2025北京八中高三（下）開學(xué)考數(shù)學(xué)（教師版）

第1頁/共1頁2025北京八中高三（下）開學(xué)考數(shù)學(xué)年級：高三科目：數(shù)學(xué)考試時間：120分鐘，滿分：150分命題：樊登麟審核：王文濤一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選中，選出符合題目要求的一項）1.設(shè)集合，，則下列結(jié)論正確的是（）．A. B. C. D.2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在上單調(diào)遞減的是（）A. B. C. D.4.直線將圓分成兩段，這兩段圓弧的弧長之比為（）A.1：2 B.1：3 C.1：5 D.3：55.若的二項展開式中，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)?項是二項式系數(shù)最大的項，則其展開式中含項的系數(shù)（）A. B.252 C.7 D.86.已知點(diǎn)不共線，為實數(shù)，，則“”是“點(diǎn)在內(nèi)（不含邊界）”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7.直線被函數(shù)的圖象所截得線段的最小值為，則（）A. B. C. D.8.“學(xué)如逆水行舟，不進(jìn)則退；心似平原跑馬，易放難收”（明?《增廣賢文》）是勉勵人們專心學(xué)習(xí)的.如果每天的“進(jìn)步”率都是1%，那么一年后是；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是.那么大約經(jīng)過（）天后“進(jìn)步”的是“退步”的2倍.請選出最接近的一項.（，，）（）A.25 B.30 C.35 D.409.如圖是一種帳篷示意圖，帳頂采用“五脊四坡式”，四條斜脊的長度相等，一條正脊平行于底面，正脊與斜脊長度的比為，底面為矩形且長與寬之比為2∶1，若各斜坡面與底面所成二面角都相等，則該二面角的正切值為（）A. B. C. D.10.已知函數(shù)（其中，且）為其定義域上的單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）11.已知點(diǎn)在拋物線C：上，則點(diǎn)A到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為__________．12.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，將線段繞原點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，則點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為____________.13.如果直線l：和曲線Γ：恰有一個交點(diǎn)，那么k的一個值為______.14.如圖，已知正四面體的棱長為1，過點(diǎn)B作截面α分別交側(cè)棱，于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，且四面體的體積為四面體體積的，則______，的最小值為______.15.對于給定的數(shù)列，如果存在實數(shù)p、q，使得對任意成立，我們稱數(shù)列是“線性數(shù)列”，數(shù)列滿足，，則給出下列四個結(jié)論：①等差數(shù)列是“線性數(shù)列”；②等比數(shù)列是“線性數(shù)列”；③若是等差數(shù)列，則是“線性數(shù)列”；④若是等比數(shù)列，則是“線性數(shù)列”.其中正確的結(jié)論是______.三、解答題（共6題，滿分85分）16.在中，，再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求：（Ⅰ）a的值：（Ⅱ）和的面積．條件①：；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分．17.同學(xué)們，你們知道排球比賽的規(guī)則和積分制嗎?其規(guī)則是：每局25分，達(dá)到24分時，比賽雙方必須相差2分，才能分出勝負(fù)；每場比賽采用“5局3勝制”（即有一支球隊先勝3局即獲勝，比賽結(jié)束）；比賽排名采用積分制，積分規(guī)則如下：比賽中，以3∶0或3∶1取勝的球隊積3分，負(fù)隊積0分；以3∶2取勝的球隊積2分，負(fù)隊積1分.甲、乙兩隊近期將要進(jìn)行比賽，為預(yù)測它們的積分情況，收集了兩隊以往6局比賽成績：123456甲252127272325乙182525252517假設(shè)用頻率估計概率，且甲，乙每局的比賽相互獨(dú)立.（1）估計甲隊每局獲勝的概率；（2）如果甲、乙兩隊比賽1場，求甲隊的積分X的概率分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）如果甲、乙兩隊約定比賽2場，請比較兩隊積分相等的概率與的大?。ńY(jié)論不要求證明）.18.如圖，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角為60°.設(shè)M，N分別為，的中點(diǎn).（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.19.已知橢圓C：過點(diǎn)，過其右焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，且．（1）求橢圓C的方程；（2）若直線l：與橢圓C交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，線段EF的中點(diǎn)為Q，在y軸上是否存在定點(diǎn)P，使得∠EQP＝2∠EFP恒成立？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．20.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；（2）若函數(shù)是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；（3）若，求的最大值.21.已知集合（），S是集合A的子集，若存在不大于n的正整數(shù)m，使集合S中的任意一對元素，，都有，則稱集合S具有性質(zhì)P.（1）當(dāng)時，試判斷集合和是否具有性質(zhì)P？并說明理由；（2）當(dāng)時，若集合S具有性質(zhì)P，那么集合是否具有性質(zhì)P？并說明理由；（3）當(dāng)，時，若集合S具有性質(zhì)P，求集合S中元素個數(shù)的最大值.

