2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)舉一反三系列專題122 全等三角形的判定【八大題型】（舉一反三）（人教版）含解析

2023.2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)舉一反三系列專題12.2全等三角形的

判定【八大題型】

【人教版】

【題型?全等三角形的判定條件】.........................................................I

【題型2證明兩個(gè)三角形全等】.................................................................2

【題型3全等三角形的判定與性質(zhì)（證兩次全等）】...............................................3

【題型4全等三角形的判定與性質(zhì)（證垂直）】...................................................4

【題型5全等三角形的判定與性質(zhì)（多結(jié)論）】...................................................5

【題型6全等三角形的判定與性質(zhì)（探究角度之間的關(guān)系）】......................................7

【題型7全等三角形的判定與性質(zhì)（探究線段之間的關(guān)系）】......................................8

【題型8仝等三角形的應(yīng)用】...................................................................10

■―

"片之“二

【知識(shí)點(diǎn)全等圖形的判定】

判定方法解釋圖形

邊邊邊

三條邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等

（SSS）

邊角邊兩邊和它們的頭角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)

（SAS）三角形全等

角邊角兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)

（ASA）三角形全等

角角邊兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相

（AAS）等的兩個(gè)三角形全等

斜邊、直角邊斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)

（HL）直角三角形全等44

【題型1全等三角形的判定條件】

[例I]（2022春?順德區(qū)期末）如圖，N4=NO=90°,給出下列條件：?AB=DC,②OB=OC,③N

44C=NOCB,?ZABO=ZDCO,從中添加一個(gè)條件后，能證明△A8C0△DC8的是（）

A

O

BC

A.①②③B.②@④C.①②④D.①?④

【變式1-1］（2021秋?廬陽區(qū)期末）如圖，點(diǎn)8、E在線段C。上，若NA=NDEF,則添加下列條件，不

一定能使△A8C'g△以。的是（

B.BC=DF,AC=DE

C.ZABC=ZDFE,AC=DED.AC=DE,AB=EF

【變式1-2］（2021秋?源匯區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知N1=N2,AC=AD,增加下列條件之一：?AB=AE：

②BC=ED；③NC=NO；?ZB=ZE.其中能使△ABCgZXAEO的條件有（）

【變式1-3］（2022秋?佳木斯期末）在△4BC和△￡）￡小中，其中NC=N”，則下列條件：?AC=DF,Z

A=ZD：?AC=DF,BC=EF；③NA=/O,/B=/E；④AB=DE,NB=NE；@AC=DF,AB=

DE.其中能夠判定這兩個(gè)三角形全等的是（）

A.①②④B.①?⑤C.②③④D.③@⑤

【題型2證明兩個(gè)三角形全等】

【例2】（2022春?鼓樓區(qū)校級(jí)期末）如圖，點(diǎn)4,E,F,5在同一直線上，CELAB,DFLAB,垂足分別

為E,F,AE=BF,NA=NB.求證：ZXAO尸且△8CE.

【變式2-1］（2021秋?肥西縣期末）已知，如圖，AH=AE,AB//DE,NECB=65：NO=1I5°,求證:

△ABC@XEAD.

【變式2-2］（2U21秋?信州區(qū)校級(jí)期中）如圖，在△A8C'中，點(diǎn)。是8c'邊的中點(diǎn)，分別過點(diǎn)從C.作此

J_A。于點(diǎn)E,CnLA。交AO的延長線于點(diǎn)F,求證：△BDE/ACDF.

【變式2?3】（2022?河源模擬）如圖，在四邊形ABCO中，AO〃8C,點(diǎn)M為對(duì)角線AC上一點(diǎn)，連接3例,

若AC=BC,/AMB=/BCD,求證：△ADC/4CMB.

【題型3全等三角形的判定與性質(zhì)（證兩次全等）】

【例3】（2022春?徐匯區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知AE〃OF,OE=OF,ZB=ZC,求證：A8=CD.

【變式3-1］（2021春?橫山區(qū)期中）如圖，AB=BC,NBAD=NBCD=90°,點(diǎn)、D是EF上一點(diǎn)、,AE±

EF于E,CF工EF于F,AE=CF,連接80,求證：RtAADE^RtACDF.

【變式3-2］（2021秋?石阡縣期木）如圖，AA=AC,E、。分別是A8、AC的中點(diǎn)，AP_L8。，垂足為點(diǎn)尸,

AG1CE,垂足為點(diǎn)G,試判斷A尸與AG的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【變式3-3］（2021秋?沂源縣期末）如圖，AD=AC,AB=AE,ZDAB=ZCAE.

（1）ZsAOE與△ACB全等嗎？說明理由；

（2）判斷線段。尸與。尸的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【題型4全等三角形的判定與性質(zhì)（證垂直）】

【例4】（2022秋?孟津縣期末）如圖，BM,CN分別是鈍角△/18C的高，點(diǎn)Q是射線CN上的點(diǎn)，點(diǎn)P在

線段8M上，且BP=AC,CQ=AB,請(qǐng)問AP與AQ有什么樣的關(guān)系？請(qǐng)說明理由.

