專題08 統(tǒng)計(jì) 講義-2026屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

專題08統(tǒng)計(jì)一、學(xué)習(xí)目標(biāo)（100%）1、了解總體、樣本、樣本量的概念，了解數(shù)據(jù)的隨機(jī)性；2、了解簡單隨機(jī)抽樣的含義及其解決問題的過程，掌握兩種簡單隨機(jī)抽樣方法；3、會計(jì)算樣本均值和樣本方差，了解樣本與總體的關(guān)系；4、了解分層隨機(jī)抽樣的特點(diǎn)和使用范圍，掌握各層樣本量比例分配的方法，掌握分層隨機(jī)抽樣的樣本均值和樣本方差；5、能用樣本估計(jì)總體的集中趨勢參數(shù)，理解集中趨勢參數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義；6、能用樣本估計(jì)總體的取值規(guī)律；7、能用樣本估計(jì)百分位數(shù)，理解百分位數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義。二、課前熱身（20%）1.一支羽毛球隊(duì)有男運(yùn)動員20人，女運(yùn)動員15人，按性別進(jìn)行分層．用分層隨機(jī)抽樣的方法從全體運(yùn)動員中抽出一個容量為7的樣本．如果樣本按比例分配，那么女運(yùn)動員應(yīng)抽取的人數(shù)為（

）A．2 B．3 C．5 D．62.某校組織全校1850名學(xué)生赴山東曲阜、陜西西安和河南洛陽三地開展研究性學(xué)習(xí)活動，每位學(xué)生選擇其中一個研學(xué)地點(diǎn)，且每地最少有100名學(xué)生前往，則研學(xué)人數(shù)最多的地點(diǎn)（

）A．最多有1651名學(xué)生 B．最多有1649名學(xué)生C．最少有618名學(xué)生 D．最少有617名學(xué)生3.下列調(diào)查中，適合用普查的是（

）A．了解我省初中學(xué)生的家庭作業(yè)時間 B．了解“嫦娥四號”衛(wèi)星零部件的質(zhì)量C．了解一批電池的使用壽命 D．了解某市居民對廢電池的處理情況4.下圖是甲、乙兩地10月1日至7日每天最低氣溫走勢圖.記這7天甲地每天最低氣溫的平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為；記這7天乙地每天最低氣溫的平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為.根據(jù)上述信息，下列結(jié)論中正確的是（

）A． B． C． D．5.某校為了解學(xué)生課外閱讀情況，對該校學(xué)生的年閱讀量（單位：本）進(jìn)行抽樣調(diào)查，將調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如圖所示的頻率分布直方圖，則樣本數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)所在的區(qū)間為（

）A． B．C． D．三、知識梳理1、簡單隨機(jī)抽樣(1)簡單隨機(jī)抽樣：分為放回簡單隨機(jī)抽樣和不放回簡單隨機(jī)抽樣.除非特殊聲明，本章簡單隨機(jī)抽樣指不放回簡單隨機(jī)抽樣.(2)簡單隨機(jī)樣本：通過簡單隨機(jī)抽樣獲得的樣本稱為簡單隨機(jī)樣本.(3)簡單隨機(jī)抽樣的常用方法實(shí)現(xiàn)簡單隨機(jī)抽樣的方法很多，抽簽法和隨機(jī)數(shù)法是比較常用的兩種方法.2、總體平均數(shù)與樣本平均數(shù)定義總體均值（總體平均數(shù)）一般地，總體中有個個體，它們的變量值分別為,,,，則稱為總體均值，又稱總體平均數(shù).如果總體的個變量值中，不同的值共有（）個，不妨記為,,,，其中出現(xiàn)的頻率（）則總體均值還可以寫成加權(quán)平均數(shù)的形式樣本均值（樣本平均數(shù)）如果從總體中抽取一個容量為的樣本，它們的變量值分別為，，，則稱為樣本均值，又稱樣本平均數(shù).說明：（1）在簡單隨機(jī)抽樣中，我們常用樣本均值去估計(jì)總體平均數(shù)；（2）總體平均數(shù)是一個確定的數(shù)，樣本平均數(shù)具有隨機(jī)性（應(yīng)為樣本具有隨機(jī)性）；（3）一般情況下，樣本量越大，估計(jì)越準(zhǔn)確.3、分層隨機(jī)抽樣(1)分層隨機(jī)抽樣的概念一般地，按一個或多個變量把總體劃分成若干個子總體，每個個體屬于且僅屬于一個子總體，在每個子總體中獨(dú)立地進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣，再把所有子總體中抽取的樣本合在一起作為總樣本，這樣的抽樣方法稱為分層隨機(jī)抽樣，每一個子總體稱為層.（2）分層隨機(jī)抽樣的平均數(shù)計(jì)算在分層隨機(jī)抽樣中，以層數(shù)是2為例，如果第1層和第2層包含的個體數(shù)分別為和，抽取的樣本量分別為和，第1層和第2層的樣本平均數(shù)分別為，，樣本平均數(shù)位，則.我們可以采用樣本平均數(shù)估計(jì)總體平均數(shù)【即時演練】（40%）1.某班有50名學(xué)生，按男、女生分層隨機(jī)抽樣，從男、女生中各取樣6人和9人，則這個班男生人數(shù)是班級總?cè)藬?shù)的．2.從某班57名同學(xué)中選出4人參加戶外活動，利用隨機(jī)數(shù)表法抽取樣本時，先將57名同學(xué)按01、02、…、57進(jìn)行編號，然后從隨機(jī)數(shù)表第一行的第7列和第8列數(shù)字開始往右依次選取兩個數(shù)字，則選出的第4個同學(xué)的編號為（

