兩條直線平行和垂直的判定（分層作業(yè)）-2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)同步備課系列（人教A版2019選修第一冊(cè)）（解析版）

2.1.2兩條直線平行和垂直的判定（分層作業(yè)）

（夯實(shí)基礎(chǔ)+能力提升）

口

【夯實(shí)基礎(chǔ)】

一、單選題

1.（2022?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí)）下列說法中正確的是（）

A.若兩條直線斜率相等，則它僅互相平行

B.若則用=與

C.若兩條直線中有一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率存在，則這兩條直線相交

D.若兩條直線的斜率都不存在，則它們相互平行

【答案】C

【分析】根據(jù)直線平行和斜率之間的關(guān)系對(duì)選項(xiàng)一一判斷即可得出答案.

【詳解】若兩條直線斜率相等，則它們互相平行或重合，A錯(cuò)誤；

若則勺=4或h6的斜率都不存在，B錯(cuò)誤;

若兩條直線中有一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率存在，則這兩條直線相交，C正確；

若兩條直線的斜率都不存在，則它們互相平行或重合，D錯(cuò)誤.

故選：C.

2.（2021?吉林油田高級(jí)中學(xué)高二期中）下列方程所表示的直線中，一定相互垂直的一對(duì)是（）

A.ai+2y-l=0與2x+ay+2=0B.6x-4y-3=0與10x+15y+c=0

C.2x+3y-7=O與4x-6y+5=0D.3x-4y+Z?=O與3x+4y=0

【答案】B

【分析】?jī)芍本€一條斜率為零，一條斜率不存在，此時(shí)它們垂直；或者兩直線斜率均存在且不為零，斜率

之積為一1，則它們垂直.據(jù)此即可求解.

【詳解】A：〃=0時(shí)，兩直線分別為：y=^,x=-l,此時(shí)它們垂直：當(dāng)。卻時(shí)，它們斜率之積為一?（一2]=1,

則它們不垂直；故兩條直線不一定垂直；

B：兩直線斜率之積為：-2]=-1,故兩直線垂直；

4I15；

244

C：兩直線斜率之積為：-丁工二-北-1,故兩宜.線不垂直；

369

3/3,9

D：兩直線斜率之積為：-x--故兩條直線不垂直；

4I4；16

故選：B.

3.（2022?湖南湘潭?高二期末）已知宜線4：x+y+l=（）4：x-）-l=。，則4與乙（）

A.垂直B.平行C.重合D.相交但不垂直

【答案】A

【分析】由直線的斜率間的關(guān)系可得結(jié)論.

【詳解】因?yàn)?4的斜率分別為K=T，&=1，所以占？&-1，所以….

故選：A.

4.（2022?貴州?高二學(xué)業(yè)考試）已知直線《：x+y+2=0,4：?+2）=1=。.若4〃4，則實(shí)數(shù)〃的值為（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【分析】直接由兩直線平行公式求解即可.

【詳解】由題意得，lx2-lxa=0,解得a=2.經(jīng)驗(yàn)證符合題意.

故選：D.

5.（2022?全國(guó)?高二專題練習(xí)）若直線4：工-），+1=0與直線3x+〃少=。互相平行，則加的值為（）

A.-1B.IC.-2D.2

【答案】A

【分析】由直線的平行關(guān)系可得卜gw?,解之可得.

1—11

【詳解】解：若直線八4-）-1=0與直線4：%+根y=0互相平行

.17W0

「口前，

解得〃?=-1

故選：A.

6.（2022?全國(guó)?高二專題練習(xí)）已知直線or+2），+6=（）與直線工+（〃-1）3，+/_]=0互相平行，則實(shí)數(shù)。的

值為（）

A.-2B.2或-1C.2D.-1

【答案】D

【分析】?jī)芍本€斜率存在時(shí)，兩直線平行則它們斜率相等，據(jù)此求出”的值，再排除使兩直線重合的。的值

即可.

【詳解】直線磔+2)，+6=0斜率必存在，

故兩直線平行，則一?=一一二，即/-〃_2=0,解得。=2或一1,

2。一1

當(dāng)4=2時(shí)，兩直線重合，.??。二一1.

故選：D.