【變式4-1］（2022春?金牛區(qū)校級(jí)期中）如圖：在△A8C中，BE.Cr分別是AC、A8兩邊上的高，在BE

上截取8。=4。，在。尸的延長線上截取CG=A8,連結(jié)AZ）、AG.

(1)求證：ZABE=ZACG,

（2）試判：AG與4。的關(guān)系？并說明理由.

【變式4-2］（2021春?亭湖區(qū)校級(jí)期末）如圖，△ABC中，CD1AB,垂足為DBEA.AC,垂足為G,AB

=CF,BE=AC.

（1）求證：AE=AF；

（2）AE與人尸有何位置關(guān)系.請(qǐng)說明理由.

【變式4-3］（2021春?泰興市期末）如圖，在銳角△ABC中，于點(diǎn)。，點(diǎn)E在4。上，DE=DC,

BO=A。，點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，連接石口并延長至點(diǎn)M,使尸〃=石尸，連接CM.

（1）求證：BE=ACx

（2）試判斷線段4C與線段的關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

【題型5全等三角形的判定與性質(zhì)（多結(jié)論）】

【例5】（2022春?九龍坡區(qū)校級(jí)期末）如圖，Rt446C中，NZMC=90°,AQ_L6c于點(diǎn)。，過點(diǎn)4作AF

〃3C且A”=A。，點(diǎn)E是AC上一點(diǎn)且AE=48,連接EF,DE.連接FQ交班:于點(diǎn)G.下列結(jié)論中正

確的有（）個(gè).

①NE4E=ND4B；②BD=EF；③FD平分NAFE；④S網(wǎng)邊形AW)E=S.邊形皿)“?：?BG=GE.

A.2B.3C.4D.5

【變式5-1］（2021秋?墾利區(qū)期末）如圖，在AABC中，BD、CE分別是N4BC和N4CB的平分線，AM

J_CE于P,交BC于M,AN_LB。于Q,交BC于MZBAC=110°,AB=6,AC=5,MN=2,結(jié)論：

①4P=MP；②8C=9；③NM/1N=3O。；?AM=AN.其中正確的有（）

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

【變式5-2］（2021春?錦州期末）如圖，在△AO8和△C。。中，OA=OB,OC=OD（OA<OC）,ZAOB

=NCOD=a,直線AC,BD交于點(diǎn)M,連接OM.下列結(jié)淪：?AC=BD,②NOAM=/OBM,③/

AMB=a,④OM平分NBOC,其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A.4B.3C.2D.1

【變式5-3］（2021春?江北區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知A8=AC,點(diǎn)。、E分別在AC、AB上且AE=4。，連

接EC,BD,EC交BD于點(diǎn)M,連接AM,過點(diǎn)A分別作AF_LCE,AG1BD,垂足分別為F、G,下列

結(jié)論：①也/XOCM；②NEMB=N/^G；③MA平分/EM。；④若點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，則BM+AC

>EM+BD；⑤如果S△5EM=S"OM,則上是A8的中點(diǎn)；其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）

A

【題型6全等三角形的判定與性質(zhì)（探究角度之間的關(guān)系）】

【例6】（2022春?杏花嶺區(qū)校級(jí)期中）已知AD=AE,NBAC=NDAE.

（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)。在4c上時(shí)，求證：BD=CE；

（2）如圖2,當(dāng)點(diǎn)。、E、C在同一直線上，且N84C=a,時(shí)，求的度數(shù)（用含a和

3的式子表示）.

【變式6-1]（2022?南京模擬）在△A8C中，A〃=AC,點(diǎn)力是射線C8上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)8、C重合），

以人。為一邊在4。的右側(cè)作A4。凡使人。=4凡/DAF-/RAC,連接C?.

（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)。在線段8上，且NZMC=90°時(shí)，那么NOCE=度；

（2）設(shè)N8AC=a,ZDCE=p.

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)。在線段C8上，/84CW9（T時(shí)，請(qǐng)你探究a與0之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論;

②如圖3,當(dāng)點(diǎn)。在線段C8的延長線上，NB4CW90。時(shí)，清將圖3補(bǔ)充完整，并直接寫出此時(shí)a與0

之間的數(shù)量關(guān)系（不需證明）.

【變式6-2]（2022秋?江夏區(qū)期末）已知△48C,分別以48、4C為邊作和△ACE,AAD=AB,

AC=AE,ZDAB=ZCAE,連接。。與BE,G、尸分別是OC與BE的中點(diǎn).

E

E

（1）如圖1,若NO4B=60°,則/A/G=；

（2）如圖2,若ND4B=90°,則NAR7=：

（3）如圖3,若ND48=a,試探究NAFG與a的數(shù)最關(guān)系，并給予證明.

【變式6-3］（2021秋?肥西縣期末）在3c中，AB=AC,。是直線4c上一點(diǎn)，連接A3,以AO為一

條邊在AQ的右側(cè)作△AQE,使AE=A。，NDAE=NBAC,連接C￡

（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)。在3。延K線上移動(dòng)時(shí)，若NSAC=26°,則NOCE=.