）（注：下表中的數(shù)據(jù)為隨機(jī)數(shù)表第一行和第二行）0347437386369647366146986371629774246292428114572042533237321676A．24 B．36 C．42 D．523.某工廠生產(chǎn)三種不同型號的產(chǎn)品，它們的產(chǎn)量之比為，用分層抽樣的方法抽取一個容量為的樣本.若樣本中型號的產(chǎn)品有120件，則樣本容量為（

）分層樣本量樣本平均數(shù)第一層1055第二層3075第三層1090A．150 B．180 C．200 D．2504.已知總體劃分為3層，按比例用分層隨機(jī)抽樣法抽樣，各層的樣本量及樣本平均數(shù)如下表：估計(jì)總體平均數(shù)為（

）A．73 B．74 C．76 D．805.將某學(xué)校一次物理測試學(xué)生的成績統(tǒng)計(jì)如下圖所示，則估計(jì)本次物理測試學(xué)生成績的平均分為（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）（

）A．68 B．70 C．72 D．746.有以下兩個案例：案例一：從同一批次同類型號的10袋牛奶中抽取3袋分別檢測三聚氰胺的含量；案例二：某公司有員工800人，其中具有高級職稱的有160人，具有中級職稱的有320人，具有初級職稱的有200人，其他人員120人，從中抽取容量為40的樣本，了解他們的收入情況．(1)你認(rèn)為這兩個案例分別應(yīng)采用怎樣的抽樣方式較為合適？(2)在你使用的分層抽樣案例中寫出抽樣過程．4、統(tǒng)計(jì)圖表(1)常見的統(tǒng)計(jì)圖表有條形圖、扇形圖、折線圖、頻數(shù)分布直方圖、頻率分布直方圖等.(2)頻率分布表、頻率分布直方圖的制作步驟及意義（3）繪制頻率分布直方圖的步驟及頻率分布直方圖的性質(zhì)①求極差，即一組數(shù)據(jù)中的最大值與最小值的差．②決定組距與組數(shù)．組距與組數(shù)的確定沒有固定的標(biāo)準(zhǔn)，一般數(shù)據(jù)的個數(shù)越多，所分組數(shù)越多．當(dāng)樣本容量不超過100時，常分成5～12組．為方便起見，一般取等長組距，并且組距應(yīng)力求“取整”．③將數(shù)據(jù)分組．④列頻率分布表．計(jì)算各小組的頻率，第組的頻率是eq\f(第i組頻數(shù),樣本容量).⑤畫頻率分布直方圖．其中橫軸表示分組，縱軸表示eq\f(頻率,組距).eq\f(頻率,組距)實(shí)際上就是頻率分布直方圖中各小長方形的高度，它反映了各組樣本觀測數(shù)據(jù)的疏密程度．5、總體百分位數(shù)的估計(jì)（1）第百分位數(shù)的定義一般地,一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個值,它使得這組數(shù)據(jù)中至少有的數(shù)據(jù)小于或等于這個值,且至少有的數(shù)據(jù)大于或等于這個值.

