狀態(tài)空間描述法

關(guān)于狀態(tài)空間描述法第1頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日9.1線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述法

1．控制系統(tǒng)的兩種基本描述方法：

輸入—輸出描述法——經(jīng)典控制理論狀態(tài)空間描述法——現(xiàn)代控制理論

2．經(jīng)典控制理論的特點：

(1)優(yōu)點：對單入—單出系統(tǒng)的分析和綜合特別有效。

(2)缺點：內(nèi)部的信息無法描述，僅適于單入—單出系統(tǒng)。

3.現(xiàn)代控制理論

(1)適應(yīng)控制工程的高性能發(fā)展需要，于60年代提出。

(2)可處理時變、非線性、多輸入—多輸出問題。

(3)應(yīng)用方面的理論分支：最優(yōu)控制、系統(tǒng)辯識，自適應(yīng)控制……9.29.39.4一、問題的提出第2頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日

1.

先看一個例子：

例9.1

試建立圖示電路的數(shù)學模型。RL

Ci(t)ur(t)

uc(t)二.狀態(tài)和狀態(tài)空間第3頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日

2.

狀態(tài)與狀態(tài)變量的定義

在已知ur(t)的情況下，只要知道uc(t)和i(t)的變化特性，則其他變量的變化均可知道。故uc(t)和i(t)稱為“狀態(tài)變量”。記

控制系統(tǒng)的狀態(tài)為完全描述系統(tǒng)的一個最小變量組，該組中的每個變量稱為狀態(tài)變量。

如上例中,為系統(tǒng)的狀態(tài)，為狀態(tài)變量。第4頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日3.狀態(tài)向量

4.狀態(tài)空間:

定義:所有狀態(tài)構(gòu)成的一個實數(shù)域上的(線性)向量空間稱為狀態(tài)空間。

5.方程:

狀態(tài)變量的一階導數(shù)與狀態(tài)變量、輸入量的關(guān)系表達式稱為狀態(tài)方程(見上例);

系統(tǒng)輸出量y(t)與狀態(tài)變量、輸入量的關(guān)系的表達式稱為輸出方程。

第5頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日三.狀態(tài)變量的選取

1.狀態(tài)變量的選取是非唯一的。

2.選取方法

（1）可選取初始條件對應(yīng)的變量或與其相關(guān)的變量作為系統(tǒng)的狀態(tài)變量。

（2）可選取獨立儲能（或儲信息）元件的特征變量或與其相關(guān)的變量作為控制系統(tǒng)的狀態(tài)變量。（如電感電流i、電容電壓uc

、質(zhì)量m

的速度v

等。第6頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日

例9.2

圖示彈簧——質(zhì)量——阻尼器系統(tǒng)，外作用力u(t)為該系統(tǒng)的輸入量，質(zhì)量的位移y(t)為輸出量，試列寫該系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程。

k

mu(t)y(t)f第7頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日例9.3

已知系統(tǒng)微分方程組為

其中，ur為輸入，uc為輸出，R1、C1、R2、C2為常數(shù)。試列寫系統(tǒng)狀態(tài)方程和輸出方程。

第8頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日解：選寫成向量—矩陣形式：第9頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日四.狀態(tài)空間表達式1.單輸入單輸出線性定常連續(xù)系統(tǒng)第10頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日

2.

一般線性系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式（p輸入q輸出）

3.

線性定常系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式第11頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日∫

（t域）

（ω

域）uxy

B∫

C

D

Ab)結(jié)構(gòu)圖

系統(tǒng)

Aa)結(jié)構(gòu)關(guān)系圖DBC第12頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日五.線性定常系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的建立

1.方法:機理分析法、實驗法

2.線性定常單變量系統(tǒng)(單輸入—單輸出系統(tǒng))