（2）設(shè)NBAC=a,ZDCE=p.

①當(dāng)點(diǎn)。在8c延長線上移動(dòng)時(shí)，a與6之間有什么數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由；

②當(dāng)點(diǎn)。在直線BC上（不與&。兩點(diǎn)重合）移動(dòng)時(shí)，a與0之間有什么數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的

結(jié)論.

【題型7全等三角形的判定與性質(zhì)（探究線段之間的關(guān)系）】

【例7】（2022春?沙坪壩區(qū)校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，/ABC、N4CB的平分線交于點(diǎn)。，延長8。

交AC于，G、尸分別在B。、上，連接OF、GF,其中乙4=2NBOF,GD=DE.

（1）當(dāng)NA=80°時(shí)，求NEDC的度數(shù)；

（2）求證：CF=FG+CE.

.AA

備用圖

【變式7-1](2022?黃州區(qū)校級(jí)模擬)如圖，ZBAD=ZCAE=90°,AB=AD,AE=AC,AFLCB,垂足

為尸.

(1)求證：

(2)求的度數(shù)；

(3)求證：CD=2BF+DE.

c

【變式7-2](2021秋?兩江新區(qū)期末)在RIZW8C中，NA8C=90°,點(diǎn)。是CB延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)E是

線段/W上一點(diǎn)，連接AC=DE,BC=BE.

(1)求證：AB=BD；

(2)8尸平分N/WC交AC于點(diǎn)P,點(diǎn)G是線段延長線上一點(diǎn)，連接。G,點(diǎn)〃是線段0G上一點(diǎn)，

連接A”交8。于點(diǎn)K,連接KG.當(dāng)K6平分N4KG時(shí)，求證：AK=DG+KG.

【變式7-3](2022春?濟(jì)南期中)把兩個(gè)全等的直角三角板的斜邊重合，組成一個(gè)四邊形ACB。以。為頂

點(diǎn)作NMQN,交邊AC、8C于M、N.

(1)若NACO=30°,NMDN=60：當(dāng)NMQN繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)時(shí)，AM、MN、BN三條線段之間有何種

數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論;

（2）當(dāng)NAC￡>+NMON=9（）°時(shí)，AM、MN、BN三條線段之間有何數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論；

（3）如圖③，在（2）的條件下，若將"、N改在CA、的延長線上，完成圖3,其余條件不變，則

【題型8全等三角形的應(yīng)用】

【例8】（2022春?二七區(qū)期末）為了測量一池塘的兩端A,8之間的距離，同學(xué)們想出了如下的兩種方案:

方案①如圖1，先在平地上取一個(gè)可直接到達(dá)A,8的點(diǎn)C,再連接AC,BC,并分別延長AC至點(diǎn)。，

BC至點(diǎn)、E,使。C=4C,EC=BC,最后量出OE的距離就是A8的長；

方案②如圖2,過點(diǎn)B作AB的垂線BF,在B/上取C,。兩點(diǎn)，使BC=C。，接著過。作的垂線

DE,在垂線上選一點(diǎn)E,使A、C、E三點(diǎn)在一條直線上，見測出。石的長即是48的距離.

（2）方案②是否可行？請(qǐng)說明理由;

（3）小明說在方案②中，并不一定需要6尸，AB,DEA.BF,只需要就可以了，請(qǐng)把小明所說的

條件補(bǔ)上.

【變式8/】（2021春?普寧市期末）學(xué)校為開展數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)，成立了以小明為首的戶外測量小組，測量

小組帶有測量工具：繩子、拉尺、小紅旗、測角器（可測量兩個(gè)點(diǎn)分別到測量者連線之間的夾角大?。?小

明小組的任務(wù)是測量某池塘不能直接到達(dá)的兩個(gè)端點(diǎn)A、B之間的距離.

AOA。

D

B

備用圖1備用圖2

（1）小明小組提出了測量方案：在池塘南面的空地上（如圖），取一個(gè)可直接到達(dá)A、8的點(diǎn)G用繩

子連接AC和BC,并利用繩子分別延長AC至。、BC至E,使用拉尺丈量CD=C4、CE=CB,確定

E兩個(gè)點(diǎn)后，最后用拉尺直接量出線段。E的長，則端點(diǎn)A、8之間的距離就是。E的長.你認(rèn)為小明小

組測量方案正確嗎？請(qǐng)說明理由.

（2）你還有不同于小明小組的其他測最方法嗎？請(qǐng)寫出其中一個(gè)完整的測量方案（在備用圖I中畫出簡

圖，但不必說明理由）.

（3）假設(shè)池塘南面（即點(diǎn)D.E附近區(qū)域）沒有足夠空地（或空地有障礙物或不可直達(dá)等不可測量情況），

而點(diǎn)〃的右側(cè)區(qū)域有足夠空地并可用于測量，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)可行的測量方案（在備用圖2中畫出圖形），

并說明理由.

