吉林省長春市二道區(qū)2024-2025學年八年級上學期期末考試數學試卷(含解析)

2024-2025學年吉林省長春市二道區(qū)八年級（上）期末數學試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題3分，共24分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．（3分）下列各數中，是無理數的是（）A．0.101001001 B． C． D．3.1415926解：A．0.101001001是有限小數，屬于有理數，故本選項不符合題意；B．是分數，屬于有理數，故本選項不符合題意；C．是無理數，故本選項符合題意；D．3.1415926是有限小數，屬于有理數，故本選項不符合題意．故選：C．2．（3分）64的立方根是（）A．8 B．4 C． D．±8解：∵43＝64，∴64的立方根是4．故選：B．3．（3分）下列各式中，計算結果等于a8的是（）A．a2?a4 B．（a2）4 C．a2+a4 D．a16÷a2解：A、a2?a4＝a6，故選項不符合題意；B、（a2）4＝a8，故選項符合題意；C、a2和a4不是同類項，不能合并，故選項不符合題意；D、a16÷a2＝a14，故選項不符合題意．故選：B．4．（3分）下面四組線段中，可以構成直角三角形的是（）A．，， B．1.3，1.4，1.5 C．32，42，52 D．1，，2解：A、（）2+（）2≠（）2，不符合勾股定理的逆定理，不能構成直角三角形，故本選項不符合題意；B、（1.3）2+（1.4）2≠（1.5）2，不符合勾股定理的逆定理，不能構成直角三角形，故本選項不符合題意；C、（9）2+（16）2≠（15）2，不符合勾股定理的逆定理，不能構成直角三角形，故本選項不符合題意；D、12+（）2＝22，符合勾股定理的逆定理，能構成直角三角形，故本選項符合題意．故選：D．5．（3分）等腰三角形有兩條邊長分別為5和10，則這個等腰三角形的周長為（）A．15 B．20 C．25或20 D．25解：當等腰三角形的腰為5時，三邊為5，5，10，5+5＝10，三邊關系不成立；當等腰三角形的腰為10時，三邊為5，10，10，三邊關系成立，周長為5+10+10＝25．故選：D．6．（3分）如圖，要測量池塘兩岸相對的兩點A，B的距離，小明在池塘外取AB的垂線BF上的點C，D，使BC＝CD，再畫出BF的垂線DE，使E與A，C在一條直線上，這時測得DE的長就是AB的長，依據是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．HL解：因為證明在△ABC≌△EDC用到的條件是：CD＝BC，∠ABC＝∠EDC，∠ACB＝∠ECD，所以用到的是兩角及這兩角的夾邊對應相等即ASA這一方法．故選：C．7．（3分）如圖，在△ABC中，AC＞BC．按下列步驟用直尺和圓規(guī)作圖：第一步：分別以點A和點B為圓心、大于AB一半的長為半徑作圓弧，兩弧相交于點M和點N；第二步：作直線MN交邊AC于點D；第三步：連結BD．根據以上信息推斷，下列結論錯誤的是（）A．CB＝BD B．∠A＝∠ABD C．∠ADN＝∠BDN D．MN⊥AB解：由作圖可知，MN垂直平分線段AC，∴DA＝DB，MN⊥AB，∴∠A＝∠ABD，∠ADN＝∠BDN，故選項A符合題意，選項B、C、D不符合題意．故選：A．8．（3分）如圖，小明同學在一次數學活動課上做了如下的一次拼圖操作：用兩種大小不同的正方形各兩個，拼接成一個中間是長方形ABCD的圖案．若AB+BC＝6，且這四個正方形的面積和為50，則長方形ABCD的面積是（）A．5 B．5.5 C．6 D．6.5解：由題意可得2AB2+2BC2＝50，則AB2+BC2＝25，∵AB+BC＝6，∴（AB+BC）2＝36，∴AB2+2AB?BC+BC2＝36，則2AB?BC＝11，那么AB?BC＝5.5，即長方形ABCD的面積是5.5，故選：B．二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。9．（3分）計算：（ax﹣bx）÷x＝a﹣b．解：（ax﹣bx）÷x＝ax÷x﹣bx÷x＝a﹣b，故答案為：a﹣b．10．（3分）因式分解：a3﹣a＝a（a+1）（a﹣1）．解：原式＝a（a2﹣1）＝a（a+1）（a﹣1），故答案為：a（a+1）（a﹣1）11．（3分）三角形的外角大于該三角形的任一內角是假（填“真”或“假”）命題．解：由三角形的外角的性質可得：三角形的一個外角大于與它不相鄰的任一內角，∴命題是假命題．故答案為：假．12．（3分）某學校對300名女生的身高進行了測量，身高在157～162（單位：cm）小組的頻率為0.25，則該組的人數為75名．解：由題意得：300×0.25＝75（名），∴該組的人數為75名，故答案為：75．