2023-2024學(xué)年七年級數(shù)學(xué)下冊舉一反三系列專題11 相交線與平行線全章知識典例詳解

2023.2024學(xué)年七年級數(shù)學(xué)下冊舉一反三系列專題1.1相交線與平行

線全章知識典例詳解

【人教版】

模塊—1相交線

一、直線的相交

1.兩條直線的位置關(guān)系

在同一平面內(nèi)，兩條直線要么相交，要么平行.

【注】兩條直線：①有且只有一個公共點(diǎn)，兩直線相交；②無公共點(diǎn)，則兩直線平行；③兩個或兩個以上公

共點(diǎn)，則兩直線重合，視為一條直線.

【典例1】如下圖，在一張白紙上畫1條直線，最多能把白紙分成2部分（如圖（1））,畫2條直線，最多能

把白紙分成4部分（如圖（2））,畫3條直線，最多能把白紙分成7部分（如圖（3））,......,當(dāng)在一張白

紙上畫20條直線，最多能把白紙分成（）

(1)

A.400部分C.220部分D.211部分

【分析】首先根據(jù)題意總結(jié)出畫幾條直線，最多能把這張紙分成"2+1塊，然后當(dāng)n=20時，代入即可.

【詳解】畫1條直線，最多能把這張紙分成1+1=2塊；

畫2條直線，最多能把這張紙分成1+1+2=4塊；

畫3條直線，最多能把這張紙分成1+1+2+3=7塊；

畫九條直線，最多能把這張紙分成1+1+2+3+4+…...+九=*'+1塊：

則畫20條直線，最多能把白紙分成”等"+1=211塊；

故答案為D.

【典例2】已知6條直線中的任意兩條直線都相交，若交點(diǎn)數(shù)最多為M個，最少為m個，則.

【分析】由題意可得6條直線相交于一點(diǎn)時交點(diǎn)最少，任意兩直找相交都產(chǎn)生一個交點(diǎn)時交點(diǎn)最多，由此可

得出M,的值，從而得出答案.

【詳解】解：根據(jù)題意可得：6條直線相交于一點(diǎn)時交點(diǎn)最少，此時交點(diǎn)為1個，即用=1;

任意兩直線相交都產(chǎn)生一個交點(diǎn)時交點(diǎn)最多，

???任意三條直線不過同一點(diǎn)，?,?此時點(diǎn)為:6x(6-1)+2=15,即M=15：

故答案為：14.

2,直線的相交——兩線四角

(1)鄰補(bǔ)角：兩條直線相交所構(gòu)成的四個角中，有一條公共邊且另一邊互為反向延長線的兩個角，互為鄰

補(bǔ)角.

如圖I,N1和N2,N1和N4,N2和N3,N3和N4互為鄰補(bǔ)角.

圖1

【注】互為鄰補(bǔ)角的兩個角一定互補(bǔ)，但兩個角互補(bǔ)不一定互為鄰補(bǔ)角.

(2)對頂角：一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線，則這兩個角互為對頂角.

如圖1,N1和N3,N2和N4,互為對頂角.

【注】互為對頂角的兩個角一定相等，但兩個角相等不一定互為對頂角.

【典例3】與，2是對頂角，42與，3是鄰補(bǔ)角，則，1+43=度.

【分析】根據(jù)對頂角相等，鄰補(bǔ)角互補(bǔ)即可得到答案.

【詳解】解：由題意可得，zl=Z2,Z2+Z3=180°,???41+43=180°,

故答案為180.

【典例4】如圖，直線人以CO相交于點(diǎn)O,OE平分NBOD,OF平分NCOE.

(1)若NAOC=76。，求NB。尸的度數(shù)；

(2)若NB。尸=36。，求N4OC的度數(shù)；

【分析】(1)先根據(jù)對頂角相等求出/BOD=76。，再由角平分線定義得NDOE=NBOE=38。，由鄰補(bǔ)角得

ZCOE=142°,再根據(jù)角平分線定義得NEOF=71。，從而可得結(jié)論.

(2)利用角平分的定義得出430￡=4E00,Z.COF=Z.FOE,進(jìn)而表示出各角求出答案.

【詳解】(1)???/AOC、NBOD是對頂角，AZBOD=ZAOC=76°,

???。￡平分/BOD,/.ZDOE=ZBOE=|ZBOD=38°,AZCOE=142°,

;。/平分NCOE./.ZEOF=|ZCOE=71°,又NBOE+NBOF=/EOF,

，ZBOF=ZEOF-ZBOE=71°-38°=33°,

(2)?.?OE平分NBO。，OF平分4cOE,：,Z.BOE=Z.EOD,Z-COF=Z.FOE,

???1殳48?！?工，則4￡00=%,故NC04=2x,Z-EOF=Z.COF=x+36°,

則，力OC+乙COF+LBOF=2x+%+36°+36°=180°,解得x=36°,

故NAOC=72°.

二、垂直

1.垂直：一條直線與另一條直線相交成90。，這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線,

它們的交點(diǎn)叫做垂足.

如圖2,ABJ.CD,垂足為0,可記為“A4_LC￡＞于點(diǎn)。”.

圖2

2,性質(zhì)：

(1)在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直.

(2)連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短.

【注】直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度，叫做點(diǎn)到直線的距離.

【典例5】如圖，△A8C中，ZACB=90°,AC=3,/3C=4,AB=5,P為直線AB上一動點(diǎn)，連接PC,則

線段PC的最小值是()

(3)AB>CH,理由女，下：'：Z.ACB=90°：.AB>BC,

'：AH1CH,"BHC=900：.BC>CH,：,AB>CH.

三、三線八角

1.同位角：兩條直線被第三條直線所截，位置相同的一對角(即兩個角分別在兩條直線的同一側(cè)，并且在

第三條直線的同側(cè))，叫做同位角.