【變式8-2]（2022春?金鄉(xiāng)縣期中）如圖，小明和小華住在同一個(gè)小區(qū)不同單元樓，他們想耍測量小明家

所在單元樓的高度，首先他們?cè)趦蓷潌卧獦侵g選定一點(diǎn)&然后小華在自己家陽臺(tái)C處測得E處

的俯角為N1,小明站在E處測得眼睛尸到A8樓端點(diǎn)A的仰角為N2,發(fā)現(xiàn)NI與N2互余，已知E尸=1

米，BE=CD=20米,8。=58米，試求單元樓的高.

【變式8-3]（2022春?鄭州期末）閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù).

如圖，小明站在堤岸涼亭A點(diǎn)處，正對(duì)他的8點(diǎn)（AB與堤岸垂直）停有一艘游艇，他想知道涼亭與這

艘游艇之間的距離，于是制定了如下方案.

課題測涼亭與游艇之間的距離

測量工具皮尺等

測量方案示意圖（不完整）

測量步驟①小明沿堤岸走到電線桿。旁（直線AC與堤岸平行）：

②再往前走相同的距離，到達(dá)。點(diǎn)；

③他到達(dá)。點(diǎn)后向左轉(zhuǎn)90度直行，當(dāng)自己，電線桿與游艇在一條直線上時(shí)

停下來，此時(shí)小明位于點(diǎn)E?處.

測量數(shù)據(jù)AC=20米，CO=20米，OE=8米

（1）任務(wù)一：根據(jù)題意將測量方案示意圖補(bǔ)充完整.

（2）任務(wù)二：①?zèng)鐾づc游艇之間的距離是米.

②請(qǐng)你說明小明方案正確的理由.

B

?

C*X

專題12.2全等三角形的判定【八大題型】

【人教版】

【題型1全等三角形的判定條件】.................................................錯(cuò)誤!未定義書簽。

【題型2證明兩個(gè)三角形全等】..................................................錯(cuò)誤!未定義書簽。

【題型3全等三角形的判定與性質(zhì)（證兩次全等）】................................錯(cuò)誤!未定義書簽。

【題型4全等三角形的判定與性質(zhì)（證垂直）】....................................錯(cuò)誤!未定義書簽。

【題型5全等三角形的判定與性質(zhì)（多結(jié)論）】....................................錯(cuò)誤!未定義書簽。

【題型6全等三角形的判定與性質(zhì)（探究角度之間的關(guān)系）】........................錯(cuò)誤!未定義書簽。

【題型7全等三角形的判定與性質(zhì)（探究線段之間的關(guān)系）】........................錯(cuò)誤!未定義書簽。

【題型8全等三角形的應(yīng)用】.....................................................錯(cuò)誤!未定義書簽。

4

”2聲，?二

￡知識(shí)點(diǎn)全等圖形的判定】

判定方法解釋圖形

邊邊邊

三條邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等

（SSS）

邊角邊兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)

（SAS）三角形全等

角邊角兩角和它們的央邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)

（ASA）三角形全等

角角邊兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相

（AAS）等的兩個(gè)三角形全等

斜邊、直角邊斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)

（HL）直角三角形全等44

【題型1全等三角形的判定條件】

【例1】（2022春?順德區(qū)期末）如圖，NA=//）=90°,給出下列條件：①人B=OC,@OB=OC,③/

ABC=ZDCB,?ZABO=ZDCO,從中添加一個(gè)條件后，能證明△人BCgAOCB的是（）

0

BC

A.①②③B.②?④C.①②④D.①?④

【分析】由題意可得NA=NO=90°,BC=BC,即有一組對(duì)應(yīng)角相等，一組對(duì)應(yīng)邊相等，結(jié)合全等三

角形的判定條件進(jìn)行分析即可.

【解答】解：VZA=ZD=90°,BC=BC,

???①當(dāng)4B=OC時(shí)，由“心可得△ABCg/XOCB,故①符合題意；

②當(dāng)。8=0C時(shí)，可得NBC0=NC8。，利用AAS可得△ABCgAOCB,故②符合題意；

③當(dāng)N4BC=NOCB時(shí)，利用4A5可得△ABCgZ\OCB,故③符合題意；

④當(dāng)NABO=N/）CO時(shí)，不能得故④不符合題意；

故符合題意的有①?

故選：A.

【變式1?1】（2021秋?廬陽區(qū)期末）如圖，點(diǎn)從E在線段C。上，若NA=NDEF,則添加下列條件，不

一定能使的是（）

A.NC=N。，AC=DEB.BC=DF,AC=DE

C.NABC=NDFE,AC=DED.AC=DE,AB=EF

【分析】利用三角形全等的判定方法進(jìn)行分析即可.

【解答】解：A、添加/C=N。，AC=。E可利用ASA判定注△E/如故此選項(xiàng)不合題意；

B、添加8C=FD,AC=￡。不能判定△A8Cg/\￡FO,故此選項(xiàng)符合題意：

。、添加乙4BC=N。尸E,4C=QE可利用A4S判定△ABC名△EFT）,故此選項(xiàng)不合題意；

D、添力口AC=OE,AB=EP可利用S4S判定△A8CgZ\E/:7＞故此選項(xiàng)不合題意；

故選：B.

