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文檔簡介
廣東省深圳建文外國語學校2025屆高三下學期第二次模擬考試數(shù)學試題理試卷考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.在中,,,,則邊上的高為()A. B.2 C. D.2.《周易》歷來被人們視作儒家群經(jīng)之首,它表現(xiàn)了古代中華民族對萬事萬物的深刻而又樸素的認識,是中華人文文化的基礎(chǔ),它反映出中國古代的二進制計數(shù)的思想方法.我們用近代術(shù)語解釋為:把陽爻“-”當作數(shù)字“1”,把陰爻“--”當作數(shù)字“0”,則八卦所代表的數(shù)表示如下:卦名符號表示的二進制數(shù)表示的十進制數(shù)坤0000震0011坎0102兌0113依此類推,則六十四卦中的“屯”卦,符號“”表示的十進制數(shù)是()A.18 B.17 C.16 D.153.設(shè)雙曲線(a>0,b>0)的一個焦點為F(c,0)(c>0),且離心率等于,若該雙曲線的一條漸近線被圓x2+y2﹣2cx=0截得的弦長為2,則該雙曲線的標準方程為()A. B.C. D.4.已知點是拋物線的對稱軸與準線的交點,點為拋物線的焦點,點在拋物線上且滿足,若取得最大值時,點恰好在以為焦點的橢圓上,則橢圓的離心率為()A. B. C. D.5.復數(shù)滿足,則復數(shù)等于()A. B. C.2 D.-26.下列幾何體的三視圖中,恰好有兩個視圖相同的幾何體是()A.正方體 B.球體C.圓錐 D.長寬高互不相等的長方體7.已知等差數(shù)列中,則()A.10 B.16 C.20 D.248.設(shè)i為虛數(shù)單位,若復數(shù),則復數(shù)z等于()A. B. C. D.09.已知變量的幾組取值如下表:12347若與線性相關(guān),且,則實數(shù)()A. B. C. D.10.如圖所示,在平面直角坐標系中,是橢圓的右焦點,直線與橢圓交于,兩點,且,則該橢圓的離心率是()A. B. C. D.11.若實數(shù)滿足的約束條件,則的取值范圍是()A. B. C. D.12.設(shè)點,,不共線,則“”是“”()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分又不必要條件二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.某高校開展安全教育活動,安排6名老師到4個班進行講解,要求1班和2班各安排一名老師,其余兩個班各安排兩名老師,其中劉老師和王老師不在一起,則不同的安排方案有________種.14.如圖是九位評委打出的分數(shù)的莖葉統(tǒng)計圖,去掉一個最高分和一個最低分后,所剩數(shù)據(jù)的平均分為_______.15.在中,若,則的范圍為________.16.點P是△ABC所在平面內(nèi)一點且在△ABC內(nèi)任取一點,則此點取自△PBC內(nèi)的概率是____三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知分別是的內(nèi)角的對邊,且.(Ⅰ)求.(Ⅱ)若,,求的面積.(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,求的值.18.(12分)選修4-5:不等式選講設(shè)函數(shù)f(x)=|x-a|,a<0.(1)證明:f(x)+f(-1(2)若不等式f(x)+f(2x)<12的解集非空,求19.(12分)已知x,y,z均為正數(shù).(1)若xy<1,證明:|x+z|?|y+z|>4xyz;(2)若=,求2xy?2yz?2xz的最小值.20.(12分)已知函數(shù)(),且只有一個零點.(1)求實數(shù)a的值;(2)若,且,證明:.21.(12分)已知函數(shù)的圖象在處的切線方程是.(1)求的值;(2)若函數(shù),討論的單調(diào)性與極值;(3)證明:.22.