7.(2022?云南歲平縣第一中學(xué)高二開學(xué)考試)已知直線4：〃x-2y+3=U與直線，2：x+(a-3))，+l=O,若

乙_L，2，則。=()

A.6B,-6C.2D.-2

【答案】A

【分析】根據(jù)兩宜線垂直的充要條件得到方程，求解方程得答案.

【詳自軍]解；因?yàn)橹本€4：6-2)，+3=0與直線4：X+(4—3))，+]_0,

所以axl+(-2)x(a—3)=0,解得4=6,

故選:A.

8.(2021?全國(guó)?高二課前預(yù)習(xí))直線)，=/(x)的圖象與直線x=l的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是()

A.1個(gè)B.0個(gè)C.0個(gè)或1個(gè)D.1個(gè)或2個(gè)

【答案】C

【分析】根據(jù)兩條直線的位置關(guān)系即可求解

【詳解】當(dāng)兩條直線平行時(shí)，無交點(diǎn)；當(dāng)兩條直線相交時(shí)，有I個(gè)交點(diǎn)；

所以直線y=/(x)的圖象與直線)=1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是0個(gè)或1個(gè)，

故選：C

9.(2022?全圜高二專題練習(xí))已知直線//的斜率為2,直線2經(jīng)過點(diǎn)A(T-2),8(X,6),且〃〃氏則唾尸

9

=()

A.3B.!C.2D.—

22

【答案】D

【分析】由已知結(jié)合直線平行的斜率關(guān)系可求出x,然后結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可求.

【詳解】解：因?yàn)橹本€//的斜率為2,直線〃經(jīng)過點(diǎn)4-1,-2),僅兒6),且//〃必

對(duì)于B,若直線/與直線x-y=o平行，則/+々+1=1,解得。=0或。=-1,所以B錯(cuò)誤，

對(duì)于C,當(dāng)x=0時(shí)，y=l,與4無關(guān)，故直線/過定點(diǎn)（0」），所以C正確，

對(duì)于D,當(dāng)。=0時(shí)，直線/的方程為x-），+1=0,在兩坐標(biāo)軸上的截距分別是一1,1,不相等，所以D錯(cuò)

誤，

故選:AC

三、填空題

12.（2022?全國(guó)?高二專題練習(xí)）若）與乙為兩條不重合的直線，它們的傾斜角分別為％,生，斜率分別為全,

Q則下列命題

①若”4,則斜率匕=&；②若斜率占=&，則"4；

③若“〃2,則傾斜角4=生；④若傾斜角4=生，則"〃2；

其中正確命題的個(gè)數(shù)是.

【答案】4

【分析】根據(jù)兩直線平行的充要條件、斜率與傾斜角的關(guān)系判斷即可；

【詳解】解：因?yàn)椤杜c4為兩條不重合的百線，且它們的傾斜角分別為外，生，斜率分別為勺，

①由于斜率都存在，若〃〃2,則｛=&，此命題正確；

②因?yàn)閮芍本€的斜率相等即斜率勺=取,得到傾斜角的正切值相等即U?n4=lan6,即可得到。=%,所以

"4,此命題正確；

③因?yàn)椤啊?,根據(jù)兩直線平行，得到4=出，此命題正確：

④因?yàn)閮芍本€的傾斜角4=%，根據(jù)同位角相等，得到4/〃2,此命題正確；

所以正確的命題個(gè)數(shù)是4.

故答案為：4.

13.（2022?江蘇?高二課時(shí)練習(xí)）已知45,-1）,%1，1）,。（2,3）三點(diǎn)，則△4BC為三角形.

【答案】直角

【分析】根據(jù)直線斜率關(guān)系即得.

【詳解】如圖,猜想ABABC是直角三角形,

由題可得邊A8所在直線的斜率&出=，邊所在直線的斜率即c=2，

由心次sc=T，得A8_13c即NA8C=90，

所以4ABe是直角三角形.

故答案為：直角.

14.(2022?全國(guó)?高二專題練習(xí))若直線人與直線4平行，直線4的斜率為-正，則直線A的傾斜角為

3

【答案】v

6

【分析】由兩條直線的位置關(guān)系可得直線4的斜率與直線《的斜率相等，然后根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系即可

求解.

