高中數(shù)學(xué)教案直線與平面垂直的判定

直線與平面垂直的判定

銅陵市第三中學(xué)曹君

一、教學(xué)內(nèi)容解析：

本節(jié)課選自人教A版教材必修2中第二章第三節(jié)第一小節(jié)《直線與平面垂直

的判定》，共2課時，本節(jié)為第一課時。本節(jié)課的內(nèi)容主要包括直線與平面垂直

的定義和判定定理兩部分，均為概念性知識.線面垂直是在學(xué)生掌握了線在面內(nèi)，

線面平行之后，緊接著研究的線面相交位置關(guān)系中的特例.線面平行研究了定義、

判定定理、相關(guān)結(jié)論以及性質(zhì)定理，為本節(jié)課提供了研究內(nèi)容和研究方法上的范

例.線面垂直是線線垂直的拓展，又是面面垂直的基礎(chǔ)，且后續(xù)內(nèi)容如：空間的

角和距離等又都使用它來定義，在本章中起著承上啟下的作用.

教學(xué)重點是操作確認(rèn)并概括出直線與平面垂直的定義，對直線與平面垂直的

判定定理的探究及簡單應(yīng)用.判定定理的教學(xué)，盡管新課程在必修課程中不要求

證明，但通過定理的探索過程，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的幾何直覺以及運用圖形語言進(jìn)

行交流的能力，并體會”空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題”，“無限問題轉(zhuǎn)化為有限問題”,

“線線垂直與線面垂直互相轉(zhuǎn)化”等數(shù)學(xué)思想，是本節(jié)課的重要任務(wù).

通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)研究，可進(jìn)一步完善學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)，更好地培養(yǎng)學(xué)生觀

察發(fā)現(xiàn)、空間想象、推理能力，體會由特殊到一般、類比、歸納、猜想、化歸等

數(shù)學(xué)思想方法.因此，學(xué)習(xí)這部分知識有著非常重要的意義.

二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)置：

課程和單元目標(biāo)：

教材淡化了對定理的證明，側(cè)重于對幾何體的直觀感知，這就要在教學(xué)過程

中多設(shè)置學(xué)生的自主觀察環(huán)節(jié)及動手體會的過程.通過學(xué)生親身經(jīng)歷觀察、發(fā)現(xiàn)、

猜想、直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證等定理形成與應(yīng)用的全過程，使學(xué)生真正

地逐步具備空間想象能力，以及體會等價轉(zhuǎn)化思想在解決問題中的運用.最終達(dá)

到，學(xué)會數(shù)學(xué)知識，更學(xué)會數(shù)學(xué)方法.

課堂教學(xué)目標(biāo)：

(1)、學(xué)生通過對實例、模型的觀察、抽象,概括出直線與平面垂直的定義，

并對定義進(jìn)行應(yīng)用.讓學(xué)生分組探究、猜想、歸納直線與平面垂直的判定定理,

能對定義與判定定理進(jìn)行簡單應(yīng)用，初步培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力和抽象概括能

力；

(2)、學(xué)生通過參與折紙試驗，歸納和確認(rèn)直線與平面垂直的判定定理，

并嘗試用數(shù)學(xué)語言(文字、符號、圖形語言)對定義、定理進(jìn)行準(zhǔn)確表述.在活

動中，學(xué)生通過獨立思考和合作交流，發(fā)展類比、歸納等合情推理能力、邏輯思

維能力和空間想象能力；

(3)、在探究線面垂直的定義和判定的過程中，體會數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)、簡潔之

美，體驗探究發(fā)現(xiàn)的樂趣，培養(yǎng)善于觀察、勇于探索的良好習(xí)慣.

三、學(xué)生學(xué)情分析：

學(xué)生已學(xué)過了兩直線垂直關(guān)系的判定，以及線面平行關(guān)系的判定和性質(zhì)，有

7"通過觀察、操作，然后抽象概括出數(shù)學(xué)結(jié)論”的經(jīng)驗與體會，有一定的空間

想象能力、推理論證能力以及運用圖形符號進(jìn)行交流的能力，具備學(xué)習(xí)本節(jié)知識

的基礎(chǔ).