(1)由微分方程建立

①在輸入量中不含有導數(shù)項時：第13頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日

例9.4

已知系統(tǒng)微分方程為

列寫系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式。

寫成向量---矩陣形式(或系統(tǒng)動態(tài)結(jié)構(gòu)圖):解：選②輸入量中含有導數(shù)項時：第14頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日①可控規(guī)范型實現(xiàn)(2)由傳遞函數(shù)建立——即實現(xiàn)

第15頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日B）bn≠0第16頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日例9.5

已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

試求其能控規(guī)范型實現(xiàn)，并畫出系統(tǒng)狀態(tài)圖。解:由

bn=b3=0,對照標準型,可得實現(xiàn)為第17頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日例9.6

已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為試求其能控規(guī)范型實現(xiàn)，并畫出系統(tǒng)狀態(tài)圖。

解:由

bn=b3≠0,對照標準型第18頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日例9.7

已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

試求其能觀測規(guī)范型實現(xiàn)，并畫出系統(tǒng)狀態(tài)圖。

與能控規(guī)范型關(guān)系：

A*=AT，B*=CT，C*=BT

②能觀測規(guī)范型實現(xiàn)第19頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日③對角線規(guī)范實現(xiàn)

第20頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日

結(jié)構(gòu)圖的對角線規(guī)范型實現(xiàn)，并畫出系統(tǒng)狀態(tài)圖

。

例9.8

求

+x1y(t)u(t)∫λ1c1x2∫λ2c2xn∫λncn++第21頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日解：則對角線規(guī)范型實現(xiàn)為第22頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日④約當規(guī)范型實現(xiàn)----特征方程有重根時

第23頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日第24頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日xnx4x11x12x13y(t)u(t)+++++∫λ1∫λ4∫λn∫λ1∫λ1

c11

c12c13c4cn第25頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日

當G(s)有重極點時，設(shè)-pi中有k重極點第26頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日11111第27頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日例9.9-1-21111-111第28頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日(3)狀態(tài)空間表達式的線性變換①思路：②變換前后系數(shù)矩陣關(guān)系：

代入原狀態(tài)方程，有

第29頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日變換為對角線規(guī)范型。

例9.10

試將狀態(tài)方程解：Ⅰ.求特征值：

Ⅱ.求特征向量和變換矩陣P

λ=-1對應(yīng)的p1

第30頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日3．線性定常多輸入—多輸出系統(tǒng)

(1)傳遞函數(shù)矩陣與狀態(tài)系數(shù)矩陣間的關(guān)系

第31頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日(2)開環(huán)與閉環(huán)傳遞矩陣(3)傳遞矩陣的對角化單入—單出系統(tǒng)y(s)e(s)u(s)

G(s)

H(s)-y(s)e(s)u(s)

G(s)

H(s)多入—多出系統(tǒng)-第32頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日(4)傳遞矩陣的實現(xiàn)1)單輸入—多輸出時的實現(xiàn)第33頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日

可控規(guī)范型第34頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日

例9.11

試求下列單輸入—雙輸出系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣的可控標準形實現(xiàn)。

解：第35頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日2)多輸入—單輸出時的實現(xiàn)解題思路：

①求對應(yīng)的單入多出系統(tǒng)GT(s)的實現(xiàn)；

②利用對偶關(guān)系求G(s)的實現(xiàn)。

例9.12

線性定常系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣如下，求系統(tǒng)的可控標準形實現(xiàn)。

解：1）先求對應(yīng)的單輸入—雙輸出系統(tǒng)的實現(xiàn)

第36頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日第37頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日2）再轉(zhuǎn)換為雙輸入—單輸出系統(tǒng)的實現(xiàn)故原系統(tǒng)的實現(xiàn)為:第38頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日方法的驗證第39頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日對比原題所給傳遞函數(shù)，可見結(jié)果一致。第40頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日本節(jié)作業(yè)

劉豹.