圖3

如圖3,NI和N5,N2和N6,N3和N7,N4和N8都是同位角.

2.內(nèi)錯角：兩條直線被第三條直線所截，兩個角都在兩條直線之間，并且位置交錯的一對角(即兩個角分

別在第三條直線的兩側(cè))，叫做內(nèi)錯角.

如圖3,N3和N5,N4和N6都是內(nèi)錯角.

3.同旁內(nèi)角：兩條直線被第三條直線所截，兩個角都在兩條直線之間，并且在第三條直線的同側(cè)的一對角，

叫做同旁內(nèi)角.

如圖3,N3和N6,N4和N5都是同旁內(nèi)角.

【典例7】根據(jù)圖形填空：

(I)若直線被直線48所極，則41和是同位角；

(2)若直線ED,8c被直線4尸所載，則乙3和是內(nèi)錯角；

(3)N1和乙3是直線A&4F被直線所截構(gòu)成的內(nèi)錯角；

(4)乙2和44是直線A8,被直線8c所找構(gòu)成的角.

A

【分析】Q)根據(jù)圖形及同位角的概念吁直接進(jìn)行求解；

(2)根據(jù)圖形及內(nèi)錯角的概念可直接進(jìn)行求解；

(3)根據(jù)圖形及內(nèi)錯甭的概念可直接進(jìn)行求解；

(4)根據(jù)圖形及同位角的概念可直接進(jìn)行求解.

【詳解】解：由圖可得：

(I)若直線ED,8c被直線力8所截，則41和22是同位角：故答案為乙2：

(2)若直線ED,BC被直線力尸所截，則43和N4是內(nèi)錯角；故答案為44;

(3)和43是直線力BMF被直線ED所截構(gòu)成的內(nèi)錯角；故答案為ED:

(4)42和N4是直線4B,力尸被直線BC所載構(gòu)成的同位角；故答案為力匕同位.

【典例8】如圖，巳知直線出/?被直線c,4所截，直線出c,d相交于點(diǎn)0,按要求完成下列各小題.

(1)在圖中的N1?N9這9個角中，同位角共有多少對？請你全部寫出來；

(2)/4和N5是什么位置關(guān)系的角？N6和N8之間的位置關(guān)系與N4和N5的相同嗎？

【分析】根據(jù)同位角、內(nèi)錯角和同旁內(nèi)角的特征(同位角形如“F”，內(nèi)錯角形如“Z”，同旁內(nèi)角形如“U”)判

斷即可.

【詳解】解：(I)如題圖所示：同位角共有5對：

分別是N1和N5,N2和23,N3和N7,N4和N6,N4和N9;

⑵由三線八角的判斷方法N4和N5是由c,b,d三線組成，并且構(gòu)成“U”形圖案，所以N4和45是同旁內(nèi)

角，同理可得：N6和N8也是同旁內(nèi)角，故N6和N8之間的位鬟關(guān)系與N4和N5的相同.

故答案是：(1)同位角共有5對：分別是N1和N5,N2和N3,N3和N7,N4和26,N4和N9;Z4

和N5是同旁內(nèi)角；(2)N6和N8之間的住置關(guān)系與N4和N5的相同.

模塊二平行線及其判定

一、平行線

1.平行線：在同一平面內(nèi)，永不相交的兩條直線稱為平行線.，書"/廣表示.

2?平行公理：經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行.

如圖1,過直線。外一點(diǎn)4作初依c//a,則》與c重合.

A

-------?-------b(c)

圖1

3.平行公理推論：如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.

簡記為：平行于同一條直線的兩條直線平行.

如圖2,若b〃a、c//a,則4%?.

b

圖2

【典例9】已知直線a,b,c是同一平面內(nèi)的三條不同直線，下面四個結(jié)論：

①若a〃b,b//c,則a//c:②若Q〃b,a1c,則b1c;③若a1b,bJ.c,則a1c：④若ale且c與b相交，則a與

b相交，其中，結(jié)論正確的是()

A.①②B.③④C.①②③D.②③④

【分析】根據(jù)平行公理及其推論：在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩直線平行；如果兩條直線都與第三

條直線平行，那么這兩條直線也互相平行進(jìn)行分析即可求解.

【詳解】①根據(jù)“同一平面內(nèi)，如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行”判定：若

a//b,b//cMa//c;故說法正確；

②若a〃4a1c,則81c,故說法王確：

③根據(jù)“在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩直線平行”判定：若alb,blc,則ale;說法錯誤：

④若ale且c與b相交，則a與匕不一定相交，故說法錯誤

故正確的有：①②

故選：A

二、平行線的判定

圖3

(1)同位角相等，兩直線平行.如圖3,若N1=N2,則

(2)內(nèi)錯角相等，兩直線平行.如圖3,若N2=N3,則。加九

(3)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.如圖3,若N3+N4=180。，RIJa//b.

【典例10］如圖，下列能判定力GDF的條件有()

?zl+ZDFC=180°;?LC=z2:?z4=^.FECx?A.DEF=z5:@z.3=z4.

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】根據(jù)平行線的判定條件逐一判斷即可.

【詳解】解：①由Nl+NDEC=180?？捎赏詢?nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行得到4CIIDF,符合題意;

②由NC=42可由同位角相等，兩直線平行得到力。微匕符合題意；

③由=可由內(nèi)錯角相等，兩直線平行得到力CIID凡符合題意；

④由NOEF=45可由內(nèi)錯南相等.兩近線平行得到BCIIDE,不能徉到/ICIID/L不符合題我：

⑤由/3=/4可由內(nèi)錯角相等，兩直線平行得到力BIIEF,不能得到力。||。尸，不符合題意；

故選C.