（2）計(jì)算一組個數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)的步驟：第1步,按從小到大排列原始數(shù)據(jù).第2步,計(jì)算.第3步,若不是整數(shù),而大于的比鄰整數(shù)為,則第百分位數(shù)為第項(xiàng)數(shù)據(jù);若是整數(shù),則第百分位數(shù)為第項(xiàng)與第項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù).6、樣本的數(shù)字特征（1）眾數(shù)一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)(即頻率分布最大的樣本數(shù)據(jù))稱為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).（2）中位數(shù)：一組數(shù)據(jù)按從小到大(或從大到小)的順序排成一列,處于最中間的一個數(shù)據(jù)(當(dāng)數(shù)據(jù)個數(shù)是奇數(shù)時)或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)(當(dāng)數(shù)據(jù)個數(shù)是偶數(shù)時)稱為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).（3）平均數(shù)：一組數(shù)據(jù)的和與這組數(shù)據(jù)的個數(shù)的商稱為這組數(shù)據(jù)的平均數(shù).數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)為（4）標(biāo)準(zhǔn)差與方差：如果有個數(shù)據(jù)，，，那么平均數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差為：，方差：7、在頻率分布直方圖中，眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù)的估計(jì)值(1)最高的小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是眾數(shù);(2)中位數(shù)左邊和右邊的所有小矩形的面積和是相等的;(3)平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”,等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.【即時演練】（60%）1.樣本數(shù)據(jù)的極差和第75百分位數(shù)分別為、．2.已知一組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)為3，方差為2，由生成一組新的樣本數(shù)據(jù)，則新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為；樣本方差為.3.在對樹人中學(xué)高一年級學(xué)生身高的調(diào)查中，采用樣本比例分配的分層隨機(jī)抽樣，如果不知道樣本數(shù)據(jù)，只知道抽取了男生20人，其平均數(shù)和方差分別為170和10，抽取了女生30人，其平均數(shù)和方差分別為160和15.則估計(jì)出總樣本的方差為.4.某校為了解今年春季學(xué)期開學(xué)第一周，高二年級學(xué)生參加學(xué)校社團(tuán)活動的時長，有關(guān)部門隨機(jī)抽查了該校高二年級100名同學(xué)，統(tǒng)計(jì)他們今年春季學(xué)期開學(xué)第一周參加學(xué)校社團(tuán)活動的時長，并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.其中這100名同學(xué)今年春季學(xué)期開學(xué)第一周參加學(xué)校社團(tuán)活動的時長（單位：小時）范圍是，數(shù)據(jù)分組為.這100名同學(xué)中，今年春季學(xué)期開學(xué)第一周參加學(xué)校社團(tuán)活動的時長不少于6小時的人數(shù)為人.5.已知退休的王大爺連續(xù)天戶外運(yùn)動的步數(shù)（單位：百步）分別為50，，，，，則該組數(shù)據(jù)的均值與方差分別為（

）A．50， B．50，10 C．， D．，6.有兩位射擊運(yùn)動員在一次射擊測試中各射靶10次，每次命中的環(huán)數(shù)如下：甲：7

8

7

9

5

4

9

10

7

4乙：9

5

7

8

7

6

8

6

7

7設(shè)甲、乙兩名運(yùn)動員射擊平均環(huán)數(shù)分別記為和，方差分別記為和.(1)求，，，；(2)如果你是教練，你如何對這次射擊情況作出評價(jià)？如果這是一次選拔性考核，你應(yīng)當(dāng)如何作出選擇？四、綜合檢驗(yàn)（70%，建議倒序）1.一數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組有5名同學(xué)，他們的歷次數(shù)學(xué)考試成績都比較穩(wěn)定，且每次測試5人成績的方差均為6左右.某次數(shù)學(xué)測試他們中的甲同學(xué)因故沒能參加考試，其余四位同學(xué)的數(shù)學(xué)成績分別為111分，114分，117分，118分.如果甲同學(xué)參加這次考試，利用以往的經(jīng)驗(yàn)（方差為6）估計(jì)其成績?yōu)椋?/p>