P481-41-5(1)1-7第41頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日9.2狀態(tài)方程求解線性定常連續(xù)系統(tǒng)1.齊次狀態(tài)方程的解（1）

冪級數(shù)法設(shè)解為：

9.39.49.1第42頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日第43頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日⑵拉氏變換法由兩邊取拉氏變換，得

SX(s)-X(0)=AX(s)(SI﹣A)X(s)=X(0)

X(s)=(SI﹣A)-1.X(0)兩邊取拉氏反變換

x(t)=L-1[X(s)]=L-1[(SI-A)-1

X(0)]=L-1[(SI-A)-1]X(0)比較前式，有eAt=L-1[(SI-A)-1]第44頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日△狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的運算性質(zhì)ф(t)=eAt=I+At+(1/2)A2t2+…+(1/k！)Aktk+…⑴ф(0)=I─初始狀態(tài)

(2)⑶ф(t1±t2)=ф(t1)ф(±t2)=ф(±t2)ф(t1)-----線性關(guān)系

⑷

ф-1(t)=ф(-t)，ф-1(-t)=ф(t)-----可逆性

⑸

x(t)=ф(t-t0)x(t0)∵x(t0)=ф(t0)x(0),第45頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日

則

x(t)=ф(t)x(0)=ф(t)[ф-1(t0)x(t0)]=ф(t)ф(-t0)x(t0)=ф(t-t0)x(t0)（6）ф(t2-t0)=ф(t2-t1)ф(t1-t0)=e(t2-t1)Ae(t1-t0)A

——可分階段轉(zhuǎn)移⑺[ф(t)]k=ф(kt)⑻

e(A+B)t==eAt.eBt=eBt.eAt(AB=BA)

e(A+B)t≠eAt.eBt≠eBt.eAt(AB≠BA)⑼

引入非奇異變換后，⑽

兩種常見的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣

第46頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日第47頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日

例9.13

設(shè)有一控制系統(tǒng)，其狀態(tài)方程為

在t0=0時，狀態(tài)變量的初值為[x1(0)x2(0)x3(0)],試求該方程的解。

第48頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日第49頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日第50頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日試求A及ф(t)。

例9.14

設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為第51頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日

解方程組得，

ф11(t)=2e-t–e-2t,ф12(t)=2e-t－2e-2tф21(t)=-e-t+e-2t,ф22(t)=-e-t+2e-2t

第52頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日例9.15

設(shè)系統(tǒng)運動方程為式中a、b、c均為實數(shù)，試求：⑴求系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式。⑵求系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。

第53頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日2.非齊次狀態(tài)方程的解⑴直接法（積分法）

(2)拉氏變換法

sx(s)-x(0)=Ax(s)+Bu(s)(sI-A)x(s)=x(0)+Bu(s)

x(s)=(sI-A)-1x(0)+(sI-A)-1Bu(s)則x(t)=￡-1[(sI-A)-1x(0)]+￡-1[(sI-A)-1Bu(s)](由eAt=￡-1[(sI-A)-1]可得)第54頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日

例9.16

在上例中，當輸入函數(shù)u(t)=1(t)時，求系統(tǒng)狀態(tài)方程的解。第55頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日例9.17

設(shè)有一電液位置伺服系統(tǒng)，已知系統(tǒng)方塊圖如下所示。試用狀態(tài)空間法對系統(tǒng)進行分析。解：由圖32/s1-

電動伺服閥放大器油缸位移傳感器u(s)y(s)第56頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日第57頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日本節(jié)作業(yè)

劉豹.

P772-32-5(3)2-6第58頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日

一、可控與可觀測的概念、意義9.3可控性與可觀測性9.29.49.1第59頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日

設(shè)線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為：

如果存在一個控制u(t)，能在有限時間間隔[to,tf]內(nèi)，使系統(tǒng)從其一初態(tài)x(to)轉(zhuǎn)移到任意指定的終態(tài)x(tf)，則稱此狀態(tài)x(to)是完全可控的，簡稱系統(tǒng)可（能）控。（只要有一個狀態(tài)變量不可控，則系統(tǒng)不可控）。二、定義1.

