高中數(shù)學基礎(chǔ)知識（文本格式）

⑸在關(guān)于原點對稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)：奇函數(shù)有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)有相反的單調(diào)性；

第二十六節(jié)高中數(shù)學基礎(chǔ)知識匯總

(6)若所給函數(shù)的解析式較為復(fù)雜，應(yīng)先等價變形，再判斷其奇偶性；

第一部分集合6.函數(shù)的單調(diào)性

1.理解集合中元素的意義是解決集合問題的關(guān)鍵：元素是函數(shù)關(guān)系中自變量的取值？還是⑴單調(diào)性的定義：

因變量的取值？還是曲線上的點？…；

①f(x)在區(qū)間M上是增函數(shù)?Vxpx2eM,當xx<x2時有

2.藜形縝令是解集合問題的常用方法：解題時要盡可能地借助數(shù)軸、直角坐標系或韋恩圖

等工具，將抽象的代數(shù)問題具體化、形象化、直觀化，然后利用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決;/(%1)-/(%2)<00(再-％2>[/(王)―/(%2)]>0O'區(qū))>。；

(1)含n個元素的集合的子集數(shù)為21真子集數(shù)為211—1；非空真子集的數(shù)為2n-2；

3.2-x2

(2)A^B^>AC\B=A<=>A\JB=B;注意：討論的時候不要遺忘了A=。的情況。

②/(x)在區(qū)間M上是減函數(shù)?Vxj,x2eM,當王<%2時有

(3)C,(AU5)=(GA)A(G5);G(ADJ)=(GA)U(gB);

/(王)-f(x2)>0O(再一％2)?"(匹)-/(%2)]<0="1)"2)<0；

x

4.。是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。X]_2

⑵單調(diào)性的判定

第二部分函數(shù)與導數(shù)

①定義法：

1.映射：注意①第一個集合中的元素必須有象；②一對一，或多對一。

2.函數(shù)值域的求法：①分析法；②配方法；③判別式法；④利用函數(shù)單調(diào)性；注意：一般要將式子/(/)-/。2)化為幾個因式作積或作商的形式，以利于判斷符號；

⑤換元法；⑥利用均值不等式，而(”2②導數(shù)法(見導數(shù)部分)；

⑦利用數(shù)形結(jié)合或幾何意義(斜率、

③復(fù)合函數(shù)法(見2(2))；

④圖像法。

距離、絕對值的意義等)；⑧利用函數(shù)有界性(優(yōu)、sinx、cosx等)；⑨導數(shù)法注：證明單調(diào)性主要用定義法和導數(shù)法。

7.函數(shù)的周期性

3.復(fù)合函數(shù)的有關(guān)問題

(1)周期性的定義：

(1)復(fù)合函數(shù)定義域求法：

①若f(x)的定義域為[a,b]則復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的定義域由不等式aWg(x)生解出②若f[g(x)]對定義域內(nèi)的任意X，若有/(九+7)=/(幻(其中T為非零常數(shù))，則稱函數(shù)/(九)為周

的定義域為[a,b],求f(x)的定義域，相當于x￡[a,b]時，求g(x)的值域。

期函數(shù)，T為它的一個周期。

(2)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判定：

所有正周期中最小的稱為函數(shù)的最小正周期。如沒有特別說明，遇到的周期都指最小正周

①首先將原函數(shù)丁=/出(元)]分解為基本函數(shù)：內(nèi)函數(shù)〃=g(九)與外函數(shù)丁=f(u)；期。

(2)三角函數(shù)的周期

②分別研究內(nèi)、外函數(shù)在各自定義域內(nèi)的單調(diào)性；

③根據(jù)“同性則增，異性則減”來判斷原函數(shù)在其定義域內(nèi)的單調(diào)性。?y=sinx:T=2TT；?y=cosx\T=2n；(3)y=tanx:T=7r；

注意：外函數(shù)y=/(〃)的定義域是內(nèi)函數(shù)"=g(x)的值域。

2冗冗

④y=Asin(加+0),y=Acos(以+夕)：T=---；⑤y=tan〃：T=---；

4.分段函數(shù)：值域(最值)、單調(diào)性、圖象等問題，先分段解決，再下結(jié)論。\0}\\CD\

5.函數(shù)的奇偶性

⑶函數(shù)周期的判定

⑴函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必攀條件；

①定義法(試值)②圖像法③公式法(利用(2)中結(jié)論)