【變式1-2]（2021秋?源匯區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知Nl=/2,AC=AD,增加下列條件之一：?AB=AEx

②BC=ED；③NC=NQ；?ZB=ZE.其中能使△ABCgZXAE。的條件有（）

n

A.I個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【分析】先由N1=N2得到NC44=NQA￡,然后分別利用“SAS”、“4SA”和“A4S”對(duì)各添加的條

件進(jìn)行判斷.

【解答】解：???N1=N2,

：.ZCAB=ZDAE,

'：AC=AD,

???當(dāng)A8=4E時(shí)，可根據(jù)“S4S”判斷△ABCg/XAEZ）；

當(dāng)BC=K。時(shí)，不能判斷

當(dāng)NC=N。時(shí)，可根據(jù)“AS4”判斷

當(dāng)N8=N￡時(shí)，可根據(jù)“AAS”判斷△/13cg/XAEQ.

故選：C.

【變式1-3］（2022秋?佳木斯期末）在△AUC和△。￡“中，其中NC=ZP,則下列條件：①AC=Z）「，Z

A=ZD；?AC=DF,BC=EF；③NA=NO,ZB=ZE；?AB=DE,ZB=ZE；?AC=DF,AB=

DE.其中能夠判定這兩個(gè)三角形全等的是（）

A.①②④B.⑤C.②③④D.??⑤

【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法：545,ASA,AAS,5sS'，如果是兩個(gè)直角三角形，除了前面四種方

法以外，還可以用HL來判定.

【解答】解：①4C=O",NA=N。，再加上已知NC=NE符合ASA,故符合題意；

@AC=DF,BC=EF,再加上己知NC=NF,符合SAS,故符合題意；

@ZA=ZD,NB=NE,再加上已知NC=NA不能判定兩個(gè)三角形全等，故不符合題意；

@AB=DE,NB=NE,再加上已知NC=NF,符合AAS,故符合題意；

⑤4C=OF,AB=DE,再加上已知NC=NF,不能判定兩個(gè)三角形全等，故不符合題意；

故選：A.

【題型2證明兩個(gè)三角形全等】

【例2】（2022春?鼓樓區(qū)校級(jí)期末）如圖，點(diǎn)4,E,F,3在同一直線上，CELAB,DFA.AB,垂足分別

為E,F,AE=BF,NA=NB,求證：△ADF9XBCE.

【分析】根據(jù)ASA證明△A。廣經(jīng)△BCE即可.

【解答】證明：???4E=8F,

:?AF=BE,

VCE1AB,DF1AB,

：.ZAFD=ZBEC=90°,

在△A。/；和△/?("：中，

；乙4=Z.B

\AF=BE,

{/.AFD=乙BEC

:.△ADF9XBCE(ASA).

【變式2-1](2021秋?肥西縣期末)已知，如圖，AB=AE,AB//DE,NEC8=65°,ZD=1I5°,求證:

^ABC^^EAD.

【分析】由NECB=65°得NAC8=U5°,再由A8〃O￡,證得NCA3=NE,再結(jié)合已知條件A8=AE,

可利用A4S證得△ABCgaEAO.

【解答】證明：???NEC8=65°,

AZACB=1800-ZECfi=115°.

又???/￡>=115°,

/.ZAC?=ZD.

?:AB"DE,

：.ZCAB=ZE,

在△A3C和△B4O中，

(Z.ACB=NO

l^CAB=乙E,

lAB=AE

:.△ABC4XEA。CAAS).

【變式2-2](2()21秋?信州區(qū)校級(jí)期中)如圖，在△A8C中，點(diǎn)。是8c邊的中點(diǎn)，分別過點(diǎn)B、C作8七

J_AO于點(diǎn)E,C凡LA。交40的延長線于點(diǎn)F,求證：△BDE@BCDF.

【分析】由“A4S”可證△BZ)Eg/\CDF.

【解答】證明：???8E_LA。，CF1AD,

???NBED=NCFD=9()°,

?:前D是BC的中點(diǎn)，

：?BD=CD,

在△BOE和△0/)尸中，

ZBED=Z.CFD

乙BDE=LCDF,

(BD=CD

:?△BDEQACDF(AAS).

【變式2-3](2022?河源模擬)如圖，在四邊形48CO中，AQ/8C,點(diǎn)M為對(duì),角線AC上一點(diǎn)，連接8W,

若4C=3C,/AMB=NBCD,求證：AADgACMB.

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)求出ND4C=NMC8,求出NCBM=NACQ,根據(jù)全等三角形的判定定理求

出即可.

【解答】證明：'：AD//BC,

：.ZDAC=NMCB,

<NAMB=NBCD,NC3M+NACB=NAM3,ZACB+ZACD=ZBCD,

：,ZCBM=ZACD,

在△AOC和△CM8中,

f/-ACD=乙CBM

\AC=BC,

{/.DAC=乙MCB

r.(ASA).

【題型3全等三角形的判定與性質(zhì)（證兩次全等）】

【例3】（2022春?徐匯區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知4E〃短F,OE=OF,NB=NC,求證：AB=CD.