【詳解】解：因?yàn)橹本€4與直線4平行，直線4的斜率為-4，

所以直線4的斜率與直線4的斜率相等，即直線4的斜率為-乎，

設(shè)直線/2的傾斜角為a(0<a<7t),則tana=-正，

所以a=苧，即直線乙的傾斜角為學(xué)，

66

故答案為：絲.

6

15.(2022?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí))若直線爾+2)，+〃?=0與直線3〃”+(〃?1))，+7=0平行，則〃?的值為

【答案】0或7

【分析】根據(jù)兩宜線平行的充要條件即可列方程組求解.

【詳解】解：因?yàn)橹本€〃a+2>+陽=0與直線3〃氏+(〃?-1)>+7=0平行，

一1)一2x3”？=0

所以《解得加=0或7,

"z(/〃-l)-2x7+0

故答案為：0或7.

16.（2022?上海中學(xué)東校高二期末）若直線4：3工-〃少+1=0與!2：），=2工+1互相垂直，則實(shí)數(shù)

〃?=.

【答案】-6

【分析】根據(jù)兩直線位置關(guān)系直接可得參數(shù)值.

【詳角隼］由4：y=2x+l,BP2x-y+l=O,

又直線4與直線〃互相垂直，

故3x2+（-〃2）x（-1）=0,

解得〃?=-6,

故答案為：-6.

17.（2021.全國(guó).高二課時(shí)練習(xí)）已知A/WC的三個(gè)頂點(diǎn)分別是4：2,3）,C（4,3）,點(diǎn)。（惆1）在邊6c

的高所在的直線上，則實(shí)數(shù)加=.

【答案】3

【分析】根據(jù)可知?怎D=7,則砥。=-2,利用兩點(diǎn)連線斜率公式可構(gòu)造方程求得結(jié)果.

【詳解】由題意得：ADA.BC

3-111-3

又噎=黑石=5."ALU-，解得：，〃=3

本題正確結(jié)果：3

【點(diǎn)睛】本題考查利用直線與直線垂直關(guān)系求解參數(shù)值的問題，屬于基礎(chǔ)題.

18.（2022?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí)）若不同兩點(diǎn)。、。的坐標(biāo)分別為（小b）,（3—力,3—幻，則線段。。的垂直平

分線的斜率為.

【答案】-1

【分析】先求PQ斜率，再根據(jù)其負(fù)倒數(shù)得線段PQ的垂直平分線的斜率.

【詳解】?,4股=空當(dāng)=1，線段為2的垂直平分線的斜率為一L

a-3+b

【點(diǎn)睛】本題考查利用斜率研究?jī)芍本€位置關(guān)系,考查基本求解能力.

19.（2022?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí)）己知平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)A（-3,0）,B（2,—2）,C（5,2）,則

第四個(gè)頂點(diǎn)。的坐標(biāo)可能是.（寫出一個(gè)符合題意的坐標(biāo)即可）

【答案】（0,4）或（10,0）或（-6,-4）

【分析】由平行四邊形得直線位置關(guān)系后列方程組求解

【詳解】設(shè)。(X,y),

k=k

若四邊形A8CO是平行四邊形，則AB//CD,AD//BC,所以「產(chǎn)

\kAD=kBC

-2-0_y-2

2-(-3)-x^5x=0

即3cc?解得《［尸］止匕時(shí)點(diǎn)D(0,4).

y-0_-2-2

x-(-3)-2-5

以8=%

若四邊形/WOC是平行四邊形，則AW/CO,ACHBD,所以＜

“AC二b口,

-2-0_y-2

2-(-3)x-5x=10

即《c八/八，解得此時(shí)點(diǎn)。(10,0).

2-0y-(-2)y=0

5-(-3)-x-2

^AD=^BC

若四邊形AOBC是平行四邊形，則AO〃8C,AC〃BD,,所以

“AC=^BD

y-0-2-2

x-(-3)2-5[x=-6

BP/-x?解得〈.?此時(shí)點(diǎn)D(—6,—4).

2-0_y-(-2)[y=-4

5-(-3)-x-2

故答案為：(0,4)或(10,0)或(-6,-4)

20.(2022?全國(guó)?高二專題練習(xí))若直線/經(jīng)過點(diǎn)(。-2,-1)和(T-2,1),且與經(jīng)過點(diǎn)(-2,1),斜率為4的

直線垂直，則實(shí)數(shù)〃的值為.