可控性定義第60頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日三、可控性與可觀測性判據(jù)

系統(tǒng)在穩(wěn)定輸入u(t)作用下，對任意初始時刻to

，若能在有限時間間隔[to,tf]之內(nèi)，根據(jù)從to到tf對系統(tǒng)輸出y(t)的觀測值和輸入u(t)，唯一地確定系統(tǒng)在to時刻的狀態(tài)x(to)，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全可觀測的，簡稱系統(tǒng)可（能）觀測。（只要有一個狀態(tài)變量不能（可）觀測，則系統(tǒng)不可觀測）。2.

可觀測性定義

可控規(guī)范型：

úúúú?ùêêêê?é=

úúúúúú?ùêêêêêê?é----=-1000B,aaaa1000001000010A1n210LLLMMMLL1.

可控性判據(jù)第61頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日

線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)完全可控的充要條件是可控性判別陣：必須滿秩。即（n為系統(tǒng)維數(shù)）判據(jù)一：試判別其狀態(tài)的可控性。解：

例9.18

設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為：系統(tǒng)可控！第62頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日

設(shè)線性定常系統(tǒng)具有互異的特征值，則系統(tǒng)可控的充要條件是，系統(tǒng)經(jīng)非奇異變換后的對角線規(guī)范型方程：中，陣不包含元素全為零的行。判據(jù)二:

例9.19

已知三階二輸入系統(tǒng)狀態(tài)方程,試判別其狀態(tài)的可控性。解：

不可控！第63頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日

例9.20

試確定如下幾個經(jīng)非奇異變換后的對角線規(guī)范型系統(tǒng)的可控性?！獭痢獭恋?4頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日

例9.21

試判斷下列已經(jīng)非奇異變換成約當規(guī)范型的系統(tǒng)的可控性。

中，與每個約當小塊的最后一行相對應(yīng)的陣中的所有那些行，其元素不全為零。（若兩個約當塊有相同特征值，此結(jié)論不成立。）

約當規(guī)范型

判據(jù)三：√×第65頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日

判據(jù)一:

線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀測的充分必要條件為可觀測性矩陣:2.

可觀測性判據(jù)必須滿秩，即rankQo=n（n為系統(tǒng)維數(shù)）

可觀測規(guī)范型：第66頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日例9.22

已知系統(tǒng)的A,C陣如下，試判斷其可觀性。例9.23

試判別如下系統(tǒng)的可觀測性。解：解：√×第67頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日的矩陣中不包含元素全為零的列。

設(shè)線性定常連續(xù)系統(tǒng)具有不相等的特征值,則其狀態(tài)可觀測的充要條件是系統(tǒng)經(jīng)非奇異變換后的對角線規(guī)范型:例9.24

試判別以下系統(tǒng)的狀態(tài)可觀測性.判據(jù)二:√第68頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日中,與每個約當塊首行相對應(yīng)的矩陣中的那些列,其元素不全為零。(如果兩個約當塊有相同的特征值,此結(jié)論不成立)。

約當規(guī)范型判據(jù)三:

第69頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日例9.25

試判別下列系統(tǒng)的狀態(tài)可觀測性。

√×第70頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日

1）可控可觀測的充要條件：

由動態(tài)方程導出的傳遞函數(shù)不存在零極點對消（即傳遞函數(shù)可約）。

2）可控的充要條件：

(SI-A)-1b不存在零極點對消。

3）可觀測的充要條件：

c(SI-A)-1不存在零極點對消。

四、能控能觀性與傳遞函數(shù)的關(guān)系例9.26

判斷以下系統(tǒng)的狀態(tài)可控性與可觀測性。1.

單輸入單輸出系統(tǒng)第71頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日例9.27

系統(tǒng)傳遞函數(shù)如下，判斷其可控性與可觀測性。解：，故不滿足可控可觀測的條件。第72頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日2.