【典例11］如圖，填空：

VZABD=ZBDC(已知)，//()：

VZA=ZCBE(已知)，???//():

VZCBE=ZDCB(已知)，???//():

VZA+ZADC=180°(已知)，J//()

【分析】根據(jù)平行線的判定定理即可求解.

【詳解】解：???NA8Q=N8。。（已知），:.AB//CD（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）；

VZA=ZCBE（已知），：.AD//BC（同位角相等，兩直線平行）；

VZCBE=ZDCB（已知），C.CD//BE（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）；

VZA+ZADC=180°（已知），：,AB//CD（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩立線平行）.

故答案為：AB,CD,內(nèi)錯角相等，兩直線平行；AD,BC,同位角相等，兩直線平行；CD.BE,內(nèi)錯角相

等，兩直線平行；AB,CD,同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.

模塊三1平行線的性質(zhì)

一、平行線的性質(zhì)

（I）兩直線平行，同位角相等婦圖3,若〃ZR則N1=N2

（2）兩直線平行，內(nèi)錯角相等.如圖3,若必仇則N2=N3.

（3）兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).如圖3,若則N3+N4=180。.

推論1平行線間的距離處處相等

推論2如果兩個角的兩邊分別平行那么這兩個角相等或互補(bǔ)

【典例12】完成下面的證明：如圖，點(diǎn)B在AG上，AG\\CDt連接BC,CF平分NBCD,乙ABE=^FCB,BEJ.AF

于點(diǎn)E.求證：￡.F=90°.

證明：AAABC=Z.BCD().

*：LABE=Z-FCB,：./-ABC-Z-ABE=/.BCD-Z-FCB,^/.EBC=AFCD.

??'C尸平分NBCD,:.乙FCB=().

J.LEBC=ZFCF,：.BE\\CF()

:.=乙F().

*：BE1AF,"BEF=°().

ZF=90°.

【分析】根據(jù)平行線性質(zhì)與判定、南平分線定義、垂直的定義填空即可.

【詳解】證明：??NG||CD,：.￡ABC=LBCD（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）.

,/LABE=乙FCB,：,/.ABC-/.ABE=乙BCD-乙FCB,衛(wèi)？乙EBC=乙FCD.

?：CF平分乙BCD,：^FCB=LFCD（角平分線的定義）.

：sEBC=LFCB,：.BE\\CF（內(nèi)錯角相等,兩直線平行）.

:?乙BEF=LF（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）.

'：BELAF,，乙BEF=90。（垂直的定義）.

AzF=90°.

故答案為：兩直線平行，內(nèi)錯角相等；上FCD;角平分線的定義；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；LBEF\兩直

線平行，內(nèi)錯角相等；90;垂直的定義.

【典例13］如圖，zl=Z2,Z.A=ZD.

求證：=ZC.（請把下面證明過程補(bǔ)充完整）

證明：v1=Z2（已知）義???41=43（）.?.42=43（）

:.4EIIFD（）???LA=Z.（）

?:乙A=4）（已知）.?.匕0=48FD（等量代換）

:.IICD（）

???乙B=LC（）

【分析】先利用對頂角的性質(zhì)證明乙2=43,再證明4EIIFD,可證明乙4=匕8尸D,可得乙D=4BFD,再證明

AB\CD,從而可得答案.

【詳解】證明：?.?：！=42（已知）又二43（對頂角相等）二二？二43（等量代換）

AEWFD（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）.?.乙4=NBFO（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）

vLA=Z.D（已知）.??乙。=乙82。（等量代換）

：.AB\\CD（內(nèi)錯角相等,兩直線立行）

???=（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）

【典例14］如圖，I/%,點(diǎn)A、E在直線，i上，點(diǎn)8、C、。在直線!2上，如果BD=2CD,A/BC的面積為30,

刃口么△BOE的面,只是

【分析】由BD:CD=2:1,可得出翌=；根據(jù)，J%,即可知△力BC與ABDE的高相等，從而可得出衿”=登

BC3S&48CBC

即可求出結(jié)果.

【詳解】?；BD:CD=2:1,假若

??z%，???△.與△曲的高相等，???鬻若當(dāng)

?S^ABC=30,??SABDE=20,

故答案為：20.

二、命題、定理、證明

1.命題：①命題的概念：判斷一件事情的語句叫做命題；

②命題的形式：命題由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng).通?？梢?/p>

寫成“如果……那么……”的形式果口果”后面的部分是題設(shè)，“那么'后面的部分是結(jié)論.

2.命題包括兩種：①如果題設(shè)成立，那么結(jié)論一定成立，這樣的命題稱為真命題；

②題設(shè)成立時，不能保證結(jié)論一定成立，這樣的命題稱為假命題.

逆命題：將一個命題的題設(shè)與結(jié)論互換位置之后，形成新的命題，就叫原命題的逆命題.

注：原命題是真命題，其逆命題不一定仍為真命題；原命題為假命題，其逆命題也不一定為假命題.

3.定理：經(jīng)過推理證實(shí)的真命題叫做真理，它可以作為繼續(xù)推理的依據(jù).

4.證明：在很多情況下，一個命題的正確性需要經(jīng)過推理，才能作出判斷，這個推理過程叫做證明.

【典例15］下列四個命題：①同^一平面內(nèi)，過^一點(diǎn)有且只有^一條直線與已知直線垂直；②過一點(diǎn)有且只有^一

條直線與已知直線平行；③兩條直線被第三條直線所載，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行；④從

直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線段叫點(diǎn)到直線的距離.其中是真命題的是.

【分析】分析是否為真命題，需要分別分析各個條件是否能推出結(jié)論，從而利用排除法得出答案.

