2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《等腰等邊三角形“三線合一”》專項(xiàng)檢測(cè)卷附答案

第第頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《等腰等邊三角形“三線合一”》專項(xiàng)檢測(cè)卷附答案學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________1．慶慶家附近有一條東西走向的公路，一天一輛宣傳車從這條路上經(jīng)過．如圖，從監(jiān)測(cè)中心A處測(cè)得這輛宣傳車從B點(diǎn)開始沿所在直線由東向西運(yùn)動(dòng)，已知點(diǎn)C為慶慶家的位置，點(diǎn)C與監(jiān)測(cè)中心A的距離為，與這輛宣傳車的起始位置B的距離為，且，過點(diǎn)C作于點(diǎn)D，以這輛宣傳車為圓心，半徑為的圓形區(qū)域內(nèi)會(huì)聽到宣傳車的聲音．(1)求監(jiān)測(cè)點(diǎn)A與宣傳車的起始位置B之間的距離；(2)若這輛宣傳車的行駛速度為，則慶慶家能聽到多長(zhǎng)時(shí)間的宣傳車聲音？2．如圖，在中，，為邊上的中線．以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，與交于點(diǎn)，連接．(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．3．如圖，在中，，是邊上的中點(diǎn)，．(1)求的大小；(2)若，，求的周長(zhǎng)．4．如圖，在中，，點(diǎn)在上，且點(diǎn)在的垂直平分線上，連接．(1)若，求的周長(zhǎng)；(2)分別過點(diǎn)作于、于，若，，求的長(zhǎng)．5．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B在坐標(biāo)軸上，，．點(diǎn)C為的中點(diǎn)，D為上一點(diǎn)．(1)如圖（1），將線段繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段．①求證：．②P為x軸上一點(diǎn)，且在點(diǎn)D左側(cè)，點(diǎn)D關(guān)于點(diǎn)P對(duì)稱的點(diǎn)為Q，連接，．是否存在這樣的點(diǎn)P，使得對(duì)于任意的點(diǎn)D，總有成立？若存在，請(qǐng)寫出P的坐標(biāo)，并證明；若不存在，請(qǐng)說明理由．(2)如圖（2），過點(diǎn)C作的垂線，交y軸于點(diǎn)F．連接，．若，請(qǐng)寫出，，的數(shù)量關(guān)系，并證明．6．如圖，中，，點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)A、點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，沿三角形的邊順時(shí)針運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M的速度為，點(diǎn)N的速度為，當(dāng)點(diǎn)M，點(diǎn)N第一次相遇時(shí)，點(diǎn)M，點(diǎn)N同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)M，點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（）秒．(1)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．(2)當(dāng)點(diǎn)N在上時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)N在上時(shí)，（分別用含t的代數(shù)式表示）．(3)點(diǎn)N在上時(shí)，請(qǐng)問t為何值時(shí)，是直角三角形，并說明理由．(4)連結(jié)，請(qǐng)問t為何值時(shí)，線段的垂直平分線經(jīng)過的某一頂點(diǎn)，并說明理由．7．如圖，在中，，，，垂足分別為點(diǎn)，點(diǎn)．，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．(1)求證：；(2)求證：．8．“臘月二十五，推磨做豆腐”．嵊州市某新農(nóng)村至今還保留著過除夕前磨豆腐的傳統(tǒng)習(xí)俗．如圖1是磨豆腐用的傳統(tǒng)工具老石磨，主要部件為一條磨凳，上下兩個(gè)磨盤，一根推拉桿以及用拉繩穩(wěn)定的推拉用的扶手等．圖2是老石磨靜止時(shí)的示意圖，推拉桿及扶手平行于水平面，E是天花板頂部的拉鉤，兩根拉繩與扶手恰好組成等腰三角形，此時(shí)拉鉤E與扶手的中心點(diǎn)B所在的直線垂直于水平面．現(xiàn)測(cè)得推拉桿距地面的高度為，天花板頂部E距地面，若，求兩根拉繩的總長(zhǎng)度至少為多少m．（結(jié)果精確到．參考數(shù)據(jù)：，，）9．【問題探究】（1）如圖1，為四邊形的對(duì)角線，，若，，，，試求四邊形的面積；【問題解決】（2）如圖2，四邊形是某縣一座全民健身中心的平面示意圖，為三條走廊（點(diǎn)E和點(diǎn)F分別在邊和上），米，米，米，米，．隨著民眾健康意識(shí)的不斷增強(qiáng)，對(duì)科學(xué)健身也有了更多的需求，為滿足民眾不斷增長(zhǎng)的健身需求，該縣計(jì)劃對(duì)這座全民健身中心進(jìn)行重新規(guī)劃，在上取點(diǎn)H，并將區(qū)域修建為功能訓(xùn)練區(qū)，根據(jù)設(shè)計(jì)要求，應(yīng)為等腰三角形，請(qǐng)你幫助設(shè)計(jì)人員計(jì)算出所有符合條件的的長(zhǎng)．