要達(dá)成本節(jié)課的目標(biāo)，這些已有的知識和經(jīng)驗基礎(chǔ)不可或缺，還需要整體上

把握本節(jié)課的研究內(nèi)容、方法和途徑，能運用類比、化歸等數(shù)學(xué)思想，同時具備

較好地觀察發(fā)現(xiàn)、空間想象、合情推理、抽象概括等能力，以及獨立思考、合作

交流、反思質(zhì)疑等良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣.存在的認(rèn)知困難：一是如何從直線和平

面垂直的直觀形象中抽象概括出直線和平面垂直的定義.因為學(xué)生直觀感知中的

形象與定義中“直線與平面內(nèi)任意一條直線都垂直”的內(nèi)涵有一定的潛在距離；

二是在探究直線與平面垂直的判定定理過程中，對為什么要且只要''兩條相交直

線”的理解.因為定義中“任意一條直線”指的是“所有直線”，這種有“有限”

代替“無限”的過程在一定程度上會使學(xué)生產(chǎn)生思維障礙.

教學(xué)難點：①從直線和平面垂直的直觀形象中抽象概括出直線和平面垂直

的定義；②探究、歸納、理解直線與平面垂直判定定理，突破“無限”與“有限”

的轉(zhuǎn)化.

四、教學(xué)策略分析：

(1)、啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生類比探究線面平行的研究過程，按照“定義一一判定

定理一一有關(guān)結(jié)論一一，性質(zhì)定理”的研究程序，強(qiáng)化空間位置關(guān)系的常用研究策

略----降維化歸；

(2)、如何從直線與平面垂直的直觀形象中提煉出直線與平面垂直的定義，

讓學(xué)生認(rèn)識到線面垂直是由線線垂直來刻畫的，逐步形成概念體系，體會其中的

轉(zhuǎn)化思想，這對學(xué)生來講還比較困難.因此，在設(shè)計教學(xué)時，首先通過照片讓學(xué)

生直觀感知直線與平面垂直的具體形象，然后將模型抽象為幾何圖形，再用數(shù)學(xué)

語言對幾何圖形進(jìn)行精確的描述，讓學(xué)生在觀察演示過程中體會直線與平面垂直

定義的合理性.總言之，創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生形成關(guān)于線面垂直的直觀感知，歸納

定義；

(3)、用定義去判定直線與平面垂直往往是不方便的，如何在較短的時間

內(nèi)，讓學(xué)生找到判定直線與平面垂直的簡便方法，這對于學(xué)生來說又是一個難題.

因此，在教學(xué)過程中，先通過小組成員合作探究，類比之前探究其他判定定理的

過程和方法，大膽猜想，反復(fù)驗證，得出可能的線面垂直的判定定理；再通過折

紙試驗，精心設(shè)置問題，并且引導(dǎo)學(xué)生通過動手操作、擺出模型，然后借助動畫

加深對定理的兩個關(guān)鍵詞“雙垂直”和“相交”的理解和確認(rèn).

五、教學(xué)過程設(shè)計:

(一)、引入：

1、先看天安門廣場五星紅旗的照片，激發(fā)學(xué)生的愛國熱情.引導(dǎo)學(xué)生思考如

果三中操場上立一面新的旗桿，將旗桿抽象成一條直線，地面抽象成一個平面,

“怎樣檢驗旗桿與地面是不是垂直”.這個問題就是“如何判定直線與平面是否

垂直”的問題，也就是今天我們要研究的課題，從而引出新課.

【設(shè)計意圖】借助學(xué)生觀察生活中的數(shù)學(xué)問題引出課題，自然生動，既提高了學(xué)

生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，又體現(xiàn)了數(shù)學(xué)來源于生活.觀察圖片，將圖片中的實物抽象

為幾何圖形，直觀感知直線與平面的垂直.同時，也激發(fā)學(xué)生的愛國熱情.

【師生互動】觀察圖片，將圖片中的實物抽象為幾何圖形，直觀感知直線與平面

的垂直.

2、復(fù)習(xí)空間中點、直線、平面的位置關(guān)系中學(xué)習(xí)過的直線與平面的位置關(guān)

系中平行的探究過程，類比出研究直線與平面垂直的探究思路.直線和平面有幾

種位置關(guān)系？已經(jīng)掌握了直線和平面平行的哪些內(nèi)容？怎樣研究“直線與平面垂

直”呢？研究關(guān)于“直線與平面垂直”的什么內(nèi)容？

【設(shè)計意圖】啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生類比探究線面平行的研究過程，明確按照“定義一

判定定理一一有關(guān)結(jié)論一一，性質(zhì)定理”的研究程序，強(qiáng)化空間位置關(guān)系的常用研

究策略——降維化歸.

【師生互動】觀察圖片，將圖片中的實物抽象為幾何圖形，直觀感知直線與平面

的垂直.發(fā)揮想象，構(gòu)思意境，進(jìn)一步體會直線與平面的垂直.

