2025屆浙江杭州市高三二模高考數(shù)學卷試題及答案

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2024學年第二學期杭州市高三年級教學質(zhì)量檢測數(shù)學試題卷考生須知：1．本試卷分試題卷和答題卷兩部分．滿分150分，考試時間120分鐘．2．請用黑色字跡的鋼筆或簽字筆在答題卡指定的區(qū)域（黑色邊框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域的作答無效！3．考試結(jié)束，只需上交答題卡．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．已知向量，，，則（

）A．2 B．0 C． D．3．若等比數(shù)列滿足，，則數(shù)列的公比等于（

）A．或 B．或 C． D．4．已知數(shù)據(jù)，，…，的方差，則（

）A． B． C． D．5．已知，為任意正數(shù)，若恒成立，則（

）A． B． C． D．6．定義“真指數(shù)”（為自然對數(shù)的底數(shù)），則（

）A． B． C． D．7．設(shè)函數(shù)是奇函數(shù).若函數(shù)，，則（

）A．27 B．28 C．29 D．308．若，，則（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共計18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．9．已知復數(shù)（是虛數(shù)單位），則（

）A． B． C． D．10．設(shè)函數(shù)，則（

）A．是偶函數(shù) B．C．在區(qū)間上單調(diào)遞增 D．為的極小值點11．設(shè)曲線，直線與曲線的交點的可能個數(shù)的集合記為，則（

