(diǎn)作軸∴∵∴∵∴∴∵點(diǎn)在第一象限∴則第91次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為故選：B．7．（2024·平頂山·三模）如圖，在中，，，點(diǎn)，分別是圖中所作直線和射線與，的交點(diǎn)．根據(jù)圖中尺規(guī)作圖痕跡推斷，以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：根據(jù)圖中尺規(guī)作圖可知，AC的垂直平分線交AB于D，BP平分∠ABC，∴，；選項(xiàng)A、B正確；∵，∴∠ACD=∠A=40°，∵，，∴∠ABC=∠ACB=70°，∴，選項(xiàng)D錯(cuò)誤；∴∠BPC=180°-∠CBP-∠BCP=115°，選項(xiàng)C正確；故選：D8．（2024·新鄭·一模）如圖，等腰三角形中，，按以下要求作圖：①以點(diǎn)A為圓心，任意長為半徑作弧，分別交于D,E兩點(diǎn)；②分別以點(diǎn)D、E為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)F；③作射線，交于點(diǎn)M；④分別以A、B為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧分別交于G,H兩點(diǎn)；⑤作直線，交于點(diǎn)N，連接．則的長為（

）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】B【詳解】解：根據(jù)作圖過程可知：AM平分∠BAC，GH是邊AB的垂直平分線，∵AB＝AC＝6，AM平分∠BAC，∴AM是邊BC上的中線，∴BM＝CM，∵GH是邊AB的垂直平分線，∴AN＝BN，∴MN是△ABC的中位線，∴MNAC＝3．故選：B．9．（2024·南陽·二模）如圖，線段是半圓O的直徑。分別以點(diǎn)A和點(diǎn)O為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于M，N兩點(diǎn)，作直線，交半圓O于點(diǎn)C，交于點(diǎn)E，連接，，若，則的長是（

）A． B．4 C．6 D．【答案】A【詳解】解：根據(jù)作圖知CE垂直平分AC，∴，，∴，∴，即，∵線段AB是半圓O的直徑，∴，在中，根據(jù)勾股定理得，，故選A．二、解答題10．（2024·河南商丘·二模）如圖，已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，在軸負(fù)半軸上有一點(diǎn)，連接．(1)求反比例函數(shù)解析式；(2)請用無刻度直尺和圓規(guī)，在軸負(fù)半軸上找一點(diǎn)，使得；(不寫作法，保留痕跡)；(3)在(2)的條件下，求證：．【答案】(1)(2)見解析(3)證明見解析【詳解】（1）解：∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)∴∴，∴反比例函數(shù)解析式為，（2）解：如圖所示，點(diǎn)即為所求；；（3）證明：由（2）知，，，，．11．（2024·河南信陽·一模）如圖，正比例函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像相交于點(diǎn)．(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)和反比例函數(shù)的表達(dá)式．(2)請用無刻度的直尺和圓規(guī)，作出線段的垂直平分線．（要求：不寫作法，保留作圖痕跡）(3)線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)，求線段的長．【答案】(1)，(2)作圖見解析(3)【詳解】（1）解：∵點(diǎn)在正比例函數(shù)的圖像上，∴，∴，∵點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖像上，∴，解得：，∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，反比例函數(shù)的表達(dá)式為；（2）解：如解圖所示，直線即為所求；