【分析】首先根據(jù)全等三角形的判定定理ASA推知△AOEgaOO凡則然后再根據(jù)全等三角

形的判定定理ASA證得△AOBZZXOOC,則AB=CD.

【解答】證明：如圖，［AE〃DF,

NAEO=NDFO.

在△AOE與△OOF中，

(Z.AEO=Z.DFO

\0E=OF.

1/.AOE=乙DOF

???△AOE—QOF(ASA).

：.OD=OA.

在AAOB與△OOC中，

(Z-AOB=乙DOC

OD=OA.

sB=Z-C

??.△A08也△OOC(ASA).

：.AB=CD.

【變式3-1]（2021春?橫山區(qū)期中）如圖,AB=BC,NBAD=NBCD=90°,點(diǎn)D是EF上一點(diǎn),AE1

EF于E,CFLEF于F,AE=CF,連接8D,求證：RtA?lDE^RtACDF.

【分析】由直角二角形全等的“〃入”判定定理證得內(nèi)△AE)gRtZ\C8/3根據(jù)全等二角形的性質(zhì)得到

AO=CD,再由直角三角形全等的”判定定理即可證得為△AZ)EgRtZ\CDF.

【解答】證明：???N8AO=/BCO=90°,

在RtAABD和Rt/ICBD中，

\BD=BD

UF=BC

ARtAABD^RtACfiDqHL)、

：.AD=CD,

???八七工石產(chǎn)于區(qū)CFLEF于凡

.*.ZE=ZF=90°,

在RtAADE和RlACDF中，

[AD=CD

UE=CF'

：.RtAADE^RtACDF(HL).

【變式3-2](2021秋?石阡縣期末)如圖，AB=AC,E、。分別是A8、AC的中點(diǎn)，AFA.BD,垂足為點(diǎn)R

AG±CE,垂足為點(diǎn)G,試判斷A/與AG的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【分析】結(jié)論：AF=AG.先證明△/W。且△ACE(SAS),推出N48O=N4CE,再證明△八8尸0△入CG

(A4S)即可解決問題.

【解答】解：結(jié)論：AF=AG.

理由：???A8=AC,E、。分別是A8、AC的中點(diǎn)，

：.AD=^AC=^AB=AE,

乙乙

在△48。和△AC七中，

AB=AC

乙BAD=Z.CAE,

AD=AE

:.△ABD9XACE(SAS),

???ZABD=NACE,

'：AFLBD,AGICE,

：.ZAFB=ZAGC=90°.

在△ABF和△ACG中，

Z.ABF=Z.ACG

/-AFB=AACG,

AB=AC

AAABF^AACG(AAS),

：.AF=AG.

【變式3-3](2021秋?沂源縣期末)如圖，AD=AC,AB=AE,ZDAB=ZCAE.

(1)△AOE與AACB全等嗎？說明理由；

(2)判斷線段D尸與C尸的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【分析】（1）由ND48=NCAE得出NOAE=NCA8,再根據(jù)SAS判斷△AOE與△AC8全等即可；

（2）由△AO8與全等得出。8=￡C,ZFDB=ZFCEf判斷/與△￡（?〃全等，最后利用全

等三角形的性質(zhì)可得.

【解答】解：（1）全等，理由如下：

?；NO4B=NCAE,

：.ZDAE=ZCAB,

在△AQE與△AC8中

AD=AC

/.DAE=乙CAB

AB=AE

AAADE^AACB(SAS)

(2)DF=CF,理由如下：

在△AQ3與中

AD=AC

Z.DAB=Z-CAEt

AB=AE

???△AOB/zMCE(SAS),

；?NO8A=NCE4,

?；△AQNZXACB,

???ZABC=NAED,

：.NDBF=ZCEF,

在△05“馬△C￡77中

NDFB=乙CFE

乙DBF=乙CEF,

DB=EC

:.△DBF/4CEF(AAS),

：.DF=CF.

【題型4全等三角形的判定與性質(zhì)（證垂直）】

（ft4]（2022秋?孟津縣期末）如圖，BM,CN分別是鈍角△力BC的高，點(diǎn)Q是射線CN上的點(diǎn)，點(diǎn)P在

線段8M上，且8P=AC,CQ=AB,請(qǐng)問AP與AQ有什么樣的關(guān)系？請(qǐng)說明理由.

【分析】根據(jù)同角的余角相等得出NABP=NACQ,即可利用S4S證明△ACQg/XPBA,再根據(jù)全等三

角形的性質(zhì)即可得解.

【解答】解：AP=AQ且人P_LAQ.

理由如下：

,CN1AB,

；?/A8P+NBAM=90°,ZACQ+ZCAN=90°.

???ZABP=ZACQ.

在△ACQ和△P8A中,

AC=PB,

/-ACQ=^PBA,

QC=AB,

???△ACQdPBA(SAS).

：.AP=AQ,NQ=NB4B.

???/Q+NM4Q=90°.

???NRW+NNAQ=90°.