⑵f(%)是奇函數(shù)Of(-x)=-/(x)o/(一X)+“X)=0o=一1；⑷與周期有關(guān)的結(jié)論

①/(%+〃)=/(兀一。)或/(%-2々)=f(x)(a>0)nf(x)的周期為2a；

⑶/(X)是偶函數(shù)of(-x)=/(x)=/(-X)-/(x)=0==1；

f(x)

②'=/(x)的圖象關(guān)于點(a,O),g,O)中心對稱=>/(x)周期為21a-4

⑷奇函數(shù)/(%)在原點有定義，貝|/(0)=0；

③丁=/(%)的圖象關(guān)于直線％=。,％=人軸對稱n/(%)周期為21〃一4；iy=/(x)-y=/(I尤I)右不動，右向左翻(/(%)在y左側(cè)圖象去掉);

④,=/(%)的圖象關(guān)于點(〃,0)中心對稱，直線％=匕軸對稱n/(%)周期為4k—4；my=/(x)fyN/(幻I-----上不動，下向上翻("(幻|在％下面無圖象)；

8.基本初等函數(shù)的圖像與性質(zhì)H.函數(shù)圖象(曲線)對稱性的證明

⑴塞函數(shù)：y=xa(a￡H)；⑵指數(shù)函數(shù)：y=a"(a>0,aw1)；(D證明函數(shù)y=/(x)圖像的對稱性，即證明圖像上任意點關(guān)于對稱中心(對稱軸)的對稱

點仍在圖像上；

⑶對數(shù)函數(shù):y=logqx(a>0,aw1)；⑷正弦函數(shù):y=sin%；

(2)證明函數(shù)y=/(九)與丁=8(幻圖象的對稱性，即證明y=/(尤)圖象上任意點關(guān)于對

⑸余弦函數(shù)：y=cosx；(6)正切函數(shù)：y=tanx；⑺一元二次函數(shù)：ax2+bx+c=0；

稱中心(對稱軸)的對稱點在y=g(光)的圖象上，反之亦然；

⑻其它常用函數(shù)：

ki注：

①正比例函數(shù)：y=kx(k^0)；②反比例函數(shù)：y=—(左。0)；特別的y=—

XX①曲線Ci：f(x,y)=0關(guān)于點(a,b)的對稱曲線C2方程為：f(2a-x,2b-y)=0;

②曲線Ci：f(x,y)=0關(guān)于直線x=a的對稱曲線C2方程為：f(2a—x,y)=0;

②函數(shù)y=x+—(a>0)；

x③曲線Ci：f(x,y)=0,關(guān)于y=x+a(或y=—x+a)的對稱曲線C2的方程為f(y—a,x+a)=0(或f(—y+a,

9.二次函數(shù)：—x+a)=0);

⑴解析式：@f(a+x)=f(b—x)(x￡R)---->y=f(x)圖像關(guān)于直線x=39■對稱；

①一般式：f(x)=ax2+bx+c；②頂點式：/(x)=a(x-h)2+k,(九女)為頂點；

特別地：f(a+x)=f(a—x)(x￡R)---->y=f(x)圖像關(guān)于直線x二a對稱；

③零點式：/(x)=a(x-)(x-x2)o

⑤函數(shù)y=f(x—a)與y=f(b—x)的圖像關(guān)于直線x=￡3對稱；

⑵二次函數(shù)問題解決需考慮的因素：2

①開口方向；②對稱軸；③端點值；④與坐標軸交點；⑤判別式；⑥兩根符號。12.函數(shù)零點的求法：

⑶二次函數(shù)問題解決方法：①數(shù)形結(jié)合；②分類討論。

⑴直接法(求/(x)=0的根)；⑵圖象法；⑶二分法.