13．（3分）如圖，一圓柱體的底面周長為20cm，高AB為4cm，BC是上底面的直徑．一只螞蟻從點A出發(fā)，沿著圓柱的側面爬行到點C，爬行的最短路程是2cm．解：如圖所示：由于圓柱體的底面周長為20cm，則AD＝2010cm．又因為CD＝AB＝4cm，所以AC2cm．故螞蟻從點A出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點C的最短路程是2cm．故答案為：2．14．（3分）如圖，在△ABC中，AC＞BC，AD平分∠BAC交邊BC于點D，且AD＝AB，延長AD到點E，使得AE＝AC，連結EC、EB．給出下面四個結論：①∠ABD＝∠ADB；②△ABE≌△ADC；③CD＝BD；④∠CAE＝∠CBE．上述結論中，正確結論的序號有①②④．解：∵AD＝AB，∴∠ABD＝∠ADB，故①正確，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠EAB，在△ABE和△ADC中，，∴△ABE≌△ADC（SAS），故②正確，∵△ABE≌△ADC，∴CD＝BE，故③錯誤；∵△ABE≌△ADC，∴∠ACD＝∠AEB，∵∠CAE+∠ACD+∠ADC＝∠CBE+∠AEB+∠BDE＝180°，∠ADC＝∠BDE，∴∠CAE＝∠CBE，故④正確，∴上述結論中，正確結論的序號有：①②④，故答案為：①②④．三、解答題：本題共10小題，共78分。15．（6分）計算：．解：．16．（6分）先化簡，再求值：（2a+b）2+（a﹣b）（a+b）﹣5a（a﹣b），其中，．解：原式＝4a2+4ab+b2+a2﹣b2﹣5a2+5ab＝（4+1﹣5）a2+（1﹣1）b2+（4+5）ab＝9ab，當a1，b1時，原式．17．（6分）如圖，在一塊邊長為a＝15.2m的正方形空地的四角均留出一塊邊長b＝2.6m的正方形空地修建花壇，其余的地方種植草坪，問草坪的面積有多大？解：當a＝15.2，b＝2.6時，a2﹣4b2＝（a+2b）（a﹣2b）＝（15.2+2×2.6）（15.2﹣2×2.6）＝20.4×10＝204（m2）．答：草坪的面積是204m2．18．（7分）【閱讀與思考】我們知道是無理數，無理數是無限不循環(huán)小數，因此的小數部分我們不可能全部地寫出來，而因為，即，于是的整數部分是2．將一個數減去其整數部分，差就是它的小數部分，故可用來表示的小數部分．結合以上材料，回答下列問題：（1）的整數部分是3；的小數部分是；（2）如果的小數部分為a，的整數部分為b，求的值．解：（1）∵，∴的整數部分是3，∵，∴，∴，即，∴的整數部分是1，小數部分是，故答案為：3，；（2）∵，∴的整數部分是2，小數部分是，∴，∵，∴的整數部分b＝4，∴．19．（7分）如圖，已知∠B＝∠E，點C和點F在線段BE上，AC與DF交于點O，AB＝DE，BF＝EC．（1）求證：△ABC≌△DEF；（2）若∠AOF＝56°，則∠ACE的度數為152度．（1）證明：∵BF＝EC，∴BF+CF＝EC+CF，∴BC＝EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）；（2）解：∵△ABC≌△DEF，∴∠ACB＝∠DFE，∴OF＝OC，∵∠AOF＝56°＝∠ACB＝∠DFE，∴∠ACB56°＝28°，∴∠ACE＝180°﹣∠ACB＝152°，故答案為：152．20．（7分）圖①、圖②、圖③均是4×4的正方形網格，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點叫做格點，點A、B、P、Q均在格點上．只用無刻度的直尺，在給定的網格中按要求畫圖，不要求寫出畫法．（1）在圖①中找一格點C，連結AC、BC，使得△ABC是為以AB為腰的等腰三角形；（2）在圖②的線段PQ上找一點C，連結AC、BC，使得△ABC是為以AB為底的等腰三角形；（3）在圖③的線段PQ上找一點C，連結AC、BC，使得△ABC是為以AB為底的等腰三角形（保留作圖痕跡）．解：（1）如圖①，點C即為所求；（2）如圖②，點C即為所求；（3）如圖③，點C即為所求．21．（8分）近日，冰雪之城長春正在進一步推廣普及校園冰雪運動，引領學生參與冰雪活動，激發(fā)學生參與冰雪運動的興趣，提高學生冰雪運動技能水平．某校為了了解學生們對冰雪運動的喜愛程度，隨機抽取了八年級若干名學生對“滑雪橇、體驗滑雪、速度滑冰、花樣滑冰和高山滑雪”五個冰雪項目的喜愛程度進行調查（每人必須選且只選一項最喜歡的冰雪項目，將調查結果繪制成如下的兩幅不完整的統(tǒng)計圖）．請根據統(tǒng)計圖提供的信息，解答下列問題：（1）參與本次調查的學生有100人；（2）補全條形統(tǒng)計圖；（3）求出扇形統(tǒng)計圖中喜歡“花樣滑冰”的學生所在扇形的圓心角的度數．