）A．112分 B．113分 C．115分 D．119分2.高二年級進(jìn)行消防知識競賽，統(tǒng)計(jì)所有參賽同學(xué)的成績，成績都在內(nèi)，估計(jì)所有參賽同學(xué)成績的第25百分位數(shù)為（

）A． B．70C．72 D．753.在踐行“鄉(xiāng)村振興”戰(zhàn)略的過程中，某地大力發(fā)展特色花卉種植業(yè)．某農(nóng)戶種植一種觀賞花?，為了解花卉的長勢，隨機(jī)測量了枝花的高度（單位：），得到花枝高度的頻率分布直方圖，如圖所示，則（

）

A．樣本花卉高度的極差不超過B．樣本花卉高度的中位數(shù)不小于眾數(shù)C．樣本花的高度的平均數(shù)不小于中位數(shù)D．樣本花升高度小于的占比不超過

4.已知一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，方差，則數(shù)據(jù)的平均數(shù)、方差分別為（

）A．16，20 B．16，80 C．18，20 D．18，805.在2024年巴黎奧運(yùn)會上，中國跳水隊(duì)表現(xiàn)卓越，成功包攬了全部8枚跳水金牌，這一成績不僅創(chuàng)造了歷史，也再次證明了“夢之隊(duì)”的實(shí)力和統(tǒng)治力.跳水比賽計(jì)分規(guī)則如下：針對運(yùn)動員每次跳水，共有7個裁判評分，去掉一個最高分與一個最低分，剩下的分?jǐn)?shù)相加后乘以難度分，即可得出最終得分.下列說法正確的是（

）A．去掉一個最高分與一個最低分前后，兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)一定改變B．去掉一個最高分與一個最低分前后，兩組數(shù)據(jù)的方差可能不變C．去掉一個最高分與一個最低分前后，兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)不變D．去掉一個最高分與一個最低分前后，兩組數(shù)據(jù)的眾數(shù)不變6.（多選）某高中舉行的紀(jì)念紅軍長征出發(fā)90周年的知識答題比賽，對參賽的2000名考生的成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，可得到如圖所示的頻率分布直方圖，若同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中間值作為代表值，則下列說法中正確的是（

）A．參賽成績的眾數(shù)約為75分B．用分層抽樣從該校學(xué)生中抽取容量為200的樣本，則應(yīng)在內(nèi)的成績抽取30人C．參賽成績的第75百分位數(shù)約為82.5分D．參賽成績的平均分約為72.8分五、課后作業(yè)（80%）1.已知x、x+1、x+3、x+5、x+6的平均數(shù)為5，則它們的中位數(shù)為（

）A．3 B．4 C．5 D．62.某校組織50名學(xué)生參加慶祝中華人民共和國成立75周年知識競賽，經(jīng)統(tǒng)計(jì)這50名學(xué)生的成績都在區(qū)間內(nèi)，按分?jǐn)?shù)分成5組：，得到如圖所示的頻率分布直方圖（不完整），根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，下列結(jié)論錯誤的是（

）A．成績在上的人數(shù)最少B．成績不低于80分的學(xué)生所占比例為C．50名學(xué)生成績的極差為50D．50名學(xué)生成績的平均分小于中位數(shù)3.高二年級進(jìn)行消防知識競賽，統(tǒng)計(jì)所有參賽同學(xué)的成績，成績都在內(nèi)，估計(jì)所有參賽同學(xué)成績的第75百分位數(shù)為（

）A． B． C． D．4.某學(xué)校的高一、高二及高三年級分別有學(xué)生1000人、人、人，用分層抽樣的方法從全體學(xué)生中抽取一個容量為人的樣本，抽出的高一、高二及高三年級學(xué)生的平均身高為、、，估計(jì)該校學(xué)生的平均身高是（