【詳解】①過同一平面內(nèi)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直：故原命題是真命題，符合題意；

②過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，故原命題錯誤，是假命題，不符合題意：

③兩條平行的直線被第三條直餞,所藏，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行，正確，是真命題，符合

題意;

④從直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線段的長度叫點(diǎn)到直線的距離，故原命題是假命題，不符合題意;

真命題是①③，

故答案為：①③.

【典例16】把“同角的余角相等''改成"如果…，那么…”：.

【分析】找到命題的條件和結(jié)論進(jìn)行改寫即可.

【詳解】根據(jù)命題的特點(diǎn)，可以改寫為：“如果兩個角是同一個角的余角，那么這兩個角相等“

故答案為：如果兩個角是同一個角的余角，那么這兩個角相等.

模塊四R平移

1.平移的定義：把一個圖形整體沿某一方向移動，會得到一個新圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全

相同

2.平移的性質(zhì)：①平移是延直線移動；

②平移后的圖形與原圖形的形狀和大小完全相同；

③新圖形中的每一點(diǎn)，都是由原圖形中的某一點(diǎn)移動后得到的，這兩個點(diǎn)是對應(yīng)點(diǎn)，連接各組對應(yīng)點(diǎn)的線

段平行(或在同一條直線上)且相等.

【典例17］如圖，將直角△ABC沿邊向右平移得到△。/E,0E交48于點(diǎn)G.AB=9cm,BF=3cm,AG=

5cm,則圖中陰影部分的面積為.

【分析】4F是直角，BF是梯形的高，根據(jù)AB的長度求出8G的長度，利用梯形的面積公式求出.

【詳解】解：9：AB=DF,AB=9,

:?DF=9,BG=AB-AG=9-5=4,

又?,?8F是梯形的高,

2

陰影部分的面積為：-2(F(；+DF)xBF=-2x(4+9)x3=-2cm.

故答案是：ycm2.

【典例18】如圖，將周長為8cm的a/lBC沿BC方向平移1cm得到△/)￡1「，則四邊形力BFO的周長為

_______cm.

【分析】根據(jù)平移的基本性質(zhì)，得出四邊形48/。的周長為力。+48+8/+。尸=1+48+8。+1+力。即

可得出答案.

【詳解】解：根據(jù)題意，將周長為8cm的△4BC沿BC向右平移1cm得到△/)￡1「,

AD=1cm,BF=BC+CF=BC+lcm,DF=AC;

義,:AB+BC+AC=8cm,

???四邊形/BFO的周長為40+/1B+BF+DF=1+AB+BC+I+AC=10cm.

故答案為：10.

專題2.1相交線與平行線六類必考壓軸題

【人教版】

必考點(diǎn)1相交線中求角度的綜合

1.(2022秋?遼寧大連?七年級?？计谀?直線48,C。相交于點(diǎn)0,。尸16:0于點(diǎn)。，作射線0E,且OC在々40E

①如圖1,若乙BOD=15°,乙B0E=120°,求4E。尸的度數(shù)：

②如圖2,若OF平分/BOE,請判斷。。是否平分乙4。乙并說明理由;

(2)若匕力OF=2乙COE,請直接寫出匕8。￡與乙40C之間的數(shù)量關(guān)系.

2.(2023春?七年級課時練習(xí))如圖，直線CD,相交于點(diǎn)O,射線04在/CO/的內(nèi)部，N。。/二；NAOD.

圖1圖2圖3備用圖

(1)如圖1,若乙4。。=120。，求/EOC的度數(shù)；

(2)如圖2,^ZAOC=a(60°<a<180°),將射線OA繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)60。，到08,

①求NEOB的度數(shù)(用含a的式子表示)；

②觀察①中的結(jié)果，直接寫出N4OC,/EO8之間的數(shù)量關(guān)系.

(3)如圖3,()°<ZAOC<120%將射線Q4繞點(diǎn)。順時針旋轉(zhuǎn)60,,到OB,請直接寫出/AOC,/EOB之間

的數(shù)量關(guān)系.

3.（2022秋?湖南株洲?七年級統(tǒng)考期末）如圖1,點(diǎn)。為直線上一點(diǎn),過點(diǎn)。作射線OE,使-80E=40°,

將一個三角板的直角頂點(diǎn)放在。處，一?邊OC在射線。力上，另一邊00在直線48的上方.將圖I中的三角板

繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)：

⑴皿圖2,當(dāng)OC旋轉(zhuǎn)到OE的反向延長線上時，^AOC=

（2）如圖3,當(dāng)。。平分N/1OE時，求匕8。。的度數(shù)；

（3）若。。在直線上方，乙BOC=a,請直接用含〃的式子表示/DOE.

4.（2022秋?重慶潼南?七年級統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)0是直線4B上一點(diǎn)，在直線力8的上方作射線0C,使/BOC=

30。，將一個直角三角板DOE的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)。處（注：40E=90。），且直角三角板DOE始終保持在直

線48的上方.

（1）如圖1,若直角三角板DOE的一邊0。在射線04上，則/COE的度數(shù)二；

⑵如圖2,若直角三角板40E的邊0E在ZBOC的內(nèi)部.當(dāng)0￡平分/BOC時，試判斷0D平分40C嗎？并說

明理由.

(3)若440D=4ZCOF,求NBOE的度數(shù).

5.（2022秋.七年級課時練習(xí)）一副直角三角板按如圖1所示的方式放置在直線/上，已知A8=160,BC=80,

點(diǎn)P以每秒2個單位長度的速度沿的路線運(yùn)動；同時，三角板AQE（含45。）繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn),

速度為每秒3。，當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動至點(diǎn)。時，全部停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為，秒.圖2是運(yùn)動過程中某時刻的圖

形.