參考答案一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選中，選出符合題目要求的一項）1.【答案】D【詳解】∵集合，集合或，∴．故選．2.【答案】D【分析】首先求出復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，再判斷象限即可.【詳解】設(shè)，則，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)為，所以對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限.故選：D.3.【答案】C【分析】AD選項不符合單調(diào)性，B不符合奇偶性，C選項正確.【詳解】在單調(diào)遞增，A錯誤；為奇函數(shù)，B錯誤；為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，，故符合題意，C正確；為偶函數(shù)，當(dāng)時，為對勾函數(shù)，在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故不合題意，D錯誤.故選：C4.【答案】A【分析】根據(jù)已知條件作出圖形，利用圓的性質(zhì)及點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合弧長公式即可求解.【詳解】設(shè)直線與圓的兩個交點(diǎn)為，圓心為，過點(diǎn)作交于,如圖所示設(shè)，則所以圓心到直線的距離為.在中，因為，所以，由圓的性質(zhì)知，，所以兩段圓弧的弧長之比等于兩段弧所對圓心角的弧度數(shù)之比，等于．故選：A.5.【答案】A【分析】根據(jù)二項式系數(shù)的最值可得，再結(jié)合二項展開式的通項運(yùn)算求解即可.【詳解】因為二項展開式中，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)?項是二項式系數(shù)最大的項，則，解得，可得的展開式的通項為，令，解得，所以含項的系數(shù)為.故選：A6.【答案】B【分析】利用向量共線的推論及充分條件和必要條件的定義即可得解.【詳解】若，且，可知三點(diǎn)共線，若，點(diǎn)在內(nèi)部（不含邊界），則；反之不成立，例如時，此時在外部，所以“”是“點(diǎn)在內(nèi)（不含邊界）”的必要不充分條件，故選：B.7.【答案】B【分析】由，得到或，再結(jié)合條件，即可求解.【詳解】由，得到，所以或，又直線被函數(shù)的圖象所截得線段的最小值為，顯然最小值在一個周期內(nèi)取到，不妨取，得到或，所以，解得，故選：B.8.【答案】C【分析】根據(jù)題意列出不等式，利用指數(shù)和對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解即可．【詳解】假設(shè)經(jīng)過天，“進(jìn)步者”是“退步者”的2倍，列方程得，即，解得，即經(jīng)過約35天，“進(jìn)步者”是“退步者”的2倍．故選：C．9.【答案】A【分析】不妨設(shè)正脊，斜脊，底面矩形的長為，寬，做輔助線，根據(jù)對稱性結(jié)合二面角可得，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意不妨設(shè)：正脊，斜脊，底面矩形的長為，寬，設(shè)在底面的投影分別為，的中點(diǎn)分別為，若各斜坡面與底面所成二面角都相等，則四點(diǎn)共線，，且，則，可知二面角的平面角為，過作，垂足為，連接，因為平面，平面，可得，且，平面，可得平面，又因為平面，可得，則二面角的平面角為，可知，則，即，可得，即，可得，則，可得，所以所求二面角的正切值為.故選：A.10.【答案】D【分析】對函數(shù)進(jìn)行變形，構(gòu)造新函數(shù)，轉(zhuǎn)化為新函數(shù)的單調(diào).再分類討論單調(diào)遞增和單調(diào)遞減，借助導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性.對于單調(diào)遞增，再構(gòu)造函數(shù)，得到單調(diào)性，求出范圍即可.【詳解】由題意可知的定義域為，且，記，在定義域上單調(diào)，可得必為單調(diào)函數(shù).若在定義域上單調(diào)遞增，則恒成立，即，令，可得，又因為函數(shù)在時值趨近于0，不符合題意；若單調(diào)遞減，則恒成立，即，令，即，可知，設(shè)，，則，當(dāng)時，不成立；當(dāng)時，，當(dāng)時，；當(dāng)時，；可知在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，即，可得，即，解得.