（二）、探索新知：

從路由器模型中判斷哪些直線與平面垂直，哪些不垂直？找出直觀感受的原

因，“在平面內(nèi)找出一條和已知直線不垂直，則線面不垂直”，即“已知直線與

所有直線都垂直才可以達(dá)到線面垂直的目的”.“所有直線”不能換為“無數(shù)條

直線”，歸納出直線與平面垂直的準(zhǔn)確定義.

1、定義：如果直線/與平面a內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線/與平面

?；ハ啻怪?，記作：l±a.直線/叫做平面a的垂線，平面a叫做直線/的垂

面.直線與平面垂直時，它們唯一的公共點尸叫做垂足.aP

/垂直于a內(nèi)的任何一條直線=/_La

畫法：畫直線與平面垂直時，通常把直線畫成與表示

平面的平行四邊形的一邊垂直.

【設(shè)計意圖】借助模型的演示過程構(gòu)建直線與平面垂直的定義，可以幫助學(xué)生建

立對定義的直觀感受，既真實又有效.并引導(dǎo)學(xué)生用“正難則反”的思想來思考

問題，進(jìn)一步概括直線與平面垂直的定義.

【師生互動】學(xué)生思考作答，教師補(bǔ)充完善，指出定義中的“任意一條直線”與

“所有直線”是同義詞，定義是說這條直線和平面內(nèi)所有直線垂直.引導(dǎo)學(xué)生主

動思考辨析，利用現(xiàn)有工具擺出反例模型，提高學(xué)生動手能力，同時給出線面垂

直的記法與畫法.

2、定義應(yīng)用：

小實驗：拿一塊教學(xué)用的直角三角板，驗證旗桿與地面的垂直.

設(shè)計一個實驗，驗證旗桿與水平地

學(xué)生設(shè)計：三角板的直角頂點C與旗桿底端重合，直角邊BC所在直線與旗

桿所在直線重合，將三角板繞BC轉(zhuǎn)動，在轉(zhuǎn)動過程中，直角邊AC與地面緊貼.

教師Flash展示.

問題1：在轉(zhuǎn)動前，BC邊與AC邊是什么位置關(guān)系？

問題2：在轉(zhuǎn)動過程中，AC邊一直在移動，BC邊與AC邊是什么位置關(guān)系？

問題3：BC邊與地面任意一條不過C點的直線又是什么位置關(guān)系？

（幾何畫板證明）

【設(shè)計意圖】通過試驗，讓學(xué)生應(yīng)用直線與平面垂直的定義，培養(yǎng)學(xué)生的動手操

作能力和幾何直觀能力.同時，再次加深對定義的理解：如果要得到一條直線與

一個平面垂直，需要證明直線與平面內(nèi)所有直線垂直.讓學(xué)生感受到定義的繁瑣,

為要尋找判定定理埋下伏筆.

【師生互動】在驗證過程中，學(xué)生會出現(xiàn)驗證“BC與平面內(nèi)過點C所有直線垂

直”和“BC與平面內(nèi)不過點C所有直線垂直”兩種情況的驗證，引導(dǎo)學(xué)生全面

考慮問題，過程的嚴(yán)謹(jǐn)性.

3.(1)分組探究直線與平面垂直的判定定理：

顯然，根據(jù)定義判定直線與平面垂直，需要判定直線與平面內(nèi)“任何一條直

線”即“所有直線”都垂直。而事實上這往往是難以實現(xiàn)的，我們可否尋求一個

更為簡便的方法，用有限條直線來代替所有直線？

分小組討論，一起探究直線與平面垂直的判定定理.引導(dǎo)學(xué)生可以類比之前

探究其他判定平行或者垂直的判定定理的過程和方法，大膽的猜想可能的線面垂

直的判定定理是什么，再通過實例論證猜想的正確與錯誤，最終得出小組的探究

成果.

用“智慧課堂”展示小組探究的成果和思考過程，讓小組成員展示他們的探

究過程和探究成果.

【設(shè)計意圖】通過問題思考與實例分析，尋找具有可操作性的判定方法，體驗

有限與無限之間的辯證關(guān)系.讓學(xué)生通過類比探究過程，不斷的猜想和論證，在

學(xué)生們的探究過程中加深對探究方法和過程的感受和深刻理解，也為判定定理的

得出更加水到渠成.

(2)探究判定定理的試驗：

請同學(xué)們拿出準(zhǔn)備好的一塊矩形紙片，如圖所示，

過矩形兩對邊上各一點E、F翻折紙片，得到折痕EF,

將翻折后的紙片豎起放置在桌面上(BF、FC與桌面接觸).