D

(1)當(dāng)點(diǎn)尸到達(dá)點(diǎn)8時，△AOE轉(zhuǎn)動了°.

(2)當(dāng)0V/V60時，若/物E與NB互為余角，則片.

(3)在運(yùn)動過程中，當(dāng)/=時，使得AE、A。、A8三條射線中，其中一條是另外兩條射線夾角(小于

180。)的角平分線.

(4)當(dāng)4人CP的面積大于△A8C面積的一半，且4人/%的邊所在直線與直線人8的夾角為90度時，直接寫出：

所有滿足條件的/的取值之和為.

必考點(diǎn)2q平行線中求角度的綜合

1.已知，AB||CD,F、G分別為直線4B、CD上的點(diǎn),E為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，連接EF、EG.

(1)如圖(1),請直接寫出乙4/E、/CGE與2『EG之間的數(shù)量關(guān)系.

(2)如圖(2),過點(diǎn)E作EM1E廣、E”1.EG交直線力8上的點(diǎn)M、H,點(diǎn)N在EH匕過N作PQIIE凡求證:

乙HNQ=AMEG.

(3)如圖(3),在(2)的條件下,若乙ENQ=ZEMF,Z.EGD=110°,求4CQP的度數(shù).

2.已知直線力8IICD,點(diǎn)P,Q分別在直線AB,CO上.

圖①圖②圖③

(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)E在直線48,CD之間時，連接PE,QE.探究NPEQ與NBPE+40QE之間的數(shù)量關(guān)系，并

說明理由：

⑵如圖②，在①的條件下，PF平分乙BPE,QF平分乙DQE,交點(diǎn)為F.求"FQ與4BPE+乙。QE之間的數(shù)量

關(guān)系，并說明理由；

(3)如圖③，當(dāng)點(diǎn)E在直線A氏CD的下方時，連接P￡,QE.PF平分乙BPE,QH平分乙CQE,QH的反向延長

線交Pr于點(diǎn)F.若乙￡=40。時，求乙尸的度數(shù).

3.己知：AB\\CD,E、。是48上的點(diǎn)，F(xiàn).〃是。。上的點(diǎn)，乙EGH二乙EFH.

(1)如圖I,求證：EFWGH；

(2)如圖2,EN為N8E打的角平分線，交GH于點(diǎn)P,連接尸N,求證：乙N=LHPN—乙NFH；

(3)皿圖3,在(2)的條件下，過點(diǎn)尸作尸M1GH于點(diǎn)M,作心4GH的角平分線交C。于點(diǎn)Q,若FN平分4DFM,

且/GQ"比4N的;多3。，求的度數(shù).

?5

4.已知：直線48IICD,點(diǎn)M、N分別在直線48、直線CD上，點(diǎn)￡為平面內(nèi)一點(diǎn),

(1)如圖I,請寫出N4ME、4仄4ENC之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；

(2)如圖2,利用(1)的結(jié)論解決同題，若乙4M?=30。，EF平分&MEN,NP平分乙ENC,EQWNP,求4FEQ的

度數(shù)；

(3)如圖3,點(diǎn)G為CD上一點(diǎn)，乙AMN=m乙EMN,乙GEK=mZ.CEM,EHHMN交AB于點(diǎn)、H,請寫出NGEK,

乙BMN,4GEH之間的數(shù)量關(guān)系(用含加的式子表示)，并給出證明.

5.已知：直線A8IICQ,點(diǎn)M,N分別在直線A3,CO上，點(diǎn)P是平面內(nèi)一個動點(diǎn)，且滿足NMPN=90。.過

點(diǎn)N作射線NQ,使得NPNQ:NPNC.

(1)如圖1所示，當(dāng)射線NQ與NM重合，NQM>50。時，則NA"P=；

⑵如圖2所示，當(dāng)射線NQ與NM不重合，NQWAa。時，求NAMP的度數(shù)：(用含a的代數(shù)式表示)

(3)在點(diǎn)尸運(yùn)動的過程中，請直接寫出NQNO與之間的數(shù)量關(guān)系.

6.如圖，力8||CD,點(diǎn)p為A8上方一點(diǎn)，E在直線48上.

(2)如圖2,點(diǎn)尸為直線。。上一點(diǎn)，NPEB、NCFP的角平分線所在直線交于點(diǎn)Q,求/0與/Q的數(shù)量關(guān)

系；

(3)如圖3,N為AB、CQ之間一點(diǎn)，且在NCPE內(nèi)部，/EPNF/CPN、ZDCN=nZPCN,當(dāng)

2NCNP-NPEA=180。恒成立時，n=.

7.如圖：

MBN

圖1圖2圖3

(1)如圖I,已知MNIIPQ,8在MN上，。在PQ上，點(diǎn)上在兩平行線之間，求證：NBED=NPDE+NMBE；

(2)如圖2,己知"Nil尸Q,B在上，。在PQ上，A在3的左側(cè)，。在。的右側(cè)，。七平分NAQC,3E平

'"ABC,直線。E、BE交于點(diǎn)E,ZCBN=110°.

①若NAQQ=130。，求N8ED的度數(shù);

②將線段4D沿DC方向平移，使得點(diǎn)。在點(diǎn)C的左側(cè)，其他條件不變，如圖3所示.若/4。。=〃。，則NBED

的度數(shù)是度(用關(guān)于〃的代數(shù)式表示).

必考點(diǎn)3、、平行線中的輔助線構(gòu)造

1.先閱讀再解答:

圖3

(2)已知：如圖2,AB||CD,求證：乙B+乙BED=360°；

(3)己知：如圖3,AB||CD,Z.ABF=ZDCF.求證：乙BFE=^FEC.

2.綜合與實(shí)踐

AB

PE

CD

圖1

⑴問題情境：圖1中，AB||CD,LPAB=130°,"CD=120。，求乙4PC的度數(shù).