多輸入多輸出系統(tǒng)1）可控的充要條件：

(SI-A)-1B

的n行線性無關(guān)。2）可觀測的充要條件：

C(SI-A)-1的n列線性無關(guān)。

例9.28

用兩種方法驗證：系統(tǒng)（1）的狀態(tài)可控性；系統(tǒng)（2）的狀態(tài)可觀測性。第73頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日例9.29第74頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日第75頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日五、對偶原理設(shè)系統(tǒng)S1(A1,B1,C1)與系統(tǒng)S2(A2,B2,C2)互為對偶系統(tǒng)，則:若系統(tǒng)S1(A1,B1,C1)可控，則系統(tǒng)S2(A2,B2,C2)可觀測；若系統(tǒng)S1(A1,B1,C1)可觀測，則系統(tǒng)S2(A2,B2,C2)可控；證明：第76頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日六、線性系統(tǒng)的規(guī)范分解*例9.30

判斷以下系統(tǒng)及其的狀態(tài)可控性與可觀測性。線性系統(tǒng)可分解為四種系統(tǒng)：

能控能觀測1

√√2.√3.√4.

第77頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日1.能控性規(guī)范分解定理

n階系統(tǒng)(A,B,C)，rankQc=k<n，則通過非奇異變換可導出原系統(tǒng)按能控性規(guī)范分解的新系統(tǒng)(Ac,

Bc,

Cc)，有

xc是k維能控狀態(tài)分量，為(n-k)維不能控分量，為能控子系統(tǒng)。

第78頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日5-3

Tc的求法：

i)從QC中任選k

(rankQC=k)個線性無關(guān)的列向量，它為Tc的前k列：V1,V2,

···,Vk

；

ii)在Rn中再選n-k個列向量，記為Vk+1,···,Vn

,需使得：為非奇異。第79頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日

設(shè)線性定常系統(tǒng)如下，判斷其能控性；若不完全能控，試將該系統(tǒng)按能控性進行分解。例9.31

解系統(tǒng)能控性判別陣rankQc=2<n=3,所以系統(tǒng)是不完全能控的。第80頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日其中Tc3是任意的，只要能保證Tc非奇異即可。變換后的系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式即

能控子系統(tǒng)為

第81頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日

為能觀測子系統(tǒng)?？蓪⒃到y(tǒng)變換為按能觀測規(guī)范分解的新系統(tǒng)(Ao,

Bo,

Co)，有

5-4定理

n階系統(tǒng)(A,B,C)，

rankQo=r<n，通過非奇異變換，xo為r維能觀測狀態(tài)分量；

是（n-r）維不能觀測的狀態(tài)分量。2.能觀測性規(guī)范分解第82頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日

To-1的求法:i)

從Qo中任選r(rankWo=r)個線性無關(guān)的行向量，作為To-1的前r個行向量。

ii)在Rn中再選（n-r）個行向量，構(gòu)成To-1，并使To-1為非奇異。

例9.32

設(shè)線性定常系統(tǒng)如下，判斷其能觀測性；若不完全能觀測，試將該系統(tǒng)按能觀測性進行分解。解系統(tǒng)能觀測性判別陣rankQo=2<n

所以系統(tǒng)是不完全能觀測的。第83頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日即其中是任意的，只要能保證非奇異即可。

變換后的系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式

能觀測子系統(tǒng)為第84頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日3.線性系統(tǒng)的規(guī)范分解引理系統(tǒng)(A,B,C)完全能控且完全能觀測的充要條件是：證明能控的充要條件：rankQc=n

能觀的充要條件：rankQo=n又由Sylvester不等式：其中，因此，系統(tǒng)完全能控且完全能觀測，則必有定理不完全能控、不完全能觀測的n階系統(tǒng)(A,B,C)則可通過非奇異變換,將原系統(tǒng)(A,B,C)變換為按能控性和能觀測性規(guī)范分解的系統(tǒng)（Aco,Bco,Cco）有：第85頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日(1)能控

√ √

能觀測

√

√

為能控且能觀測子系統(tǒng)。

5-5第86頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日

按能控性和能觀測性進行規(guī)范分解的步驟:是狀態(tài)不完全能控和不完全能觀測的，試將該系統(tǒng)按能控性和能觀測性進行結(jié)構(gòu)分解。