解：（1）30÷30%＝100（人），故答案為：100；（2）“體驗滑雪”的人數為100﹣30﹣20﹣10﹣5＝35（人），補全條形統(tǒng)計圖：（3），答：扇形統(tǒng)計圖中喜歡“花樣滑冰”的學生所在扇形的圓心角度數為36°．22．（9分）閱讀理解：課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖①，在△ABC中，AC＝7，AB＝3，求BC邊上的中線AD的取值范圍．（1）經過組內合作交流，小明得到了如下的解決方法，如圖②：①延長AD到E使得DE＝AD；②再連結CE，把AB、AC、2AD集中在△ACE中；③利用三角形的三邊關系可得4＜AE＜10，則AD的取值范圍是2＜AD＜5．感悟：解題時，條件中若出現“中點”、“中線”等條件，可以考慮倍長中線，構造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結論集中到同一個三角形中．（2）利用小明的作圖方法，結合圖②，寫出AB與CE的位置關系并證明．應用：（3）如圖③在四邊形ABCD中，AB∥CD，點E是BC的中點．若AE是∠BAD的平分線，則線段AB、AD和DC之間的等量關系為AD＝AB+DC．解：（1）∵4＜AE＜10，AD＝DEAE，∴2＜AD＜5；（2）AB∥CE，理由如下：由題可知AD＝DE，∵BD＝CD，∠ADB＝∠CDE，∴△ABD≌△ECD（SAS），∴∠B＝∠DCE，∴AB∥CE；（3）AD＝AB+DC．理由：如圖①中，延長AE，DC交于點F，∵AB∥CD，∴∠BAF＝∠F，在△ABE和△FCE中，，∴△ABE≌△FEC（AAS），∴CF＝AB，∵AE是∠BAD的平分線，∴∠BAF＝∠FAD，∴∠FAD＝∠F，∴AD＝DF，∵DC+CF＝DF，∴AD＝AB+DC，故答案為：AD＝AB+DC．23．（10分）如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點D，BD＝4，CD＝2．【發(fā)現并提出問題】（1）當AD＝3時，AB2﹣AC2＝12；當AD＝4時，AB2﹣AC2＝12；當AD＝5時，AB2﹣AC2＝12．（2）猜想：小明發(fā)現不論線段AD的長度是多少，AB2﹣AC2的值始終不變，值為12．【分析、解決問題】小明的猜想是正確的嗎？如果正確請給予證明；如果不正確舉出反例．【運用】當AB﹣AC＝1時，△ABC的周長為18．解：（1）當AD＝3時，AB2﹣AC2＝12；當AD＝4時，AB2﹣AC2＝12；當AD＝5時，AB2﹣AC2＝12．故答案為：12，12，12；（2）猜想：小明發(fā)現不論線段AD的長度是多少，AB2﹣AC2的值始終不變，值為12，故答案為：12；【分析、解決問題】正確．證明：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△ABD中，AB2＝BD2+AD2，在Rt△ACD中，AC2＝AD2+CD2，∴AB2﹣AC2＝（BD2+AD2）﹣（AD2+CD2）＝BD2﹣CD2＝12；【運用】由（1）知，AB2﹣AC2＝12，∴（AB+AC）（AB﹣AC）＝12，又∵AB﹣AC＝1，∴AB+AC＝12，又∵BD＝4，CD＝2，∴△ABC的周長為AB+AC+BC＝AB+AC+BD+CD＝12+4+2＝18，故答案為：18．24．（12分）【模型學習】如圖①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線l經過點C，分別過點A、B作AD⊥l于點D，BE⊥l于點E．求證：△ACD≌△CBE．【模型應用】如圖②，在△ABC中，AD⊥BC，AB＝10，BC＝14，AD＝6，直線l經過點D（不與BC重合）．動點P從點D出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿線段DB向點B運動，同時動點Q從點C出發(fā)，以每秒4個單位的速度沿折線CD﹣DA向點A運動，其中一個動點到達終點時，整個運動停止．當點P、Q不與點D重合時，分別過點P、Q作PM⊥l于點M，QN⊥l于點N．設運動時間為t秒．（1）求線段CD的長度；（2）線段PD的長度為2t；當點Q在線段DA上運動時，線段DQ的長度為4t﹣6；（用含t的代數式表示）（3）當△PMD與△QND全等時，求出t的值．解：【模型學習】證明：∵AD⊥l，BE⊥l，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，∴∠DAC+∠ADC＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∴∠BCE＝∠DAC，∵AC＝B