觀察并思考：折痕EF與桌面垂直嗎？為什么？若不垂直,

如何翻折才能使折痕EF與桌面所在的平面垂直？教師

進(jìn)行動畫演示.

思考：你能歸納出除定義以外的直線與平面垂直的證明方法嗎？

【設(shè)計意圖】1.通過試驗，引導(dǎo)學(xué)生獨立發(fā)現(xiàn)直線與平面垂直的條件，培養(yǎng)學(xué)生

的動手操作能力和幾何直觀能力.2.從另一個角度理解定義：如果要說明一條直

線與平面不垂直，只需在平面內(nèi)找到一條直線與它不垂直就夠了.

【師生互動】在折紙試驗中，學(xué)生會出現(xiàn)“垂直”與“不垂直”兩種情況，引導(dǎo)

學(xué)生進(jìn)行交流，根據(jù)直線與平面垂直的定義分析“不垂直”的原因.學(xué)生再次折

紙，進(jìn)而探究直線與平面垂直的條件，經(jīng)過討論交流，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)只要保證折痕

EF是BC邊上的高，即EF_LBC,翻折后折痕EF就與桌面垂直，再利用多媒體演

示翻折過程，增強(qiáng)幾何直觀性.

4、直線與平面垂直的判定定理:

如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂

直。

圖形語言表示:

付號語舌表小：aajj（-a,aC\b=尸,/_La,/_LZ?=/_La

【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)直觀感知及已有知識經(jīng)驗，進(jìn)行合情推理，獲得判定

定理，并體會將空間問題平面化，無限問題有限化的轉(zhuǎn)化思想.

5、類似命題：

直線與平面平行中成立的相關(guān)結(jié)論：

兩條平面外的平行線，一條平行于平面，則另一條直線也和這個平面平行.

a/la,haa,a〃b=blla

猜想：

在直線與平面垂直中類似的命題：兩條平行線，一條垂直于平面，則另一條直線

也和這個平面垂直.是否正確？正確給出嚴(yán)格數(shù)學(xué)證明.

【設(shè)計意圖】讓學(xué)生學(xué)會思考問題，探索新知，而不是一味的做題，用于解題,

而是尋找問題，類比地合情推理，為后續(xù)學(xué)習(xí)服務(wù)，灌輸在平時.而本命題的證

明也是本節(jié)課的定義和定理的應(yīng)用.

（三）、應(yīng)用舉例

例：已知a〃仇。a,求證：bl.a.

證明方法一：由a'a,得：°垂直于a內(nèi)所有直線；

又因為a/〃，所有b垂直于a內(nèi)所有直線；

所以/?_La.

證明方法二：在平面a內(nèi)作兩條相交直線機(jī)〃.工—m

因為直線aJ_a，

根據(jù)直線與平面垂直的定義知_L〃；

又因為a//〃，所以

又因為mua,〃ua,zTi,〃是兩條相交直線，所以/?_La.

讓學(xué)生在紙上書寫自己的證明過程，教師及時糾正和引導(dǎo)，用“智慧課堂”展示

學(xué)生中的兩種做法.

【設(shè)計意圖】初步感受如何運用直線與平面垂直的判定定理與定義解決問題，明

確運用線面垂直判定定理的條件.

【師生互動】第一次應(yīng)用判定定理的嘗試，教師引導(dǎo)學(xué)生理清思路，并做規(guī)范化

的解答，為學(xué)生后面熟練的應(yīng)用定理打下基礎(chǔ).兩種方法各有所長.

（四）、課堂小結(jié)：

1、本節(jié)課你學(xué)會了哪些判定直線與平面垂直的方法？

（1）定義法：強(qiáng)調(diào)是“任何一條直線”

（2）判定定理法：必須是“兩條相交直線”。

2、直線與平面垂直的判定定理中體現(xiàn)了什么數(shù)學(xué)思想方法？

轉(zhuǎn)化，化歸，類比，先猜想后論證.

【設(shè)計意圖】回顧和總結(jié)本節(jié)課的主要內(nèi)容，優(yōu)化重組認(rèn)識結(jié)構(gòu)，并鼓勵學(xué)生多

總結(jié)，多反思.

【師生互動】學(xué)生發(fā)言，互相補(bǔ)充，教師點評完善，歸納出判斷直線與平面垂直

的方法.

（五”課后作業(yè)：

1、課本67頁練習(xí)：1、2、3

2、請借助信息網(wǎng)絡(luò)，以“生活中的垂直”為題，寫一篇數(shù)學(xué)應(yīng)用小論