(10分)為了保障全國第四次經(jīng)濟普查順利進行,國家統(tǒng)計局從東部選擇江蘇,從中部選擇河北、湖北,從西部選擇寧夏,從直轄市中選擇重慶作為國家綜合試點地區(qū),然后再逐級確定普查區(qū)域,直到基層的普查小區(qū),在普查過程中首先要進行宣傳培訓,然后確定對象,最后入戶登記,由于種種情況可能會導致入戶登記不夠順利,這為正式普查提供了寶貴的試點經(jīng)驗,在某普查小區(qū),共有50家企事業(yè)單位,150家個體經(jīng)營戶,普查情況如下表所示:普查對象類別順利不順利合計企事業(yè)單位401050個體經(jīng)營戶10050150合計14060200(1)寫出選擇5個國家綜合試點地區(qū)采用的抽樣方法;(2)根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有的把握認為“此普查小區(qū)的入戶登記是否順利與普查對象的類別有關(guān)”;(3)以該小區(qū)的個體經(jīng)營戶為樣本,頻率作為概率,從全國個體經(jīng)營戶中隨機選擇3家作為普查對象,入戶登記順利的對象數(shù)記為,寫出的分布列,并求的期望值.附:0.100.0100.0012.7066.63510.828
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】
結(jié)合正弦定理、三角形的內(nèi)角和定理、兩角和的正弦公式,求得邊長,由此求得邊上的高.【詳解】過作,交的延長線于.由于,所以為鈍角,且,所以.在三角形中,由正弦定理得,即,所以.在中有,即邊上的高為.故選:C【點睛】本小題主要考查正弦定理解三角形,考查三角形的內(nèi)角和定理、兩角和的正弦公式,屬于中檔題.2、B【解析】
由題意可知“屯”卦符號“”表示二進制數(shù)字010001,將其轉(zhuǎn)化為十進制數(shù)即可.【詳解】由題意類推,可知六十四卦中的“屯”卦符號“”表示二進制數(shù)字010001,轉(zhuǎn)化為十進制數(shù)的計算為1×20+1×24=1.故選:B.【點睛】本題主要考查數(shù)制是轉(zhuǎn)化,新定義知識的應(yīng)用等,意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.3、C【解析】
由題得,,又,聯(lián)立解方程組即可得,,進而得出雙曲線方程.【詳解】由題得①又該雙曲線的一條漸近線方程為,且被圓x2+y2﹣2cx=0截得的弦長為2,所以②又③由①②③可得:,,所以雙曲線的標準方程為.故選:C【點睛】本題主要考查了雙曲線的簡單幾何性質(zhì),圓的方程的有關(guān)計算,考查了學生的計算能力.4、B【解析】
設(shè),利用兩點間的距離公式求出的表達式,結(jié)合基本不等式的性質(zhì)求出的最大值時的點坐標,結(jié)合橢圓的定義以及橢圓的離心率公式求解即可.【詳解】設(shè),因為是拋物線的對稱軸與準線的交點,點為拋物線的焦點,所以,則,當時,,當時,,當且僅當時取等號,此時,,點在以為焦點的橢圓上,,由橢圓的定義得,所以橢圓的離心率,故選B.【點睛】本題主要考查橢圓的定義及離心率,屬于難題.離心率的求解在圓錐曲線的考查中是一個重點也是難點,一般求離心率有以下幾種情況:①直接求出,從而求出;②構(gòu)造的齊次式,求出;③采用離心率的定義以及圓錐曲線的定義來求解.5、B【解析】
通過復數(shù)的模以及復數(shù)的代數(shù)形式混合運算,化簡求解即可.【詳解】復數(shù)滿足,∴,故選B.【點睛】本題主要考查復數(shù)的基本運算,復數(shù)模長的概念,屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】
根據(jù)基本幾何體的三視圖確定.【詳解】正方體的三個三視圖都是相等的正方形,球的三個三視圖都是相等的圓,圓錐的三個三視圖有一個是圓,另外兩個是全等的等腰三角形,長寬高互不相等的長方體的三視圖是三個兩兩不全等的矩形.故選:C.【點睛】本題考查基本幾何體的三視圖,掌握基本幾何體的三視圖是解題關(guān)鍵.7、C【解析】