小明的思路是：過P作PEII4B,通過平行線性質(zhì)來求乙4PC.按小明的思路，易求得乙IPC的度數(shù)為

(直接寫出答案)

(2)問題遷移：圖2中，直線48||CD,P為平面內(nèi)一點(diǎn)，連接PA、PO.若"=50°,乙。=150°,試求乙APD的

度數(shù);

(3)問題拓展：圖3中，直線A8II8,則“力8、乙CDP、NAPD之間的數(shù)量關(guān)系為

3.如圖1,小明和小亮在研究一個數(shù)學(xué)問題:

小明是這樣證明的：請?zhí)顚懤碛?/p>

證明：過點(diǎn)P作PQIIAB

)

???PQIIA/3,ABWCD.

：.PQ\\CD()

???ZCPQ=ZC()

???ZAPQ+ZCPQ=ZA+ZC

即NAPONA+NC

(2)在圖2中，ABWCD,若NA=120。，ZC=140°,則N4PC的度數(shù)為

(3)在圖3中，AB\\CDt若NA=40。，ZC=70°,則NAPC的度數(shù)為；

(4)在圖4中，ABWCD,探索N尸與NC,的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

4.直線48IICE,BE—EC是一條折線段，8P平分4ABE.

(I)如圖I,若8PlicE,求證：Z.BEC+Z.DCE=180°；

(2)CQ平分40CE,直線3P,CQ交于點(diǎn)R

①如圖2,寫出/8EC和乙8FC的數(shù)量關(guān)系，并證明：

②當(dāng)點(diǎn)E在直線A8,CD之間時，若4BEC=40。，直接寫出乙8廣。的大小.

8.課題學(xué)習(xí)：平行線的“等角轉(zhuǎn)化”功能.

圖1

(1)閱讀理解：如圖1，已知點(diǎn)A是8C外一點(diǎn)，連接48、AC,求N8+乙從4(；+〃：的度數(shù).閱讀并補(bǔ)允下面

推理過程.

解：過點(diǎn)A作EDIIBC,

：?LB=，Z.C

???LEAB+Z.BAC+/.DAC=180°,

???LB+Z.BAC+ZC=180°.

解題反思：從上面的推理過程中，我們發(fā)現(xiàn)平行線具有“等角轉(zhuǎn)化''的功能，將乙8AC、乙B、〃“湊”在一起,

得出角之間的關(guān)系，使問題得以解決.

(2)方法運(yùn)用:如圖2,已知48IIED,求乙B+NBCD+ND的度數(shù);

(3)深化拓展:已知4BIICD,點(diǎn)C在點(diǎn)。的右側(cè)，2LADC=50°,BE平分DE平分乙40C,BE,DE所

在的直線交于點(diǎn)E,點(diǎn)E在直線48與CD之間.

①如圖3,點(diǎn)8在點(diǎn)A的左側(cè)，若N/WC=36。，求4BEC的度數(shù).

②如圖4,點(diǎn)8在點(diǎn)4的右側(cè)，LAB<CD,AD<BC.若乙48c=幾。，求MED度數(shù).(用含〃的代數(shù)式

表示)

必考點(diǎn)4N平行線中利用方程思想求角度

1.(1)如圖1,點(diǎn)E、尸分別在直線AB、8上，點(diǎn)。為平面內(nèi)/B、CD間一點(diǎn)，若乙EPF=^PEB+乙PFD,

證明：AB||CD：

(2)如圖2,AB||CD,點(diǎn)E在直線相上，點(diǎn)、F、G分別在直線C。上，GP平分NEGF,乙PEG=LPFG,請

探究乙EPA乙PEG、4OGE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(3)如圖3,AB||CD,乙EPF=120°,乙PEG=n乙BEG,乙PFK=n乙CFK.直線MN交FK、EG分別于點(diǎn)M、

N,若乙FMN—乙ENM=25°,求〃的值.

圖2圖3

2.已知4BIICD,點(diǎn)M、N分別是48、CD上兩點(diǎn)，點(diǎn)G在AB、CD之間，連接MG、NG.

(1)如圖1,若GMJLGN,求乙4MG+/TNG的度數(shù).

(2)如圖2,若點(diǎn)尸是C。下方一點(diǎn)，MG平分4BMP,ND平分乙GNP,已知乙BMG=30°,求NMGN+々MPN的

度數(shù).

(3)如圖3,若點(diǎn)E是AB上方一點(diǎn),連接EM、EN,且GM的延長線M尸平分M/ME,NE平分上CNG,2乙MEN+

乙MGN=120°,求4/lME的度數(shù).

3.如圖，直線42、CO被E尸所截，直線￡戶分別交力2、CO于G、H兩點(diǎn)，AAGE=/.FHD.

(1)如圖I,求證：ABWCD；

(2)如圖2,HQ、GN分別為夾在力3、CO中的兩條宜線,乙AGN=CQHD,求證：GNWQH；

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接HN,M為48上一點(diǎn)，連接MN,V為45上一點(diǎn)，連接PN,LGNV=36°,

NP平分乙VNM交AB于點(diǎn)K,乙HNK=2乙GNK,VPIIMN,乙NHD=々VNK+6。,乙QHN=2乙KVN,求匕VPN

的度數(shù).

4.問題探究:

/尸

圖①圖②圖③圖④

如圖①，已知A8IIC。，我們發(fā)現(xiàn)/E=N8+NO.我們怎么證明這個結(jié)論呢？

張山同學(xué)：如圖②，過點(diǎn)七作FFIIA3把切分成尸與/。石尸的和，然后分別證明/BE尸=/B,

4DEF=ND.