可只須經(jīng)過一次變換對系統(tǒng)同時按能控性和能觀測性進行結(jié)構(gòu)分解，但變換陣的構(gòu)造需要涉及較多的線性空間概念。下面介紹一種逐步分解的方法。

(1)先將系統(tǒng)按能控性分解；

(2)將不能控的子系統(tǒng)按能觀測性分解；

(3)將能控的子系統(tǒng)按能觀測性分解；

(4)綜合以上三次變換，導出系統(tǒng)同時按能控性和能觀測性進行結(jié)構(gòu)分解的表達式。

例9.33

已知系統(tǒng)第87頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日解前例已將該系統(tǒng)按能控性分解不能控子空間是能觀測的，無需再進行分解。將能控子空間按能觀測性進行分解。第88頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日即

綜合以上兩次變換結(jié)果，系統(tǒng)按能控性和能觀測性分解為

第89頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日本節(jié)作業(yè)

劉豹.

P1383-1(1)3-23-3(1)第90頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日一、用狀態(tài)反饋配置系統(tǒng)的極點

定理：用狀態(tài)反饋任意配置系統(tǒng)極點的充要條件是：受控系統(tǒng)可控。9.4狀態(tài)反饋與狀態(tài)觀測器9.29.39.1uxy

b∫C

Av

狀態(tài)反饋系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖k-第91頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日

結(jié)論：狀態(tài)反饋不改變系統(tǒng)的能控性。第92頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日例9.35

設(shè)受控系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

試用狀態(tài)反饋使閉環(huán)極點配置在－2，－1±j。畫出狀態(tài)反饋系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖。設(shè)受控系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式

判斷系統(tǒng)能否用狀態(tài)反饋使閉環(huán)極點配置在-2±j。若能，求出狀態(tài)反饋陣并畫出狀態(tài)反饋系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖。例9.34第93頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日

解該單輸入—單輸出系統(tǒng)傳遞函數(shù)無零極點對消，故可控。其可控標準形實現(xiàn)為（1×3）狀態(tài)反饋陣為

k=[k0

k1

k2]期望極點對應(yīng)的特征方程為k=[k0

k1

k2]=[441]比較兩特征方程，得狀態(tài)反饋系統(tǒng)特征方程為第94頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日第95頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日

第96頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日

第97頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日yux

B∫

C

Ava)輸出反饋至參考輸入

h-

uxy

B∫

C

Ab)輸出反饋至狀態(tài)微分

h-二、輸出反饋與極點配置第98頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日三、狀態(tài)觀測器及其設(shè)計

狀態(tài)觀測器及其實現(xiàn)狀態(tài)反饋的結(jié)構(gòu)圖u

B∫

C

A

H

uxy

B∫

C

A

K

－v

－第99頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日

定理：若受控系統(tǒng)可觀測，則其狀態(tài)可用形如的全維觀測器給出估值。矩陣H按任意配置極點的要求來選擇，以決定狀態(tài)誤差衰減的速率。第100頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日

試設(shè)計全維觀測器，將極點配置在-10，-10。畫出全維觀測器及受控對象的狀態(tài)變量圖。例9.36

設(shè)受控系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為解：因為第101頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日四、降維狀態(tài)觀測器所以，全維狀態(tài)觀測器為u(t)2y(t)∫∫22∫∫232/8.58.5----x2(t)x1(t)-畫法1.畫觀測器與原系統(tǒng)一樣:畫法2.觀測器用其方程畫（課后自畫）。第102頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日本節(jié)作業(yè)

劉豹.