???NQAP=90°.

：,APVAQ,

即"=AQ,AP±AQ.

【變式4-1](2022春?金牛區(qū)校級(jí)期中)如圖：在△ABC中，BE、。產(chǎn)分別是AC、A8兩邊上的盲，在BE

上截取8D=4C,在CF的延長線上截取CG=AB,連結(jié)A。、AG.

(1)求證：ZABE=ZACG；

(2)試判：4G與AO的關(guān)系？并說明理由.

【分析】(1)易證NHFB=NHEC=90°,又/BHF=/CHE,由三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論：

(2)先證△ABQg/\GCA(SAS),得出AD=GA,ZADB=ZGAC,再由NAO8=NAED+NO4E,Z

GAC=ZGAD+ZDAE,則NAEO=NG4O=90°,即可得出結(jié)果.

【解答】(1)證明：TBELAC,CF1AB,

；?NHFR=/HEC=90°,

/48石=9()°-NBHF,NnCG=900-NCHE,

*：NBHF=NCHE,

/.ZABE=NACG；

(2)解：AG與AO的關(guān)系為：AG=AD,AGA.AD,理由如下：

???BE_LAC,

???NA￡O=90°，

由（1）得：ZABD=ZACG,

在aAB。和△GCA中，

AB=CG

/.ABD=Z.ACG,

BD=AC

:.△ABDQlXGCACSAS）,

：.AD=GA,NAQB=NG4C,

又,/NADB=ZAED+ZDAE,ZGAC=ZGAD+ZDAE,

AZAED=ZGAD=9（）°,

：.AD±GA.

【變式4-2］（2021春?亭湖區(qū)校級(jí)期末）如圖，△A8C中，CDA.AB,垂足為O.BE±AC,垂足為G,AB

=CF,BE=AC.

（1）求證：AE=AF；

（2）AE與A/有何位置關(guān)系.請(qǐng)說明理由.

【分析】（1）利用SAS證明AAEB絲△以C可證明結(jié)論；

（2）由全等三角形的性質(zhì)可得NE=NC4R由余角的定義可求得NE4/的度數(shù)即可得解.

【解答】（1）證明：'rCDA.AB,BE1AC,

???NAOC=NAG8=90°,

；?/CAD+NACD=/CAD+/EBA=90”,

NACD=NEBA,

在△AE/e和△MC中，

AB=CF

乙EBA=Z.ACF，

BE=AC

/.^AEB^/XFAC（SAS）,

：.AE=AF；

(2)解：AE±AFf理由如下:

由(1)知aAEBg△以C,

???NE=NC4F,

,：BELAC,垂足為G,

ZAGE=90°,

VZE+ZE4G=90°,

：.ZCAF+ZEAG=W,

即NE4~=90°,

：.AELAF.

【變式4-3](2021春?泰興市期末)如圖，在銳角aABC中，AO_L8C于點(diǎn)。，點(diǎn)￡在A。上，DE=DC,

BO=AO,點(diǎn)”為，。的中點(diǎn)，連接并延長至點(diǎn)"，使FM=EF,連接CM.

(1)求證：BE=AC；

(2)試判斷線段AC與線段MC的關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

A-

【分析】(1)根據(jù)SAS證明再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得解；

(2)根據(jù)S4S證明△BFEg/XCFM,得到NCBE=NBCM,BE=MC,由(1)得NCBE=NCAZ),BE

=AC,即得AC=M。，再利用直角三角形的兩銳角互余得出AC_LMC.

【解答】(1)證明；???AD_L5C,

???N8OE=NAOC=90°,

在△4QE與△4QC中，

DE=DC

乙BDE=Z.ADC，

BD=AD

r.AfiDE^AADC(SAS),

???BE=AC、

（2）解：4C_LMC且AC=MC,理由如下:

???尸為5c中點(diǎn),

:?BF=CF,

在△BFE與△CFM中，

BF=CF

乙BFE=乙CFM，

EF=FM

:.ABFE/ACFM(S4S),

:?/CBE=NBCM,BE=MC,

由(1)得：ZCBE=ZCAD,BE=AC,

：.ZCAD=ZBCM,AC=MC,

*：ZCAD+ZACD=90a,

AZZ?CM+ZACD=90°,

即NACM=90°,

???ACJ_MC,

?"C_LMC且AC=MC.

【題型5全等三角形的判定與性質(zhì)（多結(jié)論）】

【例5】（2022春?九龍坡區(qū)校級(jí)期末）如圖，RtZ\48C中，ZMC=90°,AO_L3C于點(diǎn)。，過點(diǎn)A作Q

〃BC且A/=AO,點(diǎn)E是AC上一點(diǎn)且AE=AB,連接EF,DE.連接交8E于點(diǎn)G.下列結(jié)論中正

確的有（）個(gè).

①N用E=ND4B；②BD=ER③尸。平分NA”E；④S網(wǎng)邊形,i8DE=S四邊形人。5；?BG=GE.

A.2B.3C.4D.5

【分析】由“SAS”可證△AB。咨△4￡：廠,利用全等三角形的性質(zhì)依次判斷可求解.