根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)得到,再計算得到答案.【詳解】已知等差數(shù)列中,故答案選C【點睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì),是數(shù)列的??碱}型.8、B【解析】
根據(jù)復數(shù)除法的運算法則,即可求解.【詳解】.故選:B.【點睛】本題考查復數(shù)的代數(shù)運算,屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】
求出,把坐標代入方程可求得.【詳解】據(jù)題意,得,所以,所以.故選:B.【點睛】本題考查線性回歸直線方程,由性質(zhì)線性回歸直線一定過中心點可計算參數(shù)值.10、A【解析】
聯(lián)立直線方程與橢圓方程,解得和的坐標,然后利用向量垂直的坐標表示可得,由離心率定義可得結(jié)果.【詳解】由,得,所以,.由題意知,所以,.因為,所以,所以.所以,所以,故選:A.【點睛】本題考查了直線與橢圓的交點,考查了向量垂直的坐標表示,考查了橢圓的離心率公式,屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】
根據(jù)所給不等式組,畫出不等式表示的可行域,將目標函數(shù)化為直線方程,平移后即可確定取值范圍.【詳解】實數(shù)滿足的約束條件,畫出可行域如下圖所示:將線性目標函數(shù)化為,則將平移,平移后結(jié)合圖像可知,當經(jīng)過原點時截距最小,;當經(jīng)過時,截距最大值,,所以線性目標函數(shù)的取值范圍為,故選:B.【點睛】本題考查了線性規(guī)劃的簡單應(yīng)用,線性目標函數(shù)取值范圍的求法,屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】
利用向量垂直的表示、向量數(shù)量積的運算,結(jié)合充分必要條件的定義判斷即可.【詳解】由于點,,不共線,則“”;故“”是“”的充分必要條件.故選:C.【點睛】本小題主要考查充分、必要條件的判斷,考查向量垂直的表示,考查向量數(shù)量積的運算,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、156【解析】
先考慮每班安排的老師人數(shù),然后計算出對應(yīng)的方案數(shù),再考慮劉老師和王老師在同一班級的方案數(shù),兩者作差即可得到不同安排的方案數(shù).【詳解】安排6名老師到4個班則每班老師人數(shù)為1,1,2,2,共有種,劉老師和王老師分配到一個班,共有種,所以種.故答案為:.【點睛】本題考查排列組合的綜合應(yīng)用,難度一般.對于分組的問題,首先確定每組的數(shù)量,對于其中特殊元素,可通過“正難則反”的思想進行分析.14、1【解析】
寫出莖葉圖對應(yīng)的所有的數(shù),去掉最高分,最低分,再求平均分.【詳解】解:所有的數(shù)為:77,78,82,84,84,86,88,93,94,共9個數(shù),去掉最高分,最低分,剩下78,82,84,84,86,88,93,共7個數(shù),平均分為,故答案為1.【點睛】本題考查莖葉圖及平均數(shù)的計算,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】
借助正切的和角公式可求得,即則通過降冪擴角公式和輔助角公式可化簡,由,借助正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可解得所求.【詳解】,所以,.因為,所以,所以.故答案為:.【點睛】本題考查了三角函數(shù)的化簡,重點考查學生的計算能力,難度一般.16、【解析】
設(shè)是中點,根據(jù)已知條件判斷出三點共線且是線段靠近的三等分點,由此求得,結(jié)合幾何概型求得點取自三角形的概率.【詳解】設(shè)是中點,因為,所以,所以三點共線且點是線段靠近的三等分點,故,所以此點取自內(nèi)的概率是.故答案為:【點睛】本小題主要考查三點共線的向量表示,考查幾何概型概率計算,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ);(Ⅱ);(Ⅲ).【解析】