P2065-15-35-10第103頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日9.5線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性9.5.1向量和矩陣的范數(shù)

9.5.1.1向量的范數(shù)

其范數(shù)||x||為一實數(shù)，具有性質(zhì)：(1)若x

0則||x||>0;當x=0,則||x||=0(2)||

x||=|

|||x||,

為任意標量.(3)對于兩個向量x,y有

||x+y||≤||x||+||y||.(三角不等式)

幾種常見的向量范數(shù)：

——n維空間上的點到原點的距離。第104頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日9.5.1.2

矩陣的范數(shù)(x的

范數(shù)也定義：

矩陣A=[aij]n

m，其范數(shù)||A||滿足:(1)當A0時，||A||>0；當A=0時，||A||=0；(2)

||A||=|

|||A||

為任意向量；(3)

||A+B||||A||+||B||；(4)

||AB||||A||||B||；第105頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日

幾種常見的矩陣范數(shù)：2——范數(shù)1——范數(shù)第106頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日9.5.2平衡狀態(tài)和穩(wěn)定性9.5.2.1平衡狀態(tài)（平衡點）xe

xe——一個狀態(tài)變量，一旦系統(tǒng)到達此狀態(tài)，則以后在無外力及擾動的情況下，總處于此狀態(tài)。任意狀態(tài)x(t)可表達為：x(t)=Ф(t;t0,x(t0),u(t))

平衡狀態(tài)xe——零輸入狀態(tài)下的不變狀態(tài)，有

xe=Ф(t;t0,xe,0)=常量對于線性定常連續(xù)系統(tǒng)：xe為平衡狀態(tài)線性定常離散系統(tǒng)：

x(k+1)=Gx(k)(2)第107頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日9.5.2.2

幾個穩(wěn)定性概念可見，由線性定常連續(xù)系統(tǒng)（1）、離散系統(tǒng)（2）：xe=0線性定常系統(tǒng)：xe=0是唯一的漸近穩(wěn)定的平衡狀態(tài)。(1)李亞普若夫意義下的穩(wěn)定性

(SisL——Stabilityinthesenseoflyapunov或i.s.L穩(wěn)定)xe——平衡狀態(tài)，x0——初始狀態(tài)（t0時刻）當且僅當對于任一實數(shù)

>0，對應(yīng)地存在一個實數(shù)

>0，使：||x0-xe||≤

時，從任一初始狀態(tài)x0出發(fā)的零輸入響應(yīng)Ф(t;t0

,x0

,0)都滿足||Ф(t;t0,x0,0)-xe||≤

,

t≥t0

則稱xe為lyapunov意義下穩(wěn)定的（SisL）。

第108頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日

——球域s()，半徑為

；

——球域s()，半徑為

。s()內(nèi)的狀態(tài)的自由運動總在s()內(nèi)。若

與t0無關(guān)，則稱此平衡態(tài)xe是i.s.L一致穩(wěn)定的，如下圖。一般，

=

(

,t0)，即與

和t0有關(guān)；狀態(tài)空間，以xe為原點，對給定正實數(shù)

，以xe為球心、

為半徑構(gòu)造一個超球體，球域記為s(

)。

幾何解釋：

第109頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日(2)漸近穩(wěn)定（AS—asymptoticstability）稱平衡態(tài)xe是漸近穩(wěn)定（AS）的，如果滿足：①xe是i.s.L穩(wěn)定的；②對于

(

,t0)和任意給定的實數(shù)

>0，對應(yīng)地存在實數(shù)

T(

,

,t0)>0使得滿足①的任一初態(tài)x0出發(fā)的零輸入響應(yīng)都滿足：

||Ф(t;t0,x0,0)-xe||<

,t≥t0+T(

,

,t0),而且

第110頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日如果從任一初態(tài)x0的受擾運動均為漸近穩(wěn)定的，<5><6><4><3><2><1>線性系統(tǒng)：漸近穩(wěn)定

大范圍漸近穩(wěn)定。記：<1>=Sisl.

<2>=一致Sisl.<3>=AS.