）A． B．C． D．若，則且三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．曲線在點處的切線方程是.13．已知是單位圓，正三角形的頂點，在上，則的最大值為.14．甲、乙、丙三人分別從2個不同的數(shù)中隨機選擇若干個數(shù)（可以不選），分別構(gòu)成集合，，，記中元素的個數(shù)為，則的概率為.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．某車企為考察選購新能源汽車的款式與性別的關(guān)聯(lián)性，調(diào)查100人購買情況，得到如下列聯(lián)表：新能源汽車A款新能源汽車B款總計男性5010女性251540總計25100(1)求，；(2)根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為選購該新能源汽車的款式與性別有關(guān)聯(lián)？(3)假設(shè)用樣本估計總體，用頻率估計概率，所有人選購汽車的款式情況相互獨立.若從購買者中隨機抽取3人，設(shè)被抽取的3人中購買了B款車的人數(shù)為，求的數(shù)學期望.附：，.0.100.050.0100.0052.7063.8416.6357.87916．已知函數(shù)（）.(1)若，求的極小值；(2)當時，求的單調(diào)遞增區(qū)間；(3)當時，設(shè)的極大值為，求證：.17．在平面四邊形中，，，將沿翻折至，其中為動點.(1)設(shè)，（?。┳C明：平面；（ⅱ）求三棱錐的體積；(2)求直線與平面所成角的正弦值的最大值.18．已知拋物線的焦點到準線的距離為2，點，過的直線交于，兩點，過，分別作的垂線，垂足分別為，，直線，與直線分別交于點，.(1)求的方程；(2)記，的縱坐標分別為，，當時，求直線的斜率；(3)設(shè)為軸上一點，記，分別為直線，的斜率.若為定值，求點的坐標.19．設(shè)，，…，是1，2，…，（且）的一個排列.數(shù)列滿足為，，（）的中位數(shù)，規(guī)定，.將中的所有取值構(gòu)成的集合記為.(1)當時，求和；(2)求中所有元素之和的最大值；(3)求中元素個數(shù)的最小值.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．B【解析】略2．C【解析】略3．C【解析】略4．D【解析】略5．A【解析】略6．C【解析】略7．B【分析】根據(jù)奇函數(shù)定義可得，再利用賦值法由代入計算可得結(jié)果.【詳解】由函數(shù)是奇函數(shù)可知，因此可得；又，因此；兩式相加可得；又，因此.故選：B8．A【分析】將平方，結(jié)合可得，結(jié)合選項逐個判斷即可.【詳解】將平方得，結(jié)合可得，即，即，即，故CD錯誤又，故A對，B錯；故選：A9．ABC【解析】略10．BD【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域即可判斷A,根據(jù)對數(shù)的性質(zhì)即可求解B，求導，根據(jù)上導數(shù)的正負即可求解C，根據(jù)單調(diào)性即可由極值點的定義求解D.【詳解】的定義域為，故為非奇非偶函數(shù)，故A錯誤，由于，且，故當時，，此時，當時，，此時，當時，，因此，B正確，對于C,，當時，，此時，因此在單調(diào)遞減，故C錯誤，對于D，，當時，，故，當時，，此時，因此在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，為的極小值點，D正確，故選：BD11．ACD【解析】略12．【分析】應(yīng)用導數(shù)的幾何意義求切線方程即可.【詳解】由題設(shè)，則切線斜率，又，得，所以曲線在點處的切線方程是，所以切線方程為.故答案為：13．2【解析】略14．【分析】根據(jù)已知一個元素被某人選中的概率為且相互獨立，應(yīng)用獨立乘法公式及對立事件的概率求法得兩個元素均未被三人選中的概率為，最后應(yīng)用對立事件的概率求法即可得.【詳解】設(shè)兩個不同數(shù)為，一個元素被某人選中的概率為且相互獨立，所以一個元素被甲乙丙三人都選中的概率為，由中元素的個數(shù)，表示至少一個元素被三人選中，而兩個元素均未被三人選中的概率為，所以的概率為.故答案為：15．(1)，；(2)與性別有關(guān)(3)【詳解】（1），；（2）零假設(shè)為：選購新能源汽車的款式與性別無關(guān)聯(lián).根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可得，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立，可以認為選購車的款式與性別有關(guān)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.05；（3）隨機抽取1人購買B款車的概率為，的可能取值有0，1，2，3，依題意服從，.因此，.16．(1)(2)和(3)證明見解析【詳解】由題意知.（1）若，則，所以.令，得.所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以的極小值等于.（2）因為，所以，由，即，解得或.故的單調(diào)增區(qū)間為和.（3）當時，的極大值等于；當時，，無極大值；當時，由題意得，的極大值等于，令，所以，因為在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以故，綜上所述，.17．(1)（?。┳C明見解析；（ⅱ）(2)【詳解】（1）（ⅰ）因為，，所以，所以.又因為，所以平面.（ⅱ）.（2）如圖，建立以為原點的空間直角坐標系，設(shè)二面角的平面角為，則，，，.所以.平面的法向量為.設(shè)直線與平面所成角為，則.設(shè)，設(shè)，所以，（當且僅當，即時取等號），即.直線與平面所成角的正弦值的最大值為.18．(1)(2)-1(3)【詳解】（1）由題意知，所以拋物線方程為.（2）設(shè)直線的方程為，，，則，，.所以，得，所以，.所以直線的方程為：，與直線的方程聯(lián)立，解得，同理.所以.所以.所以直線的斜率為.（3）設(shè)，因為.因為，.所以，當時，為定值.所以.19．(1)，(2)(3)答案見解析【詳解】（1）當時，1，2，3無論按何種順序排列，中位數(shù)只能是2，故.當時，在1，2，3，4中任取3個數(shù)：1，2，3；1，2，4；1，3，4和2，3，4，中位數(shù)只能為2或3，所以.（2）顯然，不存在使得或，故中所有元素的和，且當時，有.此時成立.（3）注意到對于任意，，記中元素個數(shù)的最小值為，由（1）可知，，.考慮的情形：對于1，2，3，4，5的排列，1和5不可能作為中位數(shù)；不妨，考慮三元素組，，，至少產(chǎn)生2個不同的中位數(shù).①若此時中位數(shù)為，，不妨，則，.所以三元組將產(chǎn)生新的中位數(shù)，所以；②若此時的中位數(shù)為，，則，，.若，則三元組產(chǎn)生新的中位數(shù)；若，則三元組產(chǎn)生新的中位數(shù).所以.③同理可知，若此時中位數(shù)為，；，也有；所以，，.下面證明：.比較下面兩個數(shù)列：（ⅰ），，…，，，.（ⅱ），，…，，，，，，.其中，，…，和，，…，具有相同的大小順序.因此，這兩個數(shù)列的前個三元數(shù)組所對應(yīng)的中位數(shù)個數(shù)相同.因此，只需要比較數(shù)列（ⅰ）中三元組，和數(shù)列（ⅱ）