）A． B． C． D．5.(多選)現(xiàn)有一組各不相同且從小到大排列的樣本數(shù)據(jù)，下列說法正確的是（

）A．的下四分位數(shù)為B．的中位數(shù)為C．的平均數(shù)小于的平均數(shù)D．的方差是的方差的4倍.6.新冠肺炎疫情在我國爆發(fā)以來，我國舉國上下眾志成城、團(tuán)結(jié)一致抗擊新冠肺炎疫情，經(jīng)過幾個月的努力，我國的疫情已經(jīng)得到有效控制．為了解大眾對新冠肺炎相關(guān)知識的掌握情況，某網(wǎng)站舉行“新冠肺炎”防控知識競賽網(wǎng)上答題，共有人通過該網(wǎng)站參加了這次競賽，為了解競賽成績情況，從中隨機(jī)抽取了名學(xué)生的成績，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖；

(1)試估計(jì)這名學(xué)生成績的第百分位數(shù)；(2)若采用分層抽樣的方法從成績在，80,90，90,100的學(xué)生中共抽取人參加志愿者活動．現(xiàn)從這人中隨機(jī)抽取人分享活動經(jīng)驗(yàn)，求抽取的人成績都在的概率．六、鞏固復(fù)習(xí)第一輪（85%）1.某公司有1500名員工，其中男員工800名，女員工700名．為了解該公司員工的身體狀況，現(xiàn)按性別進(jìn)行分層抽樣，從全體員工中抽取30名進(jìn)行調(diào)查，則應(yīng)抽取男員工的人數(shù)為（

）A．14 B．15 C．16 D．172.某數(shù)學(xué)興趣小組20名成員在規(guī)定時間內(nèi)獨(dú)立解答6個數(shù)學(xué)問題，最終結(jié)果如下：有1人解出1個問題，有1人解出2個問題，有4人解出3個問題，有4人解出4個問題，有5人解出5個問題，有5人解出6個問題，則解出問題個數(shù)的第三四分位數(shù)為（

）A．3 B．4.5 C．5 D．5.53.二十大報(bào)告明確指出，人民健康是民族昌盛和國家強(qiáng)盛的重要標(biāo)志．青少年處于健康生長的關(guān)鍵時期，其身高和體重是反映他們生長發(fā)育和營養(yǎng)狀況的基本指標(biāo)．某校從高一年級隨機(jī)抽取了20名女生，得到她們的身高數(shù)據(jù)如下（單位：）：則這組數(shù)據(jù)的第一四分位數(shù)（

）．A．155 B．155.5 C．156 D．156.54.某市政府計(jì)劃對居民生活用水實(shí)施階梯式水價(jià)制度，即確定一戶居民月均用水量標(biāo)準(zhǔn)（單位：），用水量不超過的部分按平價(jià)收費(fèi)，超出的部分按議價(jià)收費(fèi)，該市隨機(jī)調(diào)查了10000戶居民，獲得了他們的月均用水量數(shù)據(jù)，整理得到頻率分布直方圖（如圖）．如果要讓該市的居民用戶的月均用水量不超出標(biāo)準(zhǔn)，那么應(yīng)為（單位：）．5.為了調(diào)查學(xué)生在一學(xué)期內(nèi)參加物理實(shí)驗(yàn)的情況，從某校隨機(jī)抽取100名學(xué)生，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到他們參加物理實(shí)驗(yàn)的次數(shù)均在區(qū)間內(nèi)，其數(shù)據(jù)分組依次為：，，，，.若.(1)求這100名學(xué)生中，物理實(shí)驗(yàn)次數(shù)在內(nèi)的人數(shù)；(2)估計(jì)該校學(xué)生在一學(xué)期內(nèi)參加物理實(shí)驗(yàn)的次數(shù)在15次到20次之間的概率.七、鞏固復(fù)習(xí)第二輪（90%）1.某小組六名學(xué)生上周的體育運(yùn)動時間為、、、、、，則該小組體育運(yùn)動時間的平均數(shù)和方差是（

）A．、 B．、 C．、 D．、2.（多選）某校為調(diào)查學(xué)生身高情況，按男女生比例進(jìn)行分層隨機(jī)抽樣，抽取一個容量為50的樣本．已知中男生數(shù)據(jù)為23個，平均數(shù)為，方差為12.59；女生數(shù)據(jù)為27，平均數(shù)為，方差為38.62．下列說法