【解答】解：VAD1BC,AF//BC,

：.AFLAD,

AZMD^90°=Z5AC,

；?NFAE=NBAD,故①正確;

在△ABO和中，

AB=AE

乙BAD=Z.EAFy

AD=AF

???△ABOdAE尸(SAS),

；,BD=EF,ZADB=ZAFE=9Q°,故②正確;

?：AF=AD,NO4尸=90°,

/.Z4FD=45°=NEFD,

???/。平分NA/^E,故③正確；

???^ABD^AAEF,

S^ABD—S^AEFf

S四邊影AtfDt,=S內(nèi)邊形ADb,b，故④正確；

如圖，過點(diǎn)E作ENLEF,交DF于N,

:?/FEN=90°,

:,NEFN=/ENF=45°,

:.EF=EN=BD,NEND=NBDF=135°,

在△忒；￡>和△EGN中，

NBDG=乙ENG

乙BGD=NEGN,

BD=NE

???△BDGdENG(A4S),

:,BG=GE,故⑤正確，

故選：D.

【變式5-1]（2021秋?墾利區(qū)期末）如圖，在△ABC中，BD、CE分別是NABC和NACB的平分線，AM

_LCE于P,交8C于M,AN1.BD于Q,交8c于N,ZBAC=110°,48=6,AC=5,MN=2,結(jié)論：

①AP=MP；②BC=9；③NM4N=30°；?AM=AN.其中正確的有（）

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

【分析】證明AACPgZXMCP,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AP=MP,判斷①；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)

得到CM=AC=5,BN=AB=6,結(jié)合圖形計(jì)算，判斷②；根據(jù)三角形內(nèi)角和定理判斷③；根據(jù)等腰三角

形的性質(zhì)判斷④.

【解答】解：:CE是NAC8的平分線，

；?/ACP=/NCP,

在△ACP和△MCP中，

(乙4cp=Z-MCP

CP=CP,

{/.CPA=NCPM=90°

A(ASA),

：,AP=MP,①結(jié)論正確；

???△ACP冬△MCP,

：.CM=AC=5,

同理可得：BN=AB=6,

：.BC=BN+CM-MN=5+6-2=9,②結(jié)論正確；

???NB4C=110°,

AZMAC+ZBAN-ZMAN=ll()c,

由①知：ZCMA=ZCAM,Z13NA=ZBAN,

在△AMN中，ZCMA+ZBNA=\SO°-ZMAN=ZBAN+ZMAC,

A180°-ZMAN-ZMAN=\\0°,

???NM4N=35°,③結(jié)論錯(cuò)誤；

④當(dāng)NAMN=NANM時(shí)，AM=AN,

???4B=6HAC=5

NA8C#NACB,

；?NAMN#NANM,則人M與/W不相等，④結(jié)論錯(cuò)誤；

故選：C.

【變式5-2】(2021春?錦州期末)如圖，在△AO3和△COO中，OA=OB,OC=ODCOA<OC),ZAOB

=ZCOD=a,直線AC,8。交于點(diǎn)M,連接OM.下列結(jié),金：?AC=BD,②NOAM=/O8M,③/

AMB=a,④OM平分/8OC,其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()

【分析】由SAS證明△40C四AB。。得出N04M=N08M,AC=BD,①②正確；

由全等三角形的性質(zhì)得出NOAC=NOB。，由三角形的外角性質(zhì)得：ZAMB+ZOBD=ZOAC+ZAOB,

得出/AMB=NAOB=a,③正確；

作OG_LAM于G,0H1,DM于H,則NOG人=/0"8=9()。，即可判定△OAGgZXOB凡得出OG=

OH,由角平分線的判定方法得NAMO=NOM。，假設(shè)0M平分/40C,則可求出NA0M=/。。例，由

全等三角形的判定定理可得△AMOg^QMO,得AO=。。，而0C=0。，所以O(shè)A=OC,而O4V0C,

故④錯(cuò)誤；即可得出結(jié)論.

【解答】解：TN4O8=NC0O=a,

NAOB+NBOC=NCOO+NBOC,

即N4OC=NBO。，

在△AOC和△80。中，

0A=OB

Z.AOC=乙BOD?

OC=OD

A^AOC^/\BOD(SAS),

：.ZOAC=ZOBD,AC=BD,

即N04M=N08M,

故①②正確；°

由三角形的外角性質(zhì)得：，一?Am

/AMB+NOBD=ZOAC+ZAOB,

???/OAC=NOB。,

，ZAMB=ZAOB=a,

故③正確；

作OG_LAM于G,0HLDM于H,如圖所示,

則NOGA=NO”8=90°,

在△OAG和中,

Z.OGA=乙OHB

Z.OAC=Z.OBD，

OA=OB

:.AOAG沿/\OBHCAAS),

：.OG=OH,

*/△AOCdBOD,

：?OG=OH,

???MO平分N4MO,

4MO=NQMO,

假設(shè)OM平分N8OC,則N/30M=/COM,

■:NAOB=NCOD,

???々AOB+乙BO