李思同學(xué)：如圖③，過點(diǎn)8作8臼。石，則N￡=NE8F,再證明乙48尸=/。.

問題解答：

(1)請按張山同學(xué)的思路，寫出證明過程；

(2)請按李思同學(xué)的思路，寫出證明過程；

問題遷移：

(3)如圖④，已知4BIICZZE”平分N4EC,尸。平分NEDC.若NCED=3NF,求//的度數(shù).

(1)求證：Z-AEC=LBAELECD-,

(2)若A”平分N84E,將線段CE沿CO平移至FG.

①如圖2,若NAEC=90。，〃/平分/G,求/AHf的度數(shù)；

②如圖3,若HF平分NCFG,請直接寫出/AH戶與NAEC的數(shù)策關(guān)系.

6.己知：AB||CD,點(diǎn)P、。分別在A3、CO上，在兩直線間取一點(diǎn)E.

圖3

⑵將線段EQ沿。C平移至尸G,乙CGF的平分線和乙4PE的平分線交于直線A8、C。內(nèi)部一點(diǎn)從

①如圖2,若乙占=90）求4〃的度數(shù)；

②如圖3,若點(diǎn)/在直線AB、CO內(nèi)部，且PT平分乙BPE,連接若乙/一乙H二m。,zE=n°,請直接寫

出加與〃的數(shù)量關(guān)系，不必證明.

必考點(diǎn)54平行線中利用分類討論思想求角度

1.問題情境：如圖1,ABWCD,ZMB=130°,ZPCD=120°,求N4PC的度數(shù).小明的思路是：如圖2,

過P作PEII力8,通過平行線性質(zhì)，可得乙4。。=50。+60。=110。

BB

D

圖1圖2

問題遷移:

⑴如圖3,40II8C,點(diǎn)P在射線OM上運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)。在4、8兩點(diǎn)之間運(yùn)動時，N4QP二Na,/BCP=Np,

NCPD、Na、NQ之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由

圖3

⑵在（1）的條件下，如果點(diǎn)。在A、8兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動時，點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、。三點(diǎn)不重合，請你直接寫

出NCP。、乙a,邛間的數(shù)量關(guān)系.

2.已知4矢||BD.

(2)如圖2,EF工BE于點(diǎn)E,乙HBE、NKDE的角平分線交于點(diǎn)P,GE平分4D",若“比NGEF的5倍還多5。,

求/GEr的度數(shù).

(3)如圖3,在(1)的條件下，在同一平面內(nèi)的點(diǎn)M、N滿足：4MBH=3乙MBE,乙NDK=g乙NDE,直線MB

與直線ND交于點(diǎn)Q,直接寫出乙8。。的大小

3.如圖，已如直線4。||射線O,^CEB=100°.F是射線四上一動點(diǎn)，過點(diǎn)F作PQ||EC交射線CO于

點(diǎn)Q,連接CP.作NPCF=NPCQ,交直線AB于點(diǎn)F,CG平分NECE

(1)若點(diǎn)PF,G都在點(diǎn)￡的右側(cè).

①求NPCG的度數(shù)；

②若/EGC-4ECG=40。，求NCPQ的度數(shù).

(2)在點(diǎn)尸的運(yùn)動過程中，是否存在這樣的情形，使嚅=白若存在，求出/CPQ的度數(shù)：若不存在，請

說明理由.

4.如圖1,AD||BC,N3AO的平分線交8C于點(diǎn)G,Z-BCD=90°.

圖3

(1)試說明：/-BAG=/-BGAx

(2)如圖2,點(diǎn)尸在/G的反向延長線上，連接CF交力。于點(diǎn)石，若NS4G—4F=45。，求證：CF平分/BCD；

(3)如圖3,線段4G上有點(diǎn)P,滿足乙4BP=3乙PBG,過點(diǎn)。作CH||4G.若在直線4G上取一點(diǎn)M,使乙PBM=

乙DCH，求黑的值.

ZGDM

必考點(diǎn)61平行線中的動態(tài)問題

1.如圖，已知兩條直線CD被直線Er所截，分別交于點(diǎn)E,點(diǎn)F,EM交CD于點(diǎn)M,AB||CD,月/FEM=

(2)判斷EM是否平分"IE幾并說明埋由.

(3)如圖，點(diǎn)G是射線尸。上一動點(diǎn)(不與點(diǎn)尸重合)，EH平分/FEG交CD于點(diǎn)H,過點(diǎn)"作“N1EM于點(diǎn)

M^EGF=a.探究當(dāng)點(diǎn)G在運(yùn)動過程中，NMHN-4FEH和a之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想,

2.如圖1,一塊直尺和一塊含30,的直角三角板如圖放置，其中直尺和直角三角板的斜邊平行，我們可以抽

象出如圖2的數(shù)學(xué)模型：MNHAB,LBAC=60°,“=90。，A1N分別交AC、BC于點(diǎn)、E、F、48AC的角平

分線AD交MN于點(diǎn)D,“為線段AB上一一動點(diǎn)(不與A、8重合)，連接尸H交力。于點(diǎn)K.

(1)當(dāng)=：4BFN時，求N4KF.

(2川在線段48上任意移動時，求乙HAK,WFH之間的關(guān)系.

(3)在(1)的條件下，將△/)/</繞著點(diǎn)尸以每秒5。的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)時間為t(0WtW36),則在旋轉(zhuǎn)

過程中，當(dāng)ADK/7的其中一邊與ACEF的某一邊平行時，直接寫出此時t的值.