【答案】

【分析】求出直線/的斜率，利用兩條直線垂直斜率乘積為-1的關(guān)系，求出〃的值即可.

【詳解】直線/的斜率〃=一手—-=其中"0,

-a-2-a+2a

1(2^|2

由已知可得----=-1,解得。=-：

。I3J3

2

故答案為:.

21.(2022?全國(guó)?高二專題練習(xí))設(shè)直線〃、〃的斜率分別為內(nèi)、依，傾斜角分別為服仇若2必=7,則

I。-￡!=一.

【答案】y

【分析】利用直線的傾斜角和斜率、兩條直線互相垂直的性質(zhì)，得出結(jié)論.

【詳解】

如圖，因?yàn)橹本€//、〃的斜率分別為拓、k2,傾斜角分別為。、

若七七=-1,則直線。與/2的相互垂直，它們的傾斜角相差］，

故演-，=5，

故答案為：y.

四、解答題

22.(2022?全國(guó)?高二專題練習(xí))判斷A(1,3).8(3,7),C(4,9)三點(diǎn)是否共線，并說明理由.

【答案】共線，理由見解析.

【分析】根據(jù)宜線斜率公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】這三點(diǎn)共線，理由如下：

由直線斜率公式可得：38=二=2,陽c=*=2,

3-14-1

直線AA,AC的斜率相同，所以這兩直線平行，但這兩直線都通過同一點(diǎn)4L3),

所以這三點(diǎn)共線.

23.(2022.全國(guó)?高二專題練習(xí))已知直線A8的方程為：x+2y-3=0,點(diǎn)。(-5,2),在直線上求一點(diǎn)ZZ

使得COJ.A8.

【答案】中鱷)

m+2〃-3=0

【分析】設(shè)。(，兒”)，由題可得小-2(n-即得.

----x——=-1

H+5{2)

m+2〃-3=0

【詳解】設(shè)。(凡〃)，則?〃-2/[,

21

m=-----

5

解得1C,

1O

n=一

5

24.(2022?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí))已知4(〃?，4),B(-2,w),C(1,I),D(m+2,3)四點(diǎn).

(1)若直線A8與直線C。平行，求〃?的值：

(2)求證：無論加取何值，總有/AC8=90。.

【答案】(1)〃?=?；蚣?1

(2)證明見解析

【分析】(1)由直線的位置關(guān)系列式求解

(2)轉(zhuǎn)化為向量垂直，由數(shù)量積運(yùn)算列式證明

(1)①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，〃?=一2,此時(shí)C(l,i),D(0,3),則直線CO的斜率存在，故直

線A8與直線C。不平行，故〃片-2：

同理可得加H-1,所以直線A3與直線的斜率都存在.

②直線/W的斜率為38=匕;，直線C。的斜率為七0=二二.

m+2m+1

因?yàn)橹本€A8與直線CD平行，所以砥8=七°，即4一—〃^1=上27，

m+2/n+1

整理可得nr一〃?=()，解得加=0或〃?=1,

檢驗(yàn)可知，當(dāng)小=0或〃?=1時(shí)，直線A8與直線CO平行，故〃?=0或〃?=1.

(2)AC=(l-m,-3),8c=(3,1T〃)，則AC-8C=3(1-〃?)一3(1-〃z)=0,

所以無論m取何值，總有NAC8=90。.

25.(2022?全國(guó)?高二專題練習(xí))根據(jù)條件求下列傾斜角、斜率

(1)直線/的傾斜角的正弦值是g,則直線/的斜率是—.

(2)直線xtan，+y=0的傾斜角是.

(3)已知直線〃的傾斜角區(qū)=30。,直線〃與//垂直，試求知，2的斜率.

【答案】(1)且或一直

33

⑵竽

(3)心，〃的斜率分別為且，-x/3

3

【分析】(1)根據(jù)傾斜角的正弦值求出傾斜角，從而由直線斜率和傾斜角之間的關(guān)系可求出直線的斜率,

(2)由方程求出直線的斜率，再由直線斜率和傾斜角之間的關(guān)系求出傾斜角，

(3)由直線。的傾斜角求出直線//的斜率，再由直線/2與//垂直可求出〃的斜率.

(1)因?yàn)橹本€/的傾斜角的正弦值是

所以sina='，

2

因?yàn)閍w[0,4)

所以a或苧，

66

即lana=立或——,

33

則百.線/的斜率是立或-走.