(Ⅰ)由已知結(jié)合正弦定理先進行代換,然后結(jié)合和差角公式及正弦定理可求;(Ⅱ)由余弦定理可求,然后結(jié)合三角形的面積公式可求;(Ⅲ)結(jié)合二倍角公式及和角余弦公式即可求解.【詳解】(Ⅰ)因為,所以,所以,由正弦定理可得,;(Ⅱ)由余弦定理可得,,整理可得,,解可得,,因為,所以;(Ⅲ)由于,.所以.【點睛】本題主要考查了正弦定理、余弦定理、和角余弦公式,二倍角公式及三角形的面積公式的綜合應(yīng)用,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.18、(1)見解析.(1)(-1,0).【解析】試題分析:(1)直接計算f(x)+f(-1(1)f(x)+f(2x)=|x-a|+|2x-a|,分區(qū)間討論去絕對值符號分別解不等式即可.試題解析:(1)證明:函數(shù)f(x)=|x﹣a|,a<2,則f(x)+f(﹣)=|x﹣a|+|﹣﹣a|=|x﹣a|+|+a|≥|(x﹣a)+(+a)|=|x+|=|x|+≥1=1.(1)f(x)+f(1x)=|x﹣a|+|1x﹣a|,a<2.當x≤a時,f(x)=a﹣x+a﹣1x=1a﹣3x,則f(x)≥﹣a;當a<x<時,f(x)=x﹣a+a﹣1x=﹣x,則﹣<f(x)<﹣a;當x時,f(x)=x﹣a+1x﹣a=3x﹣1a,則f(x)≥﹣.則f(x)的值域為[﹣,+∞).不等式f(x)+f(1x)<的解集非空,即為>﹣,解得,a>﹣1,由于a<2,則a的取值范圍是(-1,0).考點:1.含絕對值不等式的證明與解法.1.基本不等式.19、(1)證明見解析;(2)最小值為1【解析】
(1)利用基本不等式可得,再根據(jù)0<xy<1時,即可證明|x+z|?|y+z|>4xyz.(2)由=,得,然后利用基本不等式即可得到xy+yz+xz≥3,從而求出2xy?2yz?2xz的最小值.【詳解】(1)證明:∵x,y,z均為正數(shù),∴|x+z|?|y+z|=(x+z)(y+z)≥=,當且僅當x=y(tǒng)=z時取等號.又∵0<xy<1,∴,∴|x+z|?|y+z|>4xyz;(2)∵=,即.∵,,,當且僅當x=y(tǒng)=z=1時取等號,∴,∴xy+yz+xz≥3,∴2xy?2yz?2xz=2xy+yz+xz≥1,∴2xy?2yz?2xz的最小值為1.【點睛】本題考查了利用綜合法證明不等式和利用基本不等式求最值,考查了轉(zhuǎn)化思想和運算能力,屬中檔題.20、(1)(2)證明見解析【解析】
(1)求導可得在上,在上,所以函數(shù)在時,取最小值,由函數(shù)只有一個零點,觀察可知則有,即可求得結(jié)果.(2)由(1)可知為最小值,則構(gòu)造函數(shù)(),求導借助基本不等式可判斷為減函數(shù),即可得,即則有,由已知可得,由,可知,因為時,為增函數(shù),即可得證得結(jié)論.【詳解】(1)().因為,所以,令得,,且,,在上;在上;所以函數(shù)在時,取最小值,當最小值為0時,函數(shù)只有一個零點,易得,所以,解得.(2)由(1)得,函數(shù),設(shè)(),則,設(shè)(),則,,所以為減函數(shù),所以,即,所以,即,又,所以,又當時,為增函數(shù),所以,即.【點睛】本題考查借助導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及最值,考查學生分析問題的能力,及邏輯推理能力,難度困難.21、(1);(2)單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為,的極小值為,無極大值;(3)見解析.【解析】
(1)切點既在切線上又在曲線上得一方程,再根據(jù)斜率等于該點的導數(shù)再列一方程,解
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