3.“一帶一路”讓中國和世界聯(lián)系更緊密，“中歐鐵路”為了安全起見在某段鐵路兩旁安置了兩座可旋轉(zhuǎn)探照

燈.如圖所示，燈人射線從4M開始順時針旋轉(zhuǎn)至4N便立即回轉(zhuǎn)，燈B射線從8P開始順時針旋轉(zhuǎn)至BQ便立

即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視若燈A轉(zhuǎn)動的速度是每秒2。，燈8轉(zhuǎn)動的速度是每秒1。.假定主道路是平行

的，即PQIIMN,Rz-BAM:^BAN=2:1.

(1)填空：乙BAN=°；

(2)若燈B射線先轉(zhuǎn)動30秒，燈A射線才開始轉(zhuǎn)動，在燈8射線到WBQ之前，A燈轉(zhuǎn)動幾秒，兩燈的光束互相

平行？

(3)若兩燈同時開始轉(zhuǎn)動，兩燈射巴的光束交于點(diǎn)C,且乙408=120。，則在燈8射線到達(dá)8Q之前，轉(zhuǎn)動的時

間為秒.

4.長江汛期即將來臨，為了便于夜間查看江水及兩岸河堤的情況，防汛指揮部在一危險地帶西岸各安置了

一探照燈(如圖1),假定這一帶長江兩岸河堤是平行的，即PQIIMN,連結(jié)力氏.且乙4BN=45。.燈4射線

自4Q順時針旋轉(zhuǎn)至4P便立即回轉(zhuǎn)，燈B射線自8M順時針旋轉(zhuǎn)至5N便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視.若

燈4轉(zhuǎn)動的速度是1度/秒，燈8轉(zhuǎn)動的速度是3度/秒.

(I)若兩燈同時轉(zhuǎn)動，在燈8射線第一次轉(zhuǎn)到BN之前，兩燈射出的光線交于點(diǎn)C.

①如圖1,當(dāng)兩燈光線同時轉(zhuǎn)動5。秒時，求心48C的度數(shù).

②如圖2,過C作CD18C交PQ于點(diǎn)。，則在轉(zhuǎn)動過程中，求上力BC與乙AC。的比值，并說明理由.

(2)若燈A射線先轉(zhuǎn)動30秒，燈8射線才開始轉(zhuǎn)動，在燈4射線第一次轉(zhuǎn)到AP之前，8燈轉(zhuǎn)動幾秒，兩燈的光

線互相平行？

專題2.1相交線與平行線六類必考壓軸題

【人教版】

必考點(diǎn)1N相交線中求角度的綜合

1.（2022秋.遼寧大連.七年級?？计谀┲本€48,。。相交于點(diǎn)。，OF_LCD于點(diǎn)。，作射

①如圖1,若NB0D=15。，^BOE=120°,求乙E。F的度數(shù)；

②如圖2,若OF平分乙BOE,請判斷0C是否平分乙40E,并說明理由：

（2）若41"=2"。心請直接寫出M0E與乙4。。之間的數(shù)量關(guān)系.

【分析】（I）①先利用角度的和差關(guān)系求得NCOE,再根據(jù)4石。尸二90。一乙。。心可得/EOF"

的度數(shù)；

②先根據(jù)角平分線定義4EOF=dOB,再結(jié)合余角定義和對頂角相等可得結(jié)論；

（2）需要分類討論，當(dāng)點(diǎn)E,尸在直線48的同側(cè)，當(dāng)點(diǎn)E,產(chǎn)在直線力8的異側(cè)；設(shè)4COE=a,

再分別表示410C、乙BOE,再消去a即可.

【詳解】（1）解：①:OFJLCD于點(diǎn)0,???，COF=90°,,?280。=15。，LBOE=120°,

工（COE=180°-乙BOE-乙BOD=180°-120°-15°=45°,

:,乙EOF=Z.COF-Z-COE=90°-45°=45°,工/EOF的度數(shù)為45。；

②平分.理由如下：???。尸平分^^。后,:.乙EOF=LFOB=》EOB,

?：0FLCD,???4C0尸=90°,:,乙COE+乙EOF=^FOB+乙BOD=90。,

"COE=乙BOD,

'：Z-AOC=ZFOD,:.乙COE=LAOC,

???OC平分N40E.

（2）如圖，當(dāng)點(diǎn)E,尸在直線AB的同側(cè)，設(shè)乙COE=a,

E

*：Z-AOF=2^C0E,：.^AOF=2/.C0E=2a,*：0F1CD,：.^COF=90°,

：,/-AOC=^AOF-乙COF=2a-90。①，

???乙BOE=180°-^AOC-乙COE=180°-(2a-90°)-a=270°-3Q②，

①x3+②x2得，34AOC-248。￡=270。；

如圖，當(dāng)點(diǎn)E,F在直線力3的異側(cè)；設(shè)NCOE=a,

*：Z.AOF=2Z.COE,：,/.AOF=2Z.COE=2a,*：OF1CD,：.^COF=90°,

???乙4OC=(COF-/.AOF=90°-2a?,

，乙BOE=180°-^AOC-乙COE=180°-(90°-2a)-a=90°+a?,

①+②x2得，/.AOC+2/.BOE=270°.

綜上所述，480￡與乙40c之間的數(shù)量關(guān)系：34AOC十2乙80S=270°或乙4OC十2480E=

270°.

2.(2023春?七年級課時練習(xí))如圖，直線CD,EF相交于點(diǎn)O,射線OA在NCOF的內(nèi)部,

ZDOF=-ZA()D.

3

(1)如圖1,若NAOC120。，求NEOC的度數(shù);

(2)如圖2,若NAOUa(60°<a<180°),將射線04繞點(diǎn)。逆時針旋轉(zhuǎn)60。,到05,

①求NEOB的度數(shù)(用含a的式子表示)；

②觀察①中的結(jié)果，直接寫出/AOC,NEO8之間的數(shù)量關(guān)系.

(3)如圖3，00<ZAOC<120°,將射