33

故答案為：走或一亞.

33

(2)由直線xtan，+y=0,

㈤冗，乃16乃

v=-xtan—=xtann---=xtan——，

?7I1)7

即直線的斜率1a瀉，則傾斜角為竽.

故答案為：—

(3)已知直線//的傾斜角囚=30。，

則直線//對(duì)應(yīng)的斜率k,=tan30°=—,

3

因?yàn)橹本€〃與〃垂直，

.__L__1

所以直線/2的斜率之一工-4"

T

26.(2022?全國(guó)?高二專題練習(xí))設(shè)常數(shù)aeR,已知直線4：(?+2)x+y+l=0,/2：34+少4(4。-3)=0.

⑴若…,求。的值;

（2）若“〃2,求4與4之間的距離.

【答案】（1）。=一,

（2）25/2

【分析】（1）根據(jù)題意.由一般式下兩宜線垂直的充要條件可得3（。+2）+々=0,即可求解：（2）根據(jù)題

意，由一般式下兩直線平行的必要條件可求得〃的值，進(jìn)而由平行線間的距離公式計(jì)算可得答案.

（1）

根據(jù)題意，直線4：（a+2）x+y+l=0./2：3Ks，+（4。-3）=0,

a

若3?，則3（。+2）+。=0,解可得〃=

（2）

根據(jù)題意，若/則有。（。+2）=3,解可得。=1或-3,

當(dāng)〃=1時(shí)，直線右：3x+y+l=0./2：3x+y+l=0,兩直線重合，不符合題意，

當(dāng)。=-3時(shí)，直線八-x+>'+1=0,Z2：3x-3y-15=0,L![Jx-j-5=0,兩直線平行，此時(shí)4與4之間的距

離=2及

V1+1

27.（2022?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí)）已知N（2,2）,P（3.0）.

（1）若點(diǎn)。滿足PN//MQ,求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

（2）若點(diǎn)。在x軸上，且/NQP=￡NPQ,求直線MQ的傾斜角.

【答案】⑴。（0,1）

⑵90。

【分析】第（1）問中，若人的存在,兩直線垂直，則有匕？/-1,兩直線平行，則有占=々2,設(shè)出點(diǎn)Q的

坐標(biāo)，列方程即可求解.

第（2）問中，根據(jù)NNQP=NNPQ,可知女畋二一2種，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)列方程即可.

（1）設(shè)Q（x，y），由題意得￡WN=3,kpN=-2.

因?yàn)镻QJ.MN,所以&PQ?WN=T，

即上x3=—l.①

x-3

又PN〃MQ,所以⑥N=4WQ，即注=一2.②

x-1

由?@,得x=0,y=i,即Q(0/).

所以"NQ=-?

92

又kg=7—，%=-2,所以.=2,即X=1,

2-x2-x

所以Q（l,o）,又所以MQLi?軸，

故直線MQ的傾斜角為90。.

9【能力提升】

一、單選題

1.（2022?上海市建平中學(xué)高一期末）設(shè)直線《：qx+瓦V+G=。（/、匕不同時(shí)為零），《=。

（。2、%不同時(shí)為零），則U、12相交”是“。仇/她”的（）條件

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要

【答案】C

【分析】分配區(qū)均不為。和配打有且只有一個(gè)為（）兩種情況討論，分別證得充分性和必要性即可得出結(jié)論.

【詳解】當(dāng)直線斜率都存在即4也均不為o時(shí)，若“4、，2相交“，則兩直線的斜率不相等，得一產(chǎn)曦,

即“也工生白，當(dāng)直線斜率有一個(gè)不存在即耳仿有且只有一個(gè)為。時(shí)，4瓦土出“也成匯,故充分性成土；

反之，4也均不為。時(shí)，若“岫/岫，，,則-尹一?則兩直線的斜率不相等，即4、％相交，配打有且

只有一個(gè)為。時(shí)，4、，2也相交，故必要性成立；綜上,則“4、4相交”是“砧2工。2*的充故條件，

故選：c.

2.（2022?全國(guó)?高二專題練習(xí)）已知直線），=〃吹-2與直線/町，=0平行，則相，〃的關(guān)系為-：）

A.mn=IB.〃?〃+1=0C.m-/:=0D.m-n+\=0

【答案】B

【分析】將直線的方程變形為?般式方程，由直線平行的判定分析〃，〃的關(guān)系，即可得答案.

