2024-2025學(xué)年廣東省廣州市高一下冊3月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試題（附解析）

2024-2025學(xué)年廣東省廣州市高一下學(xué)期3月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試題一、單選題（每題5分，8題共40分）1.如圖，在平行四邊形中，是的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，設(shè)，，則（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】題意可得，即可得到，再根據(jù)平面向量線性運(yùn)算計(jì)算即可.【詳解】依題意在平行四邊形中，，又是的中點(diǎn)，則，又與交于點(diǎn)，所以，則，所以，又，所以故選：A.2.在中，，，，則為（）A. B. C.或 D.【正確答案】B【分析】根據(jù)給定條件利用正弦定理并結(jié)合大邊對大角求解即得.【詳解】在中，因，，，則由正弦定理得：，因，則，于是得，所以為.故選：B3.G是的重心，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，若，則角（）A.90° B.60°C.45° D.30°【正確答案】D【分析】根據(jù)重心的性質(zhì)得a∶b∶c＝1∶1∶1，由此應(yīng)用余弦定理可求得．【詳解】因?yàn)镚是的重心，所以有.又，所以a∶b∶c＝1∶1∶1，設(shè)c＝，則有a＝b＝1，由余弦定理可得，cosA＝，所以A＝30°，故選：D.4.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，若，，且，則的面積為（）A.3 B.C. D.3【正確答案】C【分析】由向量平行的坐標(biāo)表示結(jié)合余弦定理可得，再由三角形的面積公式求解即可；【詳解】因，，且，所以，化為.所以，解得.所以.故選：C5.已知滿足，，且向量在向量上的投影向量為，則（）A. B. C. D.2【正確答案】C【分析】令，過作于，利用投影向量的意義求出，再利用垂直關(guān)系的向量表示，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律求出，由給定向量等式確定點(diǎn)的位置即可求解.【詳解】在中，令，過作于，，由向量在向量上的投影向量為，得，解得，則，由，得，解得，由，得，即，因此，在中，.故選：C6.已知非零向量與滿足，且，，點(diǎn)是的邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A.－1 B. C. D.【正確答案】C【分析】分析題目條件可得，取的中點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)運(yùn)算可得結(jié)果.【詳解】∵分別表示與方向的單位向量，∴以這兩個(gè)單位向量為鄰邊的平行四邊形是菱形，故所在直線為的平分線所在直線，∵，∴的平分線與垂直，故.取的中點(diǎn)，連接，則，由題意得，，∴.如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，故.設(shè)，則，∴，∴，，∴，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為.故選：C.7.在中，，，最短邊的長為，則最長邊的長為（）A. B. C. D.5【正確答案】D【分析】易得，則，再利用兩角和的正切公式求出，即可得出最長邊和最短邊，再利用正弦定理即可得解.【詳解】由，，所以，所以，又，所以，所以，所以，故，為最長的邊，由，得，則，所以（舍去），由正弦定理得，所以.即最長邊的長為.故選：D.8.某同學(xué)用3個(gè)全等的小三角形拼成如圖所示的等邊△，已知，，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】設(shè)，在中，分別利用正弦定理和余弦定理，求得邊長AC，再利用三角形面積公式求解.【詳解】解：在中，，又，則，設(shè)，則，在中，由正弦定理得，解得，在中，由余弦定理得，即，又，解得，則，所以，故選：B二、多選題（每題6分，部分選對得部分分，選錯(cuò)不得分，全部選對得6分，3題共18分）9.在中，下列結(jié)論中，正確的是（）A.若，則是等腰三角形B.若，則C.若，則為銳角三角形D.若，且結(jié)合BC的長解三角形，有兩解，則BC長的取值范圍是【正確答案】AB【分析】對A，根據(jù)及角A、B的范圍，可判斷A的正誤；對B，根據(jù)大邊對大角原則，可判斷B的正誤；對C，根據(jù)條件及余弦定理，可判斷C的正誤；對D，利用三角形個(gè)數(shù)的情況，可判斷D的正誤.【詳解】對于A，因?yàn)?，且，且，所以，所以是等腰三角形，所以選項(xiàng)A正確；對于B，由，則，可得，所以選項(xiàng)B正確；對于C，由，以及余弦定理可得，又，所以，但不知角的值，不一定為銳角三角形，所以C錯(cuò)誤；對于D，由，若三角形有兩解，則，所以長的取值范圍是，所以D錯(cuò)誤.故選：AB.10.數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心?重心?垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半.