2024-2025學年高中數(shù)學第三章導數(shù)及其應用3.1.1變化率問題3.1.2導數(shù)的概念練習含解析新人教A版選修1-1

PAGE1-3.1.1改變率問題3.1.2導數(shù)的概念[學生用書P121(單獨成冊)])[A基礎達標]1．已知點A(x1，y1)，B(x2，y2)在函數(shù)y＝f(x)的圖象上，若函數(shù)f(x)從x1到x2的平均改變率為eq\r(3)，則下面敘述正確的是()A．曲線y＝f(x)的割線AB的傾斜角為eq\f(π,6)B．曲線y＝f(x)的割線AB的傾斜角為eq\f(π,3)C．曲線y＝f(x)的割線AB的斜率為－eq\r(3)D．曲線y＝f(x)的割線AB的斜率為－eq\f(\r(3),3)解析：選B.函數(shù)f(x)從x1到x2的平均改變率就是割線AB的斜率，所以kAB＝eq\r(3)，割線AB的傾斜角為eq\f(π,3)，選B.2．已知函數(shù)y＝eq\f(2,x)，當x由2變?yōu)?.5時，函數(shù)值y的增量為()A．1 B．2C.eq\f(1,3) D．eq\f(3,2)解析：選C.Δy＝eq\f(2,1.5)－eq\f(2,2)＝eq\f(4,3)－1＝eq\f(1,3).3．若函數(shù)y＝ax＋b在區(qū)間[1，2]上的平均改變率為3，則a＝()A．－3 B．2C．3 D．－2解析：選C.依據(jù)平均改變率的定義及題設可知eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(（2a＋b）－（a＋b）,2－1)＝a＝3.故選C.4．一質點位移隨時間改變的函數(shù)為s(t)＝5－3t2(位移單位：m，時間單位：s)，若該質點從t＝1到t＝1＋Δt這段時間內的平均速度為－3Δt－6，則該質點在t＝1時的瞬時速度是()A．－3m/s B．3m/sC．6m/s D．－6m/s解析：選D.當Δt趨近于0時，－3Δt－6趨近于－6，即t＝1時該質點的瞬時速度為－6m/s.5．若函數(shù)f(x)＝－x2＋10的圖象上一點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(31,4)))及鄰近一點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)＋Δx，\f(31,4)＋Δy))，則eq\f(Δy,Δx)＝()A．3 B．－3C．－3－(Δx)2 D．－Δx－3解析：選D.因為Δy＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)＋Δx))－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝－3Δx－(Δx)2，所以eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(－3Δx－（Δx）2,Δx)＝－3－Δx.6．球的半徑從1增加到2時，球的體積的平均膨脹率為________．解析：因為Δy＝eq\f(4,3)π×23－eq\f(4,3)π×13＝eq\f(28π,3)，所以eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(\f(28π,3),2－1)＝eq\f(28π,3).答案：eq\f(28π,3)7．函數(shù)y＝x－eq\f(1,x)在x＝1處的導數(shù)為________．解析：因為Δy＝(1＋Δx)－eq\f(1,1＋Δx)－(1－1)＝Δx＋eq\f(Δx,1＋Δx)，所以eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(Δx＋\f(Δx,1＋Δx),Δx)＝1＋eq\f(1,1＋Δx).當Δx→0時，eq\f(Δy,Δx)→2，所以函數(shù)y＝x－eq\f(1,x)在x＝1處的導數(shù)為2.答案：28．設函數(shù)y＝x2＋2x在某點處的導數(shù)等于3，則該點的坐標是________．解析：y′|x＝x0＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(（x0＋Δx）2＋2（x0＋Δx）－xeq\o\al(2,0)－2x0,Δx)＝2x0＋2，又2x0＋2＝3，所以x0＝eq\f(1,2).所以該點的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(5,4))).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(5,4)))9．