【詳解】根據(jù)題意，直線尸皿-2,即垓-y-2=0,

若直線y=nix-2與直線x+〃y=0平行，

則mn-（-1）=0,即mn+\=0.

故選：B

3.（2022?全國(guó)?高二專題練習(xí)）=1”是“直線4：（〃?一4卜+叫，+1=0與直線〃：〃氏+（6+2）），-2=0互相

垂直”的（）

A,充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】根據(jù)給定直線方程求出/16的等價(jià)條件，再利用充分條件、必要條件的定義判斷作答.

【詳解】依題意，4-L，23"K〃L4）+〃K〃[+2）-0,解得〃?=0或〃7=],

所以"=1”是"直線，]：（〃2-4卜+6），+1=0與直線/2：g+（川-2）），-2=0/1相垂直”的充分不必要條件.

故選:A

4.（2022.江蘇?高二）已知直線/:工+（。-1）），+2=0,《：、萬瓜+）'=。，且乙14，則/+6的最小值為（）

A.-B.|C.—D.鳥

42216

【答案】A

【分析】由兩直線垂直得到。=1-同,再代入消元利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解.

【詳解】解：IJk，則向+4—1=0，，4=1一折，

所以。2十人2=0一屏了+〃=4/一2屏+1,

二次函數(shù)的拋物線的對(duì)稱軸為〃=-2叵=立，

2x44

當(dāng)力=正時(shí)，/+/取最小值9

44

故選：A.

5.(2022?江蘇?高二課時(shí)練習(xí))數(shù)學(xué)家歐拉在1765年發(fā)現(xiàn)，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一條直

線上，這條直線稱為歐拉線已知AA8C的頂點(diǎn)A(2,0),8(0,4),若其歐拉線的方程為x-y+2=0,則頂點(diǎn)C

的坐標(biāo)為

A.(-4,0)B.(-3,-1)C.(-5,0)D.(-4,—2)

【答案】A

【分析】設(shè)出點(diǎn)C的坐標(biāo)，由重心坐標(biāo)公式求得重心，代入歐拉線得一方程，求出AB的垂直平分線，和歐

拉線方程聯(lián)立求得三角形的外心，由外心到兩個(gè)頂點(diǎn)的距離相等得另一方程，兩方程聯(lián)立求得點(diǎn)C的坐標(biāo)

【詳解】設(shè)C(m,n),由重心坐標(biāo)公式得，三角形ABC的重心為(空，號(hào))代入歐拉線方程得：

中-牛+2=0整理得：m-n+4=0①

wJ

AB的中點(diǎn)為(1,2),砥"二工二-2AB的中垂線方程為y-2=4(x-1),

0—22

,[x-2y+3=0,[x=-l

即:<-2y+3=0.聯(lián)立<.二八解得《1

x-y+2=0[y=1

/.△ABC的外心為(-1,1).

貝U(m+1)2+(n-1)2=32+12=10,整理得：m2+n2+2m-2n=8②

聯(lián)立①②得：m=-4,n=0或m=0?n=4.

當(dāng)m=0,n=4時(shí)B,C重合，舍去.，頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是(-4,0).故選A

【點(diǎn)睛】本題考查了百線方程，求直線方程的一般方法：①直接法：根據(jù)已知條件，選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程

形式，直接求出直線方程.②待定系數(shù)法：先設(shè)出直線的方程，再根據(jù)已知條件求出假設(shè)系數(shù)，最后代入

直線方程，待定系數(shù)法常適用于斜截式，已知兩點(diǎn)坐標(biāo)等.

二、多選題

6.(2022?山東聊城?高二期末)已知直線4：3.i+2y-〃?=O,/2:xsina-y+1=0,則()

A.當(dāng)〃?變化時(shí)，乙的傾斜角不變B.當(dāng)。變化時(shí)，4過定點(diǎn)

C.4與6可能平行D.乙與不可能垂直

【答案】AB

【分析】對(duì)四個(gè)選項(xiàng)一一驗(yàn)證:

對(duì)「A：由直線4的斜率為A=-g即可判斷；

2

對(duì)于B：由直線，2恒過定點(diǎn)（0，1）即可判斷；

對(duì)于C：用反證法證明；

2

對(duì)于D：當(dāng)sina=§,4與4垂直，即可判斷.