（3）解：如圖，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，連接，設(shè)點(diǎn)，由題意知：是的垂直平分線，∴，∵，∴，，∵，∴，解得：，∴，∴．12．（2024·河南駐馬店·二模）如圖，在中，，．(1)請用無刻度的直尺和圓規(guī)作的垂直平分線（保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)若（1）中所作的垂直平分線與邊交于點(diǎn)D，連接，求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【詳解】（1）如圖，即為所作；（2）證明：∵，，∴，∵垂直平分，∴，∴，∴，∴．13．（2024·河南周口·三模）如圖，為銳角三角形．(1)用無刻度的直尺和圓規(guī)在所在直線的右上方找一點(diǎn)D，使，且．（不寫作法，保留作圖痕跡）(2)在（1）的條件下，過點(diǎn)D作，交于點(diǎn)E．求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【詳解】（1）解：如圖，點(diǎn)D為所求．（2）證明：如圖所示：∵，∴．又∵，∴四邊形ABED是平行四邊形，∴．14．（2024·河南新鄉(xiāng)·二模）閱讀材料：尺規(guī)作圖是起源于古希臘的數(shù)學(xué)課題，是指用沒有刻度的直尺和圓規(guī)作圖．無刻度直尺在作圖時(shí)只可用來畫直線、射線或線段．請根據(jù)以上材料按要求進(jìn)行作圖．(1)如圖1，在中，，請用無刻度直尺與圓規(guī)在邊上作出一點(diǎn)，使得過點(diǎn)且與相切．（保留作圖痕跡，不需說明作圖步驟）(2)如圖2，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，B，C，D是網(wǎng)格中的四個(gè)格點(diǎn)，且．作圖：請?jiān)趫D2中僅用無刻度直尺作出一點(diǎn)O，使得過點(diǎn)且與相切于點(diǎn)D（保留作圖痕跡，不需說明作圖步驟）【答案】(1)見解析(2)見解析【詳解】（1）解：圖形如圖1所示：（2）解：圖形如圖2所示．15．（2024·河南·三模）如圖，在中，，O為線段上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心、為半徑的圓與相切于點(diǎn)B．(1)求的度數(shù)；(2)請用圓規(guī)和無刻度的直尺作的角平分線，交于點(diǎn)D；（要求：不寫作法，保留作圖痕跡，使用鉛筆作圖）(3)連接，判斷是否是等邊三角形？如果是，請證明：如果不是，請說明理由．【答案】(1)(2)見解析(3)是等邊三角形，理由見解析【詳解】（1）解：如圖，連接，∵線段與相切于點(diǎn)B，∴，且，∴，∴，∴；∴；（2）如圖，（3）是等邊三角形，∵，∴，又∵平分，且，，∴，∴是等邊三角形．16．（2024·新密·二模）如圖，中，．(1)請完成尺規(guī)作圖：過點(diǎn)作，垂足為．（要求：不寫做法，保留作圖痕跡．）(2)在（1）的基礎(chǔ)上，求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【詳解】（1）如圖所示，即為所求；（2）解：如圖所示，依題意，，∴又．∴∵∴∴∴∴17．（2024·商丘·一模）如圖，在矩形中，對角線的垂直平分線與相交于點(diǎn)M，與相交于點(diǎn)O，與相交于點(diǎn)N，連接(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【詳解】（1）證明：四邊形是矩形，，，，在和中，，，，四邊形是平行四邊形，，平行四邊形是菱形；（2）解：四邊形是菱形，，設(shè)長為，則，在中，即，解得：，．18．（2024·河南駐馬店·三模）（1）如圖，在所給正方形網(wǎng)格圖中完成下列各題：

①畫出格點(diǎn)（頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上）關(guān)于直線對稱的；②的面積=；（2）在上畫出點(diǎn)，使最小；（3）如圖，兩個(gè)班的學(xué)生分別在、兩處參加植樹勞動，現(xiàn)要在道路、的交叉區(qū)域內(nèi)設(shè)一個(gè)茶水供應(yīng)點(diǎn)，使到兩條道路的距離相等，且使，請你通過尺規(guī)作圖找出這一點(diǎn)，（不寫作法，保留作圖痕跡）．【答案】（1）①見解析；；②（2）（3）【詳解】（1）①如圖所示；②（2）連接，交直線于點(diǎn)，則點(diǎn)即為所求點(diǎn)．

（3）如圖所示：點(diǎn)即為所求．

19．（2024·河南開封·二模）如圖，中，．

(1)尺規(guī)作圖（保留作圖痕跡，不寫作法）：①作的平分線，交于點(diǎn)；②作的垂直平分線，垂足為點(diǎn)，交于點(diǎn)；(2)連接，求證：．【答案】(1)①見解析；②見解析(2)見解析【詳解】（1）解：①如圖所示，的平分線為所求；②如圖所示，的垂直平分線為所求；