10．如圖，在中，，，的垂直平分線交于點(diǎn)E，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．(1)求的正弦值；(2)求點(diǎn)C到直線的距離．11．如圖，在中，，，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，按的路徑運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度為，設(shè)出發(fā)時(shí)間為．(1)______cm；(2)當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到平分時(shí)，求出動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間的值；(3)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，使得，直接寫出的值為______；(4)若動(dòng)點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)為直角三角形時(shí)，則的值為______．12．如圖，在等邊中，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在延長(zhǎng)線上，且．(1)求證：；(2)若等邊的邊長(zhǎng)為6，求的長(zhǎng)；(3)求證：；(4)如圖，當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)在延長(zhǎng)線上時(shí)，其它條件不變，（3）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．13．如圖，，點(diǎn)D在邊上，，和相交于點(diǎn)O．(1)試說明的理由；(2)若，過點(diǎn)E作，垂足為F，試判斷和的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．14．如圖，是等邊三角形，D是邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接．(1)求證：；(2)過點(diǎn)D作，垂足為G．求證：．15．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為x軸正半軸上一點(diǎn)，點(diǎn)A，C關(guān)于y軸對(duì)稱，點(diǎn)B為y軸正半軸上一點(diǎn)．(1)如圖1，若為等腰直角三角形，，直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)是（用t表示）；(2)如圖2，在（1）的條件下，點(diǎn)D，F(xiàn)為直線上兩點(diǎn)，于H交于E，延長(zhǎng)交于G，求證：．(3)如圖3，點(diǎn)在點(diǎn)C左側(cè)，以為底邊在x軸下方作等腰直角，點(diǎn)H坐標(biāo)為連接，猜想的度數(shù)，并證明．參考答案1．(1)監(jiān)測(cè)點(diǎn)與宣傳車的起始位置之間的距離為500(2)慶慶家能聽到8min的宣傳車聲音【分析】本題考查勾股定理的應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)勾股定理求解即可；（2）根據(jù)的面積求得，以為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)，，則當(dāng)時(shí)，正好能聽到宣傳車的聲音．根據(jù)勾股定理求得的長(zhǎng)，進(jìn)而得到的長(zhǎng)，即可求出聽到宣傳車聲音的時(shí)間．【詳解】（1）解：，，，．答：監(jiān)測(cè)點(diǎn)與宣傳車的起始位置之間的距離為．（2）解：，，，，．如圖，以為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)，，則當(dāng)時(shí)，正好能聽到宣傳車的聲音．在中，，．宣傳車的行駛速度為，．答：慶慶家能聽到的宣傳車聲音．2．(1)見解析(2)【分析】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)得到，根據(jù)全等三角形的判定定理得到結(jié)論；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和得到，得到，求得，進(jìn)而即可得解．【詳解】（1）證明：為邊上的中線，在與中，，；（2）解：，，，為邊上的中線，，，．3．(1)(2)【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．（1）由等邊對(duì)等角可得，由等腰三角形的性質(zhì)可得，從而得出，即可得解；（2）由等腰三角形的性質(zhì)可得，，再由三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)算即可得解．【詳解】（1）解：∵，，∴，∵，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，∴，∴，∴；（2）解：∵，，∴，，∴的周長(zhǎng)為．4．(1)(2)【分析】本題考查三角形全等的判定與性質(zhì)，等腰三角形三線合一，垂直平分線的性質(zhì)．（1）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到，由的周長(zhǎng)為即可解答；（2）先證明，推出，求出，再根據(jù)等腰三角形三線合一求出，由即可解答．【詳解】（1）解：點(diǎn)在的垂直平分線上，∴，∴的周長(zhǎng)為，∵，∴的周長(zhǎng)為；（2）解：∵、，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴．5．(1)①見解析；②存在，(2)，證明見解析【分析】（1）①證出．，則可得出結(jié)論；②作點(diǎn)D關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)K，連接，證明，得出．則可得出結(jié)論；（2）連接，取點(diǎn)D關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)M，連接．證明，得出．，，從而得到為等腰直角三角形．再證明，則可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：①∵，∴為等腰直角三角形，．∵，∴．又∵，∴，∴．②存在．證明：如圖，作點(diǎn)D關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)K，連接，∴，，∴，∴．∵點(diǎn)D關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)為Q，∴，∴．∴，∴，∴，．∵∴∵點(diǎn)P在x負(fù)半軸上，∴，∴存在這樣的點(diǎn)，使得對(duì)于任意的點(diǎn)D，總有成立．（2）解：證明連接，取點(diǎn)D關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)M，連接．由C為的中點(diǎn)，∴，，∴和都為等腰直角三角形．又，∴，，∴，∴．，，∴為等腰直角三角形．∴．∵．∴．由點(diǎn)D與點(diǎn)M關(guān)于y軸對(duì)稱，∴，，，∴；∵，，∴，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，添加輔助線，構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．6．(1)；(2)；(3)t為4.5或5時(shí)，是直角三角形；理由見解析(4)或或或【分析】本題屬于三角形綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)．（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和路程解答即可；（2）根據(jù)速度和時(shí)間得出路程，進(jìn)而解答即可；（3）由題意當(dāng)時(shí)，點(diǎn)N落在上，此時(shí)點(diǎn)M也在上．當(dāng)點(diǎn)M或點(diǎn)N是的中點(diǎn)時(shí)，是直角三角形．由此構(gòu)建方程求解即可；（4）分四種情形，分別畫出圖形，構(gòu)建方程求解．【詳解】（1）解：當(dāng)，，，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)M經(jīng)過的路程為，，故答案為：；；（2）解：當(dāng)點(diǎn)N在上時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)N在上時(shí)，；故答案為：；；（3）解：t為4.5或5時(shí)，是直角三角形；理由如下：由題意當(dāng)時(shí)，點(diǎn)N落在上，此時(shí)點(diǎn)M也在上．當(dāng)點(diǎn)M或點(diǎn)N是的中點(diǎn)時(shí)，是直角三角形．∴或，綜上所述，t為4.5或5時(shí)，是直角三角形；（4）解：t為或或或時(shí)，線段的垂直平分線經(jīng)過的某一頂點(diǎn)；理由如下：如圖1中，當(dāng)線段的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，，解得；如圖2中，當(dāng)線段的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，，解得；如圖3中，當(dāng)線段的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，，解得；如圖4中，當(dāng)線段的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，，解得．綜上所述，滿足條件的t的值為或或或．7．(1)見解析(2)見解析【分析】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意證明，即可求解；（2）設(shè)與交于點(diǎn)，可證，得到，再證，得到，則有，由，代入計(jì)算即可求解．【詳解】（1）證明：如圖所示，，，，，，，，；（2）證明：設(shè)與交于點(diǎn)，，，，，，，∴，，，又，，，，，，，即，，．8．【分析】本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角函數(shù)定義，先根據(jù)題意得出，再解直角三角形得出，最后求出結(jié)果即可．【詳解】解：由題意，可得，∵，B為的中點(diǎn)，∴，∴，在中，∵，，∴，∴答：兩根拉繩的總長(zhǎng)度至少為．9．（1）；（2）18米或25米或30米【分析】本題主要考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性質(zhì)：（1）利用勾股定理求出，進(jìn)而利用勾股定理的逆定理證明，再根據(jù)列式求解即可；（2）利用勾股定理求出，進(jìn)而利用勾股定理的逆定理證明，再利用勾股定理求出的，最后分，，三種情況討論求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴，即，∵，，∴，∴是直角三角形，且，∴；（2）∵，∴，∴，∵米，米，∴，∴是直角三角形，且，∴，∴米，當(dāng)米時(shí)，則米，當(dāng)時(shí)，則，∵，∴，∴，∴米；當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)E作于M，則，∵，∴米，∴米，∴米；綜上所述，的長(zhǎng)為18米或25米或30米．