3

【詳解】對(duì)于A：當(dāng)機(jī)變化時(shí),直線h3x+2.v-m=0的斜率為左=-5.所以4的傾斜角不變.故AFF確：

對(duì)于B：直線，2：xsina-y+l=。恒過定點(diǎn)（0,1）.故B正確；

對(duì)于C：假設(shè)4與，2平行，貝Ij-3=2sina,即sina=",這與sinae[T,l]相矛盾，所以4與《不可能平行.

故C不正確：

2

對(duì)于D：假設(shè)4與4垂直，則3sina-2=0,即sina=1,所以4與4可能垂直.故D不正確.

故選：AB

7.（2022?重慶?高二期末）下列說法中，正確的是（）

A.直線2x+y+3=0在），軸上的截距是3

B.直線x+y+l=0的傾斜角為135。

C.41,4）㈤2,7）,C（-3,-8）三點(diǎn)共線

D.直線3x+4y+l=0與4x+3y+2=0垂直

【答案】BC

【分析】根據(jù)宜線方程求得縱截距，傾斜角判斷AB,由斜率關(guān)系判斷C,由直線的位置關(guān)系判斷D,

【詳解】A.直線2x+），+3=0在y軸上的械距是一3,A錯(cuò)；

B.直線x+y+l=0的斜率為-1,傾斜角為135。，B正確；

7-4-8-4

C.由A（1,4）,B（2,7）.C（-3.-8）得陽——=3,k=——=3=原「所以A8,C三點(diǎn)共線，C正確；

2—1AC—3—1

34

D.直線3x+4y+l=0與4x+3y+2=O的斜率分別為一丁，乘積為1,不垂直，D錯(cuò)誤.

43

故選：BC.

8.（2022.全國(guó)?高二期末）下列說法正確的是（）

A

A.直線Ar+8），+C=0的斜率為-

B.若直線的傾斜角為a,貝UsinaNO

C.若兩條直線的斜率之積等于一1,則這兩條直線垂直

D.若直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則該直線的方程為x+y-。=。

【答案】BC

【分析】特殊值3=0判斷A；由傾斜角。€。力判斷B；由直線垂直的判定判斷C；選項(xiàng)D中注意要加awR

的條件.

【詳解】A：當(dāng)8=0時(shí)，直線斜率不存在，錯(cuò)誤；

B：由題意，ae[0,乃），故sinaNO,正確；

C：由直線垂直的判定知：兩條直線的斜率之積等于一1,則兩條直線垂直，正確；

D：直線在兩坐標(biāo)軸上的截距都為0,且斜率不低于-1,直線的方程不可寫為x+y-〃=0,錯(cuò)誤.

故選：BC

9.（2022.全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí)）已知等腰直角三角形A8C的直角頂點(diǎn)為。（3,3）,點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,4）,則

點(diǎn)8的坐標(biāo)可能為（）

A.（2,0）B.（6,4）C.（4,6）D.（0,2）

【答案】AC

【分析】根據(jù)三角形A8C為等腰直角三角形列方程組，即可求解.

【詳解】設(shè)8(x,y),由題意可得

]?3x--6=0?

A-30-3,可化為

(彳-3)2十(y-3y=10

J(x-3)2+(y-3)2=J(O-3『+(4-31

t=2JV=4

解得:「二八或一“即8(2,0)或8(4,6).

=Uy=6

故選：AC

三、解答題

10.（2021?全國(guó)?高二課前預(yù)習(xí)）已知A（-4,3）,4（2,5）,C（6,3）,。（一3,0）四點(diǎn)，若順次連接ABC。四點(diǎn),

試判斷圖形A8CQ的形狀.

【答案】直角梯形

【分析】計(jì)算四條邊所在吏線的斜率，判斷邊之間的位置關(guān)系，即可判斷圖形ABCO的形狀.

【詳解】由斜率公式，得若0鼬=許1=一3,"=口=—5，

所以腐8=&6，又因?yàn)椋綜=二（）￡》，說明AB與C力不重合，

6」-（「-4）

所以AB//8.

因?yàn)?AD*原C，所以AD與3C不平行.