（2）證明：連接，

直線垂直平分，，，是等腰三角形，是的平分線，，且，是的垂直平分線，，．20．（2024·濮陽·三模）如圖，在中，．(1)實(shí)踐與操作：按照下列要求完成尺規(guī)作圖，并標(biāo)出相應(yīng)的字母．（保留作圖痕跡，不寫作法）①作的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)；②在線段的延長線上截取線段，使，連接，，．(2)猜想與證明：試猜想四邊形的形狀，并進(jìn)行證明．【答案】(1)見解析(2)四邊形為菱形，證明見解析【詳解】（1）解：按照要求，如圖所示，即為所求作的圖形．．（2）猜想：四邊形為菱形．證明：為的垂直平分線，，，∴四邊形為平行四邊形，又，∴四邊形為菱形．21．（2024·南陽·三模）如圖，在中，．．(1)若以點(diǎn)為圓心的圓與邊相切于點(diǎn)，請?jiān)趫D中作出點(diǎn)；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）(2)在（1）的條件下，若該圓與邊相交于點(diǎn)，連接，點(diǎn)為該圓上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)、點(diǎn)重合），連接、．當(dāng)時(shí)，求證：．【答案】(1)圖見解析(2)見解析【詳解】（1）解：如圖點(diǎn)即為所求，（2）如圖，∵是的切線，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴為等邊三角形，∴，∴，∴．22．（2024·安陽·二模）下面是小明同學(xué)設(shè)計(jì)的“過直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線”的尺規(guī)作圖過程．已知：直線l及直線l外一點(diǎn)P．求作：直線PQ，使得PQ⊥l．作法：如圖，①在直線l上取一點(diǎn)A，以點(diǎn)P為圓心，PA長為半徑畫弧，與直線l交于另一點(diǎn)B；②分別以A，B為圓心，PA長為半徑在直線l下方畫弧，兩弧交于點(diǎn)Q；③作直線PQ．所以直線PQ為所求作的直線．根據(jù)小明設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程，（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）（2）完成下面的證明．證明：連接PA，PB，QA，QB．∵PA＝PB＝QA＝QB，∴四邊形APBQ是菱形（填推理的依據(jù)）．∴PQ⊥AB（填推理的依據(jù)）．即PQ⊥l．【答案】（1）見解析；（2）四邊相等的四邊形是菱形，菱形的對角線互相垂直【詳解】（1）如圖所示．（2）證明：連接PA，PB，QA，QB．∵PA＝PB＝QA＝QB，∴四邊形APBQ是菱形（四邊相等的四邊形是菱形）（填推理的依據(jù)）．∴PQ⊥AB（菱形的對角線互相垂直）（填推理的依據(jù)）．即PQ⊥l．故答案為：四邊相等的四邊形是菱形，菱形的對角線互相垂直．23．（2024·登封·三模）如圖，在中，平分交于點(diǎn)．

(1)實(shí)踐與操作：利用尺規(guī)作圖，過點(diǎn)作的垂線，分別交，于點(diǎn)，；（要求：尺規(guī)作圖并保留作圖痕跡，不寫作法，標(biāo)明字母）(2)猜想與證明：試猜想線段與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．【答案】(1)見解析；(2)，理由見解析．【詳解】（1）如圖，為所作；

（2），理由：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵平分交于點(diǎn)，∴，∴，∴，∵，在與中，，∴，∴，∴．24．（2024·河南鶴壁·二模）如圖，，平分交于點(diǎn)E．(1)【實(shí)踐與操作】過點(diǎn)B作的垂線，垂足為點(diǎn)O（要求尺規(guī)作圖，保留痕跡，不寫作法）；(2)【猜想與證明】設(shè)（1）中的垂線交于點(diǎn)F，連接，試猜想四邊形的形狀，并證明．【答案】(1)圖見解析(2)四邊形是菱形，理由見解析【詳解】（1）如圖，是所求作的垂線．（2）四邊形是菱形，理由如下：平分，．又，而，，，∴四邊形是平行四邊形．，∴四邊形是菱形．25．（2024·開封·一模）如圖，是菱形的一條對角線，點(diǎn)B在射線上．

(1)請用尺規(guī)把這個(gè)菱形補(bǔ)充完整，（保留作圖痕跡，不要求寫作法）(2)若，求菱形的面積．【答案】(1)見解析(2)【詳解】（1）解：如圖所示，四邊形即為所求菱形，

（2）設(shè)與相交于點(diǎn)O，∵四邊形為菱形，∴，∵，∴，∴，∴菱形的面積為．26．（2024·河南鄭州·三模）矩形紙片中，，，點(diǎn)M在邊上，且，將矩形紙片折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)M重合，折痕與，分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)．(1)請用無刻度的直尺和圓規(guī)作出折痕；（保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)求線段的長．【答案】(1)畫圖見解析(2)【詳解】（1）解：連接，作線段的垂直平分線，分別交，于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接，即為所求，如圖：（2）