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)是將原函數(shù)變形為，記，將在定義域上單調(diào)，轉(zhuǎn)化為為單調(diào)函數(shù).最后借助分類討論和導(dǎo)數(shù)研究得解.二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）11.【答案】2【分析】將點(diǎn)代入拋物線方程，求出及準(zhǔn)線方程，進(jìn)而可得出答案.【詳解】因為在拋物線C：上，所以，解得，故拋物線C的準(zhǔn)線為，所以點(diǎn)A到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為.故答案為：.12.【答案】【分析】利用三角函數(shù)定義可知，射線對應(yīng)的角滿足，再利用任意角的關(guān)系和兩角差的余弦公式即可得點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為.【詳解】易知在單位圓上，記終邊在射線上的角為，如下圖所示：根據(jù)三角函數(shù)定義可知，；繞原點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，則終邊在射線上的角為，所以點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為.故答案為：13.【答案】1（答案不唯一，滿足即可）【分析】作出曲線的圖象，數(shù)形結(jié)合分析恰有一個交點(diǎn)時實數(shù)的取值范圍即可.【詳解】由題意，當(dāng)時，為雙曲線的上半部分；當(dāng)時，為橢圓的下半部分.又即，故作出的圖象：考慮臨界條件，當(dāng)與橢圓下半部分相切時，有，整理得，則，由圖象解得.當(dāng)與雙曲線的漸近線平行時也為臨界條件.故實數(shù)的取值范圍為，例如.故答案為：1（答案不唯一，滿足即可）.14.【答案】①.##②.##【分析】根據(jù)體積關(guān)系可得的面積，由三角形面積公式和余弦定理，使用基本不等式可得.【詳解】因為，則，記，因為，即。又因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號.所以a的最小值為.故答案為：；.15.【答案】①②④【分析】對①②根據(jù)“線性數(shù)列”的定義進(jìn)行判斷；對于③：找特例，代入即可判斷；對于④：結(jié)合定義，設(shè)出等比數(shù)列，代入求的，再結(jié)合線性數(shù)列的定義，看是否存在實數(shù)即可.【詳解】對于①，數(shù)列為等差數(shù)列，則，即，滿足“線性數(shù)列”的定義，①正確；對于②，數(shù)列為等比數(shù)列，則，即，滿足“線性數(shù)列”的定義，②正確；對于③，是等差數(shù)列，設(shè)，則，若是“線性數(shù)列”，則，則應(yīng)有，故不是“線性數(shù)列”，③錯誤；對于④，是等比數(shù)列，設(shè)首項為，公比為，若時，，則，滿足“線性數(shù)列”的定義；若時，由，得，，累加的，則，經(jīng)驗證當(dāng)時，滿足，則，若是“線性數(shù)列”，則存在實數(shù)，使得成立，則，，，則，則，則是“線性數(shù)列”，④正確.故答案為：①②④.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：涉及數(shù)列新定義問題，關(guān)鍵是正確理解給出的定義，由給定的數(shù)列結(jié)合新定義探求數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，并進(jìn)行合理的計算、分析、推理等方法綜合解決.三、解答題（共6題，滿分85分）16.【答案】選擇條件①（Ⅰ）8（Ⅱ）,；選擇條件②（Ⅰ）6（Ⅱ）,.【分析】選擇條件①（Ⅰ）根據(jù)余弦定理直接求解，（Ⅱ）先根據(jù)三角函數(shù)同角關(guān)系求得,再根據(jù)正弦定理求,最后根據(jù)三角形面積公式求結(jié)果；選擇條件②（Ⅰ）先根據(jù)三角函數(shù)同角關(guān)系求得，再根據(jù)正弦定理求結(jié)果，（Ⅱ）根據(jù)兩角和正弦公式求，再根據(jù)三角形面積公式求結(jié)果.【詳解】選擇條件①（Ⅰ）（Ⅱ）由正弦定理得：選擇條件②（Ⅰ）由正弦定理得：（Ⅱ）【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、余弦定理，三角形面積公式，考查基本分析求解能力，屬中檔題.17.【答案】（1）（2）分布列見詳解；（3）兩隊積分相等的概率小于【分析】（1）根據(jù)題意利用頻率估計概率即可；（2）隨機(jī)變量的所有可能取值為0，1，2，3，再由獨(dú)立事件的概率公式求得每個的取值所對應(yīng)的概率即可得分布列，然后由數(shù)學(xué)期望的計算公式，得解；（3）設(shè)第場甲、乙兩隊積分分別為，，則，，2，由兩隊積分相等，可推出，再分四種情況，并結(jié)合獨(dú)立事件的概率公式，即可得解．