又因?yàn)?A84￡)=gx(-3)=-l,所以

故四邊形ABC。為直角梯形.

II.(2022?全國(guó)?高二專題練習(xí))分別根據(jù)下列各點(diǎn)的坐標(biāo)，判斷各組中直線與CO是否平行：

(1)4(3,-1),5(-1,1),C(-3,5),0(5,1)；

⑵A(2,T),川-g,-4),C(0,l),D(4,l)；

(3)4(2,3),8(2,T),C(-l,4),Z)(-I,I)；

(4)A(-L-2),8(2,1),C(3,4),/)(-1,-1).

【答案】(1)平行

⑵平行

⑶平行

(4)不平行

【分析】(1)求出48,CD,斜率，再判斷兩直線不重合得平行；

(2)由斜率相等，及不重合得結(jié)論；

(3)由兩直線斜率都不存在，且不重合得平行：

(4)由斜率不相等得不平行.

-1-]15-115-1

(I)^B=T-kCD=——=--=kAR,kBC==-2,A,8,C不共線，因此A6與CD平行.

Z-3-527-1-1)

(2)以8=。，k=o,又兩直線不重合，直線AB與CO平行，

(3)直線A8，CO的斜率都不存在，且不重合，因此平行；

-2-1-1-45

(4)Bs=—=1/8=—=百線AA與C。不平行，

12.(2022?江蘇?高二課時(shí)練習(xí))直線乙和6的方程分另IJ是&v+穌y+G=。和4x+^y+G=0,其中^不

全為()，4,星也不全為0.

⑴當(dāng)/,///2時(shí)，直線方程中的系數(shù)應(yīng)滿足什么關(guān)系？

(2)當(dāng)4^/2時(shí)，直線方程中的系數(shù)應(yīng)滿足什么關(guān)系？

【答案】(1)4心一44=0且(402-4(；工0或4G—4Gwo)；

(2)44+54=0

【分析】(1)由兩直線平行的條件求解；

(2)由兩直線垂直的條件求解.

GC,

(1)兩直線斜率都不存在，則用=與=(),此時(shí)，A&W(),才■工？，

因此有a鳥—4片=o且AG-&G工0,

斜率都存在時(shí)，一+二一/且一爭(zhēng)工一會(huì)，

因此有A星一=o且4c2-82c產(chǎn)0,

所以“4的條件是：4與-4耳=0且(AQ-AC,^()n￡B1c2-fi2cl^o)；

(2)兩直線一個(gè)斜率不存在，一條斜率為o,如A=o,生=0,A4+B用2=()

兩直線斜率都存在，則一gx(4)=T,所以A4+B出2=。，

所以4J./2的條件是44+8避2=().

13.(2022?全國(guó)?高二專題練習(xí))證明：如果兩條直線斜率的乘積等于-1,那么它們互相垂直.

【分析】設(shè)兩直線斜率分別為K=tana,^2=tan/?,結(jié)合"-I及傾斜角的范圍、誘導(dǎo)公式即可證明結(jié)

論.

【詳解】令兩直線斜率分別為K=tana,&=tan/?(a,〃為對(duì)應(yīng)傾斜角)，

由二tanatan/?=-l,不妨假設(shè)Ova<g,則/</<用，

所以lana=--!—=--!—=tan[-^-(^-/?)]=tan(/?-<—,

tanptan(萬一/7)2222

故a=0-g,即￡-a=J,則兩條直線互相垂直，得證.

乙4

14.(2022.全國(guó).高二專題練習(xí))已知41,3)1(5,1)4(3,7),A,B,C,。四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是平行四邊形,

求點(diǎn)。的坐標(biāo).

【答案】(7,5)或(一1,9)或(3,-3).

【分析】由題意分類討論，根據(jù)直線的斜率即可求出點(diǎn)。的坐標(biāo).

【詳解】由題,",3),8(5,1),C(3,7),

所以乂C=2,砥8=-；，kBC=-3,

設(shè)。的坐標(biāo)為a,y),分以下三種情況:

①當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，有kCD=kAB,kBD=kAC,

所以，研=言=2'％

x-32

得尸7,)=5,即0(7,5)

②當(dāng)AC為對(duì)角線時(shí)，有kCD=kAB,kAD=kBC,

所以，L=W=-3,初=蕓