某嬰兒從誕生到第12個月的體重改變如圖所示，試分別計算該嬰兒從誕生到第3個月以及第6個月到第12個月體重的平均改變率．解：從誕生到第3個月的時間改變量為Δt＝3－0＝3(月)，從誕生到第3個月的體重改變量為ΔW＝6.5－3.5＝3(kg)，則該嬰兒從誕生到第3個月的體重的平均改變率為eq\f(ΔW,Δt)＝eq\f(3,3)＝1(kg/月)．從第6個月到第12個月的時間改變量為Δt＝12－6＝6(月)，從第6個月到第12個月的體重改變量為ΔW＝11－8.6＝2.4(kg)，則該嬰兒從第6個月到第12個月的體重的平均改變率為eq\f(ΔW,Δt)＝eq\f(2.4,6)＝0.4(kg/月)．10．若函數(shù)f(x)＝－x2＋x在[2，2＋Δx](Δx>0)上的平均改變率不大于－1，求Δx的取值范圍．解：因為函數(shù)f(x)在[2，2＋Δx]上的平均改變率為：eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（2＋Δx）－f（2）,Δx)＝eq\f(－（2＋Δx）2＋（2＋Δx）－（－4＋2）,Δx)＝eq\f(－4Δx＋Δx－（Δx）2,Δx)＝－3－Δx，所以由－3－Δx≤－1，得Δx≥－2.又因為Δx>0，即Δx的取值范圍是(0，＋∞)．[B實力提升]11．設函數(shù)f(x)在x＝2處的導數(shù)存在，則eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(f（2）－f（2＋Δx）,2Δx)＝()A．－2f′(2) B．2f′(2)C．－eq\f(1,2)f′(2) D．eq\f(1,2)f′(2)解析：選C.因為函數(shù)f(x)在x＝2處的導數(shù)存在，所以eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(f（2）－f（2＋Δx）,2Δx)＝－eq\f(1,2)eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(f（2＋Δx）－f（2）,Δx)＝－eq\f(1,2)f′(2)．12．若函數(shù)y＝f(x)＝eq\r(x)在點x＝x0處的瞬時改變率是eq\f(\r(3),3)，則x0的值是()A.eq\f(3,4) B．eq\f(1,2)C．1 D．3解析：選A.eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(\r(x0＋Δx)－\r(x0),Δx)＝eq\f(（\r(x0＋Δx)－\r(x0)）（\r(x0＋Δx)＋\r(x0)）,Δx（\r(x0＋Δx)＋\r(x0)）)＝eq\f(1,\r(x0＋Δx)＋\r(x0))，當Δx→0時，eq\f(Δy,Δx)→eq\f(1,2\r(x0))，所以eq\f(1,2\r(x0))＝eq\f(\r(3),3)，所以x0＝eq\f(3,4).13．求y＝x2＋eq\f(1,x)＋5在x＝2處的導數(shù)．解：因為Δy＝(2＋Δx)2＋eq\f(1,2＋Δx)＋5－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(22＋\f(1,2)＋5))＝4Δx＋(Δx)2＋eq\f(－Δx,2（2＋Δx）)，所以eq\f(Δy,Δx)＝4＋Δx－eq\f(1,4＋2Δx)，所以y′|x＝2＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋Δx－\f(1,4＋2Δx)))＝4＋0－eq\f(1,4＋2×0)＝eq\f(15,4).14．(選做題)若一物體的運動方程如下(s單位：m，t單位：s)：s＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3t2＋2，t≥3，,29＋3（t－3）2，0≤t＜3.))求：(1)物體在t∈[3，5]內的平均速度；(2)物體的初速度v0；(3)物體在t＝1時的瞬時速度．解：(1)t∈[3，5]時，Δt＝5－3＝2，Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝48，所以eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(48,2)＝24(m/s)．(2)求物體的初速度v0即求物體在t＝0時的瞬時速度．因為物體在t＝0旁邊的平均速度為eq\o(v,\s\up6(－))＝eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(s（0＋Δt）－s（0）,Δt)＝eq\f(29＋3[（0＋Δt）－3]2－29－3（0－3）2,Δt)＝3Δt－18，所以當Δt趨于0時，eq\o(v,\