<4>=一致AS.<5>=大范圍AS.<6>=大范圍一致AS.幾種穩(wěn)定定義的包含關(guān)系：線性系統(tǒng)：<3>

<5>

則稱平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。大范圍漸近穩(wěn)定也稱為全局漸近穩(wěn)定。（小范圍漸近穩(wěn)定也稱為局部漸近穩(wěn)定。）

xe為大范圍漸近穩(wěn)定：<4><6>

第111頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日9.5.3

李亞普若夫第一法9.5.3.1線性定常連續(xù)系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性線性定常連續(xù)系統(tǒng)：若u(t)=0,t≥0;對任意x(0),有

稱為系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。

定理4.1

[特征值判據(jù)]

線性定常連續(xù)系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定的充要條件是：系統(tǒng)矩陣A的全部特征值都具有負實部，即

i——A的特征值。第112頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日幾個判據(jù)

1．[必要條件判據(jù)]

若線性定常系統(tǒng)為AS，則特征多項式的系數(shù)

i(i=0,1,???,n-1)必全為正。系統(tǒng)為AS

i>0

(i=0,1,???,n-1)；有缺項或有負的系統(tǒng)不是AS

。第113頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日2．Hurwitz行列式判據(jù):[線性定常系統(tǒng)為AS的充要條件判據(jù)]第114頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日3．Lienard——chipart

判據(jù)——只需要計算一半Hurwitz行列式。例9.37

例9.38

第115頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日9.5.3.2線性定常離散系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性若對于任意x(0),有定理4.2[特征值判據(jù)]

線性定常離散系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充要條件為：G的所有特征值的幅值均小于1，即（即G的特征值

i均位于Z平面的單位內(nèi)）。第116頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日9.5.4李亞普若夫第二法基本思路：從能量觀點進行穩(wěn)定性分析：1)如果一個系統(tǒng)被激勵后，其儲存的能量隨時間的推移逐漸衰減，到達平衡狀態(tài)時，能量將達最小值，則這個平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的；

2)反之，如果系統(tǒng)不斷地從外界吸收能量，儲能越來越大，則這個平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的；

3)如果系統(tǒng)的儲能既不增加，也不消耗，則這個平衡狀態(tài)就是Lyapunov意義下的穩(wěn)定。

由于實際系統(tǒng)的復雜性和多樣性，往往不能直觀地找到一個能量函數(shù)來描述系統(tǒng)的能量關(guān)系;

于是Lyapunov定義了一個正定的標量函數(shù)，作為虛構(gòu)的廣義能量函數(shù)，用其一階微分的符號特征來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。第117頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日9.5.4.1(實)二次型

一般的一個實二次型是指n個變量的二次齊次多項式可寫成：其中qij=qji

。其系數(shù)確定了一個n階實對稱矩陣：第118頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日Q稱為二次型(2)的矩陣。設(shè)x=[x1,x2,

···,xn]T，則實二次型(2)可記為：f(x1,x2,

···,xn)=xTQx

定義

(實)二次型是x∈Rn的標量函數(shù)

f(x1,x2,

···,xn)=xTQx

式中，Q為一實對稱n

n矩陣，稱為二次型f的矩陣，并將Q的秩稱為二次型f的秩。

x

0,若xTQx>0,則稱二次型f為正定的，Q稱為正定矩陣，記為Q>0。

x

0,若xTQx≥0,，則稱二次型f為半正定的，Q稱為半正定矩陣，記為為Q≥0。若xTQx<0(≤0),稱f為負定的(半負定的)，Q稱為負定(半負定)矩陣，記為Q<0(≤0)。若f既不是半正定又不是半負定，則稱為不定的。第119頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日二次型函數(shù)的定號性判別準則

——Sylvester（希爾維斯特）判據(jù)：

二次型f(x1,x2,

···,xn)=xTQx為正定的充要條件是Q的行列式以及它的多階順序主子式均為正，即第120頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日9.5.4.2Lyapunov穩(wěn)定性定理引例如圖所示:外力F0=0，得齊次方程則：平衡狀態(tài)：cF0ykm第121頁，共130頁，星期日，2025年，2月5日

給定系統(tǒng)→找Lyapunov函數(shù)