這條直線被后人稱為三角形的歐拉線，該定理則被稱為歐拉線定理.設(shè)點(diǎn)分別為三角形的外心?重心?垂心，且為的中點(diǎn)，則（）A. B.C. D.【正確答案】ABC【分析】利用歐拉線的幾何性質(zhì)，再結(jié)合平面幾何中的平行性質(zhì)，以及向量的線性運(yùn)算，即可作出判斷.【詳解】對于A，由是的中點(diǎn)，又由是外心，是垂心，可知:所以，根據(jù)平行線分線段成比例可知：，又由歐拉線的性質(zhì)可知：，所以，即，故A正確；對于B，由于是重心，所以，而是的中點(diǎn)，所以，代入上式可得：，故B正確；對于C，因?yàn)槭峭庑?，所以，故C正確；對于D，由向量的加法可知：，故D錯(cuò)誤；故選：ABC.11.已知三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對應(yīng)邊分別為a，b，c，且，，則下列結(jié)論正確的有（）A.面積最大值為 B.C.周長的最大值為6 D.的取值范圍為【正確答案】AC【分析】A選項(xiàng)，利用余弦定理和基本不等式求解面積的最大值；B選項(xiàng)，利用余弦定理計(jì)算可判斷；C選項(xiàng)，利用余弦定理和基本不等式求解周長的最大值；D選項(xiàng)，用進(jìn)行變換得到，結(jié)合A的取值范圍得到的取值范圍.【詳解】解：對于A，由余弦定理得：，解得：，由基本不等式得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，所以，故，故A正確；對于B，，故B不正確；對于C，由余弦定理得：，解得：，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，所以，周長，所以周長的最大值為6，故C正確；對于D，，因?yàn)椋?，所以，故D錯(cuò)誤.故選：AC.三、填空題（每題5分，3題共15分）12.設(shè)是單位向量，且，則的最小值為__________．【正確答案】【分析】設(shè)與的夾角為，根據(jù)已知，利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算將化為關(guān)于的三角函數(shù)表達(dá)式，進(jìn)而利用三角函數(shù)的性質(zhì)求得最小值.【詳解】，且均為單位向量，∴，||=1，,∴設(shè)與的夾角為θ，則.故的最小值為故13.在中，內(nèi)角所對的邊分別為，若，，則的面積為_____．【正確答案】【分析】由正弦定理邊角轉(zhuǎn)化得，結(jié)合余弦定理可得，利用三角形面積公式可得結(jié)果.【詳解】∵，∴由正弦定理得，∴，即，∴，即，由正弦定理得，∵，∴，由余弦定理得，得，∴的面積．故．14.作用于同一點(diǎn)的三個(gè)力處于平衡狀態(tài)，已知，，的夾角為，則與夾角的大小為______.【正確答案】【分析】結(jié)合平面向量的運(yùn)算法則和數(shù)量積的計(jì)算公式求解，由，可得，從而利用數(shù)量積的定義列式求解即可.【詳解】因?yàn)?，，三個(gè)力處于平衡狀態(tài)，所以，則，所以，設(shè)夾角的大小為，由得，所以，所以，又，所以，即與夾角的大小為.故四、解答題（3題共47分）15.已知，，與夾角為.（1）若與共線，求實(shí)數(shù)的值；（2）求的值；（3）若向量與的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【正確答案】（1）（2）（3）【分析】（1）利用向量共線定理得到方程組，解出即可；（2）根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律和定義計(jì)算即可；（3）根據(jù)向量夾角為銳角，則向量數(shù)量積大于0，并去掉共線同方向的情況即可.【小問1詳解】因?yàn)榕c共線，所以存在實(shí)數(shù)使得，所以，解得，所以；【小問2詳解】因?yàn)?，，與的夾角為，所以，所以，則；【小問3詳解】向量與的夾角是銳角，可得，且與不同向共線，即為，即有，解得，由與共線，可得，解得，當(dāng)時(shí)，兩者同向共線，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.16.已知分別為的角所對的邊，且滿足，．（1）求；（2）若外接圓的半徑為，求.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理即可求解；（2）先利用三角形內(nèi)角和定理和兩角差的正弦公式求得的值，再根據(jù)正弦定理求解即可.【小問1詳解】，由正弦定理可得，，.，.【小問2詳解】由（1）知，.，，.由正弦定理可知，.17.如圖，在中，為邊上一點(diǎn)，且.（1）求的長及的值；（2）若，求周長；（3）若，求中邊上的高.【正確答案】（1），（2）（3）【分析】（1）在中，利用正弦定理即可求出，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及兩角和得正弦公式即可求出；（2）由，可得，在中，利用正弦定理求出，再在中，利用余弦定理求出，即可得解；（3）先根據(jù)三角形的面積公式求出，再在中，由余弦定理求出，再在中，由余弦定理求出，即可得解.【小問1詳解】因?yàn)?，，所以，所以，在中，由正弦定理得，所以，；【小?詳解】因?yàn)?，所以，即，在中，由?）結(jié)合正弦定理得，所以，所以，在中，由余弦定理得，所以，所以的周長為；【小問3詳解】，所以，