10．(1)(2)【分析】本題考查了解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義．（1）過點(diǎn)作于點(diǎn)．由等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出．在中，根據(jù)正弦函數(shù)的定義得出，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，則；（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)．解直角，求出，則．再解直角，求出，即點(diǎn)到的距離為．【詳解】（1）解：過點(diǎn)作于點(diǎn)．，，．在中，，，，是的垂直平分線，，，，又，，，即的正弦值為；（2）解：過點(diǎn)作于點(diǎn)．在中，，，，，．在中，，，，即點(diǎn)到的距離為．11．(1)(2)(3)或(4)4或【分析】本題考查三角形上動(dòng)點(diǎn)問題，勾股定理，等腰三角形，全等三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，根據(jù)題意構(gòu)造三角形，利用三角形的性質(zhì)，計(jì)算．（1）根據(jù)勾股定理，可以求出的長(zhǎng)；當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到，根據(jù)三角形面積，求出，根據(jù)勾股定理，求出，即可求出；（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)平分，得，推出，得，根據(jù)，求出的值，即可得出根據(jù)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度為，即可求出；（3）當(dāng)運(yùn)動(dòng)到邊時(shí)，，過點(diǎn)作，根據(jù)三角形面積，得，根據(jù)勾股定理，求出，根據(jù)等腰三角形三線合一，求出，得，得點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)距離為：，即可求出．（4）若動(dòng)點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)為直角三角形時(shí)，可得，設(shè)，列方程即可求解.【詳解】（1）∵，，，∴∴的長(zhǎng)度為：cm．（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)∴∵平分∴∵在和中∴∴∵∴∴∴，∴∴．（3）①∵當(dāng)運(yùn)動(dòng)到邊時(shí)，，∴點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程為：，∴．②∵當(dāng)運(yùn)動(dòng)到邊時(shí)，，如圖，過點(diǎn)作∴，∵∴∴在中，∴∴∴∴∴點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)距離為：∴．綜上所述：點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，使得，的值為或；（4）若動(dòng)點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)為直角三角形時(shí)，如圖：①當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，,②當(dāng)時(shí)，設(shè)，∵，，∴，∴，解得：，∴．綜上所述：的值為或．12．(1)見解析(2)(3)見解析(4)（3）中的結(jié)論仍然成立，證明見解析【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，等邊對(duì)等角，結(jié)合三角形的外角，即可得出結(jié)論；（2）過作于，利用等邊三角形的性質(zhì)，含度角的直角三角形的性質(zhì)，以及三線合一，進(jìn)行求解即可；（3）過作交于點(diǎn)，易得是等邊三角形，得到，證明，得到，等量代換即可得出結(jié)論；（4）過作交的延長(zhǎng)線于，證明是等邊三角形，得到，證明，得到，等量代換即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：是等邊三角形，，，，，，；（2）如圖，過作于，，．等邊的邊長(zhǎng)為6，，，，，，．．；（3）證明：如圖2，過作交于點(diǎn)．，又，是等邊三角形．，，，又，，．由（1）得，，又．．．，；（4）（3）中的結(jié)論仍然成立．證明如下：如圖，過作交的延長(zhǎng)線于，則，，是等邊三角形．，．，，，∴，，∴，．又，，，．．．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的判定和性質(zhì)，等邊對(duì)等角，三線合一，含30度角的直角三角形，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，添加輔助線，構(gòu)造全等三角形和等邊三角形，是解題的關(guān)鍵．13．(1)見解析(2)，見解析【分析】本題考查三角形內(nèi)角和定理，三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)．熟練掌握三角形全等的判定定理和性質(zhì)定理是解題關(guān)鍵．（1）由三角形內(nèi)角和定理結(jié)合題意可證，從而可證，即可證；（2）由全等三角形的性質(zhì)可推出，從而由等腰三角形的性