10.函數(shù)圖象：

⑴圖象作法：①描點法(特別注意三角函數(shù)的五點作圖)②圖象變換法③導數(shù)法13.導數(shù)

⑵圖象變換：⑴導數(shù)定義：f(x)在點X。處的導數(shù)記作引=/(%)=-/(%+=)-/(/)；

'—Ax

①平移變換：iy=/(x)fy=/(x±a),(a〉0)------左“+”右

⑵常見函數(shù)的導數(shù)公式:①C=0；②(丁)’二；③(sinx)'=cosx；

iiy=/(x)fy=f(x)±k,(k>0)----上“+”下

xxxx

?(cosx)=-sinx；@(a)=a]na；?(e)=e；?(logflx)=---；

②伸縮變換：xlna

iy=f(x)-y=/(次)，(。>0)-----縱坐標不變，橫坐標伸長為原來的,倍;⑧(In%)=,o

G)x

iiy=/(X)-y=Af(X)，(A>0)-------橫坐標不變，縱坐標伸長為原來的A倍；⑶導數(shù)的四則運算法則：(〃±口丫=ur±vr;(uvy=+_uvuv.

VV

③對稱變換：i>=f(x)—(0,0)>>=；ii)=/(x)—y=-f(x)；(4)(理科)復(fù)合函數(shù)的導數(shù)：乂=乂.心

⑸導數(shù)的應(yīng)用：①利

iii>=/(x)"=°>y=f(-x)；ivy=/(x)i>y=/-1(x)；

①利用導數(shù)求切線：注意：i所給點是切點嗎？ii所求的是在”還是“過”該點的切線？

④翻轉(zhuǎn)變換:②利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性：

i/'(x)>On/(x)是增函數(shù)；ii/'(x)<O=>/(x)為減函數(shù)；7.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式：①sin(。土力)=siimcos分土cosasin尸;

iii/'(x)=0=>/(x)為常數(shù)；—,八、c.?c?八、tana±tan￡

②cos@±4)=cos6Zcos〃干sinasm/;③tan(a±/>)=----------。

'1+tanatanp

③利用導數(shù)求極值：i求導數(shù)/'(X)；五求方程尸(x)=0的根；迨列表得極值。

8.二倍角公式：①sin2a=2sincrcosa；

④利用導數(shù)最大值與最小值：i求的極值；ii求區(qū)間端點值(如果有)；迨得最值。

②COS2Q=cos2cr-sin2a=2cos2or-l=l-2sin2a；③tan2a=

14.《理科)定積分1-tana

9.正、余弦定理：

⑴定積分的定義：=nhc

⑴正弦定理：——=——=-----=2R(2H是AA3C外接圓直徑)

z=l''sinAsin3sinC

pbpb

⑵定積分的性質(zhì)：①1kf(x)dx=k\f(x)dx(左常數(shù))；注：①c=sinA:sinB:sinC；②〃=2HsinA)=2HsinB,c=2RsinC；

JaJa

pbrbpbabca+b+c

式

②[lfi(x)+f2(x)]dx=\f^x)dx+\fx)dx；③-----------------=o

JaJaJasinAsin3sinCsinA+sin3+sinC

phpcfb

③|f{x}dx=ff{x}dx+ff(x)dx(其中〃<cvb)。力22_2

JaJaJc⑵余弦定理：a2=b2+c2—2AcosA等三個；注：cosA=-—-—J等三個。

2bc

⑶微積分基本定理(牛頓―萊布尼茲公式)：rf(x)dx=F(x)=F(b)-F{d)

Ja10o幾個公式:

⑴三角形面積公式：

⑷定積分的應(yīng)用：①求曲邊梯形的面積：S=J?|/(x)-g(x)|dx；

={P(P-a)(P-b)(p-c),(p=；(a+b+c))；

SMBC=—ah=—absinC

③求變速直線運動的路程：S=「v(f)〃；③求變力做功：W=f"F(x)dx?

JaJa

ccabc

第三部分三角函數(shù)、三角恒等變換與解三角形⑵內(nèi)切圓半徑i?二一2soBC;外接圓直徑2R=——=——

a+b+csinAsinBsmC

1.⑴角度制與弧度制的互化：/弧度=180°,1°=三弧度，1弧度=(更%。*57。18'

18071

⑵弧長公式：/=制；扇形面積公式：S=-0R2=-RK11.已知A時三角形解的個數(shù)的判定:

22

2.三角函數(shù)定義：角a中邊上任意一點尸為(x,y),設(shè)|。尸|=r則：其中h=bsinA,⑴A為銳角時：①a<h時,無解；

②a=h時，一解(直角)；③h<a<b時，兩解(一銳角,

yX+y

sina=—,cosa=—,tana=一一鈍角)；④aNb時，一解(一銳角)。

rrx

⑵A為直角或鈍角時：①aWb時，無解；②a>b時，

3.三角函數(shù)符號規(guī)律：一全正，二正弦，三兩切，四余弦；

一解(銳角)。

4.誘導公式記憶規(guī)律：”函數(shù)名不(改)變，符號看象限”；

兀k兀

5.⑴y=Asin(◎:+e)對稱軸：二_京+萬-j對稱中心：(■乃0,0)依eZ)；立體幾何

CD(0

1.三視圖與直觀圖：注：原圖形與直觀圖面積之比為2上：1。

,71

K7VH---------(p

k7C(2.表(側(cè))面積與體積公式：

⑵丁=Acos@￥+0)對稱軸：x=~P；對稱中心：(-----Z---,0)(A;eZ);

CDCD⑴柱體：①表面積：S=S側(cè)+2S底；②側(cè)面積：S側(cè)=2勿7?；③體積：V=S底h

6.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系：sin2x+cos2x=l;=tan光；⑵錐體：①表面積：S=S側(cè)+S底；②側(cè)面積：5側(cè)=勿7；③體積：V二—S底h：

cosx3

⑶臺體:①表面積：S=S娜+S上底S下底;②側(cè)面積：SAI=萬（「+r）/；③體積:V=—（S++S）⑵立平斜公式（最小角定理公式）：cos。=cos。1cos%;

3

h；⑶正棱錐的各側(cè)面與底面所成的角相等，記為6,則S側(cè)cos。二S底；

.4,⑷長方體的性質(zhì)

⑷球體：①表面積：S=4成2;②體積：V=—成3。

3①長方體體對角線與過同一頂點的三條棱所成的角分別為a,6,/,則：

3.位置關(guān)系的證明（主要方法）：

⑴直線與直線平行：①公理4；②線面平行的性質(zhì)定理；③面面平行的性質(zhì)定理。

cos2a+cos2P+cos2/=1；sin2a+sin20+sin2y=2。

⑵直線與平面平行：①線面平行的判定定理；②面面平行=線面平行。

⑶平面與平面平行：①面面平行的判定定理及推論；②垂直于同一直線的兩平面平行。

②長方體體對角線與過同一頂點的三側(cè)面所成的角分別為a,6,丁，則有

⑷直線與平面垂直：①直線與平面垂直的判定定理；②面面垂直的性質(zhì)定理。

⑸平面與平面垂直：①定義一兩平面所成二面角為直角；②面面垂直的判定定理。

cos2a+cos2p+cos2y=2；sin2a+sin20+sin2y=l。

注：理科還可用向量法。

4.求角：（步驟……Io找或作角；II。求角）⑸正四面體的性質(zhì)：設(shè)棱長為a,則正四面體的：

⑴異面直線所成角的求法：

①平移法：平移直線，構(gòu)造三角形；①高：h=—a；②對棱間距離：—a；③相鄰兩面所成角余弦值：-；④內(nèi)切球半徑:

323

②②補形法：補成正方體、平行六面體、長方體等，發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系。

注：理科還可用向量法，轉(zhuǎn)化為兩直線方向向量的夾角。

⑵直線與平面所成的角：當外接球半徑：—a；

124

①直接法（利用線面角定義）；②先求斜線上的點到平面距離h,與斜線段長度作比，得sinS。

注：理科還可用向量法，轉(zhuǎn)化為直線的方向向量與平面法向量的夾角。第五部分直線與圓

⑶二面角的求法：1.直線方程

①定義法：在二面角的棱上取一點（特殊點），作出平面角，再求解；

⑴點斜式：y~yo=左（%—%。）；⑵斜截式：y=kx+b；⑶截距式：—F—=1；

②三垂線法：由一個半面內(nèi)一點作（或找）到另一個半平面的垂線，用三垂線定理或逆定ab

理作出二面角的平面角，再求解；

⑷兩點式：，一乃二A%；⑸一般式：Ax+By+C=0,（A,B不全為0）。

③射影法：利用面積射影公式：S=Scose,其中。為平面角的大??；%一為尤2-尤1

注：對于沒有給出棱的二面角，應(yīng)先作出棱，然后再選用上述方法；

（直線的方向向量：（8,-A）,法向量（A,B）

理科還可用向量法，轉(zhuǎn)化為兩個班平面法向量的夾角。

5.求距離：（步驟……I。找或作垂線段；II。求距離）2.求解線性規(guī)劃問題的步驟是：

⑴兩異面直線間的距離：一般先作出公垂線段，再進行計算；（1）列約束條件；（2）作可行域，寫目標函數(shù)；（3）確定目標函數(shù)的最優(yōu)解。

⑵點到直線的距離：一般用三垂線定理作出垂線段，再求解；3.兩條直線的位置關(guān)系：

⑶點到平面的距離：

①垂面法：借助面面垂直的性質(zhì)作垂線段（確定已知面的垂面是關(guān)鍵），再求解；直線方程平行的充要條件垂直的充要條件備注

③等體積法；l'.y=kx+b

xxxkl=k2,blblk[,k2——1/1/有斜率

l2-y=k2x+b2

理科還可用向量法：dJ些叫

I[:AjX+Bjj+C,=0ABB[,且AA+BB=0不可寫成

2=A21212

⑷球面距離：（步驟）

（I）求線段AB的長；（II）求球心角NAOB的弧度數(shù)；（III）求劣弧AB的長。

/2:A^x+B2j+C2=0432G(驗證)分式

6.結(jié)論：

⑴從一點0出發(fā)的三條射線OA、OB、0C,若NAOB=NAOC,則點A在平面NBOC上的4.直線系

射影在NBOC的平分線上；

⑴過圓x2+y2=r2上的點M(xo,yo)的切線方程為：xox+yoy=r2；

直線方程y=kx+bAx+By+C=0過圓(x-a>+(y-b)2二產(chǎn)上的點M(xo,yo)的切線方程為：(xo-a)(x-a)+(yo-b)(y-b)=r2；

⑵以A(xi，y2)、B(x2,y2)為直徑的圓的方程：(X—xi)(x—X2)+(y-yi)(y—y2)=0o

平行直線系y=kx+mAx+By+m=0第六部分圓錐曲線

定義：⑴橢圓：\MF\+\MF\=2a(2a>\FFl)；

11.12912

垂直直線系y=——x+mBx—Ay+m=0

k

⑵雙曲線：—"||=2〃,(2〃<|與工|)；⑶拋物線：略

相交直線系A(chǔ)九+B],+Cj++32y+C*2)—0

2.結(jié)論

⑴焦半徑：①橢圓：|尸耳尸聞=々—倏”為離心率)；(左"+”右“，)；

5.幾個公式

⑴設(shè)A(xbyi)>B(x2,y2)>C(x3,y3),/ABC的重心G：(占+%+-與M+?+%)；

3'3

⑵點P(xo.yo)至lj直線Ax+By+C=0的距離：“=”+叫+。；⑵弦長公式：=Jl+32,歸2—芯|=J(l+Y)[(』+%2>—

VA2+B2

=+—W++必)2-4y%]；

⑶兩條平行線Ax+By+Ci=0與Ax+By+C2=0的距離是d=嗎Yl.

-XIA2+B2注：(I)焦點弦長：①橢圓：|A3|=2。±e(玉+%2)；②拋物線：=xi+x2+p=——；

sina

6.圓的方程：

(II)通徑(最短弦)：①橢圓、雙曲線：型；②拋物線：2p0

a

⑴標準方程：?(x-a)2+(y-b)2=r2；②/+,2=廠2。

⑶過兩點的橢圓、雙曲線標準方程可設(shè)為：mx2+ny2=1(根，〃同時大于0時表示橢圓,

⑵一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)

mnv0時表示雙曲線)；

注：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圓<=>A=C#0且B=0且D2+E2—4AF>0；⑷橢圓中的結(jié)論：

7.圓的方程的求法：⑴待定系數(shù)法；⑵幾何法；⑶圓系法。①內(nèi)接矩形最大面積：2ab；

8.圓系：

②P,Q為橢圓上任意兩點，且OP_LOQ,則.....-H------=——H——；

(1)+y?+DyX+E[y+8+A(%2+y之+D2x+石2y+F2)=0,(Aw—1)；\OP\2|OQ|2a2b2

注：當4=一1時表示兩圓交線。°

2

③橢圓焦點三角形：<I>.=btan-,(,9=Zf]PF2)；<II>.點M是APFR

22

(2)x+y+Dx+Ey+尸++By+C)=0,(Aw—1)o

IPMIa

9.點、直線與圓的位置關(guān)系：(主要掌握幾何法)內(nèi)心，PM交FF?于點、N,則—