【小問1詳解】由表可知：6場比賽甲贏了4場，則甲每局獲勝的頻率為，用頻率估計概率，所以甲隊每局獲勝的概率為.【小問2詳解】隨機(jī)變量的所有可能取值為0，1，2，3，可得：，，，，所以的分布列為0123所以數(shù)學(xué)期望．【小問3詳解】記“甲、乙比賽兩場后，兩隊積分相等”為事件，設(shè)第場甲、乙兩隊積分分別為，，則，，2，因兩隊積分相等，所以，即，則，而，，，所以，因為，所以兩隊積分相等的概率小于.18.【答案】（1）證明見詳解（2）【分析】（1）通過證明平面，可得.（2）由（1）可知平面，過點(diǎn)做平行線，所以可以以點(diǎn)為原點(diǎn)，，、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個法向量，以及，即可利用線面角的向量公式解出．【小問1詳解】因為四邊形和都是直角梯形，，因為，且，平面，則平面，平面，可得.【小問2詳解】過點(diǎn)、分別做直線、的垂線、并分別交于點(diǎn)、．因為四邊形和都是直角梯形，由題意可知，則四邊形和四邊形是矩形，在Rt和Rt，，是二面角的平面角，則，可知是正三角形，由平面，得平面平面，又因為是的中點(diǎn)，則，又平面，平面，可得，且，平面，可知平面，而平面，所以.因為平面，過點(diǎn)做平行線，所以以點(diǎn)為原點(diǎn)，，、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，可得設(shè)平面的法向量為由，得，取，設(shè)直線與平面所成角為，可得，所以直線與平面所成角的正弦值為.19.【答案】（1）（2）存在定點(diǎn)，【分析】（1）直接由橢圓C過點(diǎn)和解方程即可；（2）先聯(lián)立直線和橢圓，通過∠EQP＝2∠EFP得到點(diǎn)P在以EF為直徑的圓上，即PE⊥PF，表示出，由解出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可.【小問1詳解】由題知，橢圓C過點(diǎn)和，所以，解得所以橢圓C的方程為．【小問2詳解】假設(shè)在y軸上存在定點(diǎn)P，使得∠EQP＝2∠EFP恒成立，設(shè)，，由，得，∴，∵∠EQP＝2∠EFP，∴∠EFP＝∠FPQ，∴QE＝QF＝QP∴點(diǎn)P在以EF為直徑的圓上，即PE⊥PF，∴∴恒成立∴，解得∴∴存在定點(diǎn)，使得∠EQP＝2∠EFP恒成立．【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵點(diǎn)在于利用∠EQP＝2∠EFP得到點(diǎn)P在以EF為直徑的圓上，進(jìn)而得到，表示出，，聯(lián)立直線和橢圓后，由韋達(dá)定理及建立方程解出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可.20.【答案】（1）（2）（3）【分析】（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值分離參數(shù)計算即可；（3）含參分類討論的單調(diào)性，得出，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性及最值計算即可.【小問1詳解】當(dāng)時，則，，可得，，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率為0，所以曲線在處的切線方程為.【小問2詳解】由題意得，且在定義域內(nèi)恒成立，則，令，顯然時，，即此時單調(diào)遞減，時，，即此時單調(diào)遞增，所以，則，實數(shù)a的取值范圍為.【小問3詳解】若，則，令，則，若，則，此時在R上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，不符合題意；當(dāng)，則時，，此時單調(diào)遞增，時，，此時單調(diào)遞減，即，即，所以，令，易知當(dāng)時，，此時單調(diào)遞增，當(dāng)時，，此時單調(diào)遞減，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，，所以的最大值為.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：對于雙變量的恒成立問題，可以通過消元轉(zhuǎn)化為單變量函數(shù)最值來進(jìn)行計算.21.【答案】（1）集合不具有性質(zhì)，集合具有性質(zhì)，理由見解析（2）具有性質(zhì)，理由見解析（3）【分析】（1）先寫出，對于集合，對于任意不大于10的，都可以找到該集合中的兩個元素，使得成立，集合不具有性質(zhì)，對于集合，可